RSS

Archivi tag: funzione armonica

°°°°°

Funzione armonica

In analisi matematica,

una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine $f$ che soddisfa l’equazione di Laplace:

${\\displaystyle \\nabla ^{2}f(x)=0,\\qquad \\forall x\\in U,}$

ossia l’insieme delle funzioni armoniche costituisce il nucleo dell’operatore di Laplace.

Nell’ambito della teoria del potenziale le funzioni armoniche sono spesso dette funzioni potenziale, o potenziali, e sono utilizzate in fisica e ingegneria,

ad esempio,

per ricondurre lo studio di un campo vettoriale in tre dimensioni al caso di un campo scalare in una dimensione. In tale contesto, una funzione armonica scalare viene detta potenziale scalare, mentre una funzione armonica vettoriale è chiamata potenziale vettore.

Le funzioni armoniche rivestono particolare importanza in analisi complessa, in quanto se una funzione armonica definita in un certo spazio viene trasformata con una mappa conforme in un altro spazio, allora tale trasformazione è armonica.

Per tale ragione,

ogni funzione definita con un potenziale può subire una trasformazione conforme, e rimane ancora vincolata a un potenziale.

Definizione

Una funzione $f\colon U\to \mathbb {R}$ definita su un dominio $U\subset {\mathbb R}^{n}$ si dice armonica se è di classe $C^2$ e soddisfa l’equazione di Laplace:

$\nabla ^{2}f(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}^{2}}}=0.$

Per la linearità dell’operatore di Laplace, la somma di due funzioni armoniche e il prodotto di esse per uno scalare restituiscono un’altra funzione armonica.

Ad esempio,

la funzione $f(x,y)=e^{{kx}}\sin(ky)$ , definita su un qualsiasi aperto di $\mathbb{R} ^{2}$ , è armonica.

Infatti:

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}=ke^{kx}\sin(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2}}}=k^{2}\sin(ky)e^{kx},$

${\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}=ke^{kx}\cos(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2}}}=-k^{2}\sin(ky)e^{kx},$

e la somma delle derivate parziali seconde è sempre nulla.

Proprietà del valor medio

Ogni funzione armonica soddisfa la proprietà del valor medio.

Si fissi un dominio $U$ e sia $f\in C^{2}(U)$ una funzione armonica.

Si indichi $\omega _{n}$ il volume della sfera unitaria in $\mathbb R^n$ .

Allora per ogni sfera chiusa di raggio $R$ e centro $y$ , contenuta in $U$ , denotata con $B={\overline {B_{R}(y)}}$ , vale la seguente uguaglianza:

$f(y)={\frac {1}{n\omega _{n}R^{n-1}}}\oint _{\partial B}f(x)dx.$

Inoltre, vale anche:

$f(y)={\frac {1}{\omega _{n}R^{n}}}\int _{B}f(x)dx.$

Dimostrazione

Si fissi $\rho \in (0,R)$ . Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale $\nabla f$ si ottiene:

$\oint _{\partial B_{\rho }}{\frac {\partial f(x)}{\partial \nu }}ds=\int _{B_{\rho }}\nabla f(x)dx=0.$

Passando dalle coordinate cartesiane $(x,y)$ a quelle polari $(r,\omega ),$ con:

$r=|x-y|,\qquad \omega ={\frac {x-y}{r}},$

si ha $f(x)=f(y+r\omega )$ , e si verifica:

$\oint _{\partial B_{\rho }}f(x)ds=\oint _{\partial B_{\rho }}f(y+r\omega )ds.$

Calcolando l’integrale della derivata normale di $f$ e riscalando rispetto a $\omega$ si ottiene:

$\oint _{\partial B_{\rho }}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial \nu }}ds=\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r}}d\omega ,$

ed è possibile scambiare derivata e integrale:

$\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r}}d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega .$

Considerando l’integrale di superficie:

$\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho }}(\rho ^{1-n}\oint _{\partial B_{\rho }}u(x)ds),$

se ne deduce che per ogni $\rho$ si ha:

$\rho ^{1-n}\int _{\partial B_{\rho }}f(x)ds=R^{1-n}\int _{\partial B_{R}}f(x)ds,$

e passando al limite per $\rho \to 0$ si ottiene la prima uguaglianza. La seconda si ottiene integrando rispetto a $\rho$ .

Principio del massimo

Lo stesso argomento in dettaglio: Principio del massimo.

Il principio del massimo afferma che massimi e minimi stretti di una funzione armonica, se esistenti, vengono assunti al bordo.

Più precisamente, si consideri $f:U\to \mathbb{R}$ una funzione armonica, dove $U$ è un dominio aperto e connesso di $\mathbb {R} ^{n}$ .

Si supponga che esista $x_0$ in $U$ tale che $f(x)\leq f(x_{0})$ per ogni $x \in U$ .

Allora $f$ è costante.

La dimostrazione usa la proprietà del valor medio.

Sia $M:=\sup f$ e si consideri l’insieme $U_{M}:=f^{{-1}}(M)$ .

Per ipotesi, esso è non vuoto; inoltre, per la continuità di $f$ , è chiuso (nella topologia indotta) in quanto controimmagine di un insieme chiuso.

Considerando la funzione $f-M$ , essa è negativa e armonica: si scelga una palla $B_{R}(x_{0})\subset U$ di raggio $R$ e si applichi la proprietà del valor medio a $f-M$ .

Si ottiene:

$0=f(x_{0})-M={\frac {1}{\omega _{n}R^{n}}}\int _{B_{R}(x_{0})}(f(x)-M)\,dx.$

Dato che l’integrando è non positivo, l’uguaglianza è soddisfatta se e solo se $f(x)=M$ nella palla $B_{R}(x_{0}).$

Quindi $B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M}$ e $U_{M}$ è aperto in $U$ in quanto

$U_{M}\subseteq \bigcup _{x_{0}\in U_{M}}B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M}$ (ovvero $U_{M}=\bigcup _{x_{0}\in U_{M}}B_{R}(x_{0})$ , unione di insiemi aperti).

$U_{M}$ è quindi contemporaneamente aperto e chiuso in $U$ , ma, poiché $U$ è connesso, $U$ e $\varnothing$ sono i soli sottoinsiemi aperti e chiusi. Ne consegue $U_{M}=U$ .

Armonicità delle funzioni complesse analitiche

Nel caso di funzioni di variabile complessa,

il concetto di funzione armonica entra come particolare teorema soddisfatto dalle funzioni analitiche.

Sia infatti:

$f(x+iy)=\omega (z)=u(x,y)+iv(x,y)$

una funzione analitica.

Allora sia la $u(x,y)$ sia la $v(x,y)$ sono funzioni armoniche delle due variabili $x$ e $y$ :

${\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial y^{2}}}=0\\{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial y^{2}}}=0.\end{cases}}$

Infatti,

è sufficiente calcolare le derivate seconde delle equazioni di Cauchy-Riemann e confrontarle, ricordando che:

$u_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x},$

si ha:

${\begin{cases}u_{xx}=v_{yx}\\u_{xy}=v_{yy}\\u_{yx}=-v_{xx}\\u_{yy}=-v_{xy}.\end{cases}}$

Sommando la prima e l’ultima e la seconda e la terza e utilizzando il teorema di Schwarz sull’invertibilità delle derivate parziali:

${\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0\\v_{xx}+v_{yy}=0.\end{cases}}$

Si ha così che date due funzioni $u$ e $v$ armoniche in un aperto $D$ che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora $v$ è detta armonica coniugata di $u$ , ma non è vero il contrario.

Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto $D$ del piano complesso se e solo se $v$ è l’armonica coniugata di $u$ .

Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall’assegnazione della sua parte reale $u(x,y)$ e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Per un esempio di come calcolare l’armonica coniugata di una funzione $u(x,y)$ si consideri la funzione $u(x,y)=y^{3}-3x^{2}y$ .

Questa funzione è armonica poiché:

$u_{xx}+u_{yy}=-6y+6y=0.$

Volendo trovare l’armonica coniugata $v(x,y)$ , utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann $u_{x}=v_{y}$ si ha:

$u_{x}=-6xy=v_{y}.$

Si può integrare $v_{{y}}$ mantenendo fissata la variabile $x$ (considerandola come una costante):

$v(x,y)=\int -6xy\,dy=-3xy^{2}+\phi (x),$

dove $\phi (x)$ è una funzione arbitraria dipendente da $x$ .

Per utilizzare la condizione di Cauchy-Riemann $u_{y}=-v_{x}$ si deriva $v(x,y)$ ottenuta per integrazione rispetto a $x$ :

$v_{x}=-3y^{2}+\phi ^{'}(x),$

e si calcola la derivata $u_{y}$ dalla funzione di partenza:

$u_{y}=3y^{2}-3x^{2}.$

Uguagliando si ricava il valore di $\phi (x)$ :

$3y^{2}-3x^{2}=3y^{2}-\phi ^{'}(x)\;\rightarrow \;\phi ^{'}(x)=3x^{2},$

dalla quale per integrazione:

$\phi (x)=x^{3}+C,$

dove $C$ è la costante di integrazione.

Si ha dunque:

$v(x,y)=-3xy^{2}+x^{3}+C,$

cioè si è ricavata l’armonica coniugata di $u(x,y)$ a meno di una costante $C$ .

In tal modo la funzione:

$f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(y^{3}-3x^{2}y)+i(x^{3}-3xy^{2}+C)$

è una funzione analitica uguale a $f(z)=i(z^{3}+C)$ .

°°°°°

Link Lezione precedente

Link Lezione successiva

Segue Esercitazione

Read the rest of this entry »

Lascia un commento

Pubblicato da salvatore di lucia su 17 settembre 2023 in MATEMATICA

Tag: funzione armonica

°°°°°

“La matematica non conosce razze o confini geografici; per la matematica, il mondo culturale è una singola nazione.”

DAVID HILBERT

Classificazione delle funzioni nell’ambito dell’analisi matematica

Funzione armonica

In analisi matematica,

una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine $f$ che soddisfa l’equazione di Laplace:

$\nabla ^{2}f(x)=0,\qquad \forall x\in U,$

ossia l’insieme delle funzioni armoniche costituisce il nucleo dell’operatore di Laplace.

Nell’ambito della teoria del potenziale le funzioni armoniche sono spesso dette funzioni potenziale, o potenziali, e sono utilizzate in fisica e ingegneria,

ad esempio,

per ricondurre lo studio di un campo vettoriale in tre dimensioni al caso di un campo scalare in una dimensione.

In tale contesto,

una funzione armonica scalare viene detta potenziale scalare, mentre una funzione armonica vettoriale è chiamata potenziale vettore.

Le funzioni armoniche rivestono particolare importanza in analisi complessa, in quanto se una funzione armonica definita in un certo spazio viene trasformata con una mappa conforme in un altro spazio, allora tale trasformazione è armonica.

Per tale ragione, ogni funzione definita con un potenziale può subire una trasformazione conforme, e rimane ancora vincolata a un potenziale.

Definizione

Una funzione $f\colon U\to \mathbb {R}$ definita su un dominio $U\subset {\mathbb R}^{n}$ si dice armonica se è di classe $C^2$ e soddisfa l’equazione di Laplace:

$\nabla ^{2}f(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}^{2))}=0.$

Per la linearità dell’operatore di Laplace,

la somma di due funzioni armoniche e il prodotto di esse per uno scalare restituiscono un’altra funzione armonica.

Ad esempio,

la funzione $f(x,y)=e^((kx))\sin(ky)$ , definita su un qualsiasi aperto di $\mathbb{R} ^{2}$ , è armonica. Infatti:

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x))=ke^{kx}\sin(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2))}=k^{2}\sin(ky)e^{kx},

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y))=ke^{kx}\cos(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2))}=-k^{2}\sin(ky)e^{kx},

e la somma delle derivate parziali seconde è sempre nulla.

Proprietà del valor medio

Ogni funzione armonica soddisfa la proprietà del valor medio.

Si fissi un dominio $U$ e sia $f\in C^{2}(U)$ una funzione armonica.

Si indichi $\omega _{n}$ il volume della sfera unitaria in $\mathbb R^n$ .

Allora per ogni sfera chiusa di raggio $R$ e centro $y$ , denotata con $B=B_{R}(y)$ , vale la seguente uguaglianza:

f(y)={\frac {1}{n\omega _{n}R^{n-1))}\oint _{\partial B}f(x)dx.

Inoltre, vale anche:

f(y)={\frac {1}{\omega _{n}R^{n))}\int _{B}f(x)dx.

Dimostrazione

Si fissi $\rho \in (0,R)$ .

Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale $\nabla f$ si ottiene:

$\oint _{\partial B_{\rho )){\frac {\partial f(x)}{\partial \nu ))ds=\int _{B_{\rho ))\nabla f(x)dx=0.$

Passando dalle coordinate cartesiane $(x,y)$ a quelle polari $(r,\omega ),$ con:

$r=|x-y|,\qquad \omega ={\frac {x-y}{r)),$

si ha $f(x)=f(y+r\omega )$ , e si verifica:

\oint _{\partial B_{\rho ))f(x)ds=\oint _{\partial B_{\rho ))f(y+r\omega )ds.

Calcolando l’integrale della derivata normale di $f$ e riscalando rispetto a $\omega$ si ottiene:

\oint _{\partial B_{\rho )){\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial \nu ))ds=\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r))d\omega ,

ed è possibile scambiare derivata e integrale:

\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r))d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho ))\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega .

Considerando l’integrale di superficie:

\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho ))\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho ))(\rho ^{1-n}\oint _{\partial B_{\rho ))u(x)ds),

se ne deduce che per ogni $\rho$ si ha:

\rho ^{1-n}\int _{\partial B_{\rho ))f(x)ds=R^{1-n}\int _{\partial B_{R))f(x)ds,

e passando al limite per $\rho \to 0$ si ottiene la prima uguaglianza.

La seconda si ottiene integrando rispetto a $\rho$ .

Principio del massimo

Il principio del massimo afferma che massimi e minimi stretti di una funzione armonica, se esistenti, vengono assunti al bordo.

Più precisamente, si consideri $f:U\to \mathbb{R}$ una funzione armonica, dove $U$ è un dominio aperto e connesso di $\mathbb {R} ^{n}$ .

Si supponga che esista $x_0$ in $U$ tale che $f(x)\leq f(x_{0})$ per ogni $x \in U$ .

Allora $f$ è costante.

La dimostrazione usa la proprietà del valor medio.

Sia $M:=\sup f$ e si consideri l’insieme $U_{M}:=f^((-1))(M)$ .

Per ipotesi, esso è non vuoto; inoltre, per la continuità di $f$ , è chiuso (nella topologia indotta) in quanto controimmagine di un insieme chiuso.

Considerando la funzione $f-M$ , essa è negativa e armonica:

si scelga una palla $B_{R}(x_{0})\subset U$ di raggio $R$ e si applichi la proprietà del valor medio a $f-M$ . Si ottiene:

0=f(x_{0})-M={\frac {1}{\omega _{n}R^{n))}\int _{B_{R}(x_{0})}(f(x)-M)\,dx.

Dato che l’integrando è non positivo, l’uguaglianza è soddisfatta se e solo se $f(x)=M$ nella palla $B_{R}(x_{0}).$

Quindi ${\displaystyle B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M))$ e $U_{M}$ è aperto in $U$ in quanto ${\displaystyle U_{M}\subseteq \bigcup _{x_{0}\in U_{M))B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M))$ (ovvero $U_{M}=\bigcup _{x_{0}\in U_{M))B_{R}(x_{0})$ , unione di insiemi aperti).

$U_{M}$ è quindi contemporaneamente aperto e chiuso in $U$ , ma, poiché $U$ è connesso, $U$ e $\varnothing$ sono i soli sottoinsiemi aperti e chiusi.

Ne consegue $U_{M}=U$ .

Armonicità delle funzioni complesse analitiche

Nel caso di funzioni di variabile complessa, il concetto di funzione armonica entra come particolare teorema soddisfatto dalle funzioni analitiche.

Sia infatti:

$f(x+iy)=\omega (z)=u(x,y)+iv(x,y)$

una funzione analitica.

Allora sia la $u(x,y)$ sia la $v(x,y)$ sono funzioni armoniche delle due variabili $x$ e $y$ :

{\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial y^{2))}=0\\{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial y^{2))}=0.\end{cases))

Infatti, è sufficiente calcolare le derivate seconde delle equazioni di Cauchy-Riemann e confrontarle, ricordando che:

u_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x},

si ha:

{\begin{cases}u_{xx}=v_{yx}\\u_{xy}=v_{yy}\\u_{yx}=-v_{xx}\\u_{yy}=-v_{xy}.\end{cases))

Sommando la prima e l’ultima e la seconda e la terza e utilizzando il teorema di Schwarz sull’invertibilità delle derivate parziali:

{\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0\\v_{xx}+v_{yy}=0.\end{cases))

Si ha così che date due funzioni $u$ e $v$ armoniche in un aperto $D$ che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora $v$ è detta armonica coniugata di $u$ , ma non è vero il contrario.

Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto $D$ del piano complesso se e solo se $v$ è l’armonica coniugata di $u$ . Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall’assegnazione della sua parte reale $u(x,y)$ e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Per un esempio di come calcolare l’armonica coniugata di una funzione $u(x,y)$

si consideri la funzione $u(x,y)=y^{3}-3x^{2}y$ .

Questa funzione è armonica poiché:

$u_{xx}+u_{yy}=-6y+6y=0.$

Volendo trovare l’armonica coniugata $v(x,y)$ , utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann $u_{x}=v_{y}$ si ha:

u_{x}=-6xy=v_{y}.

Si può integrare $v_((y))$ mantenendo fissata la variabile $x$ (considerandola come una costante):

v(x,y)=\int -6xy\,dy=-3xy^{2}+\phi (x),

dove $\phi (x)$ è una funzione arbitraria dipendente da $x$ .

Per utilizzare la condizione di Cauchy-Riemann $u_{y}=-v_{x}$ si deriva $v(x,y)$ ottenuta per integrazione rispetto a $x$ :

v_{x}=-3y^{2}+\phi ^{'}(x),

e si calcola la derivata $u_{y}$ dalla funzione di partenza:

u_{y}=3y^{2}-3x^{2}.

Uguagliando si ricava il valore di $\phi (x)$ :

3y^{2}-3x^{2}=3y^{2}-\phi ^{'}(x)\;\rightarrow \;\phi ^{'}(x)=3x^{2},

dalla quale per integrazione:

\phi (x)=x^{3}+C,

dove $C$ è la costante di integrazione.

Si ha dunque:

v(x,y)=-3xy^{2}+x^{3}+C,

cioè si è ricavata l’armonica coniugata di $u(x,y)$ a meno di una costante $C$ .

In tal modo la funzione:

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(y^{3}-3x^{2}y)+i(x^{3}-3xy^{2}+C)

è una funzione analitica uguale a $f(z)=i(z^{3}+C)$

°°°°°

Segue …

Read the rest of this entry »

Lascia un commento

Pubblicato da salvatore di lucia su 9 agosto 2021 in MATEMATICA

Tag: funzione armonica

Funzioni : Classificazione insiemistica

18 Nov

°°°°°

“La matematica non conosce razze o confini geografici; per la matematica, il mondo culturale è una singola nazione.”

DAVID HILBERT

°°°°°

Classificazione puramente insiemistica

Endofunzione

In matematica

una endofunzione è una funzione avente il codominio contenuto o coincidente con il dominio.

In molti contesti risulta utile considerare l’insieme delle endofunzioni entro un dato insieme S, insieme che denotiamo, come talora si usa fare, con Endo(S).

Prime classificazioni e primi esempi

Può essere opportuno sia considerare le endofunzioni entro insiemi ai quali non si assegna alcuna struttura, sia le endofunzioni entro insiemi strutturati.

Dal primo punto di vista occorre distinguere le endofunzioni con dominio e codominio coincidenti dalle endofunzioni con codominio strettamente contenuto nel dominio;

inoltre occorre distinguere le endofunzioni invertibili dalle non invertibili.

Le endofunzioni entro S con dominio e codominio coincidenti ed invertibili sono le permutazioni di S, ossia le funzioni biiettive di S con sé stesso.

Un esempio di endofunzione con dominio e codominio coincidenti non invertibile è la endofunzione entro l’insieme degli interi naturali che ad ogni k= 0, 1, 2, 3, … fa corrispondere la parte intera di k/2.

Le endofunzioni entro un insieme finito con dominio e codominio coincidenti devono essere invertibili, cioè sono le permutazioni del codominio.

Tra le endofunzioni con codominio strettamente contenuto nel dominio ed invertibili si trova la funzione esponenziale considerata endofunzione entro l’insieme dei numeri reali.

Tra le endofunzioni entro S con codominio strettamente contenuto nel dominio vi sono le funzioni costanti di S in sé stesso, chiamate anche collassi o ‘resets’.

Funzioni costanti e permutazioni costituiscono due casi estremi:

le permutazioni hanno il codominio più esteso, l’intero S, le funzioni costanti hanno il codominio ridotto ad un solo elemento.

Se S ha cardinalità finita n, le sue permutazioni sono n!, mentre le sue endofunzioni costanti sono n, in corrispondenza biunivoca con S stesso.

