Integrale di Riemann
IX.6.- Applicazioni dell’integrale .-
IX.65.- Schema generale di applicazione dell’integrale.-
h.- Volume di un solido ottenuto intersecando una sfera con un paraboloide.-
Volume di un solido ottenuto intersecando una sfera di raggio R con un paraboloide di rotazione il cui vertice coincide con il centro della sfera (figura 1).-
figura 1
L’equazione del Paraboloide é
ne segue che l’area della sezione del paraboloide con un piano ad altezza h (sopra il centro della sfera ) é 
L’area della sezione della sfera ad altezza h é uguale a 
L’intersezione della superficie della sfera con la superficie del paraboloide avviene ad altezza … definita dall’equazione
quindi, 
e 
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i.- Dilatazione di solido k volte lungo uno degli assi.-
il volume aumenta di k volte (la dimostrazione é la stessa che in IX.61 d-e per il caso piano). Ne segue, ad esempio, che il volume di un ellissoide di semiassi a, b, c é uguale a 
poichè una sfera di raggio 1 ha volume 
e l’ellissoide in esame si ottiene dalla sfera dilatando di a volte l’asse x, di b volte l’asse y e di c volte l’asse z.-
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iMathematica 
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