Serie di Dirichlet

In matematica ,

una serie di Dirichlet è una qualunque serie della forma

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n)) {n ^ {s))},}

dove s e n i coefficienti a _n sono numeri complessi .

La serie di Dirichlet riveste un ruolo importante in teoria dei numeri analitica .

La funzione zeta di Riemann può essere scritta come

**serie di Dirichlet nel semipiano Re (s) > 1**,

così come

le funzioni L di Dirichlet .

Le serie di Dirichlet prende il nome dal matematico tedesco Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Esempi

La più nota fra le serie di Dirichlet è

{\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s))},}

a partire dal quale si definisce la funzione zeta di Riemann .

Un’altra è:

{\ displaystyle {\ frac {1} {\ zeta (s))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n)} {n ^ {s))))

dove μ ( n ) è la funzione di Möbius .

Questa e molte altre delle serie seguenti possono essere ricavate applicando

la formula di inversione di Möbius

e

la convoluzione di Dirichlet alle serie note.

Ad esempio,

dato un carattere di Dirichlet si ha ${\ displaystyle \ scriptstyle \ chi (n)}$

{\ displaystyle {\ frac {1} {L (\ chi, s))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mu (n) \ chi (n)} {n ^ {s))))

dove ${\ displaystyle L (\ chi, s)}$ è una funzione L di Dirichlet .

Altre identità includono

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s-1)} {\ zeta (s))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ varphi (n)} {n ^ {S))))

dove φ ( n ) è la funzione φ di Eulero ,

e

{\ Displaystyle \ zeta (s) \ zeta (sa) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n)} {n ^ {s))))

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (s) \ zeta (sa) \ zeta (sb) \ zeta (sab)} {\ zeta (2s-ab))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sigma _ {a} (n) \ sigma _ {b} (n)} {n ^ {s))))

dove σ _a ( n ) è la funzione divisore .

Altre identità che coinvolgono la funzione divisore d = σ ₀ sono

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {3} (s)} {\ zeta (2s))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n ^ {2} )} {n ^ {s))))

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {4} (s)} {\ zeta (2s))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {d (n) ^ {2 )) {n ^ {s))}.}

Il logaritmo della funzione zeta è dato da

{\ displaystyle \ log \ zeta (s) = \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n)} {\ log (n))) \, {\ frac {1} {n ^ {s))))

per Re ( s )> 1.

Qui, è la funzione di von Mangoldt .

Quindi la derivata logaritmica è ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta ^ {\ prime} (s)} {\ zeta (s))) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ Lambda (n) } {n ^ {s))}.}

Queste ultime due sono casi particolari di una relazione più generale per le derivate della serie di Dirichlet, riportata di seguito.

Sia la funzione di Liouville , si ha ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda (n)}$

{\ displaystyle {\ frac {\ zeta (2s)} {\ zeta (s))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ lambda (n)} {n ^ {s ))}.}

Un ulteriore esempio coinvolge la somma di Ramanujan :

{\ displaystyle {\ frac {\ sigma _ {1-s} (m)} {\ zeta (s))) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {c_ {n} ( m)} {n ^ {s))}.}

Proprietà di base

Ponendo con una serie di Dirichlet si può decomporre come ${\ displaystyle s = \ sigma + it}$

${\ displaystyle \ sigma, t \ in \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n)) {n ^ {s))} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} \ cos (t \ cdot \ log (n))} {n ^ {\ sigma))} - i \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n} \ operatorname {sen} (t \ cdot \ log (n))} {n ^ {\ sigma))}.}$

In particolare,

se i coefficienti $un}$ sono reali,

tale formula divide la serie di Dirichlet nella sua parte reale e parte immaginaria.

Proprietà analitiche della serie di Dirichlet:

ascissa di convergenza

Data una sequenza { a _n } _n ∈ N di numeri complessi si consideri il valore di

{\ Displaystyle f (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {a_ {n)) {n ^ {s))))

come funzione della variabile complessa s .

Per far sì che ciò abbia senso,

è necessario considerare la proprietà di convergenza della serie infinita di cui sopra:

Se { a _n } _n ∈ N è una sequenza limitata di numeri complessi, allora la serie di Dirichlet corrispondente f converge assolutamente sul semipiano aperto di s tale che Re ( s )> 1.

In generale,

se a _n = O ( n ^k ), la serie converge assolutamente nel semipiano Re ( s )> k + 1.

Se il set di somme a _n + a _{n + 1} + … + a _n + k è limitato per n e k ≥ 0,

allora la serie infinita di cui sopra converge nel semipiano aperto di s tale che Re ( s )> 0.

In entrambi i casi

f è una funzione analitica sul rispettivo semipiano aperto.