Endofunzioni finite

Le endofunzioni finite, cioè quelle con dominio finito, si possono classificare abbastanza facilmente. Per questo è utile visualizzare una tale endofunzione f sull’insieme finito S con il digrafo monogeno equivalente, digrafo i cui nodi sono gli elementi di S e i cui archi sono le coppie $\langle q,f(q)\rangle$ .

Per la endofunzione f si possono individuare tutti i sottoinsiemi che sono trasformati dalla f in una parte di sé stessi e tra questi sottoinsiemi si possono distinguere i massimali; queste manovre si effettuano senza difficoltà servendosi degli archi opposti a quelli determinati dalla f.

Per ogni restrizione della f a un tale insieme Q, si individuano

elementi di Q che vengono permutati ciclicamente in sé stessi (elementi periodici), il cui insieme scriviamo P;
elementi di Q \ P, d chiamare non periodici, i quali applicando la f una o più volte sono trasformati in un elemento periodico.

Casi particolari dei sottodigrafi determinati dai sottoinsiemi Q sono i digrafi delle permutazioni cicliche di Q e i collassi su Q.

Sottodigrafi più generali dei collassi sono le controarborescenze, digrafi che presentano vari cammini che si concludono in un unico nodo dotato di cappio, la controradice.

In generale su un sottoinsieme Q si ha un ciclo di uno o più nodi periodici e delle controarborescenze formate da nodi non periodici dai quali si può raggiungere uno dei nodi periodici di cui sopra.

Involuzioni come endofunzioni

Casi particolari di endofunzioni sono le involuzioni, cioè le funzioni coincidenti con le proprie inverse; queste sono evidentemente funzioni biiettive.

Il digrafo di una involuzione finita non può presentare nodi non periodici (che andrebbero contro la biunivocità) e può presentare solo cicli con uno o due nodi (altri cicli implicherebbero biiezioni diverse dalle rispettive inverse).

I nodi dotati di un cappio sono i punti fissi dell’involuzione ovvero gli elementi autoduali; i nodi costituenti cicli di due elementi costituiscono coppie di elementi duali (v. dualità).

Altri esempi

Esempi

di endofunzioni biiettive che non sono involuzioni sono le funzioni espresse da x³, da x²ⁿ⁺¹ per ogni n intero positivo e da Sinh(x)

Permutazione

Una permutazione è un modo di ordinare in successione oggetti distinti, come nell’anagramma di una parola.

In termini matematici una permutazione di un insieme X si definisce come una funzione biiettiva :

$p:X\rightarrow X$

Elencare e contare le permutazioni

Il numero delle permutazioni di $n$ oggetti è pari al fattoriale di $n$ :

$n!=n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 1$

infatti ci sono $n$ modi di scegliere l’oggetto che occupa la prima posizione, per ciascuno di essi ci sono $n-1$ modi di scegliere l’oggetto che occupa la seconda posizione, poi per ogni coppia di oggetti fissati nelle prime due posizioni ci sono $n-2$ modi di scegliere l’oggetto nella terza posizione, e così via, fino ad occupare tutte le posizioni.

Ad esempio, le permutazioni possibili della serie di quattro lettere “ABCD” sono 24 e si presentano come:

ABCD BACD CABD DABC

ABDC BADC CADB DACB

ACBD BCAD CBAD DBAC

ACDB BCDA CBDA DBCA

ADBC BDAC CDAB DCAB

ADCB BDCA CDBA DCBA

Insiemi con ripetizioni

Se nell’insieme di partenza vi sono degli elementi ripetuti, alcune permutazioni danno la stessa sequenza.

Ad esempio

le permutazioni della serie di quattro lettere “ABAB” forniscono soltanto 6 risultati distinti:

AABB ABAB ABBA

BBAA BABA BAAB

In generale, se l’insieme è formato da $n$ oggetti, di cui $n_{1}$ sono di un tipo, $n_{2}$ di un altro tipo, ecc. fino a $n_{k}$ , con $n=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{k}$ , il numero di risultati distinti è

${n \choose n_{1},\dots ,n_{k))={\frac {n!}{n_{1}!\cdots n_{k}!))$

che viene detto coefficiente multinomiale.

Nell’esempio mostrato, $n=4$ e $n_{1}=n_{2}=2$ , e si ottiene quindi

${\frac {4!}{2!\,2!))={\frac {24}{4))=6.$

Dimostrazione

Si inseriscano in una tabella tutte le permutazioni semplici di n oggetti in cui solo k si ripetono trattandoli come diversi tra loro in modo da avere sulle righe le permutazioni delle lettere non uguali e sulle colonne le permutazioni delle lettere uguali. Procedendo in questo modo su ogni riga ci saranno le stesse permutazioni, quindi se si calcola il prodotto righe e colonne^{[il prodotto del numero di righe per il numero di colonne?]} si ottengono le permutazioni semplici^{[il numero di permutazioni o le permutazioni?]}:

${\displaystyle \mathrm {righe} \times \mathrm {colonne} =P_{n))$

Ci saranno quindi tante righe quante permutazioni delle lettere ripetute e tante colonne quante permutazioni con ripetizione

$k!\cdot P_{n;k}=P_{n}\quad \to \quad P_{n;k}={\frac {P_{n)){k!))$

Se gli oggetti che si ripetono sono di più tipi allora si eliminano prima gli elementi di un tipo trattandoli come diversi da quelli di altro tipo. Quindi si applica la formula sopra ottenendo le permutazioni semplici degli oggetti comprese quelle del tipo rimanente su cui sarà possibile applicare nuovamente la formula ottenendo le permutazioni con ripetizione cercate. Generalizzando si ottiene la formula

$P_{n;k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n))={\frac {P_{n)){k_{1}!k_{2}!\cdots k_{n}!))={n \choose k_{1},k_{2},\cdots ,k_{n))$

Composizione

Una permutazione è una funzione biettiva $p:X\to X$ .

Due permutazioni $p$ e $p'$ possono quindi essere composte e il risultato è ancora una permutazione.

L’insieme $S(X)$ delle permutazioni di $X$ con l’operazione di composizione forma un gruppo, detto gruppo simmetrico.

L’elemento neutro è la permutazione che lascia fissi tutti gli elementi.

Cicli

Sia $a_{1},\ldots ,a_{n}$ una successione di elementi distinti di X. Il ciclo

$p=(a_{1},\ldots ,a_{n})$

è la permutazione che sposta in avanti di uno tutti gli $a_{i}$ e tiene fissi gli altri. Più formalmente è definita nel modo seguente:

${\displaystyle p(a_{1})=a_{2},p(a_{2})=a_{3},\ldots ,p(a_{n})=a_{1))$

$p(a)=a$ per gli altri $a$

L’ordine del ciclo è il numero n.

Una trasposizione è un ciclo $(a,b)$ di ordine 2: consiste semplicemente nello scambiare gli elementi a e b, lasciando fissi tutti gli altri.

Due cicli $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ e $(b_{1},\ldots ,b_{m})$ sono indipendenti se $a_{i}\neq b_{j}$ per ogni i e j.

Due cicli indipendenti a e b commutano, cioè $ab=ba$ .

L’importanza dei cicli sta nel seguente teorema:

Ogni permutazione si scrive in modo unico come prodotto di cicli indipendenti.

Poiché cicli indipendenti commutano, l’unicità è da intendersi a meno di scambiare l’ordine dei cicli.

Notiamo infine che le notazioni $(a,b,c)$ e $(b,c,a)$ definiscono lo stesso ciclo, mentre $(a,b,c)$ e $(b,a,c)$ sono cicli diversi.

Notazione

Ci sono due notazioni per scrivere una permutazione. Si considerino ad esempio una permutazione dell’insieme {1, 2, 3, 4, 5}. Si può scrivere sotto ad ogni numero la posizione in cui questo viene spostato:

${\begin{bmatrix}1&2&3&4&5\\2&5&4&3&1\end{bmatrix))$

Alternativamente, si può codificare la stessa permutazione sfruttando il teorema enunciato sopra, scrivendola come prodotto di cicli. Nel caso in esempio si ottiene (1 2 5)(3 4).

Con la notazione ciclica due permutazioni possono essere composte in modo agevole: ad esempio (1 2 5)(3 4) e (1 2 3) danno (1 2 5)(3 4)(1 2 3) = (1 5)(2 4 3). Si noti che composizione è fatta da destra verso sinistra. Per esempio, per vedere dove viene mandato 1 dalla composizione (1 2 5)(3 4)(1 2 3) si vede che (1 2 3) lo manda in 2, (3 4) non muove 2, e infine (1 2 5) manda 2 in 5. Quindi 1 va in 5.

Segno di una permutazione

Definizione

Ogni ciclo è prodotto di trasposizioni. Infatti, sempre con la composizione da destra verso sinistra, si ha:

$(a_{1},\ldots ,a_{n})=(a_{1},a_{n})(a_{1},a_{n-1})\cdots (a_{1},a_{2}).$

Ne segue che ogni permutazione è prodotto di trasposizioni. Il numero di queste trasposizioni non è univocamente determinato dalla permutazione: per esempio si può scrivere la trasposizione $(12)$ anche come $(23)(13)(23)$ o $(14)(23)(34)(23)(14)$ . Si può dimostrare che se una stessa permutazione $p$ può essere scritta sia come prodotto di $h$ trasposizioni, sia come prodotto di $k$ trasposizioni, allora $h$ e $k$ hanno la stessa parità, cioè sono entrambi pari o entrambi dispari.

Una permutazione p è detta pari o dispari a seconda che sia ottenibile come prodotto di un numero pari o dispari di trasposizioni. Il segno di p è definito rispettivamente come +1 e -1.

Esempi

Tutte le trasposizioni sono dispari.
Tra le 6=3! permutazioni degli elementi {1, 2, 3} vi sono:

id, (1 2 3), (1 3 2) sono pari;

(1 2), (1 3), (2 3) sono dispari.

Proprietà

Definito il prodotto di due permutazioni come la composizione delle stesse, si può dire che la funzione “segno” è moltiplicativa, cioè:

\operatorname {segno} (\sigma _{1}\sigma _{2})=\operatorname {segno} (\sigma _{1})\cdot \operatorname {segno} (\sigma _{2}).

Gruppo alternante

Metà delle n! permutazioni di un insieme di n elementi sono pari. Poiché la funzione segno è moltiplicativa, le permutazioni pari formano un sottogruppo normale del gruppo S(X) delle permutazioni di X di indice due, detto gruppo alternante e indicato con A(X).

Si tratta del nucleo dell’omomorfismo di gruppi

$\operatorname {segno} :S(X)\to \{+1,-1\}.$

L’immagine è un gruppo ciclico con due elementi.

Formula per il segno

Il segno di una permutazione $\sigma$ può essere calcolato tramite la formula seguente:

\operatorname {segno} (\sigma )=\prod _{1\leq i<j\leq n}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i))=\prod _{i=1}^{n-1}\left(\prod _{j=i+1}^{n}{\frac {\sigma (j)-\sigma (i)}{j-i))\right)

°°°°°

Involuzione (teoria degli insiemi)

In matematica ,

un’involuzione è una funzione, dotata dalla proprietà di essere l’ inversa di se stessa.

Se applicata due volte, quindi, il risultato coincide con l’elemento di partenza.

Definizione

Un’involuzione è una funzione

{\ displaystyle f: X \ to X}

racconto che

{\ displaystyle f (f (x)) = x \ quad \ forall x \ in X}

Ogni involuzione è necessariamente una funzione biiettiva .

Il concetto di involuzione è talvolta utilizzato al posto di idempotenza , che riguarda più propriamente funzioni tali che . ${\ Displaystyle f (f (x)) = f (x)}$

Esempi

La funzione identità è un’involuzione banale.

Esempi meno banali includono la moltiplicazione per -1 di un numero reale , l’inverso di un numero razionale , l’ insieme complemento di un sottoinsieme , il coniugato di un numero reale e l’operatore di trasposizione .

In algebra lineare , tranne che in caratteristica due, un”applicazione lineare che sia un’involuzione è sempre diagonalizzabile .

In teoria dei gruppi , una permutazione è un’involuzione se è prodotto di trasposizioni indipendenti.

Conteggio delle involuzioni

Il numero di involuzioni in un insieme con n elementi è dato dalla seguente relazione ricorsiva :

${\ displaystyle I_ {0} = I_ {1} = 1}$

${\ displaystyle I_ {n} = I_ {n-1} + I_ {n-2} (n-1)}$

I primi termini della sequenza sono 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232 (sequenza A000085 nella Enciclopedia in linea delle sequenze intere ).

Per calcolare il numero di involuzioni in un insieme con “n” elementi si può ricorrere anche a questa formula, non ricollegata ad altri insiemi.

${\ displaystyle \ forall n \ equiv 0 \ mod 2 \ Rightarrow I_ {n} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ ((\ frac {n} {2)) - 1} {\ frac {\ prod _ {i = 0} ^ {k} {n-2i \ scegli 2)) {(k + 1)!))}$

${\ displaystyle \ forall n \ equiv 1 \ mod 2 \ Rightarrow I_ {n} = 1 + \ sum _ {k = 0} ^ {\ frac {n-3} {2)) {\ frac {\ prod _ { i = 0} ^ {k} {n-2i \ scegli 2)) {(k + 1)!))}$

Classificazione delle funzioni nell’ambito della teoria della calcolabilità

°°°°°

Teoria della calcolabilità

La teoria della calcolabilità, della computabilità, e della ricorsione cerca di comprendere quali funzioni possono essere calcolate tramite un procedimento automatico. In altre parole, essa cerca di determinare se una data funzione è teoricamente calcolabile a prescindere dal fatto che sia anche trattabile, cioè a prescindere dalla quantità di risorse che la sua esecuzione richiede in termini di tempo o di memoria, che a livello pratico potrebbero essere proibitive. Questa disciplina è comune sia alla matematica sia all’informatica.

Di conseguenza l’obiettivo principale è dare una definizione formale e matematicamente rigorosa dell’idea intuitiva di funzione calcolabile. Da una parte l’approccio è quello di approfondire il concetto di calcolabilità, cercando di individuare le categorie di problemi che sono teoricamente risolvibili, e dall’altra mappare questo concetto su ciò che è teoricamente calcolabile sui computer, sempre senza considerare le limitazioni imposte dai costi, dal tempo e dalla quantità di memoria impiegata.

Un altro importante aspetto è quello di definire matematicamente il concetto di algoritmo in modo che i programmi possano essere concretamente pensati in termini di oggetti matematici, più precisamente come funzioni che restituiscono un determinato risultato a partire da un certo insieme di dati in ingresso.

Cos’è un algoritmo

Una prima definizione di algoritmo è la seguente: un algoritmo è una sequenza finita di istruzioni che definiscono in modo chiaro e non ambiguo le operazioni da eseguire per raggiungere un risultato. Per esempio, ragionando ad un alto livello di astrazione,

Avanza 5 passi
Gira a sinistra
Avanza 7 passi

può essere un algoritmo per raggiungere una determinata posizione. Questa definizione però non esaurisce pienamente il concetto di che cosa sia un algoritmo. Per ottenere una definizione accettabile sono stati pensati diversi modi equivalenti, ad esempio mediante le macchine di Turing, le funzioni parziali ricorsive, i sistemi di Post e Markov e le macchine a registri, parenti stretti dei moderni elaboratori. Tutti questi metodi sono stati dimostrati fra loro equivalenti, con la conseguenza che la potenza di calcolo, cioè che cosa possono calcolare in linea di principio, è la stessa.

Poiché quando si scrive un programma in un qualsiasi linguaggio di programmazione si fornisce una sequenza di istruzioni per produrre un certo risultato, si può dire che un algoritmo è ciò che nasconde una funzione che prende in ingresso dei numeri naturali e restituisce in uscita numeri naturali. Se un algoritmo computa su un insieme qualunque A, è possibile associare ad esso una funzione parziale:

$f:A^((n))\rightarrow A^((m))$

Funzioni parziali ricorsive

Le funzioni parziali ricorsive sono un esempio di un formalismo atto a definire il concetto di funzione intuitivamente calcolabile.

Si può dimostrare che il formalismo delle funzioni parziali ricorsive ha la stessa espressività di quello della macchina di Turing.

La dimostrazione si basa sull’implementazione di un interprete per una macchina di Turing tramite funzioni parziali ricorsive.

Tesi di Church-Turing

Se una funzione è calcolabile secondo un qualsiasi formalismo esistente e non, allora lo è anche con una macchina di Turing.

Funzione ricorsiva primitiva

Nella teoria della calcolabilità, le funzioni ricorsive primitive sono una classe di funzioni che possono essere definite applicando un numero finito di volte la ricorsione e la composizione a partire da particolari funzioni base (funzioni zero, funzione successore e funzioni selettive o proiettive) e costituiscono un passo fondamentale nella costruzione di una completa formalizzazione della calcolabilità.

Le funzioni ricorsive primitive sono un sottoinsieme stretto delle funzioni ricorsive (queste ultime corrispondono esattamente alle funzioni calcolabili).

La classe più ampia delle funzioni ricorsive è definita aggiungendo la possibilità di avere funzioni parziali e introducendo un operatore di ricerca non limitato.

Molte delle funzioni solitamente studiate nella teoria dei numeri, e le approssimazioni di funzioni a valori reali, sono primitive ricorsive, come l’addizione, la divisione, il fattoriale, l’esponenziale, la ricerca dell’ennesimo numero primo, e molte altre (Brainerd and Landweber, 1974).

Infatti è difficile progettare una funzione che sia ricorsiva totale ma non primitiva ricorsiva, anche se se ne conoscono alcune, come la funzione di Ackermann.

Perciò studiando questo particolare tipo di funzioni è possibile scoprire proprietà che hanno conseguenza di ampia portata.

Le funzioni ricorsive primitive possono essere calcolate dalle macchine che terminano sempre, mentre le funzioni ricorsive richiedono sistemi con la stessa potenza di calcolo delle macchine di Turing.

Definizione

Definiamo primitiva ricorsiva una funzione che o fa parte delle funzioni base, oppure può essere ottenuta a partire dalle funzioni base applicando la composizione e la ricorsione primitiva un numero finito di volte; equivalentemente, l’insieme ${\mathcal {P))$ delle funzioni ricorsive primitive è definito come il più piccolo insieme contenente le funzioni ricorsive di base e che sia chiuso per composizione e ricorsione primitiva.

Le funzioni ricorsive vanno dai naturali ai naturali: $\mathbb {N} ^{n}\rightarrow \mathbb {N}$ . In generale prendono come argomenti una tupla di n numeri naturali e restituiscono un numero naturale.

Una funzione che prende n argomenti si dice n-aria.

Funzioni base

Definiamo come funzioni base le seguenti funzioni:

Le funzioni zero, che prendono n argomenti (con $n\geq \;0$ ), e che restituiscono sempre 0.
Sono perciò funzioni costanti.

$Z(x_{1},x_{2},...,x_{n})=0$

La funzione successore S, che prende un argomento e restituisce il numero successivo

$S(x)=x+1$

Le funzioni di proiezione (dette anche funzioni selettive o funzioni identità), che prendono n argomenti ( $n\ge 1$ ) e restituiscono l’i-esimo tra essi ( $1\leq i\leq n$ ).

${\displaystyle P_{i}^{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n})=x_{i))$

e prendiamo come tre assiomi il fatto che siano tutte ricorsive primitive.

Composizione e ricorsione

È possibile ottenere funzioni ricorsive primitive più complesse di quelle base, applicando a queste ultime i seguenti operatori:

L’operatore di composizione (o sostituzione):

se $f$ è una funzione a $n$ argomenti, e $g_{1},...,g_{n}$ sono funzioni tutte a $m$ argomenti, allora la funzione $h$ a $m$ argomenti:

$h(x_{1},...,x_{m})=f(g_{1}(x_{1},...,x_{m}),...,g_{n}(x_{1},...,x_{m}))$

è ottenuta per composizione (o sostituzione) da $f$ e $g_{1},...,g_{n}$

L’operatore di ricorsione primitiva:
se $f$ è una funzione a $n$ argomenti, e $g$ è una funzione a $n+2$ argomenti, allora la funzione $h$ a $n+1$ argomenti così definita:

$h(x_{1},...,x_{n},0)=f(x_{1},...,x_{n})$
$h(x_{1},...,x_{n},{\mbox{S))(y))=g(x_{1},...,x_{n},y,h(x_{1},...,x_{n},y))$

è ottenuta per ricorsione primitiva da $f$ e $g$

Si noti che, grazie alle funzioni di proiezione, possiamo aggirare l’apparente rigidità del numero di argomenti delle funzioni suddette, dato che, grazie alla composizione, possiamo passare qualunque sottoinsieme degli argomenti.

