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Disequazione di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli

Disuguaglianza di Bernoulli

La disuguaglianza di Bernoulli

afferma che:

(1+x)^n \ge 1 + nx

per ogni intero n ≥ 0 e ogni numero reale x ≥ -1. La disuguaglianza di Bernoulli è un passo cruciale nella dimostrazione di altre disuguaglianze.

Dimostrazione

La disuguaglianza è banalmente vera per n = 0.

Dimostriamola allora per induzione.

Supponiamo che sia vera per n: allora dobbiamo dimostrare che è vera anche per n + 1.

Moltiplichiamo entrambi i membri per (1 + x), fattore che è sempre maggiore di 0 per ipotesi.

Otteniamo:

(1 + x)^{n+1} \ge (1 + nx)(1 + x)
(1 + x)^{n+1} \ge 1 + x + nx + nx^2
(1 + x)^{n+1} \ge 1 + (1 + n)x + nx^2

Poiché nx2 ≥ 0, l’omissione di questo termine può solo rendere più forte la relazione di disuguaglianza, quindi:

(1 + x)^{n+1} \ge 1 + (1 + n)x + nx^2 \ge 1 + (1 + n)x 
C.V.D.

Leggi tutto l’articolo ==>>

Generalizzazioni

Se l’esponente n è pari,

la disuguaglianza è valida per ogni numero reale x. Se n ≥ 2 e x > −1 con x ≠ 0, allora vale la disuguaglianza stretta:

(1 + x)n > 1 + nx

Vi sono anche delle versioni più forti della disuguaglianza di Bernoulli, per esempio:

(1 + x)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2}x^2

per ogni n ≥0 e x ≥0.

La disuguaglianza può anche essere generalizzata ad un qualsiasi esponente reale r.

Infatti, se x > −1, allora

(1 + x)^r \geq 1 + rx\!

per r ≤ 0 oppure r ≥ 1, e

(1 + x)^r \leq 1 + rx\!

per 0 ≤ r ≤ 1. Questa generalizzazione può essere dimostrata confrontando le derivate. Anche in questo caso, vale la disuguaglianza stretta se x ≠ 0 e r ≠ 0, 1.

Disuguaglianze collegate

La seguente disuguaglianza fornisce una stima per eccesso della potenza r-esima di 1 + x. Per ogni numero reale x ed r > 0, vale

<img src=”http://upload.wikimedia.org/math/8/7/5/875c7e6636829f805289e97ff6d46e6c.png&#8221; alt=”(1 + x)^r

dove e = 2.718…. È possibile dimostrare questa disuguaglianza sfruttando il fatto che (1 + 1/k)k’ < e.

 

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