In generale,

l’ ascissa di convergenza di una serie di Dirichlet è l’intercetta sull’asse reale della linea verticale sul piano complesso, tale da avere convergenza a destra di essa, e divergenza alla sua sinistra.

Questo concetto è analogo a quello di raggio di convergenza per le serie di potenze .

Il caso della serie di Dirichlet è tuttavia più complicato, sebbene convergenza assoluta e convergenza uniforme possono verificarsi nei distinti semipiani.

In molti casi,

la funzione analitica associata ad una serie di Dirichlet ha un’estensione analitica su un dominio più ampio.

Derivate

Dato

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n)} {n ^ {s))))

per una funzione completamente moltiplicativa ƒ ( n ), e assumendo che la serie converga per Re ( s )> σ ₀ , allora si ha che

{\ displaystyle {\ frac {F ^ {\ prime} (s)} {F (s))) = - \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {f (n) \ Lambda ( n)} {n ^ {s))))

convergono per Re ( s )> σ ₀ .

Qui, ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$ è la funzione di von Mangoldt .

Prodotti

Si supponga

{\ displaystyle F (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) n ^ {- s))

e

{\ displaystyle G (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} g (n) n ^ {- s}.}

Se sia F ( s ) che G ( s ) sono assolutamente convergenti per s > a e s > b allora si ha

{\ displaystyle {\ frac {1} {2T)) \ int _ {- T} ^ {T} \, dtF (a + it) G (b-it) \, dt = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} f (n) g (n) n ^ {- ab} {\ text {per)) T \ sim \ infty.}

Se a = b e ƒ ( n ) = g ( n ) si ha

{\ displaystyle {\ frac {1} {2T)) \ int _ {- T} ^ {T} dt | F (a + it) | ^ {2} dt = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} [f (n)] ^ {2} n ^ {- 2a} {\ text {per)) T \ sim \ infty.}

L	M	M	G	V	S	D
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

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Serie di Dirichlet

Serie di Dirichlet

In matematica ,

una serie di Dirichlet è una qualunque serie della forma

dove s e n i coefficienti a n sono numeri complessi .

La serie di Dirichlet riveste un ruolo importante in teoria dei numeri analitica .

La funzione zeta di Riemann può essere scritta come

serie di Dirichlet nel semipiano Re (s) > 1,

così come

le funzioni L di Dirichlet .

Le serie di Dirichlet prende il nome dal matematico tedesco Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Esempi

La più nota fra le serie di Dirichlet è

a partire dal quale si definisce la funzione zeta di Riemann .

Un’altra è:

dove μ ( n ) è la funzione di Möbius .

Questa e molte altre delle serie seguenti possono essere ricavate applicando

la formula di inversione di Möbius

e

la convoluzione di Dirichlet alle serie note.

Ad esempio,

dato un carattere di Dirichlet si ha

dove è una funzione L di Dirichlet .

Altre identità includono

dove φ ( n ) è la funzione φ di Eulero ,

e

dove σ a ( n ) è la funzione divisore .

Altre identità che coinvolgono la funzione divisore d = σ 0 sono

Il logaritmo della funzione zeta è dato da

per Re ( s )> 1.

Qui, è la funzione di von Mangoldt .

Quindi la derivata logaritmica è

Queste ultime due sono casi particolari di una relazione più generale per le derivate della serie di Dirichlet, riportata di seguito.

Sia la funzione di Liouville , si ha

Un ulteriore esempio coinvolge la somma di Ramanujan :

Proprietà di base

Ponendo con una serie di Dirichlet si può decomporre come

In particolare,

se i coefficienti sono reali,

tale formula divide la serie di Dirichlet nella sua parte reale e parte immaginaria.

Proprietà analitiche della serie di Dirichlet:

ascissa di convergenza

Data una sequenza { a n } n ∈ N di numeri complessi si consideri il valore di

come funzione della variabile complessa s .

Per far sì che ciò abbia senso,

è necessario considerare la proprietà di convergenza della serie infinita di cui sopra:

Se { a n } n ∈ N è una sequenza limitata di numeri complessi, allora la serie di Dirichlet corrispondente f converge assolutamente sul semipiano aperto di s tale che Re ( s )> 1.

In generale,

se a n = O ( n k ), la serie converge assolutamente nel semipiano Re ( s )> k + 1.

Se il set di somme a n + a n + 1 + … + a n + k è limitato per n e k ≥ 0,

allora la serie infinita di cui sopra converge nel semipiano aperto di s tale che Re ( s )> 0.

In entrambi i casi

f è una funzione analitica sul rispettivo semipiano aperto.

In generale,

l’ ascissa di convergenza di una serie di Dirichlet è l’intercetta sull’asse reale della linea verticale sul piano complesso, tale da avere convergenza a destra di essa, e divergenza alla sua sinistra.

Questo concetto è analogo a quello di raggio di convergenza per le serie di potenze .