Esempi

AddizioneLa funzione Addizione $(+)$ in quanto funzione ricorsiva può essere definita mediante ricorsione primitiva a partire dalla funzione di base Successore $({\mbox{S)))$ nel seguente modo:
$+(x,0)=x$
$+(x,{\mbox{S))(y))={\mbox{S))(P_{3}^{3}(x,y,+(x,y)))={\mbox{S))(+(x,y))$

SottrazionePer definire la funzione Sottrazione ( $-$ ) come funzione ricorsiva ci si appoggia alla definizione della funzione ricorsiva Predecessore $({\mbox{pred)))$ , definita a sua volta per ricorsione primitiva a partire dalla funzione di base Identità $(P_{i})$ :
${\mbox{pred))(0)=0$
${\mbox{pred))({\mbox{S))(y))=P_{1}^{2}\left(y,{\mbox{pred))(y)\right)=y$

Si ricava quindi la funzione Sottrazione $(-)$ :
$-(x,0)=x$
$-(x,{\mbox{S))(y))={\mbox{pred))(P_{3}^{3}(x,y,-(x,y)))={\mbox{pred))(-(x,y))$

MoltiplicazioneLa funzione Moltiplicazione $(\cdot )$ in quanto funzione ricorsiva può essere definita mediante l’ausilio della già definita funzione Addizione $(+)$ e precisamente:
$\cdot (x,0)=0$
$\cdot (x,{\mbox{S))(y))=+(P_{1}^{2}(x,y),\cdot (x,y))=+(x,\cdot (x,y))$

FattorialeLa funzione Fattoriale(!) in quanto funzione ricorsiva può essere definita mediante l’ausilio della già definita funzione Moltiplicazione (·) e precisamente:
$!(0)={\mbox{S))(0)$
$!({\mbox{S))(y))=\cdot ({\mbox{S))(y),!(y))$

Limitazioni

Sebbene tutte le funzioni primitive ricorsive siano totali, esistono funzioni totali che non sono primitive ricorsive: un esempio è la funzione di Ackermann, che è calcolabile, totale, ma non ricorsiva primitiva.

Esistendo quindi delle funzioni non descrivibili da questo formalismo, esso non è adeguato a rappresentare quelle che intuitivamente sono le funzioni calcolabili.

L’estensione delle funzioni primitive ricorsive che rappresenta tutte le funzioni calcolabili (ovvero ha la stessa espressività della macchina di Turing), è quella delle funzioni ricorsive.

°°°°°

Funzione calcolabile

Le funzioni calcolabili sono il principale oggetto di studio della teoria della calcolabilità.

Le funzioni calcolabili sono l’analogo formale della nozione intuitiva di algoritmo, nel senso che una funzione è calcolabile se esiste un algoritmo che può svolgere il compito della funzione stessa, cioè se dato un input del dominio della funzione, questa è in grado di restituire il corrispondente output.

Secondo la (non ancora dimostrata) tesi di Church-Turing,

le funzioni calcolabili corrispondono alle funzioni ricorsive, e quindi a tutti i modelli di calcolo equivalenti.

Proprietà

Una funzione calcolabile è in generale una funzione parziale

$f:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$

Secondo la (indimostrabile) tesi di Church-Turing, la classe delle funzioni calcolabili è equivalente alla classe delle funzioni definite da

Alternativamente esse possono essere definite come gli algoritmi calcolabili da

le macchine di Turing
i sistemi combinatori di Post
le macchine a registri elementari

Funzione ricorsiva totale

Funzione ricorsiva

Nella logica matematica e nell’informatica, le funzioni ricorsive sono una classe di funzioni dai numeri naturali ai numeri naturali che sono “calcolabili” in un qualche senso intuitivo.

Infatti nella teoria della calcolabilità si mostra che le funzioni ricorsive corrispondono precisamente a quelle funzioni che possono essere calcolate tramite una macchina di Turing.

Le funzioni ricorsive sono un sovrainsieme delle funzioni ricorsive primitive, ed infatti la loro definizione induttiva (come vedremo nel seguito) è costruita a partire da quella di queste ultime.

Esistono quindi funzioni ricorsive che non sono anche ricorsive primitive, e l’esempio più noto è quello della funzione di Ackermann.

Altre classi di funzioni equivalenti a quella delle funzioni ricorsive sono le funzioni λ-ricorsive e le funzioni che possono essere calcolate da un algoritmo di Markov.

Descrizione

Definizione

Le funzioni ricorsive sono definite sulla base delle funzioni ricorsive primitive.

Le funzioni ricorsive sono la più piccola classe di funzioni contenente le funzioni ricorsive primitive chiusa rispetto agli operatori di composizione, di ricorsione primitiva e all’operatore μ, detto anche operatore di minimizzazione.

L’operatore μ è così definito:

Minimizzazione $\mu$ : data una funzione totale $f(y,x_{1},\ldots ,x_{n})$ :

${\begin{aligned}\mu ,y:(f(y,x_{1},\ldots ,x_{n})=0)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=)){\text{ il più piccolo ))y{\text{ tale che ))f(y,x_{1},\ldots ,x_{n})=0\ \ {\text{ (se esiste)))\end{aligned))$

Le funzioni ricorsive primitive sono quindi un sottoinsieme delle funzioni ricorsive.

Si noti che mentre le funzioni ricorsive primitive sono sempre totali (NB: non tutte le funzioni totali sono ricorsive primitive), le funzioni ricorsive possono essere parziali, ovvero possono non essere definite per alcuni valori di input: infatti, l’operatore minimizzazione non restituisce alcun valore nel caso in cui la funzione a cui è applicato non si annulla per nessun valore dell’argomento.

Si ricorda comunque che l’operatore di minimizzazione opera su funzioni totali.

Si può dimostrare che se si ammette l’applicazione dell’operatore di minimizzazione su funzioni parziali, allora le funzioni ricorsive non sarebbero chiuse rispetto alla minimizzazione.

Esempi di funzioni ricorsive

Limitazioni: funzioni non ricorsive

Non tutte le funzioni sono calcolabili, cioè ricorsive.

Ecco alcuni esempi.

Il problema della fermata

Teorema

Consideriamo una qualunque enumerazione delle funzioni ricorsive, in cui la funzione $\varphi _{i}$ corrisponde alla $i+1$ -esima funzione ricorsiva. Cioè detta $f$ la $i+1$ -esima funzione ricorsiva, abbiamo:

$\varphi _{i}(y)=f(y)$

Allora, non esiste nessuna funzione ricorsiva $g$ tale che per ogni $x$ e $y$

$g(x,y)={\begin{cases}1&{\mbox{se ))\varphi _{x}(y){\mbox{ è definita))\\0&{\mbox{altrimenti ))\end{cases))$

Questo problema è una formulazione del problema della fermata. Si veda l’apposita sezione nell’articolo sugli insiemi ricorsivi per una formulazione alternativa.

Dimostrazione

Supponiamo per ipotesi che $g$ sia ricorsiva. Allora lo sarebbe anche una funzione $h$ così definita:

$h(x)={\begin{cases}1&{\mbox{se ))g(x,x)=0{\mbox{, cio)){\grave {e)){\mbox{ se ))\varphi _{x}(x){\mbox{ non )){\grave {e)){\mbox{ definita))\\{\text{indefinita))&{\mbox{altrimenti))\end{cases))$

Diciamo che nell’enumerazione delle funzioni ricorsive che abbiamo dato, $e$ sia l’indice della funzione $h$ , e che quindi $h=\varphi _{e}$ .
Se passiamo l’indice $e$ (che è un numero naturale) come parametro alla funzione $h$ , abbiamo $h(e)=\varphi _{e}(e)$ .

Per la definizione di $h$ abbiamo che $h=1$ se e solo se $g(e,e)=0$ .

Ma per la definizione di $g$ abbiamo che $g(e,e)=0$ se e solo se $\varphi _{e}(e)$ non è definita.

Ricapitolando $\varphi _{e}(e)=h(e)=1$ se e solo se $g(e,e)=0$ , che è come dire che $\varphi _{e}(e)=1$ se e solo se $\varphi _{e}(e)$ non è definita, che è assurdo.

Quindi questa dimostrazione per assurdo mostra che l’ipotesi iniziale “ $g$ è ricorsiva” è falsa.

°°°°°

Funzione enumerativa dei primi

La funzione enumerativa dei primi o funzione pi greco sui positivi associa ad ogni numero positivo $n$ il numero dei numeri primi non superiori ad $n$ , valore che si denota usualmente con $\pi (n)$ .

Come successione di interi essa viene presentata nella OEIS in corrispondenza della sigla A000720.

Primi valori

I primi valori assunti dalla funzione in corrispondenza degli interi $n=1,2,\ldots ,100$ sono i seguenti:

Stime asintotiche

Lo studio dell’asintotica di $\pi(x)$ costituisce uno degli argomenti principali della teoria dei numeri analitica. Nel 1896, Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrarono che

\pi (x)\sim {\rm {Li))(x),

dove ${\rm {Li))(x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln {t))}\,dt$ è il logaritmo integrale, confermando quanto ipotizzato da Legendre e Gauss. L’ipotesi di Riemann predice che valga una versione più precisa di tale risultato:

\pi (x)={\rm {Li))(x)+O\left({\sqrt {x))\ln(x)\right).

°°°°°

Classificazione delle funzioni nell’ambito dell’analisi matematica

Funzione armonica

In analisi matematica, una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine $f$ che soddisfa l’equazione di Laplace:

\nabla ^{2}f(x)=0,\qquad \forall x\in U,

ossia l’insieme delle funzioni armoniche costituisce il nucleo dell’operatore di Laplace. Nell’ambito della teoria del potenziale le funzioni armoniche sono spesso dette funzioni potenziale, o potenziali, e sono utilizzate in fisica e ingegneria, ad esempio, per ricondurre lo studio di un campo vettoriale in tre dimensioni al caso di un campo scalare in una dimensione. In tale contesto, una funzione armonica scalare viene detta potenziale scalare, mentre una funzione armonica vettoriale è chiamata potenziale vettore.

Le funzioni armoniche rivestono particolare importanza in analisi complessa, in quanto se una funzione armonica definita in un certo spazio viene trasformata con una mappa conforme in un altro spazio, allora tale trasformazione è armonica. Per tale ragione, ogni funzione definita con un potenziale può subire una trasformazione conforme, e rimane ancora vincolata a un potenziale.

Definizione

Una funzione $f\colon U\to \mathbb {R}$ definita su un dominio $U\subset {\mathbb R}^{n}$ si dice armonica se è di classe $C^2$ e soddisfa l’equazione di Laplace:

\nabla ^{2}f(x)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f(x)}{\partial x_{i}^{2))}=0.

Per la linearità dell’operatore di Laplace, la somma di due funzioni armoniche e il prodotto di esse per uno scalare restituiscono un’altra funzione armonica.

Ad esempio, la funzione $f(x,y)=e^((kx))\sin(ky)$ , definita su un qualsiasi aperto di $\mathbb{R} ^{2}$ , è armonica. Infatti:

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial x))=ke^{kx}\sin(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial x^{2))}=k^{2}\sin(ky)e^{kx},

{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y))=ke^{kx}\cos(ky)\qquad {\frac {\partial ^{2}f(x,y)}{\partial y^{2))}=-k^{2}\sin(ky)e^{kx},

e la somma delle derivate parziali seconde è sempre nulla.

Proprietà del valor medio

Ogni funzione armonica soddisfa la proprietà del valor medio. Si fissi un dominio $U$ e sia $f\in C^{2}(U)$ una funzione armonica. Si indichi $\omega _{n}$ il volume della sfera unitaria in $\mathbb R^n$ . Allora per ogni sfera chiusa di raggio $R$ e centro $y$ , denotata con $B=B_{R}(y)$ , vale la seguente uguaglianza:

f(y)={\frac {1}{n\omega _{n}R^{n-1))}\oint _{\partial B}f(x)dx.

Inoltre, vale anche:

f(y)={\frac {1}{\omega _{n}R^{n))}\int _{B}f(x)dx.

DimostrazioneSi fissi $\rho \in (0,R)$ . Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale $\nabla f$ si ottiene:

\oint _{\partial B_{\rho )){\frac {\partial f(x)}{\partial \nu ))ds=\int _{B_{\rho ))\nabla f(x)dx=0.

Passando dalle coordinate cartesiane $(x,y)$ a quelle polari $(r,\omega ),$ con:

r=|x-y|,\qquad \omega ={\frac {x-y}{r)),

si ha $f(x)=f(y+r\omega )$ , e si verifica:

\oint _{\partial B_{\rho ))f(x)ds=\oint _{\partial B_{\rho ))f(y+r\omega )ds.

Calcolando l’integrale della derivata normale di $f$ e riscalando rispetto a $\omega$ si ottiene:

\oint _{\partial B_{\rho )){\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial \nu ))ds=\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r))d\omega ,

ed è possibile scambiare derivata e integrale:

\rho ^{n-1}\int _{|\omega |=1}{\frac {\partial f(y+r\omega )}{\partial r))d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho ))\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega .

Considerando l’integrale di superficie:

\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho ))\int _{|\omega |=1}f(y+r\omega )d\omega =\rho ^{n-1}{\frac {\partial }{\partial \rho ))(\rho ^{1-n}\oint _{\partial B_{\rho ))u(x)ds),

se ne deduce che per ogni $\rho$ si ha:

\rho ^{1-n}\int _{\partial B_{\rho ))f(x)ds=R^{1-n}\int _{\partial B_{R))f(x)ds,

e passando al limite per $\rho \to 0$ si ottiene la prima uguaglianza. La seconda si ottiene integrando rispetto a $\rho$ .

Principio del massimoIl principio del massimo afferma che massimi e minimi stretti di una funzione armonica, se esistenti, vengono assunti al bordo. Più precisamente, si consideri $f:U\to \mathbb{R}$ una funzione armonica, dove $U$ è un dominio aperto e connesso di $\mathbb {R} ^{n}$ . Si supponga che esista $x_0$ in $U$ tale che $f(x)\leq f(x_{0})$ per ogni $x \in U$ . Allora $f$ è costante.

La dimostrazione usa la proprietà del valor medio. Sia $M:=\sup f$ e si consideri l’insieme $U_{M}:=f^((-1))(M)$ . Per ipotesi, esso è non vuoto; inoltre, per la continuità di $f$ , è chiuso (nella topologia indotta) in quanto controimmagine di un insieme chiuso. Considerando la funzione $f-M$ , essa è negativa e armonica: si scelga una palla $B_{R}(x_{0})\subset U$ di raggio $R$ e si applichi la proprietà del valor medio a $f-M$ . Si ottiene:

0=f(x_{0})-M={\frac {1}{\omega _{n}R^{n))}\int _{B_{R}(x_{0})}(f(x)-M)\,dx.

Dato che l’integrando è non positivo, l’uguaglianza è soddisfatta se e solo se $f(x)=M$ nella palla $B_{R}(x_{0}).$ Quindi ${\displaystyle B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M))$ e $U_{M}$ è aperto in $U$ in quanto ${\displaystyle U_{M}\subseteq \bigcup _{x_{0}\in U_{M))B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M))$ (ovvero $U_{M}=\bigcup _{x_{0}\in U_{M))B_{R}(x_{0})$ , unione di insiemi aperti). $U_{M}$ è quindi contemporaneamente aperto e chiuso in $U$ , ma, poiché $U$ è connesso, $U$ e $\varnothing$ sono i soli sottoinsiemi aperti e chiusi. Ne consegue $U_{M}=U$ .

Armonicità delle funzioni complesse analiticheNel caso di funzioni di variabile complessa, il concetto di funzione armonica entra come particolare teorema soddisfatto dalle funzioni analitiche. Sia infatti:

f(x+iy)=\omega (z)=u(x,y)+iv(x,y)

una funzione analitica. Allora sia la $u(x,y)$ sia la $v(x,y)$ sono funzioni armoniche delle due variabili $x$ e $y$ :

{\begin{cases}{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}u(x,y)}{\partial y^{2))}=0\\{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial x^{2))}+{\frac {\partial ^{2}v(x,y)}{\partial y^{2))}=0.\end{cases))

Infatti, è sufficiente calcolare le derivate seconde delle equazioni di Cauchy-Riemann e confrontarle, ricordando che:

u_{x}=v_{y},\qquad u_{y}=-v_{x},

si ha:

{\begin{cases}u_{xx}=v_{yx}\\u_{xy}=v_{yy}\\u_{yx}=-v_{xx}\\u_{yy}=-v_{xy}.\end{cases))

Sommando la prima e l’ultima e la seconda e la terza e utilizzando il teorema di Schwarz sull’invertibilità delle derivate parziali:

{\begin{cases}u_{xx}+u_{yy}=0\\v_{xx}+v_{yy}=0.\end{cases))

Si ha così che date due funzioni $u$ e $v$ armoniche in un aperto $D$ che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora $v$ è detta armonica coniugata di $u$ , ma non è vero il contrario. Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto $D$ del piano complesso se e solo se $v$ è l’armonica coniugata di $u$ . Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall’assegnazione della sua parte reale $u(x,y)$ e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Per un esempio di come calcolare l’armonica coniugata di una funzione $u(x,y)$ si consideri la funzione $u(x,y)=y^{3}-3x^{2}y$ . Questa funzione è armonica poiché:

u_{xx}+u_{yy}=-6y+6y=0.

Volendo trovare l’armonica coniugata $v(x,y)$ , utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann $u_{x}=v_{y}$ si ha:

u_{x}=-6xy=v_{y}.

Si può integrare $v_((y))$ mantenendo fissata la variabile $x$ (considerandola come una costante):

v(x,y)=\int -6xy\,dy=-3xy^{2}+\phi (x),

dove $\phi (x)$ è una funzione arbitraria dipendente da $x$ . Per utilizzare la condizione di Cauchy-Riemann $u_{y}=-v_{x}$ si deriva $v(x,y)$ ottenuta per integrazione rispetto a $x$ :

v_{x}=-3y^{2}+\phi ^{'}(x),

e si calcola la derivata $u_{y}$ dalla funzione di partenza:

u_{y}=3y^{2}-3x^{2}.

Uguagliando si ricava il valore di $\phi (x)$ :

3y^{2}-3x^{2}=3y^{2}-\phi ^{'}(x)\;\rightarrow \;\phi ^{'}(x)=3x^{2},

dalla quale per integrazione:

\phi (x)=x^{3}+C,

dove $C$ è la costante di integrazione. Si ha dunque:

v(x,y)=-3xy^{2}+x^{3}+C,

cioè si è ricavata l’armonica coniugata di $u(x,y)$ a meno di una costante $C$ .In tal modo la funzione:

f(z)=u(x,y)+iv(x,y)=(y^{3}-3x^{2}y)+i(x^{3}-3xy^{2}+C)

è una funzione analitica uguale a $f(z)=i(z^{3}+C)$ .

°°°°°

Funzione continua

In matematica, una funzione continua è una funzione che, intuitivamente, fa corrispondere ad elementi sufficientemente vicini del dominio elementi arbitrariamente vicini del codominio.

Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate: la continuità di una funzione è uno dei concetti di base della topologia e dell’analisi matematica.

La continuità di una funzione può essere definita anche in modo locale: in questo caso si parla di continuità in un punto del dominio. Una funzione continua è, per definizione, continua in ogni punto del proprio dominio.

Una funzione che non è continua è detta discontinua, e i punti del dominio in cui non è continua sono detti punti di discontinuità.

Per esempio, la funzione h(t) che descrive l’altezza di un uomo rispetto alla sua età può essere vista come una funzione continua: in periodi brevi l’uomo cresce di poco. Al contrario, la funzione g(t) che rappresenta la quantità di denaro presente in un conto corrente nel tempo è una funzione discontinua, poiché prelievi e depositi le fanno fare salti da un valore all’altro.

Definizioni

La continuità di una funzione è un concetto topologico, e quindi la definizione generale di funzione continua si sviluppa con funzioni tra spazi topologici. Lo stesso concetto è però usato in ambiti meno generali, soprattutto per quanto riguarda il suo utilizzo in analisi matematica: è spesso presentata la definizione di continuità solo per funzioni tra spazi metrici, o ancora, solo per funzioni di una variabile reale.

Funzioni reali

Il grafico della funzione presenta un salto in x₀: la funzione non è continua

Nel caso di funzioni di una variabile reale, spesso la continuità è presentata come una proprietà del grafico: la funzione è continua se il suo grafico è formato da un’unica curva che non compia mai salti. Sebbene questa nozione possa essere usata nei casi più semplici per distinguere funzioni continue da funzioni discontinue, non è formalmente corretta, e può portare ad ambiguità o errori.

Definizione in termini di limite di una funzione

Una funzione $f$ si definisce continua nel punto $p$ del suo dominio se il suo limite per $x$ tendente a $p$ coincide con la valutazione della funzione in $p$ , ovvero con $f(p)$ . In simboli:^[1]

\lim_{x \to p} f(x) = f(p)

Tale definizione è usata maggiormente per funzioni definite su un intervallo della retta reale: infatti, essa ha senso solo se $p$ è un punto di accumulazione per il dominio di $f$ .

Essa è comunque estendibile anche nel caso di domini più complicati, che comprendono punti isolati: in essi, $f$ risulta continua per una “verità vuota” (dall’inglese vacuous truth).

La funzione si dice continua se è continua in ogni punto $p$ del dominio.

