III. SPAZI METRICI
” Per occupare un posto debito nell’analisi, la sola cosa che manca attualmente alla teoria degli insiemi é la concezione generale del passaggio al limite.”
J. Hadamard (1900)
Gli spazi metrici rappresentano una delle strutture matematiche più importanti. In particolare, essi sono alla base della teoria generale dei limiti.
§ III.1. Spazi Metrici.-
III.11.- Definizione di Spazio Metrico.-
Un insieme arbitrario M di più elementi (<< punti >>) x, y, … si chiama Spazio Metrico se si ha una regola che permette di far corrispondere a due punti qualsiasi x, y un numero ρ(x,y) (<< distanza da x a y >>) e se questa regola soddisfa le seguenti condizioni (Assiomi):
a. ρ(x,y) > 0 se x ≠ y ; ρ(x,x) = 0 ∀ x ∈ M
b. ρ(y,x) = ρ(x,y) ∀ (x,y) ∈ M×M (Simmetria della distanza)
c. ρ(x,y) ≤ ρ(x,z) + ρ(y,z) ∀ (x,y,z) ∈ M×M×M (disuguaglianza di Triangolo)
Osservazione 1
La disuguaglianza di triangolo ha l’origine geometrica seguente:
in geometria elementare, il lato xz di un triangolo xyz é di lunghezza non superiore alla somma delle lunghezze degli altri due lati xy e yz.
Osservazione 2
Si chiama Metrica di uno spazio M la regola che permette di trovare il numero ρ(x,y) a partire da una coppia di punti x , y dello spazio M.
Osservazione 3
E’ da notare che
ogni sottoinsieme M’ ⊂ M dello spazio metrico M é anch’esso uno spazio metrico avente la stessa Metrica di tutto lo spazi M.
Corollario d. (degli assiomi a, b, c) .-
Per elementi qualsiasi
dello spazio metrico M é verificata la disuguaglianza:
(una generalizzazione del teorema noto dalla geometria elementare:
la lunghezza dell’ultimo segmento di una spezzata é non maggiore della somma delle lunghezze dei segmenti della spezzata)
DIM.-
Per dimostrare questa disuguaglianza, si applica successivamente l’assioma c
Corollario e. (degli assiomi a, b, c) .-
Per quattro punti qualsiasi x, y, z, v, dello spazio metrico M é verificata la << disuguaglianza di quadrilatero >>
DIM.-
infatti, in accordo con il Corollario d, si ha:
Corollario f. (degli assiomi a, b, c) .-
Ponendo nella
v = y, si ha:
(In geometria elementare: la differenza fra due lati é non maggiore della lunghezza del terzo lato).
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