Il caso della serie di Dirichlet è tuttavia più complicato, sebbene convergenza assoluta e convergenza uniforme possono verificarsi nei distinti semipiani.

In molti casi,

la funzione analitica associata ad una serie di Dirichlet ha un’estensione analitica su un dominio più ampio.

Derivate

Dato

per una funzione completamente moltiplicativa ƒ ( n ), e assumendo che la serie converga per Re ( s )> σ 0 , allora si ha che

convergono per Re ( s )> σ 0 .

Qui, è la funzione di von Mangoldt .

Prodotti

Si supponga

Se sia F ( s ) che G ( s ) sono assolutamente convergenti per s > a e s > b allora si ha

Se a = b e ƒ ( n ) = g ( n ) si ha

Trasformate integrali

La trasformata di Mellin di una serie di Dirichlet è data dalla formula di Perron .

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Segue …

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Funzione zeta di Riemann

Funzione zeta di Riemann

In matematica,

la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste una fondamentale importanza nella teoria analitica dei numeri e ha notevoli risvolti in fisica, teoria della probabilità e statistica.

I primi risultati riguardanti questa funzione furono ottenuti da Leonhard Euler nel diciottesimo secolo, ma il nome deriva da Bernhard Riemann, che nel testo Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, pubblicato nel 1859,

dove s e n i coefficienti a _n sono numeri complessi .

**serie di Dirichlet nel semipiano Re (s) > 1**,

dato un carattere di Dirichlet si ha ${\ displaystyle \ scriptstyle \ chi (n)}$

dove ${\ displaystyle L (\ chi, s)}$ è una funzione L di Dirichlet .

dove σ _a ( n ) è la funzione divisore .

Altre identità che coinvolgono la funzione divisore d = σ ₀ sono

Quindi la derivata logaritmica è ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$

Sia la funzione di Liouville , si ha ${\ displaystyle \ scriptstyle \ lambda (n)}$

Ponendo con una serie di Dirichlet si può decomporre come ${\ displaystyle s = \ sigma + it}$

se i coefficienti $un}$ sono reali,

Data una sequenza { a _n } _n ∈ N di numeri complessi si consideri il valore di

Se { a _n } _n ∈ N è una sequenza limitata di numeri complessi, allora la serie di Dirichlet corrispondente f converge assolutamente sul semipiano aperto di s tale che Re ( s )> 1.

se a _n = O ( n ^k ), la serie converge assolutamente nel semipiano Re ( s )> k + 1.

Se il set di somme a _n + a _{n + 1} + … + a _n + k è limitato per n e k ≥ 0,

per una funzione completamente moltiplicativa ƒ ( n ), e assumendo che la serie converga per Re ( s )> σ ₀ , allora si ha che

convergono per Re ( s )> σ ₀ .

Qui, ${\ displaystyle \ scriptstyle \ Lambda (n)}$ è la funzione di von Mangoldt .

convergente per ogni numero complesso $s$ di parte reale ${\mathrm {Re))(s)$ maggiore di $1$ .

la serie di Dirichlet è estesa a una funzione olomorfa su tutto il piano complesso a eccezione di $1$ , dove ha un polo semplice.

tutti gli altri zeri sono disposti simmetricamente rispetto alla retta ${\mathrm {Re))(s)={\frac {1}{2))$ , detta retta critica,

sono tutti contenuti nella striscia $0<{\mathrm {Re))(s)<1$ , detta striscia critica.

ove $x$ è un numero reale maggiore di $1$ .

**i numeri primi sono piuttosto densi nell’insieme dei numeri naturali, più dei quadrati perfetti;**

la funzione zeta non più solo per una variabile reale $x$ , ma per una variabile complessa $s$ , e la studiò utilizzando metodi di analisi complessa.

la dimostrazione del fatto che la funzione $\zeta$ si possa prolungare analiticamente su tutto il piano complesso, ad eccezione di $1$ , in cui la funzione ha un polo semplice;

la funzione zeta non ha zeri nella retta ${\mathrm {Re))(s)=1$ e da questo ottenere come corollario il teorema dei numeri primi.

valida per ${\mathrm {Re))(s)>1$ , e dove il prodotto è effettuato su tutti i numeri primi $p$ .

per ${\mathrm {Re))(s)>0$ , si può calcolare la somma geometrica

per ogni primo $p$ .

Moltiplicando tra loro queste identità per tutti i primi $p$ , per ${\mathrm {Re))(s)>1$ (questa ulteriore restrizione serve per assicurare la convergenza) si ha:

se vi fosse solo un numero finito di numeri primi allora il prodotto di Eulero sarebbe un prodotto finito e quindi sarebbe definito anche per $s=1$ , mentre in tale punto la funzione zeta ha un polo.