Definizione epsilon-delta

$Studiando la funzione nel punto p = 2 {\displaystyle p=2} , e scegliendo ε = 0.5 {\displaystyle \varepsilon =0.5} , basta scegliere δ = 0.5 {\displaystyle \delta =0.5} per far sì che tutte le immagini dei punti in ( 2 − δ , 2 + δ ) {\displaystyle (2-\delta ,2+\delta )} distino per meno di ϵ {\displaystyle \epsilon } da f ( 2 ) = 3.5 {\displaystyle f(2)=3.5}$

Studiando la funzione nel punto

p=2

, e scegliendo

\varepsilon = 0.5

, basta scegliere

\delta = 0.5

per far sì che tutte le immagini dei punti in

(2-\delta,2+\delta)

distino per meno di

\epsilon

f(2)=3.5

Una funzione $f\colon A\rightarrow \mathbb{R}$ definita su un sottoinsieme $A$ dei numeri reali a valori reali

si dice continua in un punto $p\in A$ se per ogni numero $\varepsilon >0$ , arbitrariamente piccolo, esiste un secondo numero $\delta >0$ tale che, $\forall x\in A\cap (p-\delta,p+\delta)$ , la funzione $f(x)$ dista da $f(p)$ per meno di $\varepsilon$ , ovvero:

$|f(x) - f(p)|<\varepsilon$

In linguaggio simbolico, una funzione è continua in un punto $p$ se:

$\forall\varepsilon >0\ \exist \delta > 0 : |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\varepsilon$

Se questa proprietà vale per ogni punto nel dominio di definizione della funzione, allora si dice che la funzione è continua. In questo caso si dice che $f(x) \in C(A,\mathbb{R})$ , che è l’insieme delle funzioni continue a valori reali e variabili in $A$ .

Più intuitivamente, se si vuole che la funzione $f(x)$ disti di un valore piccolo da $f(p)$ ci basta restringerci ad un intorno abbastanza piccolo del punto $p$ .

Se questo è possibile qualunque sia la distanza scelta (a meno di restringere ulteriormente l’intorno di $p$ ), allora la funzione è continua in $p$ .

Questa definizione è equivalente a quella data in precedenza: essa è costruita dalla prima semplicemente esplicitando la definizione di limite di una funzione.

È stata usata per la prima volta da Cauchy

Funzioni tra spazi topologici

f è continua in un punto x ∈ X se (e solo se) per ogni intorno V di f(x) esiste un intorno U di x tale che f(U) ⊆ V. Intuitivamente, per quanto sia piccolo V esiste sempre un U contenente x che viene mappato in V.

La definizione di continuità data nel caso di funzioni reali può essere generalizzata in contesti più ampi, come quello degli spazi topologici.

Siano due spazi topologici $(X,\tau_1)$ , $(Y,\tau_2)$ e sia $f:X\to Y$ un’applicazione. Allora:

$f$ si dice continua in $x_0\in X$ se $\forall \ V$ intorno di $f(x_0)$ $\exists \ U$ intorno di $x_0$ tale che $f(U)\subseteq V$ ;

$f$ si dice continua se $\forall \ A$ aperto in $Y$ $f^{-1}(A)=\{x\in X|f(x) \in A\}$ è un insieme aperto in $X$ .

Osserviamo che altre definizioni equivalenti di funzione continua sono:

$f$ è continua in ogni punto $x\in X$ ;
$\forall \ B\in \Gamma$ $f^{-1}(B)$ è aperto in $X$ con $\Gamma$ una base della topologia $\tau_2$ ;
$\forall \ P\in \Pi$ $f^{-1}(P)$ è aperto in $X$ con $\Pi$ una prebase della topologia $\tau_2$ ;
$\forall \ C$ chiuso in $Y$ $f^{-1}(C)$ è chiuso in $X$ ;
$\forall \ T\subseteq Y$ $Cl(f^{-1}(T))\subseteq f^{-1}(Cl(T))$ con $Cl$ la chiusura di un sottoinsieme;
$\forall \ S\subseteq X$ $f(Cl(S))\subseteq Cl(f(S))$ con $Cl$ la chiusura di un sottoinsieme.

La definizione di continuità è strettamente legata alla topologia scelta nel dominio e nel codominio: funzioni continue con alcune scelte di topologia possono non esserlo con altre. Per esempio, la funzione identità è continua se lo spazio di arrivo ha la stessa topologia dello spazio di partenza, oppure se ne ha una meno fine, ovvero con meno aperti. Se invece lo spazio di arrivo ha una topologia più fine, con più aperti, la funzione identità non risulta continua.

Funzioni tra spazi metrici

Gli spazi metrici sono spazi topologici nei quali la topologia è generata da una base di intorni circolari.^[3] Sia $f$ una funzione tra due spazi metrici $(X,d_1)$ e $(Y,d_2)$ . La funzione f si dice continua in un punto $p$ se, per ogni scelta di $\varepsilon > 0$ , esiste un $\delta > 0$ , tale che, per ogni punto $x\in X$ che dista meno di $\delta$ da p, ovvero che:

$d_1(x,p)<\delta$

si ha che $f(x)$ dista per meno di $\varepsilon$ da $f(p)$ , ovvero:^[4]

$d_2(f(x),f(p))<\varepsilon$

La definizione può essere scritta servendosi della nozione di intorno sferico $B_r(P)$ centrato in $p$ , di raggio $\delta$ : in questo caso, la funzione è continua se $x \in B_\delta(p) \cap E$ implica che $f(x)\in B_\varepsilon(f(p))$ o, simbolicamente:

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : f(E \cap B_\delta(p)) \subset B_\varepsilon(f(p))$

dove $E$ è l’insieme di definizione di $f$ .^[4]

Nel caso di funzioni reali, le definizioni coincidono se le due distanze su dominio e codominio non sono altro che il modulo della differenza tra due valori in $\R$ .

Inoltre, questa definizione è valida per funzioni definite e a valori in tutti gli spazi vettoriali normati, dove la distanza sia la norma della differenza tra due punti. In particolare, è valida in $\mathbb {R} ^{n}$ con la norma euclidea, ed estende quindi la definizione di continuità a funzioni di più variabili.

Esempi

Una funzione cubica, espressa da un polinomio di terzo grado, è una funzione continua.

Sono esempi di funzioni continue:

Le funzioni costanti $f(x)=c$ .
La funzione identità $f(x)=x$ da uno spazio topologico $(X,\tau_1)$ allo stesso spazio $(X,\tau_2)$ , dove $\tau_2$ è la stessa topologia del dominio oppure una topologia meno fine.
Le funzioni che associano ad una coppia di numeri $(x,y)$ la somma $x+y$ , il prodotto $xy$ o il rapporto $x / y$ sono continue nel loro insieme di definizione in $\R^2$ .
Le trasformazioni lineari fra spazi euclidei
Le funzioni espresse da polinomi, come per esempio $f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ .
Le funzioni razionali, in tutti i punti in cui sono definite, ovvero in tutti i punti in cui non si annulla il denominatore.
La funzione esponenziale e il logaritmo naturale nei loro insiemi di definizione, ovvero $f(x)=\exp(x)$ e $f(x)=\log(x)$ .
Le funzioni seno e coseno, ovvero $f(x)=\cos(x)$ e $f(x)=\sin(x)$ .
La funzione valore assoluto $f(x)=|x|$ è continua (ma non derivabile in $x=0$ ).
La funzione di Cantor e la curva di Koch sono esempi di funzioni continue con struttura frattale.
La curva di Peano: una curva piana che ricopre l’intero quadrato.

La funzione di Heaviside presenta una discontinuità in 0.

Sono esempi di funzioni non continue:

La funzione di Heaviside, definita come

H(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x\ge 0\\ 0 & \text{se } x < 0. \end{cases}

La funzione indicatrice di un sottoinsieme proprio di $\R$ è discontinua sulla frontiera dell’insieme.
La funzione di Dirichlet è discontinua in ogni punto.

Proprietà delle funzioni continueSia $f:I \to \R$ una funzione continua a valori reali definita su un intervallo $I$ . Valgono:

Permanenza del segno: Se in un punto $p$ del suo dominio $f(p) > 0$ , allora esiste un intorno $U(p)$ tale che $f(x)>0$ in tutti i punti dell’intorno.
Teorema dei valori intermedi: se $a$ e $b$ sono due punti del dominio, allora $f$ assume tutti i valori compresi fra $f(a)$ e $f(b)$ .
Teorema di Bolzano: se $a$ e $b$ sono due punti del dominio tali che $f(a)\cdot f(b) \,<\, 0$ (ovvero se $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno diverso), allora esiste almeno un $p \in (a,b)$ tale che $f(p) = 0.$
Teorema di Weierstrass: se l’intervallo $I$ è chiuso e limitato, ovvero se $I=[a,b]$ , allora $f$ ammette massimo e minimo, ovvero esistono due punti $p$ e $q$ tali che $f(p)\leq f(x) \leq f(q)$ per ogni $x \in [a,b]$ .

Se $f$ è una funzione continua biiettiva a valori reali definita su un intervallo, allora $f$ è strettamente monotona e la funzione inversa $f^{-1}$ è continua e strettamente monotona. L’implicazione non vale in generale per le funzioni il cui dominio non è un intervallo.^[5]

Sia $f:(X,d_1) \to (Y,d_2)$ una funzione tra spazi metrici. Valgono:

Teorema di Weierstrass:
se $X$ è un insieme compatto, allora $f$ assume massimo e minimo in $X$ . In particolare esistono $p,q \in X$ tali che $f(p) \leq f(x) \leq f(q)$ per ogni $x\in X$ .
Se $f$ è biunivoca e $X$ è compatto, allora $f^{-1}$ è continua.
Teorema di Heine – Cantor:
se $X$ è compatto, allora $f$ è uniformemente continua.
Se $f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$ , allora $f$ è continua se e solo se è continua ogni funzione $f_i(x)$ . Questo risultato è valido quindi per le funzioni ${\displaystyle f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n))$ .

Sia $f:(X,\tau_1) \to (Y,\tau_2)$ una funzione continua tra spazi topologici. Valgono:

La controimmagine di un insieme aperto è un insieme aperto. Non è vero in generale che l’immagine di un insieme aperto sia un insieme aperto.
La controimmagine di un insieme chiuso è un insieme chiuso.
L’immagine di un insieme compatto è un insieme compatto.
L’immagine di un insieme connesso è un insieme connesso.
L’immagine di un insieme connesso per archi è un insieme connesso per archi.

Composizione

La composizione di funzioni continue è una funzione continua, ovvero se $f$ e $g$ sono due funzioni continue, allora anche:

h(x)= (f \circ g) (x) = f(g(x))

è una funzione continua.

Come conseguenza di questa proprietà si hanno le seguenti:

La somma $f+g$ di due funzioni continue è una funzione continua.
Il prodotto $f \cdot g$ di due funzioni continue è una funzione continua.
Il quoziente $f/g$ di due funzioni continue è una funzione continua (nell’insieme di definizione, ovvero dove $g$ è diversa da 0).

In generale, l’inverso non è vero: ad esempio, se una funzione continua è somma di due funzioni, non è detto che entrambi gli addendi siano a loro volta funzioni continue. Ad esempio se

f(x)=\begin{cases}0 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 1 \quad \text{se }x=1 \end{cases} \quad \text{e}\quad g(x)=\begin{cases}1 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 0 \quad \text{se }x=1 \end{cases},

allora $f$ e $g$ non sono continue, ma

f(x)+g(x)=1 \quad \text{e} \quad f(x)g(x)=0

sono entrambe continue su tutto $\mathbb{R}$ . Analogamente se

f(x)=\begin{cases}3 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 9 \quad \text{se }x=1 \end{cases} \quad \text{e} \quad g(x)=\begin{cases}1 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 3 \quad \text{se }x=1 \end{cases},

allora $f$ e $g$ non sono continue, ma

\frac{f(x)}{g(x)}=3

è continua su tutto $\mathbb{R}$ .

Successioni

L’animazione mostra una sequenza di funzioni continue che converge puntualmente a una funzione discontinua

Data una successione di funzioni continue $f_1, f_2, \dotsc \colon I \to \R$ tali che il limite:

f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)

esiste finito per ogni $x \in \mathbb{R}$ (convergenza puntuale), allora non è vero che $f(x)$ è una funzione continua. Se però la successione converge uniformemente, allora il limite puntuale $f(x)$ è continuo.^[6]

Derivazione e integrazione

Una funzione derivabile (o più in generale una funzione differenziabile) in un punto $p$ è sempre continua in quel punto. Non è vero l’inverso: esistono funzioni continue non derivabili, come ad esempio la funzione valore assoluto, continua in 0 ma non derivabile nello stesso punto. Esistono anche funzioni a variabile reale continue in tutti i punti del dominio e non derivabili in nessuno di essi, come la funzione di Weierstrass.

Una funzione continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è sempre integrabile secondo Riemann (e quindi anche secondo Lebesgue). Inoltre, $f$ ammette sempre primitive e ogni sua primitiva è continua. Viceversa, non tutte le funzioni integrabili sono continue: per esempio, sono integrabili tutte le funzioni costanti a tratti.

°°°°°

Altri tipi di continuità

Continuità per successioniUna funzione $f$ a valori reali è continua per successioni in $x_0$ se, per ogni successione $x_{n}$ a valori nel dominio della funzione e convergente a $x_0$ , la successione $f(x_{n})$ converge a $f(x_0)$ .

Questa formulazione di continuità è dovuta ad Eduard Heine.

Una funzione continua è sempre continua per successioni, mentre, al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni, ma non continue. L’inverso vale solo se il dominio $\scriptstyle {X}$ è uno spazio sequenziale, come lo sono gli spazi primo-numerabili^[8] e dunque in particolare gli spazi metrici: in questo caso, quindi, le due definizioni si possono considerare equivalenti.^[9]

Continuità a sinistra e a destra

Una funzione continua a destra

Una funzione reale $f$ si dice continua a destra in $x_0$ se:

\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0)

dove il limite è inteso solo come limite destro.

Una funzione $f$ si dice continua a sinistra in $x_0$ se:

\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0)

Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.

Queste proprietà non sono estendibili a funzioni a più di una variabile, in quanto nel piano, nello spazio, e generalmente in $\mathbb {R} ^{n}$ quando $n>1$ non esiste relazione d’ordine, ovvero non è possibile definire una “destra” o una “sinistra”.

Semicontinuità

$Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} si trova in basso$

Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, $f(x_0)$ si trova in basso

Lo stesso argomento in dettaglio:

Funzione semicontinua.

Una funzione $f$ definita su uno spazio topologico $X$ a valori reali si dice semicontinua inferiormente in $x_0\in X$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che per ogni $x \in U$ , si ha:

f(x)>f(x_{0})-\varepsilon

Se invece vale, per ogni $x\in U$ :

f(x)<f(x_{0})+\varepsilon

la funzione viene detta semicontinua superiormente in $x_0$ .

Se la prima (o rispettivamente la seconda) proprietà vale in ogni punto del dominio, si dice che la funzione è semicontinua inferiormente (o rispettivamente semicontinua superiormente).

La semicontinuità (sia inferiore che superiore), è una proprietà più debole della continuità: esistono funzioni semicontinue ma non continue. Viceversa, una funzione è continua se e solo se è sia semicontinua inferiormente che semicontinua superiormente.

Continuità separata

Lo stesso argomento in dettaglio:

Continuità separata.

Nel caso di funzioni di più variabili, è possibile definire una condizione più debole di continuità, detta continuità separata: una funzione $f$ è continua separatamente in un punto $p$ rispetto a una delle variabili $x_i$ se è continua la funzione di una variabile dipendente solo dal parametro $x_i$ , lasciando le restanti variabili fissate al valore assunto nel punto in esame.

Continuità uniformeUna condizione più forte (e globale) di continuità è quella di continuità uniforme: una funzione continua tra due spazi metrici si dice uniformemente continua se il parametro $\delta$ della definizione non dipende dal punto $p$ considerato, ovvero se è possibile scegliere un $\delta$ che soddisfi la definizione per tutti i punti del dominio.

Più precisamente, una funzione $f$ è uniformemente continua se, per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che, comunque presi due punti $p$ e $q$ nel dominio di $f$ che distano per meno di $\delta$ , allora le loro immagini $f(p)$ e $f(q)$ distano per meno di $\varepsilon$ .^[5]

Equicontinuità

Lo stesso argomento in dettaglio:

Equicontinuità.

Quando gli elementi di un insieme di funzioni continue hanno il medesimo modulo di continuità, si parla di insieme equicontinuo. Nello specifico, Siano $X$ e $Y$ due spazi metrici e $F$ una famiglia di funzioni definite da $X$ in $Y$ . La famiglia $F$ è equicontinua nel punto $x_0 \in X$ se per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ tale che $d(f(x_0),f(x)) < \epsilon$ per tutte le $f \in F$ e per ogni $x$ tali che $d(x_0,x) < \delta$ .

La famiglia $F$ è equicontinua (in tutto $X$ ) se è equicontinua in ogni suo punto. La famiglia $F$ è uniformemente equicontinua se per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ tale che $d(f(x_1),f(x_2)) < \epsilon$ per tutte le $f \in F$ e per ogni coppia di punti $x_1$ e $x_2$ in $X$ tali che $d(x_1,x_2) < \delta$ .

Più in generale, quando $X$ è uno spazio topologico, un insieme $F$ di funzioni da $X$ in $Y$ è equicontinuo nel punto $x\in X$ se per ogni $\epsilon >0$ il punto $x$ possiede un intorno $U_x$ tale che:

d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon \qquad \forall y \in U_x \quad \forall f \in F

Tale definizione è spesso utilizzata nell’ambito degli spazi vettoriali topologici.

°°°°°

Spazio delle funzioni continue

L’insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato $A$ e a valori reali:

C(A,\R):= \{ f: A \to \R \text{ } | \text{ } f \text{ è continua} \}

può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per $f$ e $g$ in tale insieme:

\begin{matrix} f+g: & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & f(x)+g(x)\end{matrix}

e per $\alpha$ numero reale:

\begin{matrix} \alpha f : & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \alpha f(x)\end{matrix}

Lo spazio vettoriale così definito è detto spazio delle funzioni continue su $A$ .

Se il dominio $A$ è compatto (e quindi per tutte le funzioni in $C(A,\R)$ vale il teorema di Weierstrass) nello spazio $C(A,\R)$ può essere definita una norma ponendo:

\left \| f \right \|_\infty:=\sup_{x \in A} f(x)

detta norma uniforme o norma del sup.

La coppia costituita dallo spazio $C(A,\R)$ e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach.

Funzioni pari e dispari

In matematica , le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni che soddisfano delle particolari relazioni di simmetria riguardo ai valori negativi. Sono importanti in molte aree dell’analisi matematica , in particolare nella teoria delle serie di potenze e delle serie di Fourier .

Funzioni pariSia una funzione a valori reali di variabile reale e sia il suo dominio. Allora è pari se per ogni vale l ‘ equazione ^[1] : ${\ displaystyle f (x) \;}$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R}}$ $f \;$ ${\ displaystyle x \ in D}$

{\ displaystyle f (x) = f (-x).}

Geometricamente, il grafico di una funzione pari è simmetrico rispetto all’asse . $y$

Il nome pari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione pari centrate nell’origine contiene solo potenze pari.

Esempi di funzioni pari sono ${\ displaystyle x ^ {2}, x ^ {4}, \ cos (x), \ cosh (x).}$

Esempio pratico: ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {2} -1 \ Freccia destra f (-x) = (- x) ^ {2} -1 = x ^ {2} -1 = f (x).}$

Funzioni dispariAncora sia una funzione a valori reali di variabile reale e sia il suo dominio. Allora è dispari se per ogni sussiste l ‘ equazione ^[2] : $f (x) \;$ ${\ displaystyle D \ subset \ mathbb {R}}$ $f$ ${\ displaystyle x \ in D}$

{\ displaystyle f (-x) = - f (x)}

, vale a dire

{\ displaystyle f (x) = - f (-x).}

Geometricamente, il grafico di una funzione dispari è simmetrico rispetto all’origine degli assi.

Il nome dispari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione dispari centrate nell’origine contengono solo potenze dispari.

Esempi di funzioni dispari sono ${\ Displaystyle x, x ^ {3}, \ sin (x), \ sinh (x).}$

Esempio: ${\ Displaystyle f (x) = x ^ {3} -x \ Freccia destra f (-x) = (- x) ^ {3} - (- x) = - x ^ {3} + x = - (x ^ {3} -x) = - f (x).}$

Alcune informazioniMentre l’unione degli interni pari e dispari corrisponde all’intero insieme degli interni , l’unione delle funzioni pari e dispari su un intervallo è incluso propriamente nell’insieme delle funzioni su quell’intervallo. Una funzione pertanto può essere pari, oppure dispari, oppure essere né pari né dispari.

Proprietà fondamentali

L’unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione costante ; $f (x) = 0$
in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari; ad esempio ; ${\ displaystyle x + x ^ {2))$
la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari;
la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari;
il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari;
il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari;
il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari;
la derivata di una funzione pari è dispari;
la derivata di una funzione dispari è pari;
l ‘ integrale definito su intervalli del tipo di una funzione dispari è 0; $[-aa]$
l’integrale definito su intervalli del tipo di funzioni pari, è risultato il doppio dell’integrale calcolato solo nell’intervallo . $[-aa]$ ${\ displaystyle [0, a]}$
se è dispari e allora necessariamente (senza la necessità della continuità in ). $f (x)$ ${\ displaystyle 0 \ in \ mathrm {dom} f}$ ${\ displaystyle f (0) = 0}$ ${\ displaystyle 0}$

Serie

La serie di Taylor di una funzione pari contiene solo potenze pari.
La serie di Taylor di una funzione dispari contiene solo potenze dispari.
La serie di Fourier di una funzione periodica contiene pari solo termini coseno .
La serie di Fourier di una funzione periodica dispari contiene solo termini seno .

°°°°°

Strutture algebriche

Ogni combinazione lineare di funzioni pari è pari, e le funzioni pari uno spazio vettoriale sui reali . Allo stesso modo, ogni combinazione lineare di funzioni dispari è dispari, e anche le funzioni dispari riunite uno spazio vettoriale sui reali. Ogni funzione può essere scritta unicamente come somma di una funzione pari e di una funzione dispari:

{\ displaystyle f (x) = {\ frac {f (x) + f (-x)} {2)) + {\ frac {f (x) -f (-x)} {2)).}

Le funzioni pari un ‘ algebra commutativa sui reali.
Tuttavia, le funzioni dispari non racchiudono un campo sui reali.
Le funzioni pari e dispari sono ortogonali fra loro. Sia pari e dispari, allora: $f$ $g$

{\ Displaystyle f \ cdot g = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ bar {f)) (x) g (x) dx;}

ma il prodotto di una funzione pari e una dispari è una funzione dispari:

{\ Displaystyle h (x) = f (x) \ cdot g (x) \ rightarrow h (-x) = - h (x);}

e quindi:

{\ Displaystyle f \ cdot g = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ bar {f)) (x) g (x) dx = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} h (x) dx = 0;}

Inoltre dato che l’unica funzione pari e dispari è lo spazio delle funzioni pari è in somma diretta con quello delle funzioni dispari. $f (x) = 0$

Funzione polinomiale

Polinomio

In matematica un polinomio è un’espressione composta da costanti e variabili combinate usando soltanto addizione, sottrazione e moltiplicazione, gli esponenti delle variabili sono valori interi non negativi. In altre parole, un polinomio tipico, cioè ridotto in forma normale, è la somma algebrica di alcuni monomi non simili tra loro, vale a dire con parti letterali diverse.

Ad esempio:

\quad x+3y-z^{2}

è la somma di tre monomi.

Ciascun monomio viene chiamato termine del polinomio.

Le costanti sono anche chiamate “coefficienti” e sono tutte elementi di uno stesso insieme numerico o di un anello.

Quando valutati in un opportuno dominio, i polinomi possono essere interpretati come funzioni.

Ad esempio, il polinomio

\quad p(x)=x^{2}-3x+2

definisce una funzione reale di variabile reale.

Quando questo ha senso, le radici del polinomio sono definite come l’insieme di quei valori che, sostituiti alle variabili, danno all’espressione polinomiale il valore nullo.

Ad esempio, $p(x)$ ha come radici i valori $1$ e $2$ , poiché sostituendoli nell’espressione del polinomio si ha

1^{2}-3\times 1+2=0

2^{2}-3\times 2+2=0

I polinomi sono oggetti matematici di fondamentale importanza, alla base soprattutto dell’algebra, ma anche dell’analisi e della geometria analitica.

NomenclaturaUn polinomio si dice:

ridotto in forma normale

, quando è stato semplificato, sono stati accorpati i suoi termini simili e sono stati eliminati gli eventuali monomi nulli. Ad esempio:

\quad x+3y+28z-2y-28z

ridotto in forma normale diventa

\quad x+y,

nullo

, se consta del solo zero.
monomio, binomio, trinomio, quadrinomio…

se è la somma rispettivamente di uno, due, tre, quattro… monomi.

omogeneo

se è la somma di monomi dello stesso grado. Ad esempio:
$\quad x^{2}+3y^{2}-xz$
è omogeneo di grado $2$ .
completo

rispetto ad una variabile, se osservando tutti i termini del polinomio di quella certa variabile e partendo dal termine di grado più elevato rispetto a quella variabile il polinomio contiene tutti i termini di grado inferiore fino a zero. Esempio di un polinomio completo rispetto a $z$ : $\quad xz^{3}+3yz^{2}+z-2$

Due polinomi sono considerati uguali se, dopo essere stati ridotti in forma normale, hanno gli stessi termini, a meno dell’ordine. Quindi i polinomi seguenti sono uguali:

x+3y+28z-2y-28z,\ x+y,\ y+x.

Il grado di un polinomio non nullo e ridotto in forma normale è il massimo grado dei suoi monomi, mentre il grado parziale rispetto ad una variabile è il grado risultante vedendo tutte le altre variabili come coefficienti. Quindi

\quad 2+xy+y

ha grado due, mentre ha gradi parziali uno rispetto sia a $x$ che a $y$ .

Si dicono coefficienti di un polinomio i coefficienti dei suoi singoli termini. Quindi i coefficienti di $\quad 2+xy+y$ sono rispettivamente $2$ , $1$ e $1$ : il coefficiente $1$ in un monomio è solitamente sottinteso.

Il termine noto di un polinomio ridotto in forma normale è l’unico monomio (se esiste) di grado zero, cioè non contenente variabili. Se non esiste un tale monomio, il termine noto è considerato generalmente inesistente o uguale a zero, secondo il contesto. Ad esempio, in

\quad x^{2}+y^{3}+x+5

il termine noto è l’ultimo monomio: $5$ .

Operazioni con i polinomiDue polinomi possono essere sommati, sottratti, e moltiplicati usando le usuali proprietà commutativa, associativa e distributiva delle operazioni di somma e prodotto. Ad esempio, se

\quad p(x)=x^{2}-x,

\quad q(x)=x+2,

allora la somma ed il prodotto di p e q sono rispettivamente

\quad p(x)+q(x)=(x^{2}-x)+(x+2)=x^{2}+2,

\quad p(x)q(x)=(x^{2}-x)(x+2)=x^{3}+2x^{2}-x^{2}-2x=x^{3}+x^{2}-2x.

Somme e prodotti di polinomi danno come risultato un nuovo polinomio.

Somma di due polinomiIl grado (degree) della somma (o differenza) di due polinomi è minore o uguale al polinomio di grado maggiore. È sempre uguale al massimo tra i due, quando i due polinomi hanno grado differente:

\deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))

\deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))

Esempi:

Il grado di $(x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1$ è 3. Si noti che 3 ≤ max(3, 2)
Il grado di $(x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x$ è 2. Si noti che 2 ≤ max(3, 3)

Prodotto di un polinomio per uno scalareIl grado del prodotto di un polinomio per un numero scalare (diverso da zero) è uguale al grado del polinomio:

\deg(cP)=\deg(P)

Esempio:

Il grado di $2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4$ è 2, che è appunto uguale al grado di $x^{2}+3x-2$ .

Si noti che questo non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello che contiene un divisore di zero. Ad esempio, in $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ , $\deg(1+2x)=1$ , ma $\deg(2(1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ . L’insieme dei polinomi aventi coefficienti da un dato campo F e grado minore o uguale a n, forma uno spazio vettoriale (questo insieme non è un anello, e non è chiuso, come mostrato in precedenza).

Moltiplicazione di due polinomiIl grado del prodotto di due polinomi definiti su un campo -(oggetto in cui sono definite le operazioni di somma e prodotto, con certe proprietà)- oppure su un dominio d’integrità, è pari alla somma dei gradi dei due polinomi:

\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)

Es.:

Il grado di $(x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x$ è $3+2=5$ .

Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ , $\deg(2x)+\deg(1+2x)=1+1=2$ , ma $\deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1$ .

Composizione di due polinomiIl grado della composizione di due polinomi $P$ e $Q$ a coefficienti non costanti è uguale al prodotto dei rispettivi gradi:

\deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)

Es.:

Se $P=(x^{3}+x)$ , $Q=(x^{2}+1)$ , allora $P\circ Q=P\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2$ , che ha grado d 6.

Si noti che ciò non è sempre vero per i polinomi definiti su un anello arbitrario. Ad esempio, in $\mathbf {Z} /4\mathbf {Z}$ , $\deg(2x)\deg(1+2x)=1\cdot 1=1$ , ma $\deg(2x\circ (1+2x))=\deg(2+4x)=\deg(2)=0$ .

Grado del polinomio zero

Possiamo affermare correttamente sia che il grado del polinomio zero è indefinito, sia che il grado del polinomio zero può essere definito con un numero negativo (per convenzione −1 o −∞).

Come qualsiasi valore costante, il valore zero può essere considerato come un polinomio (costante), detto polinomio-zero. Questo polinomio non ha termini che non siano nulli, e perciò, propriamente non ha un grado, vale a dire che il suo grado è indefinito.

Le proposizioni precedenti sul grado della somma, prodotto e composizione di polinomi non si applicano se anche uno dei due è un polinomio-zero..

Le formule valgono se si introducono alcune opportune estensioni. È pertanto utile definire il grado di un polinomio-zero, pari a meno infinito, −∞, e introdurre quindi queste regole aritmetiche.

\max(a,-\infty )=a,

a+-\infty =-\infty .

I seguenti esempi illustrano come questa estensione soddisfi quelle di somma, prodotto e composizione di due polinomi.:

Il grado della somma $(x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x$ è 3. Ciò soddisfa il risultato atteso, cioè che $3\leq \max(3,-\infty )$ .
Il grado della differenza $(x)-(x)=0$ è $-\infty$ . E, infatti, vale che: $-\infty \leq \max(1,1)$ .
Il grado del prodotto $(0)(x^{2}+1)=0$ è $-\infty$ . E, infatti, vale che: $-\infty =-\infty +2$ .

Riduzione delle variabiliIn un polinomio, è spesso utile considerare alcune variabili come costanti. Ad esempio, il polinomio

\quad p=x^{2}+y+2

può essere considerato anche come polinomio in $x$ soltanto, dando a $y$ il ruolo di un valore costante. Alternativamente, può essere visto come polinomio in $y$ soltanto. Le proprietà dei polinomi che ne risultano possono essere molto diverse tra loro: qui ad esempio $p$ ha grado $2$ rispetto a $x$ , e solo $1$ rispetto a $y$ . Ad esempio, il polinomio

\quad x^{2}y^{3}+z^{4}

è di grado $5$ , ma se visto soltanto nelle singole variabili $x$ o $y$ o $z$ ha grado rispettivamente $2$ , $3$ e $4$ .

Polinomi di una sola variabileUn polinomio generico con una sola variabile si può rappresentare con la seguente scrittura:

a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n},

con $a_{n}$ diverso da zero. Con questa scrittura, $a_{0}$ è il termine noto e $n$ è il grado. $a_{n}$ si dice coefficiente direttore.

Un tale polinomio è

monico, se $a_{n}=1$ ,
completo, se tutti gli $a_{i}$ sono diversi da zero, per $0\leq i\leq n$ .

Radici di un polinomio

Lo stesso argomento in dettaglio:

Radice (matematica).

Una radice di un polinomio $p(x)$ in una sola variabile è un numero $b$ tale che

p(b)=0,

cioè tale che, sostituito a $x$ , rende nulla l’espressione. Quindi se

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots +a_{n}x^{n},

il numero $b$ è radice se

p(b)=a_{0}+a_{1}b+a_{2}b^{2}+\ldots +a_{n}b^{n}=0.

Nel caso di polinomi a coefficienti reali l’insieme delle radici reali di un polinomio $p$ si può visualizzare sul piano cartesiano come l’intersezione del grafico della funzione polinomiale $y=p(x)$ con l’asse delle ascisse.

In un dominio, un polinomio di grado $n$ può avere al più $n$ radici distinte. Esistono polinomi senza radici reali, come ad esempio

x^{2}+1,

poiché $b^{2}+1>0$ per ogni $b$ reale. D’altra parte, per il teorema fondamentale dell’algebra ogni polinomio complesso ha esattamente $n$ radici complesse, contate con molteplicità.

Nella scuola vengono insegnate formule per trovare le radici dei polinomi di primo e secondo grado. Esistono formule analoghe per esprimere la radici di un polinomio di terzo e quarto grado in termini dei coefficienti, utilizzando solamente le quattro operazioni ed estrazioni di radice (la cosiddetta risoluzione per radicali). È stato invece dimostrato nella teoria di Galois che non esiste una formula generale di questo tipo per polinomi dal quinto grado in su.

°°°°°

Funzioni polinomiali

Sia $A$ un anello. A un polinomio

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},$

a coefficienti in $A$ si può associare una funzione polinomiale, che è la funzione da $A$ in sé definita da

$b\mapsto f(b)=a_{0}+a_{1}b+a_{2}b^{2}+\ldots +a_{n}b^{n},$

per $b\in A$ . Se $A$ è finito, allora polinomi diversi possono dare luogo alla stessa funzione. Per esempio se $A=\mathbb {Z} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$ è il campo con un numero primo $p$ di elementi, allora al polinomio nullo e al polinomio $x^{p}-x$ è comunque associata, per il piccolo teorema di Fermat, la funzione che manda ogni elemento di $A$ in zero. Lo stesso può valere se $A$ è infinito, ma non è un dominio, per esempio se $A$ è un’algebra esterna infinita, in cui vale $x^{2}=0$ per ogni $x\in A$ .

Se invece $A$ è un dominio infinito, allora vale il seguente principio d’identità dei polinomi, che afferma che a polinomi diversi sono associate funzioni polinomiali diverse (cioè la funzione sopra descritta che associa a un polinomio una funzione polinomiale è iniettiva):

due polinomi $p$ e $q$ a coefficienti in un dominio $A$ infinito tali che $p(x)=q(x)$ per ogni $x\in A$ sono uguali.

Questo dipende dal fatto che in un dominio un polinomio non nullo ha solo un numero finito di radici.

Negli esempi che seguono, fissiamo $A$ eguale al campo dei numeri reali. A seconda del grado,

un polinomio di grado

0

è una funzione costante,

un polinomio di grado

1

è una funzione lineare,

un polinomio di grado

2

è una funzione quadratica o conica,

un polinomio di grado

3

è una funzione cubica.

Esempi

Polinomio di grado 2: f(x) = x² – x – 2 = (x+1)(x-2)	Polinomio di grado 3: f(x) = x³/5 + 4x²/5 – 7x/5 – 2 = 1/5 (x+5)(x+1)(x-2)
Polinomio di grado 4: f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) + 0.5	Polinomio di grado 5: f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) + 2

DerivataUna funzione polinomiale a coefficienti reali

p(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +a_{n}x^{n},

è derivabile e la sua derivata è ancora un polinomio,

p'(x)=a_{1}+2a_{2}x+\ldots +na_{n}x^{n-1}.

Ragionando quindi induttivamente, si può quindi affermare che le funzioni polinomiali sono infinitamente derivabili (o lisce) e che la derivata (n+1)-esima di un polinomio di grado $n$ è la funzione nulla. In realtà esse sono anche funzioni analitiche.

°°°°°

Anello di polinomi

Lo stesso argomento in dettaglio:

Anello dei polinomi.

Dato un anello $A$ , il simbolo

A[x_{1},\ldots ,x_{n}]

denota l’insieme di tutti i polinomi nelle variabili $x_{1},\ldots ,x_{n}$ con coefficienti in $A$ . Ad esempio, $A$ può essere un campo come quello dei numeri reali o complessi.

L’insieme $A[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ risulta essere anch’esso un anello, l’anello dei polinomi in $n$ variabili con coefficienti in $A$ . Lo studio delle proprietà di questo anello è una parte importante dell’algebra e della geometria algebrica.

Se $A$ è un campo, l’anello dei polinomi è un’algebra su $A$ , e quando $n=1$ è anche un anello euclideo, nel senso che i polinomi possono essere divisi con quoziente e resto come i numeri interi (se $n>1$ questo non è vero poiché l’anello di polinomi non è un dominio ad ideali principali).

Esempi

$\mathbb {Z} [x]$ non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l’ideale $(2,x)$ generato dai polinomi $2$ e $x$ non è principale.
$\mathbb {R} [x,y]$ non è un dominio ad ideali principali, e quindi neanche un anello euclideo. Infatti l’ideale $(x,y)$ generato dai polinomi $x$ e $y$ non è principale.
$K[x]$ , se $K$ è un campo, è un dominio euclideo.
Il principio di identità dei polinomi vale solo su domini infiniti. Ad esempio, se $K$ è il campo finito con due elementi, cioè

K=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}

allora il polinomio

\quad f(x)=x+x^{2}

è tale che

f(x)=0

per ogni

x\in K

in (cioè

0

1

), benché non sia il polinomio nullo.

Derivata formale

Lo stesso argomento in dettaglio:

Algebra differenziale.

Il calcolo della derivata di un polinomio si estende come definizione di derivata (chiamata derivata formale) nel caso in cui il polinomio abbia coefficienti in un anello $A$ , anche in assenza del calcolo infinitesimale. Molte delle proprietà della derivata si estendono anche alla derivata formale.

Somme di potenze di radiciSiano

\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}

le n radici di un polinomio di grado

n

, e sia

s_{k}=\lambda _{1}^{k}+\ldots +\lambda _{n}^{k}

. Allora

se $1\leq k\leq n$ si ha che $s_{k}+a_{k-1}s_{k-1}+\ldots +a_{n-k+1}s_{1}+a_{n-k}\cdot n=0$
se $k>n$ si ha che $s_{k}+a_{n-1}s_{k-1}+\ldots +a_{1}s_{k-n+1}+a_{0}s_{k-n}=0$

Casi particolari

Caso particolare n=2

Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di secondo grado si può scrivere nella forma

x^{2}-Sx+P

dove

$S=\lambda _{1}+\lambda _{2}$
$P=\lambda _{1}\lambda _{2}$ .

Allora

$s_{1}=\lambda _{1}+\lambda _{2}=S$
$s_{2}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}=S^{2}-2P$

Caso particolare n=3Per le relazioni radici/coefficienti un polinomio di terzo grado si può scrivere nella forma

x^{3}-Sx^{2}+Qx-P

dove

$S=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}$
$Q=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}$
$P=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}$ .

Allora

$s_{1}=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}=S$
$s_{2}=\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}=S^{2}-2Q$
$s_{3}=\lambda _{1}^{3}+\lambda _{2}^{3}+\lambda _{3}^{3}=S^{3}-3SQ+3P$

°°°°°

Funzione razionale

In matematica, una funzione razionale è una funzione esprimibile come rapporto fra polinomi, in modo analogo ad un numero razionale che è un numero esprimibile come rapporto fra interi.

Definizione

Funzione razionale y = (x²-3x-2)/(x²-4)

Una funzione razionale in una variabile è una funzione del tipo:

f(x)={\frac {P(x)}{Q(x)))

dove $P(x)$ e $Q(x)$ sono due polinomi.

Ad esempio:

{\displaystyle f(x)={\frac {1+x-x^{2)){1-x^{3))))

è una funzione razionale a una variabile.

Una funzione è detta razionale intera quando al secondo membro figura un polinomio.

Per ottenere il valore della variabile dipendente $y$ , si svolgono operazioni costituite da somme, differenze e prodotti. Alla $x$ può quindi essere assegnato qualsiasi valore.

Una funzione è detta razionale fratta quando al secondo membro figura una frazione il cui numeratore e denominatore sono polinomi. In questo caso, per ottenere il valore della variabile dipendente $y$ , oltre alle operazioni costituite da somme, differenze e prodotti, occorre eseguire l’operazione di divisione. Alla $x$ può quindi essere assegnato qualsiasi valore che non annulli il denominatore.

Una funzione razionale può essere reale o complessa, a seconda che i coefficienti dei polinomi siano numeri reali o complessi. Più in generale, i coefficienti devono essere elementi di un campo $K$ (che può essere appunto $\R$ oppure ${\mathbb C}$ ).

Il dominio (anzi, più precisamente l’insieme di definizione) della funzione è l’insieme di tutti i valori $x$ di $K$ che non sono radici di $Q$ . Ovvero, tutti gli $x$ tali che il denominatore $Q(x)$ è diverso da zero. Infatti solo per questi valori ha senso dividere $P(x)$ per $Q(x)$ .

Ad esempio, la funzione razionale descritta sopra, se considerata sui numeri reali, è definita su tutto $\R$ meno il punto $x=1$ . Se considerata sui numeri complessi, è definita su tutto ${\mathbb C}$ meno le tre radici cubiche dell’unità

${\displaystyle x_{1}=1\quad x_{2}=e^{2\pi i/3}\quad x_{3}=e^{4\pi i/3))$

Per comodità, nella discussione che segue si suppone che i polinomi $P(x)$ e $Q(x)$ non abbiano radici in comune.

**Una funzione è irrazionale quando la variabile indipendente $x$ figura sotto segno di radice:**

se l’indice è pari il radicando deve essere positivo o nullo: il dominio è costituito da tutti i numeri reali diversi da quelli che rendono il radicando negativo;
se l’indice è dispari il radicando può essere anche negativo: il dominio è costituito dall’insieme dei numeri reali.

L’espressione “funzione razionale” è anche usata per descrivere un rapporto fra polinomi con più variabili, come ad esempio:

$f(x,y)={\frac {1+2x+y^{2)){y))$

Come sopra, la funzione è definita su tutti i punti di $K^{n}$ (dove $n$ è il numero di variabili) per cui il denominatore non si annulla. Tale insieme non è però generalmente un numero finito di punti: si tratta di una più generale varietà affine.

Asintoti

$La funzione razionale y = ( x 3 − 2 x ) / ( 2 ( x 2 − 5 ) ) {\displaystyle y=(x^{3}-2x)/(2(x^{2}-5))} ha due asintoti verticali ed uno obliquo.$

La funzione razionale

y=(x^{3}-2x)/(2(x^{2}-5))

ha due asintoti verticali ed uno obliquo.

Se considerata sui numeri reali, una funzione razionale può avere asintoti, che possono essere agevolmente individuati nel modo seguente.

Asintoti verticali: sono le rette ${\displaystyle x=c_{i))$ , dove ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{k))$ sono le radici del polinomio $Q(x)$ a denominatore.

Asintoti orizzontali: sono presenti se e solo se il grado di $Q(x)$ è maggiore o uguale al grado di $P(x)$ . Se hanno lo stesso grado l’asintoto orizzontale è la retta $y=k$ , dove $k$ è uguale al rapporto tra il coefficiente del termine di grado massimo di $P(x)$ e il coefficiente del termine di grado massimo di $Q(x)$ , altrimenti l’asintoto è la retta $y=0$ . Questo è infatti il limite della funzione per $x\to\infty$ . Quando il grado di $P(x)$ è maggiore del grado di $Q(x)$ il limite è infinito.

Asintoti obliqui: sono presenti se e solo se il grado di $P(x)$ è pari a quello di $Q(x)$ più uno. Il coefficiente angolare dell’asintoto è pari al rapporto fra i coefficienti dei termini di grado massimo dei due polinomi.

Poli

Se considerata sui numeri complessi, una funzione razionale presenta un polo su ogni radice di $Q(x)$ , di ordine pari all’ordine della radice. Una funzione razionale è quindi una particolare funzione meromorfa $f:{\widehat {\mathbb {C} ))\to {\widehat {\mathbb {C} ))$ definita sulla sfera di Riemann ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} ))=\mathbb {C} \cup \{\infty \))$ . Tra queste, le trasformazioni di Möbius:

$f(z)={\frac {az+b}{cz+d))$

giocano un ruolo importante in analisi complessa ed in geometria proiettiva. Sono le uniche funzioni meromorfe che inducono una corrispondenza biunivoca sulla sfera di Riemann.

Decomposizione in fratti semplici

La decomposizione in fratti semplici di una funzione razionale è la scrittura della frazione tramite un polinomio (che può essere nullo) sommato ad una o più frazioni con un denominatore più semplice.

Tale metodo fornisce un algoritmo che consente di valutare le primitive di una funzione razionale.

Per illustrare l’idea del procedimento, sia data una funzione razionale $R(x)=f(x)/g(x)$ , in cui $f$ e $g$ sono polinomi, e si consideri la fattorizzazione : $g(x)=g_{1}(x)\cdot g_{2}(x)\cdot \dots$ del denominatore.

Per ogni fattore che ha la forma : $(ax+b)^{n}$ si considerano le frazioni $A_{1}/(ax+b)^{1},A_{2}/(ax+b)^{2},\dots ,A_{n}/(ax+b)^{n}$ , mentre per ogni fattore che ha la forma : $(ax^{2}+bx+c)^{n}$ si considerano le frazioni:

{\frac {A_{1}x+B_{1)){(ax^{2}+bx+c)^{1))},{\frac {A_{2}x+B_{2)){(ax^{2}+bx+c)^{2))},\dots ,{\frac {A_{n}x+B_{n)){(ax^{2}+bx+c)^{n))}

Si ottiene così la scrittura:

R(x)={\frac {f(x)}{g(x)))={\frac {A_{1)){ax+b))+\dots +{\frac {A_{2}x+B_{2)){ax^{2}+bx+c))+\dots

e calcolando i coefficienti $A_{i}$ e $B_{i}$ si trova una decomposizione che consente, analizzandone ogni singolo termine, di integrare la frazione di partenza.

Essa conduce quindi $R$ ad un’espressione del tipo:

$\sum _{j}{\frac {f_{j}(x)}{g_{j}(x)))$

dove $f_{j}(x)$ e $g_{j}(x)$ sono polinomi di grado inferiore rispetto a $f$ e $g$ .

Se si applica la decomposizione fin dove è possibile si ottiene che il denominatore di ogni termine è una potenza di un polinomio non fattorizzabile e il numeratore è un polinomio di grado inferiore di quello del polinomio non fattorizzabile.°°°°°Funzione differenziabile

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria differenziale, una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata a meno di un resto infinitesimo da una trasformazione lineare in un intorno abbastanza piccolo di quel punto. Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, cioè se è differenziabile allora è derivabile nel punto poiché esistono e sono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali. Il concetto di differenziabilità permette di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e la differenziabilità di una funzione permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.Una funzione può essere differenziabile $k$ volte, e si parla in questo caso di funzione di classe $C^k$ . Una funzione differenziabile infinite volte è inoltre detta liscia. Nell’analisi funzionale le distinzioni fra le varie classi $C^k$ sono molto importanti, mentre in altri settori della matematica queste differenze sono meno tenute in considerazione, e spesso si usa impropriamente il termine “funzione differenziabile” per definire una funzione liscia.Definizione

$Una funzione da R {\displaystyle \mathbb {R} } in R {\displaystyle \mathbb {R} } è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.$

Una funzione da

\R

\R

è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.

Una funzione:

{\mathbf {F))\colon U\rightarrow \mathbb{R} ^{m}

definita su un insieme aperto dello spazio euclideo $\R^n$ è detta differenziabile in un punto $\mathbf{x}_0$ del dominio se esiste una applicazione lineare:

{\mathbf {L))\colon \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}

tale che valga l’approssimazione:

\mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = \mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} + \mathbf r(\mathbf{h})

dove $\mathbf r(\mathbf{h})$ si annulla, con ordine di infinitesimo maggiore di 1, all’annullarsi dell’incremento $\mathbf{h}$ . Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:

\lim_{\mathbf{h}\to \mathbf{0)) \frac { \mathbf{F}(\mathbf{x}_0+\mathbf{h})-\mathbf{F}(\mathbf{x}_0)-\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} } {\begin{Vmatrix} \mathbf{h} \end{Vmatrix)) = \mathbf{0}

Se la funzione $\mathbf{F}$ è differenziabile in $\mathbf{x}_0$ , l’applicazione $\mathbf{L}$ è rappresentata dalla matrice jacobiana $J_F \$ .Il vettore:

\mathbf{L}(\mathbf{x}_0)\mathbf{h} =\mathrm{d}\mathbf{F}(\mathbf{x}_0) = J_F \mathbf h

si chiama differenziale (esatto) di $\mathbf{F}$ in $\mathbf{x}_0$ ed $\mathbf{L}(\mathbf{x_0})$ viene detto derivata o anche derivata totale della funzione $\mathbf{F}$ .La funzione $\mathbf{F}$ è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.^[2] In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue. Se inoltre l’applicazione che associa $\mathbf{x}$ a $\mathbf{L} (\mathbf{x})$ è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.Nel caso di una funzione $f$ di una variabile definita su un intervallo aperto dell’asse reale, essa è detta differenziabile in ${x}_0$ se esiste un’applicazione lineare ${L}:\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ tale che:

{\displaystyle \lim _((h}\to {0)){\frac ((f}({x}_{0}+{h})-{f}({x}_{0})-{L}({x}_{0}){h)){h))={0))

ed in tal caso si ha:

L=f'(x).

°°°°°

Matrice jacobianaSe una funzione è differenziabile in un punto allora tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistono, ma non vale il viceversa. Tuttavia, se tutte le derivate parziali esistono e sono continue in un intorno del punto allora la funzione è differenziabile nel punto, ovvero è di classe $C^1$ .Dette ${\displaystyle \{\mathbf {e} _{j}\}_{1\leq j\leq n))$ e ${\displaystyle \{\mathbf {u} _{i}\}_{1\leq i\leq m))$ le basi canoniche di $\R^n$ e $\mathbb{R} ^{m}$ rispettivamente, si ha:

\mathbf {L} (\mathbf {x} )\cdot \mathbf {e} _{j}=\sum _{i=1}^{m}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j))}\cdot \mathbf {u} _{i}.

L’applicazione lineare $\mathbf L(\mathbf x_0)$ è quindi rappresentata nelle basi canoniche da una matrice $m\times n$ , detta matrice jacobiana $J_F$ di $F$ in $\mathbf x_0$ .Il $j$ -esimo vettore colonna della matrice jacobiana è dato dalla precedente relazione, e si ha:^[5]

\mathbf {L} (\mathbf {x} )\mathbf {h} =\sum _{i=1}^{m}\left[\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial F_{i}(\mathbf {x} )}{\partial x_{j))}h_{j}\right]\mathbf {u} _{i}=J_{F}\mathbf {h} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial F_{1)){\partial x_{1))}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{1)){\partial x_{n))}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\dfrac {\partial F_{m)){\partial x_{1))}&\cdots &{\dfrac {\partial F_{m)){\partial x_{n))}\end{bmatrix))\mathbf {h} .

A seconda delle dimensioni $m$ e $n$ , il jacobiano ha diverse interpretazioni geometriche:

Se $m = 1$ , la matrice jacobiana si riduce ad un vettore $n$ -dimensionale, chiamato gradiente di $F$ in $\mathbf x_0$ . In tal caso si ha:

L(\mathbf {x} )=\nabla F(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial F(\mathbf {x} )}{\partial x_{j))}\mathbf {e} _{i}\qquad \lim _{\mathbf {h} \to \mathbf {0} }{\frac ((F}(\mathbf {x} _{0}+\mathbf {h} )-{F}(\mathbf {x} _{0})-\nabla F(\mathbf {x} _{0})\cdot \mathbf {h} }{\begin{Vmatrix}\mathbf {h} \end{Vmatrix))}={0}.

Il gradiente indica la direzione di “massima pendenza” del grafico della funzione nel punto.

Se $n = 1$ , la funzione $F$ parametrizza una curva in $\mathbb R^m$ , il suo differenziale è una funzione che definisce la direzione della retta tangente alla curva nel punto.

Se $m = n = 1$ , la condizione di differenziabilità coincide con la condizione di derivabilità.
La matrice jacobiana si riduce ad un numero, pari alla derivata.

Differenziabilità in analisi complessaSia $U$ un sottoinsieme aperto del piano complesso $\mathbb {C}$ . Una funzione $f\colon U\to \mathbb {C}$ è differenziabile in senso complesso ( $\mathbb C$ -differenziabile) in un punto $z_0$ di $U$ se esiste il limite:

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

Il limite va inteso in relazione alla topologia del piano. In altre parole, per ogni successione di numeri complessi che convergono a $z_0$ il rapporto incrementale deve tendere allo stesso numero, indicato con $f'(z_{0})$ . Se $f$ è differenziabile in senso complesso in ogni punto $z_0$ di $U$ , essa è una funzione olomorfa su $U$ . Si dice inoltre che $f$ è olomorfa nel punto $z_0$ se è olomorfa in qualche intorno del punto, e che $f$ è olomorfa in un insieme non aperto $A$ se è olomorfa in un aperto contenente $A$ .

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa $f(z) \equiv f(x + iy)=u(x,y)+ i \, v(x,y)$ è olomorfa allora $u$ e $v$ possiedono derivata parziale prima rispetto a $x$ e $y$ e soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger $\partial f / \partial\overline{z}$ di $f$ rispetto al complesso coniugato $\overline{z}$ di $z$ è nulla.

Proprietà delle funzioni differenziabili

Una funzione differenziabile in un punto $\mathbf x_0$ è continua in $\mathbf x_0$ . Infatti:

\lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)= \lim_{\mathbf h\to \mathbf 0} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix))\frac {F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-A \mathbf h} {\begin{Vmatrix} \mathbf h \end{Vmatrix))+ {A \mathbf h} = \mathbf 0

per la definizione data di funzione differenziabile e per la continuità delle funzioni lineari.

Se $F\colon \mathbb{R} ^{n}\rightarrow \mathbb{R} ^{m}$ è una funzione differenziabile in $\mathbf x_0$ , allora essa ammette tutte le derivate parziali in $\mathbf x_0$ . Viceversa non è sempre vero che l’esistenza delle derivate parziali in un punto garantisca anche la differenziabilità nel punto. Ad esempio, la funzione reale di due variabili reali:

F(x,y)=\left\{ \begin{matrix} 0 & (x,y)=(0,0) \\ \frac{xy^2}{x^2+y^4} & (x,y)\neq (0,0) \end{matrix} \right.

ammette derivate parziali ovunque, ma il fatto che in

(0,0)

la funzione non sia continua impedisce la sua differenziabilità in

(0,0)

Tuttavia, se

F

è di classe

C^1

in un intorno di

\mathbf x_0

, cioè se esistono tutte le derivate parziali di

F

e queste sono funzioni continue, allora

F

è differenziabile in

\mathbf x_0

. Vale quindi, se

\Omega \subseteq \mathbb{R} ^{n}

è aperto, che

F\in C^1(\Omega)

implica la differenziabilità in

\Omega

che implica a sua volta che

F\in C^0(\Omega)

ApprossimazioniDa un punto di vista informale, una funzione differenziabile è una funzione tale da apparire sempre più simile ad una trasformazione affine quando viene vista ad ingrandimenti sempre maggiori. La trasformazione affine che approssima $F$ in un intorno di $\mathbf x_0$ è la funzione:

\mathbf x \mapsto F(\mathbf x_0)+\mathrm{D}F(\mathbf x_0)(\mathbf x -\mathbf x_0)

Per verificarlo, si consideri un intorno di $\mathbf x_0$ di raggio $\delta$ .

Se si effettua uno zoom sul grafico di $F$ in modo che l’intorno ci appaia di raggio $1$ , la distanza che si vede tra la funzione $F$ e la funzione affine che la approssima in corrispondenza del punto $\mathbf x=\mathbf x_0+ \mathbf h$ è pari a:

\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta

dove la divisione per $\delta$ corrisponde al riscalamento dovuto allo “zoom” che si sta operando sull’intorno. Quindi la massima distanza che si vede nell’intorno riscalato è:

\sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-\mathrm{D}F(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta

ora si può dimostrare che dalla definizione di differenziabilità di $F$ si deduce che:

\lim_{\delta \to 0} \sup_{\left \| \mathbf h \right \|\leq \delta}\frac{F(\mathbf x_0+ \mathbf h)-F(\mathbf x_0)-DF(\mathbf x_0) \mathbf h} \delta=0

il che significa che quello che si osserva ingrandendo progressivamente il grafico di $F$ e della sua approssimazione affine intorno a $\mathbf x_0$ è che questi tendono a coincidere. Viceversa, la relazione implica direttamente la differenziabilità di $F$ .

°°°°°

Funzione liscia

In matematica, una funzione liscia in un punto del suo dominio è una funzione che è differenziabile infinite volte nel punto, o equivalentemente, che è derivabile infinite volte nel punto rispetto ad ogni sua variabile (per il teorema del differenziale infatti, una funzione è differenziabile in un punto se le sue derivate parziali sono ivi continue). Se una funzione $f$ è liscia in tutti i punti di un insieme $A$ , si dice che essa è di classe $C^{\infty}$ su $A$ , e si scrive $f\in C^{\infty }(A)$ .

Funzioni lisce e funzioni analitiche nel caso reale

Sia $f:D\to \mathbb{R}$ una funzione reale di variabile reale definita su un dominio $D\subseteq \mathbb{R}$ , e si supponga che $f$ sia liscia sull’intervallo aperto $I\subseteq D$ . Preso allora un punto $x_{0}\in I$ , è possibile approssimare la funzione attorno a quel punto grazie al teorema di Taylor:

f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^(((n)))(x_{0})}{n!))(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})

dove la quantità $o((x-x_{0})^{n})$ è un resto tale che:

\lim _((x\to x_{0))}{\frac {o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n))}=0

Poiché la funzione è liscia, questa approssimazione vale per ogni $n$ . In particolare, è possibile valutare la serie di Taylor della funzione prendendo il limite per $n\to +\infty$ :

T_{f}(x):=f(x_{0})+\sum _((k=1))^((+\infty ))((\frac {f^(((k)))(x_{0})}{k!))(x-x_{0})^{k))

A differenza di quanto ci si potrebbe aspettare, questa serie in generale non converge a $f(x)$ : se la convergenza (puntuale) è verificata, si dice che $f$ è analitica in $x_0$ , e se $A$ è l’insieme dei punti in cui $f$ è analitica si scrive $f\in C^((\omega ))(A)$ . Poiché ogni funzione analitica è in particolare liscia, vale la relazione insiemistica:

C^((\omega ))(A)\subset C^((\infty ))(A)

Un discorso analogo può essere fatto per le funzioni a più variabili reali.

Esempi

La funzione esponenziale è una funzione liscia su tutto l’asse reale, avendo derivate di qualsiasi ordine, ciascuna multipla di se stessa:

f(x)=e^((\alpha x))\Rightarrow f^(((n)))(x)=\alpha ^{n}e^((\alpha x))\ \ \forall x\in \mathbb{R}

Si dimostra che tale funzione è anche analitica su tutto l’asse reale, ossia la sua serie di Taylor converge a

e^((\alpha x))

per ogni

x

reale.

La seguente funzione definita a tratti:

Una funzione liscia non è necessariamente analitica.

f(x)={\begin{cases}e^(({\frac {1}{x^{2}-1))))&{\mbox{ se ))|x|<1,\\0&{\mbox{ altrove ))\end{cases))

è un esempio di funzione liscia ma non analitica sull’intero asse reale. Infatti, si consideri ad esempio il punto

x=1

: tutte le derivate destre della funzione in quel punto sono banalmente nulle, mentre le derivate sinistre valgono:

f^(((n))){(1)}=\lim _((x\to 1^{-))}{e^(({\frac {1}{x^{2}-1)))){\frac {d^{n)){dx^{n))}{(1-x^{2})^((-1))))=0

poiché l’esponenziale decresce più rapidamente di qualunque funzione algebrica. Dal momento che tutte le derivate sinistre e destre combaciano, la funzione è infinitamente derivabile (si dice anche che “si incolla bene”) in

x=1

. Tuttavia, si vede anche che la serie di Taylor della funzione scritta attorno a tale punto risulta identicamente nulla, mentre

f

è non nulla in qualunque intorno sinistro di

x=1

; la funzione non è perciò analitica in tale punto.

Funzioni lisce complesse

Nel caso di funzioni complesse di variabile complessa, la liscezza in un punto (o su un insieme) discende direttamente dall’olomorfia della funzione in tale punto (o su tale insieme). Per tale motivo si parla indifferentemente di “liscezza” o di “derivabilità” di una funzione complessa. In effetti, è possibile dimostrare che una funzione complessa olomorfa su un dominio è ivi addirittura analitica (vedi Equazioni di Cauchy-Riemann).

Definizione per le varietà differenziabili

Siano $M$ e $N$ varietà differenziabili e $p$ un punto di $M$ . Una funzione $F:M\rightarrow N$ è detta differenziabile in $p$ (oppure liscia o di classe $C^\infty$ in $p$ ) se esistono una carta $(U,\phi )$ in $p$ ed una carta $(V,\psi )$ in $F(p)$ tali che $F(U)\subset V$ e la composizione:

\psi \circ \ F\circ \phi ^((-1)):\phi (U)\rightarrow \psi (V)

sia liscia in un intorno di $\phi (p)$ . Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte $(U',\phi ')$ e $(V',\phi ')$ la composizione $\psi '\circ \ F\circ \phi '^((-1))$ rimane liscia in un intorno di $\phi (p)$ .

$F$ è differenziabile (liscia, di classe $C^\infty$ ) se lo è per ogni $p$ in $M$ . Se inoltre $F$ è invertibile con inversa liscia allora $F$ si dirà un diffeomorfismo. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della topologia differenziale.

Costruire funzioni lisce tramite restrizioni

È spesso utile costruire funzioni lisce che sono nulle al di fuori di un dato intervallo, ma non all’interno dello stesso (funzioni a supporto compatto). Tale proprietà non si può mai avere per una serie di potenze^[1], il che fornisce un’ulteriore dimostrazione del divario tra le funzioni lisce e funzioni analitiche.

°°°°°

Funzione analitica

In matematica, una funzione analitica è una funzione localmente espressa da una serie di potenze convergente. Spesso il termine “funzione analitica” è utilizzato come sinonimo di funzione olomorfa, sebbene quest’ultimo si utilizzi più spesso per le funzioni complesse (tutte le funzioni olomorfe sono funzioni analitiche complesse e viceversa).^[1] Una funzione è analitica se e solo se, preso comunque un punto appartenente al dominio della funzione, esiste un suo intorno in cui la funzione coincide col suo sviluppo in serie di Taylor.

Le funzioni analitiche possono essere viste come un ponte fra i polinomi e le funzioni generiche. Esistono le funzioni analitiche reali e le funzioni analitiche complesse: simili in alcuni aspetti, differenti in altri. Funzioni di questo tipo sono infinitamente derivabili, ma le funzioni analitiche complesse esibiscono proprietà che generalmente non appartengono alle funzioni analitiche reali.

DefinizioneUna funzione $f$ è analitica su un insieme aperto $D$ della retta reale se per ogni $x_0$ in $D$ si può scrivere $f(x)$ come:^[2]

f(x)=\sum _((n=0))^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots

dove i coefficienti $a_{0},a_{1},\cdots$ sono numeri reali e la serie è convergente in un intorno di $x_0$ .

In alternativa, una funzione analitica è una funzione infinitamente derivabile, ossia una funzione liscia, tale che la sua serie di Taylor

T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

in ogni punto $x_0$ appartenente al dominio, converge a $f(x)$ per $x$ in un intorno di $x_0$ .

L’insieme di tutte le funzioni analitiche reali appartenenti ad un dato insieme $D$ si denota di solito come $C^\omega(D)$ .

Una funzione $f$ definita in un qualche sottoinsieme della retta reale, si dice essere reale analitica al punto $x$ se esiste un intorno $D$ di $x$ nel quale $f$ è reale analitica.

La definizione di funzione analitica complessa è ottenuta sostituendo dappertutto “reale” con “complesso.

Proprietà delle funzioni analiticheTra le principali proprietà che caratterizzano le funzioni analitiche ci sono le seguenti:

La somma, il prodotto e la composizione di funzioni analitiche sono analitiche.
Il reciproco di una funzione analitica che non si annulla mai, è analitico, così come l’inversa di una funzione analitica invertibile la cui derivata non è mai nulla.
Tutti i polinomi sono funzioni analitiche. Per un polinomio, l’espansione in serie di potenze contiene solo un numero finito di termini non nulli.
Tutte le funzioni analitiche sono lisce.

Un polinomio non può valere zero in troppi punti a meno che non sia il polinomio nullo (più precisamente, il numero di zeri è al massimo pari al grado del polinomio). Un’affermazione simile ma più debole vale per le funzioni analitiche. Se l’insieme degli zeri di una funzione analitica $f$ ha un punto di accumulazione all’interno del suo dominio, allora $f$ è nulla su tutta la componente connessa del dominio che contiene il punto di accumulazione.

Più formalmente questa affermazione può essere espressa nel modo seguente. Se $(r_n)$ è una successione di numeri distinti tale che $f(r_n)=0$ per ogni $n$ e questa successione converge a un punto $r$ nel dominio $D$ , allora $f$ è identicamente zero nella componente connessa di $D$ contenente $r$ . Inoltre, se tutte le derivate di una funzione analitica sono nulle in un punto, vale ancora la conclusione precedente.

Queste affermazioni implicano che le funzioni analitiche siano ancora abbastanza rigide, nonostante il loro maggior numero di gradi di libertà rispetto ai polinomi.

Analiticità e derivabilità

Tutte le funzioni analitiche (reali o complesse) in un punto $x_0$ sono infinitamente derivabili in $|x-x_0|<R$ , dove $R$ è il raggio di convergenza della serie. Inoltre, si dimostra che nella stessa regione la derivata della funzione coincide con la serie delle derivate (la serie derivata), ovvero se:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}(x-x_{0})^{k))

allora:

f^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{ka_{k}(x-x_{0})^{k-1))

Allo stesso modo, essendo il limite uniforme di una successione di funzioni continue (polinomi), ogni funzione analitica è continua (e quindi integrabile) su tutto il suo insieme di convergenza, e la sua primitiva è la serie primitiva. In altre parole, se:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}x^{k))

si ha:

\int f(x)dx=\sum _{k=0}^{\infty }((\frac {a_{k)){k+1))x^{k+1))

Non tutte le funzioni reali lisce sono analitiche; ad esempio la funzione definita come:

f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{se }x>0 \\ 0&\text{se }x\le0 \end{cases}

è liscia in $x=0$ ma non è analitica in 0. Questo può essere espresso dall’implicazione (non invertibile):

f\in C^{\omega }(E)\Rightarrow f\in C^{\infty }(E)\quad {\text{se ))f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}

La situazione è molto diversa nel caso delle funzioni analitiche complesse. Si può dimostrare che tutte le funzioni olomorfe su un insieme aperto sono analitiche. Di conseguenza, in analisi complessa, il termine “funzione analitica” è un sinonimo di funzione olomorfa.

Condizione sufficiente

Se una funzione reale di variabile reale liscia definita su un aperto ha tutte le derivate maggiorabili dai termini di una successione geometrica (di ragione fissata) su un intorno di un dato punto, allora la funzione è analitica in quell’intorno. Formalmente, sia $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ ed appartenente a $C^{\infty}(a,b)$ e sia $x_0 \in (a,b)$ . Se esistono $\Lambda, M, \delta > 0$ tali che:

\left| f^{(k)}(x) \right| \le \Lambda M^{k} \qquad \forall k \ge 0 \quad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)

allora:

f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k} \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)

In particolare, se una funzione ha tutte le derivate limitate da una stessa costante $\Lambda$ su un intervallo, allora è ivi analitica (basta porre $M = 1$ nell’enunciato precedente). Questo mostra che funzioni come seno, coseno, esponenziale^[3], funzioni iperboliche possono essere espresse in termini di serie di potenze sull’intero asse reale:

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots

Dimostrazione

Dato che la funzione $f$ è liscia, è possibile scriverne la formula di Taylor arrestata all’ordine $n - 1$ (resto secondo Lagrange):

f(x) = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k} + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x - x_0)^{n} \quad \xi \in (x_0 - x, x_0 + x)

Se $x$ si muove nell’intorno di $x_0$ di raggio $\delta$ si può usare la maggiorazione (in valore assoluto) garantita dall’ipotesi:

\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k} \right| = \left| \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x - x_0)^{n} \right| \le \frac{\Lambda M^{n)){n!}\delta^{n} = \Lambda \frac{(M\delta)^{n)){n!} \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0

cioè la serie converge puntualmente a $f$ sull’intervallo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ , Q.E.D.

Funzioni analitiche reali e complesseLe funzioni analitiche reali e complesse hanno importanti differenze, come si può vedere dalla loro differente relazione con la derivabilità. Le funzioni analitiche complesse sono più rigide in molti sensi.Secondo il teorema di Liouville, ogni funzione analitica complessa limitata definita sull’intero piano complesso è costante. Questa affermazione è chiaramente falsa per una funzione analitica reale, come si vede da

f(x)=\frac{1}{x^2+1}

Inoltre, se una funzione analitica complessa è definita in una palla aperta intorno a un punto $x_0$ , la sua espansione in serie di potenze in $x_0$ è convergente nell’intera palla. Questo non è vero in generale per le funzioni analitiche reali. Una palla aperta nel piano complesso è un disco bidimensionale, mentre sulla retta reale è un intervallo.

Ogni funzione analitica reale su un certo insieme aperto della retta reale può essere estesa a una funzione analitica complessa su un certo insieme aperto del piano complesso. Comunque non tutte le funzioni analitiche reali definite sull’intera retta reale possono essere estese a una funzione complessa definita sull’intero piano complesso. La funzione $f(x)$ definita nel paragrafo precedente è un controesempio.

Funzioni analitiche in più variabili

Si possono definire le funzioni analitiche in più variabili tramite le serie di potenze in queste variabili. Le funzioni analitiche in più variabili hanno alcune delle proprietà delle funzioni analitiche a una variabile. Comunque, soprattutto nel caso delle funzioni analitiche complesse, si trovano nuovi e interessanti fenomeni in più dimensioni.

°°°°°

Funzione olomorfa

In matematica, una funzione olomorfa (composizione delle parole greche “holos”, tutto e “morphos“, forma; in riferimento alla capacità della derivata di rimanere uguale a sé stessa nelle trasformazioni^[1]) è una funzione definita su un sottoinsieme aperto del piano dei numeri complessi ${\mathbb C}$ con valori in ${\mathbb C}$ che è differenziabile in senso complesso in ogni punto del dominio. Le funzioni olomorfe sono tra gli oggetti principali dell’analisi complessa. Possono essere scritte ovunque come serie di potenze convergenti ovvero sono analitiche, ed il termine “funzione analitica” è utilizzato come sinonimo di funzione olomorfa.^[2]

La differenziabilità in senso complesso di una funzione complessa è una condizione molto più stringente della differenziabilità reale in quanto implica che la funzione sia infinite volte differenziabile e che possa essere completamente individuata dalla sua serie di Taylor. In alcuni testi le funzioni olomorfe (e le loro derivate) definite su un aperto sono dette funzioni analitiche.

In tale contesto si definisce biolomorfismo fra due insiemi aperti di ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n))$ una funzione olomorfa che sia iniettiva, suriettiva, e la cui inversa è anch’essa olomorfa.

Definizione

Sia $U$ un sottoinsieme aperto del piano complesso $\mathbb C$ . Una funzione $f:U\to\mathbb C$ è differenziabile in senso complesso ( $\mathbb C$ -differenziabile) in un punto $z_0$ di $U$ se esiste il limite:^[3]

f'(z_0) = \lim_{z \rightarrow z_0} {f(z) - f(z_0) \over z - z_0 }

La funzione $f$ è olomorfa in $U$ se è differenziabile in senso complesso in ogni punto $z_0$ dell’aperto $U$ . Si dice inoltre che $f$ è olomorfa nel punto $z_0$ se è olomorfa in qualche intorno del punto e più in generale che $f$ è olomorfa in un insieme non aperto $A$ se è olomorfa in un aperto contenente $A$ .

Equazioni di Cauchy-Riemann

La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa

f(z)=f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)

è olomorfa allora $u$ e $v$ possiedono derivate parziali prime rispetto a $x$ e $y$ , e tali derivate soddisfano le equazioni di Cauchy-Riemann:

\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \qquad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\,

In modo equivalente, la derivata di Wirtinger $\partial f / \partial\overline{z}$ di $f$ rispetto al complesso coniugato $\overline{z}$ di $z$ è nulla.

Proprietà di baseRelazione con la differenziabilità

Tramite l’identificazione standard di ${\mathbb C}$ con ${\mathbb R}^{2}$ , una funzione olomorfa è in particolare una funzione differenziabile da un aperto di ${\mathbb R}^{2}$ in ${\mathbb R}^{2}$ . Non è però vero l’opposto: una funzione differenziabile non è necessariamente olomorfa. Le equazioni di Cauchy-Riemann descrivono una condizione necessaria e sufficiente affinché una funzione differenziabile sia olomorfa.

Operazioni

Le usuali regole di derivazione definite solitamente in ambito reale restano valide nel campo complesso.^[3]

Mappa conforme

Lo stesso argomento in dettaglio:

Mappa conforme e Immagini conformi.

Una funzione olomorfa avente derivata sempre diversa da zero è una mappa conforme, una mappa che non cambia gli angoli (ma può cambiare aree e lunghezze).

Infatti una funzione olomorfa con derivata non nulla è una funzione localmente approssimabile da una funzione lineare complessa del tipo

$f(z)=az$

per qualche numero complesso $a\neq 0$ . Le mappe lineari di questo tipo sono conformi; infatti, scrivendo $a=re^((i\theta ))$ , si ottiene

$f(z)=re^((i\theta ))z$

e quindi la moltiplicazione per $a$ è geometricamente la composizione di una rotazione di angolo $\theta$ e di una omotetia di fattore $r$ : entrambe queste operazioni sono mappe conformi.

Esempi Funzioni intere

Lo stesso argomento in dettaglio:

Funzioni intere.Tutte le funzioni polinomiali nella variabile complessa $z$ con coefficienti complessi sono olomorfe sull’intero ${\mathbb C}$ , cioè sono funzioni intere.

Sono funzioni intere anche la funzione esponenziale complessa e le funzioni trigonometriche nella $z$ . (In effetti le funzioni trigonometriche sono esprimibili come composizioni di varianti della funzione esponenziale attraverso la formula di Eulero).

Funzioni non intere

La funzione $f(z)=1/z$ è olomorfa sul piano complesso privato dell’origine:

{\mathbb C}\setminus \{0\}

Il ramo principale della funzione logaritmo $\ln(z)$ è olomorfo sul piano complesso privato del semiasse reale negativo:

{\mathbb C}\setminus \{x,y\in \mathbb{R} \ |\ y=0,x<0\}

La funzione radice quadrata può essere definita come

{\sqrt {z))=e^(({\frac {1}{2))\ln z))

e di conseguenza è olomorfa in tutti i punti del piano complesso nei quali lo è la funzione logaritmo.

Funzioni non olomorfeGli esempi base di funzioni complesse non olomorfe sono la coniugazione complessa, il passaggio alla parte reale e la funzione valore assoluto.

Funzioni analiticheContrariamente a quanto accade per le funzioni derivabili in ambito reale, una funzione olomorfa è automaticamente derivabile infinite volte^[4]. La funzione è anche localmente espressa da una serie di potenze convergente, ovvero è analitica: per ogni punto

z_{0}

del dominio esiste un

r>0

tale che la propria serie di Taylor

f(z)=\sum _((n=0))^{\infty }{\frac {f^(((n)))(z_{0})}{n!))(z-z_{0})^{n}

centrata in $z_0$ è convergente sul disco aperto di raggio $r$ centrato in $z_0$

\Delta =\{z\ |\ |z-z_{0}|<r\}

e coincide con $f$ su questo disco. In altre parole, una funzione olomorfa è localmente esprimibile come serie di potenze.

La serie di Taylor può convergere su un disco più grande, non necessariamente contenuto nel dominio: questo accade ad esempio nella funzione logaritmo definita sopra, qualora si prenda un punto $z_0$ vicino al semiasse reale. Questo fenomeno è chiamato prolungamento analitico.

Formula integrale di CauchyLa formula integrale di Cauchy è uno strumento molto potente in analisi complessa, che non ha analogie nell’analisi reale. Tale formula mette in relazione il valore di una funzione in un punto con un integrale lungo una curva che lo racchiude.

Teorema di Liouville

Lo stesso argomento in dettaglio:

Teorema di Liouville (analisi complessa).

Il teorema di Liouville asserisce che se una funzione intera ha modulo limitato su tutto il piano complesso allora è costante.

Funzioni olomorfe in più variabiliUna funzione complessa di più variabili è una funzione del tipo

f:A\to {\mathbb C}^{m}

definita su un aperto $A$ di ${\mathbb C}^{n}$ . Questa è olomorfa in un punto se è localmente sviluppabile (all’interno di un polidisco, cioè all’interno di un prodotto cartesiano di dischi centrato nel punto) come serie di potenze convergente. Si osserva che questa condizione è più forte delle equazioni di Cauchy-Riemann; in effetti essa può essere espressa nella forma seguente:

Una funzione di più variabili complesse a valori complessi è olomorfa se e solo se soddisfa le equazioni di Cauchy-Riemann ed è localmente a quadrato sommabile.

BiolomorfismiUn biolomorfismo fra due insiemi aperti

A

B

{\mathbb C}^{n}

è una funzione olomorfa

f:A\to B

che è iniettiva, suriettiva, e la cui inversa è anch’essa olomorfa. In altre parole, un biolomorfismo è un isomorfismo nella categoria dell’analisi complessa.Si dimostra in realtà che una funzione iniettiva è sempre un biolomorfismo sulla sua immagine. Di conseguenza, una funzione olomorfa biunivoca è automaticamente un biolomorfismo.

°°°°°

Funzione antiolomorfa

In matematica, le funzioni antiolomorfe (chiamate anche funzioni antianalitiche) sono una famiglia di funzioni strettamente collegate alle funzioni olomorfe ma distinte da quest’ultime.

Una funzione $f$ definita in un insieme aperto $A$ nel piano complesso è detta antiolomorfa se è derivabile in senso reale (vale a dire, se $\Re (f)$ e $\Im (f)$ sono funzioni reali derivabili) e la sua derivata rispetto a $z$ è identicamente nulla in $A$ . Questa definizione si contrappone ad una delle definizioni equivalenti di funzione olomorfa, dove viene richiesto che $f$ sia derivabile in senso reale e la sua derivata rispetto a ${\bar {z))$ sia nulla.

Dalla relazione ${\frac {\overline {\partial f)){\partial z))={\frac {\partial {\bar {f))}{\partial {\bar {z))))$ segue che $f$ è antiolomorfa se e solo se ${\bar {f))$ è olomorfa.

Osserviamo che se $g(z)$ è una funzione olomorfa in un insieme aperto $D$ , allora $f(z):=g({\bar {z)))$ è una funzione antiolomorfa in ${\bar {D))$ , dove ${\bar {D))$ è la riflessione rispetto all’asse x dell’insieme $D$ ; in altre parole, ${\bar {D))$ è l’insieme dei complessi coniugati degli elementi di $D$ . Quindi ogni funzione antiolomorfa può essere ottenuta in questo modo partendo da una funzione olomorfa. Ciò implica che una funzione è antiolomorfa se e solo se può essere espansa in serie di potenze nella variabile ${\bar {z))$ in un intorno di ogni punto del suo dominio.

Se una funzione è sia olomorfa che antiolomorfa allora è costante in ogni componente connessa del suo dominio. Per definizione, una funzione che dipenda sia da $z$ che da ${\bar {z))$ non può essere olomorfa né antiolomorfa.

°°°°°

Funzione meromorfa

In matematica, in particolare in analisi complessa, si definisce funzione meromorfa su un sottoinsieme aperto ${\mathcal {D))$ del piano complesso una funzione che è olomorfa su tutto ${\mathcal {D))$ ad esclusione di un insieme di punti isolati che sono poli della funzione stessa.

Ogni funzione meromorfa su ${\mathcal {D))$ può essere espressa come rapporto di due funzioni olomorfe (con la funzione denominatore diversa dalla costante 0) definite sull’intero ${\mathcal {D))$ : i poli della funzione meromorfa si ritrovano allora come zeri del denominatore.

La funzione Gamma è meromorfa nell’intero piano complesso

Da un punto di vista algebrico, l’insieme delle funzioni meromorfe sopra un dominio ${\mathcal {D))$ connesso munito delle operazioni di somma e prodotto è il campo delle frazioni del dominio di integrità costituito dall’insieme delle funzioni olomorfe nell’intero ${\mathcal {D))$ . In parole povere, le funzioni meromorfe stanno alle olomorfe come le funzioni razionali fratte stanno alla funzioni razionali intere, come $\mathbb{Q}$ sta a $\mathbb{Z}$ .

Esempi

Ogni funzione razionale, come ad esempio

f(z) = \frac{z^3 - 2z + 1}{z^5 + 3z - 1}

è meromorfa sull’intero piano complesso.

Le funzioni

f(z) = \frac{e^z}{z}

f(z) = \frac{\sin z}(((z - 1)}^2}

come pure la funzione gamma e la funzione zeta di Riemann, sono meromorfe sull’intero piano complesso.

La funzione

f(z) = e^{\frac{1}{z))

è definita sull’intero piano complesso ad esclusione dell’origine. Il punto 0, tuttavia, non è un polo della funzione, ma una sua singolarità essenziale. Quindi essa non è meromorfa sull’intero piano complesso; essa è invece meromorfa (e in particolare olomorfa) sul cosiddetto piano complesso forato nell’origine

\mathbb{C} \setminus \left \{ 0 \right \}

La funzione logaritmo principale

$f(z) = \mathrm{ln}(z)$ non è meromorfa sull’intero piano complesso, in quanto non può essere definita sull’intero piano complesso ad eccezione di un insieme isolato di punti; può invece essere definita come funzione meromorfa (e in particolare olomorfa) sul piano privato dell’intera semiretta dei reali non positivi.

Proprietà

Dato che i poli di una funzione meromorfa sono isolati, essi costituiscono un insieme finito, come accade alle funzioni razionali, o un insieme numerabile, come accade alla funzione trascendente

f(z) = \frac{1}{\sin z} \, .

Servendosi della continuazione analitica per eliminare le singolarità eliminabili, le funzioni meromorfe possono essere composte con operazioni di somma, sottrazione, prodotto e divisione con un denominatore diverso dalla funzione costante nulla. Dunque le funzioni meromorfe costituiscono un campo; in effetti si tratta di un’estensione del campo dei numeri complessi.

Nel linguaggio delle superfici di Riemann, una funzione meromorfa si comporta come una funzione olomorfa che ha come codominio la sfera di Riemann e tale che non si riduca alla funzione costante $\infty$ . I poli corrispondono ai numeri complessi che sono mandati dalla funzione nel punto $\infty$ .

Integrale

In analisi matematica, l’integrale è un operatore che, nel caso di una funzione di una sola variabile a valori reali non negativi, associa alla funzione l’area sottesa dal suo grafico entro un dato intervallo $[a,b]$ nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l’integrale può essere interpretato geometricamente come l’area orientata sottesa dal grafico della funzione.

Sia $f$ una funzione continua di una variabile a valori reali e sia $a$ un elemento nel dominio di $f,$ allora dal teorema fondamentale del calcolo integrale segue che l’integrale da $a$ a $x$ di $f$ è una primitiva di $f$ .

Cenni storici

L’idea di base del concetto di integrale era nota ad Archimede di Siracusa, vissuto tra il 287 e il 212 a.C., ed era contenuta nel metodo da lui usato per il calcolo dell’area del cerchio o dell’area sottesa al segmento di un ramo di parabola, detto metodo di esaustione, già proposta da Eudosso di Cnido.

Nel XVII secolo alcuni matematici trovarono altri metodi per calcolare l’area sottesa al grafico di semplici funzioni, tra di essi figurano, ad esempio, Bonaventura Cavalieri, scopritore del metodo degli indivisibili (anni 1640), Pierre de Fermat (1636) e Nicolaus Mercator (1668). In quegli stessi anni Pietro Mengoli (1659) diede una prima definizione di integrale.

Nel diciassettesimo e diciottesimo secolo Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Johann Bernoulli dimostrarono indipendentemente il teorema fondamentale del calcolo integrale, che ricondusse tale problema alla ricerca della primitiva di una funzione.

Qual è l’integrale (animazione)

La definizione di integrale per le funzioni continue in un intervallo venne inizialmente formulata da Augustin-Louis Cauchy, che a partire dal lavoro di Mengoli, descrisse l’integrale utilizzando la definizione di limite.

In seguito Bernhard Riemann propose la sua definizione, in modo da comprendere classi più estese di funzioni. Nel 1875, Gaston Darboux riformulò la definizione già individuata da Cauchy in modo da evitare l’uso di limiti e dimostrando che era del tutto equivalente alla definizione data da Riemann.

Per questo motivo spesso si parla di integrale di Riemann-Darboux. Allo scopo di comprendere una classe molto più estesa di funzioni, Henri Lebesgue produsse una definizione di integrale più complessa, attraverso l’introduzione della teoria della misura.

In seguito Thomas Stieltjes fu in grado di generalizzare l’integrale di Riemann introducendo il concetto di funzione integratrice e, con un procedimento del tutto analogo, Johann Radon generalizzò l’integrale di Lebesgue.

Una definizione d’integrale alternativa a quella di Lebesgue-Radon venne fornita da Percy J. Daniell, che la ricavò a partire dall’integrale di Riemann-Stieltjes.

Notazione

Il simbolo di integrale nella letteratura (da sinistra) inglese, tedesca e russa

Il simbolo $\int$ che rappresenta l’integrale nella notazione matematica fu introdotto da Leibniz alla fine del XVII secolo. Il simbolo si basa sul carattere ſ (esse lunga), lettera che Leibniz utilizzava come iniziale della parola summa (ſumma), in latino somma, poiché questi considerava l’integrale come una somma infinita di addendi infinitesimali.

La variabile di integrazione, cioè la variabile della funzione integranda, è una variabile muta, cioè $\int f(x)dx$ ha lo stesso significato di $\int f(t)dt$ e di $\int f(j)dj$ . La forma differenziale $dx$ è il differenziale della variabile di integrazione.

Esistono leggere differenze nella notazione dell’integrale nelle letterature di lingue diverse: il simbolo inglese è inclinato verso destra, quello tedesco è dritto mentre la variante russa è inclinata verso sinistra. Nei testi italiani si usa il simbolo inglese.

Introduzione euristica

Si consideri una funzione $x\mapsto f(x)$ reale di variabile reale limitata e definita su un intervallo $[a,b]$ sull’asse delle ascisse.

Quando si procede a calcolare l’integrale di $f$ su $[a,b]$ , allora $f$ è detta funzione integranda e l’intervallo $[a,b]$ è detto intervallo di integrazione e gli estremi $a$ e $b$ sono detti estremi di integrazione.

La figura che ha per bordi il grafico di $f$ , l’asse delle ascisse e i segmenti verticali condotti dagli estremi dell’intervallo di integrazione agli estremi del grafico della funzione è detta trapezoide.

Il valore dell’integrale della funzione calcolato sull’intervallo di integrazione è uguale all’area (con segno) del trapezoide, cioè il numero reale che esprime tale area orientata viene chiamato integrale (definito) della funzione esteso all’intervallo di integrazione.

Con il termine “integrale” o “operatore integrale” si indica anche l’operazione stessa che associa il valore dell’area orientata alla funzione.

Sono stati ideati diversi modi per definire in modo rigoroso l’integrale; a seconda della procedura adottata cambia anche l’insieme delle funzioni che è possibile misurare con un integrale.

Un metodo è quello di “approssimare” il grafico della funzione con una linea costituita da uno o più segmenti, in modo che la figura si può scomporre in uno o più trapezi di cui è facile calcolare l’area: la somma algebrica delle aree di tutti i trapezi è allora l’integrale cercato.

Un tale approccio è utilizzato per definire l’integrale di Riemann, in cui il calcolo dell’area viene eseguito suddividendo la figura in sottili strisce verticali ottenendo così dei rettangoli. Nello specifico, dividendo un intervallo di integrazione $[a,b]$ in $n$ intervalli del tipo $[x_{k-1},x_{k}]$ , per $k=1,2,\dots ,n$ , e con $x_((0))=a$ e $x_((n))=b$ , per ciascun intervallo si può considerare un punto $t_{k}$ la cui immagine è $f(t_{k})$ . Si costruisce allora il rettangolo che ha per base l’intervallo $[x_{k-1},x_{k}]$ e per altezza $f(t_{k})$ .

La figura costituita da tutti i rettangoli così costruiti è detta plurirettangolo e l’area del plurirettangolo è detta somma integrale di Cauchy o somma integrale di Riemann-Darboux:

\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})\,\Delta x_{k}:=\sum _{k=1}^{n}f(t_{k})(x_{k}-x_{k-1}).

Se al diminuire dell’ampiezza degli intervalli ${\displaystyle \Delta x_{k))$ i valori così ottenuti si concentrano in un intorno sempre più piccolo di un numero $S$ , la funzione $f$ è integrabile sull’intervallo $[a,b]$ e $S$ è il valore del suo integrale.

Se la funzione integrabile $f(x)$ è positiva allora l’integrale assume il significato di area della regione:

${\mathcal {R))=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2},\,0\leq y\leq f(x),x\in [a,b]\}.$

Se la funzione $f$ cambia segno su $[a,b]$ allora l’integrale rappresenta una somma di aree con segno diverso.

Definizione

La prima definizione rigorosa a essere stata formulata di integrale di una funzione su un intervallo è l’integrale di Riemann, formulato da Bernhard Riemann, anche se per definirlo si preferisce utilizzare la formulazione data da Gaston Darboux.

L’integrale di Lebesgue consente di integrare una più vasta classe di funzioni rispetto all’integrale di Riemann.

Per mostrare la relazione tra i due integrali è necessario utilizzare la classe delle funzioni continue a supporto compatto, per le quali l’integrale di Riemann esiste sempre.

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue a supporto compatto su ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1))$ .

Si può definire la loro distanza nel seguente modo:

\operatorname {d} (f,g)=\int _{-\infty }^{+\infty }|f(t)-g(t)|\ \mathrm {d} t.

Munito della funzione distanza, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto è uno spazio metrico.

Il completamento di tale spazio metrico è l’insieme delle funzioni integrabili secondo Lebesgue.

In letteratura esistono diversi altri operatori di integrazione, tuttavia essi godono di minore diffusione rispetto a quelli di Riemann e Lebesgue.

Integrale di Riemann-Darboux

Lo stesso argomento in dettaglio:

Integrale di Riemann e Integrale di Darboux.

Sia $PC[a,b]$ l’insieme delle funzioni limitate e continue a tratti sull’intervallo $[a,b]$ , e tali da essere continue da destra:

$\lim _{x\to y^{+))f(x)=f(y).$

La norma di tali funzioni può essere definita come:

$\|f\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|.$

Sia $(a,x_{1},\dots ,x_((n-1)),b)$ una partizione di $[a,b]$ e $\chi _{i}(x)$ la funzione indicatrice dell’i-esimo intervallo della partizione $[x_((i-1)),x_{i}]$ .

L’insieme $S[a,b]$ delle possibili partizioni dell’intervallo $[a,b]$ costituisce uno spazio vettoriale normato, con norma data da:

$\|\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{i}(x)\|_{\infty }=\sup _{x\in [a,b]}|\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{i}(x)|=\max _{i=1,\dots ,n}|c_{i}|\qquad c_{i}\in \mathbb {R} .$

L’insieme $S[a,b]$ è denso in $PC[a,b]$ . Si definisce la trasformazione lineare limitata $I:S[a,b]\to \mathbb{R}$ nel seguente modo:

I\left[\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x_{i}-x_{i-1}).

Si dimostra che un operatore lineare limitato che mappa uno spazio vettoriale normato in uno spazio normato completo può essere sempre esteso in modo unico a un operatore lineare limitato che mappa il completamento dello spazio di partenza nel medesimo spazio di arrivo.

Poiché i numeri reali costituiscono un insieme completo, l’operatore $I$ può quindi essere esteso a un operatore ${\hat I}$ che mappa il completamento ${\hat S}[a,b]$ di $S[a,b]$ in $\R$ .

Si definisce integrale di Riemann-Darboux l’operatore ${\hat {I))\colon {\hat {S))[a,b]\to \mathbb {R}$ , e si indica con:

{\hat {I))(f):=\int _{a}^{b}f(x)\ \mathrm {d} x.

Integrale di Lebesgue

Sia $\mu$ una misura su una sigma-algebra $X$ di sottoinsiemi di un insieme $E$ . Ad esempio, $E$ può essere un n-spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ o un qualche suo sottoinsieme Lebesgue-misurabile, $X$ la sigma-algebra di tutti i sottoinsiemi Lebesgue-misurabili di $E$ e $\mu$ la misura di Lebesgue.

Nella teoria di Lebesgue gli integrali sono limitati a una classe di funzioni, chiamate funzioni misurabili. Una funzione $f$ è misurabile se la controimmagine di ogni insieme aperto $I$ del codominio è in $X$ , ossia se $f^((-1))(I)$ è un insieme misurabile di $X$ per ogni aperto $I$ .

L’insieme delle funzioni misurabili è chiuso rispetto alle operazioni algebriche, e in particolare la classe è chiusa rispetto a vari tipi di limiti puntuali di successioni.

Una funzione semplice $s$ è una combinazione lineare finita di funzioni indicatrici di insiemi misurabili.^[7] Siano i numeri reali o complessi ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n))$ i valori assunti dalla funzione semplice $s$ e sia:

A_{i}=\{x:s(x)=a_{i}\}.

Allora:

$s(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\chi _{A_{i))(x),$

dove $\chi _((A_{k))}(x)$ è la funzione indicatrice relativa all’insieme $A_{i}$ per ogni $i.$

L’integrale di Lebesgue di una funzione semplice è definito nel seguente modo:

\int _{F}s\,\mathrm {d} \mu =\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mu (A_{i}\cap F),\quad F\in X.

Sia $f$ una funzione misurabile non negativa su $E$ a valori sulla retta reale estesa. L’integrale di Lebesgue di $f$ sull’insieme $F$ rispetto alla misura $\mu$ è definito nel seguente modo:

\int _{F}f\,\mathrm {d} \mu :=\sup \int _{F}s\,\mathrm {d} \mu ,

dove l’estremo superiore è valutato considerando tutte le funzioni semplici $s$ tali che $0\leq s\leq f$ . Il valore dell’integrale è un numero nell’intervallo $[0,\infty ]$ .

L’insieme delle funzioni tali che:

\int _{E}|f|\,\mathrm {d} \mu <\infty

è detto insieme delle funzioni integrabili su $E$ secondo Lebesgue rispetto alla misura $\mu$ , o anche insieme delle funzioni sommabili, ed è denotato con $L^{1}(\mu )$ .

Anche l’integrale di Lebesgue è un funzionale lineare, e considerando una funzione definita su un intervallo $I$ il teorema di Riesz permette di affermare che per ogni funzionale lineare $\lambda$ su $\mathbb {C}$ è associata una misura di Borel finita $\mu$ su $I$ tale che:^[9]

$\lambda f=\int _{I}f\,\mathrm {d} \mu .$

In questo modo il valore del funzionale dipende con continuità dalla lunghezza dell’intervallo di integrazione.

Integrale in più variabili

Lo stesso argomento in dettaglio:

Integrale multiplo.

Sia $x=(x_{1},\dots ,x_{k})$ un vettore nel campo reale. Un insieme del tipo:

$I^{k}=\{x:\quad a_{i}\leq x_{i}\leq b_{i}\quad 1\leq i\leq k\}$

è detto $k$ -cella. Sia $f_{k}$ definita su $I^{k}$ una funzione continua a valori reali, e si definisca:

$f_{k-1}(x_{1},\dots ,x_{k-1})=\int _{a_{k))^{b_{k))f_{k}(x_{1},\dots ,x_{k})dx_{k}.$

Tale funzione è definita su $I^((k-1))$ ed è a sua volta continua a causa della continuità di $f_{k}$ . Iterando il procedimento si ottiene una classe di funzioni $f_{j}$ continue su $I^{j}$ che sono il risultato dell’integrale di $f_((j+1))$ rispetto alla variabile $x_((j+1))$ sull’intervallo $[a_((j+1)),b_((j+1))]$ . Dopo $k$ volte si ottiene il numero:

f_{0}=\int _{a_{1))^{b_{1))f_{1}(x_{1})dx_{1}.

Si tratta dell’integrale di $f_{k}(x)$ su $I^{k}$ rispetto a $x$ , e non dipende dall’ordine con il quale vengono eseguite le $k$ integrazioni.

In particolare, sia $g(x)=f_{1}(x_{1})\dots f_{k}(x_{k})$ . Allora si ha:

\int _{I^{k))g(x)dx=\prod _{i=1}^{k}\int _{a_{i))^{b_{i))f_{i}(x_{i})dx_{i}.

Inoltre, sia $f$ una funzione a supporto compatto e si ponga che $I^{k}$ contenga il supporto di $f$ . Allora è possibile scrivere:

\int _{I^{k))f=\int _{\mathbb {R} ^{k))f.

Nell’ambito della teoria dell’integrale di Lebesgue è possibile estendere questa definizione a insiemi di funzioni più ampi.

Una proprietà di notevole importanza dell’integrale di una funzione in più variabili è la seguente.

Siano:

${\displaystyle T\colon E\subset \mathbb {R} ^{k}\to \mathbb {R} ^{k))$ una funzione iniettiva di classe $C^1$ definita su un aperto $E$ e tale che la sua matrice jacobiana $J_{T}(x)$ sia diversa da 0 ovunque in $E$ .
$f$ una funzione a supporto compatto continua definita su $\mathbb{R} ^{k}$ e tale che $T(E)$ contenga il supporto di $f$ .

Allora si ha:

\int _{\mathbb {R} ^{k))f(y)dy=\int _{\mathbb {R} ^{k))f(T(x))|J_{T}(x)|dx.

L’integrando $f(T(x))|J_{T}(x)|$ ha un supporto compatto grazie all’invertibilità di $T$ , dovuta all’ipotesi $J_{T}(x)\neq 0$ per ogni $x\in E$ che garantisce la continuità di $T^((-1))$ in $T(E)$ per il teorema della funzione inversa.

Integrale curvilineo

Lo stesso argomento in dettaglio:

Integrale di linea e Integrale di superficie.

Dato un campo scalare $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ , si definisce l’integrale di linea (di prima specie) su una curva $C$ , parametrizzata da ${\mathbf {r))(t)$ , con $t\in [a,b]$ , come:^[10]

\int _{C}f\ \operatorname {d} \!s=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))\|\mathbf {r} '(t)\|\,\mathrm {d} t,

dove il termine ${\mathrm {d))s$ indica che l’integrale è effettuato su un’ascissa curvilinea. Se il dominio della funzione $f$ è $\mathbb{R}$ , l’integrale curvilineo si riduce al comune integrale di Riemann valutato nell’intervallo $[r(a),r(b)]$ . Alla famiglia degli integrali di linea appartengono anche gli integrali ellittici di prima e di seconda specie, questi ultimi impiegati anche in ambito statistico per il calcolo della lunghezza della curva di Lorenz.

Similmente, per un campo vettoriale ${\mathbf {F)):\mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R} ^{n}$ , l’integrale di linea (di seconda specie) lungo una curva $C$ , parametrizzata da ${\mathbf {r))(t)$ con $t\in [a,b]$ , è definito da:^[11]

\int _{C}\mathbf {F} =\int _{C}\mathbf {F} (\mathbf {x} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {x} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t.

Continuità e integrabilità

Lo stesso argomento in dettaglio:

Funzione integrabile.

Una condizione sufficiente ai fini dell’integrabilità è che una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato sia continua: una funzione continua definita su un compatto, e quindi continua uniformemente per il teorema di Heine-Cantor, è integrabile.

Dimostrazione
Si suddivida l’intervallo $[a,b]$ in $n$ sottointervalli $[x_{i-1},x_{i}]$ di uguale ampiezza: $\delta x=(((b-a)} \over {n)).$ Si scelga in ogni intervallo un punto ${\displaystyle t_{i))$ interno a $[x_{i-1},x_{i}]$ e si definisce la somma integrale: $\sigma _{n}=\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\,\delta x_{s}=((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}).$ Ponendo $M_{i}$ e $m_i$ il massimo e il minimo di $f$ in ogni intervallo $[x_{i-1},x_{i}]$ si costruiscono quindi le somme: $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1}),\qquad s_{n}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1}).$ All’aumentare di $n$ , si ha che ${\displaystyle S_{n))$ diminuisce e ${\displaystyle s_{n))$ cresce. Essendo allora le due successioni monotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Sia ora: $\ m_{i}\leq f(t_{i})\leq M_{i}.$ Si ha che: $\ s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n}.$ Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone risulta $s_{n}\to s$ e $S_{n}\to S$ , con $s\leq S$ . All’affinarsi della partizione di $[a,b]$ risulta $s=S$ , infatti è possibile fissare un $\varepsilon$ piccolo a piacere e un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare: $S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<\varepsilon ,$ poiché per la continuità uniforme di $f$ si ha: $M_{i}-m_{i}<((\varepsilon } \over {(b-a))).$ Cioè, per un numero di $n$ suddivisioni abbastanza elevato: $S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<((\varepsilon } \over {(b-a)))\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=\varepsilon .$ Per il teorema del confronto delle successioni si ha: $\ \lim _{n\to +\infty }(S_{n}-s_{n})\leq \varepsilon ,$ ossia: $S-s\leq \varepsilon ,$ da cui, data l’arbitrarietà del fattore $\varepsilon$ , risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero. Da questo segue che: $S=s=I.$ In definitiva, essendo: $s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n},$ per il teorema del confronto risulta $\sigma _{n}\to I$ , da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto $[a,b]$ allora l’operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli $[x_{i-1},x_{i}]$ , ovvero la funzione è integrabile.

Dimostrazione

Si suddivida l’intervallo

[a,b]

n

sottointervalli

[x_{i-1},x_{i}]

di uguale ampiezza:

\delta x=(((b-a)} \over {n)).

Si scelga in ogni intervallo un punto ${\displaystyle t_{i))$ interno a $[x_{i-1},x_{i}]$ e si definisce la somma integrale:

\sigma _{n}=\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\,\delta x_{s}=((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}).

Ponendo $M_{i}$ e $m_i$ il massimo e il minimo di $f$ in ogni intervallo $[x_{i-1},x_{i}]$ si costruiscono quindi le somme:

S_{n}=\sum _{i=1}^{n}M_{i}(x_{i}-x_{i-1}),\qquad s_{n}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(x_{i}-x_{i-1}).

All’aumentare di $n$ , si ha che ${\displaystyle S_{n))$ diminuisce e ${\displaystyle s_{n))$ cresce. Essendo allora le due successioni monotone, esse ammettono un limite, il quale è finito. Sia ora:

\ m_{i}\leq f(t_{i})\leq M_{i}.

Si ha che:

\ s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n}.

Per il teorema di esistenza del limite di successioni monotone risulta $s_{n}\to s$ e $S_{n}\to S$ , con $s\leq S$ . All’affinarsi della partizione di $[a,b]$ risulta $s=S$ , infatti è possibile fissare un $\varepsilon$ piccolo a piacere e un numero di suddivisioni della partizione sufficientemente grande da far risultare:

S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<\varepsilon ,

poiché per la continuità uniforme di $f$ si ha:

M_{i}-m_{i}<((\varepsilon } \over {(b-a))).

Cioè, per un numero di $n$ suddivisioni abbastanza elevato:

S_{n}-s_{n}=\sum _{i=1}^{n}(M_{i}-m_{i})(x_{i}-x_{i-1})<((\varepsilon } \over {(b-a)))\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-x_{i-1})=\varepsilon .

Per il teorema del confronto delle successioni si ha:

\ \lim _{n\to +\infty }(S_{n}-s_{n})\leq \varepsilon ,

ossia:

S-s\leq \varepsilon ,

da cui, data l’arbitrarietà del fattore $\varepsilon$ , risulta che con il passaggio al limite la differenza tra le somme integrali massimante e minimante tende a zero. Da questo segue che:

S=s=I.

In definitiva, essendo:

s_{n}\leq \sigma _{n}\leq S_{n},

per il teorema del confronto risulta $\sigma _{n}\to I$ , da cui si deduce che se la funzione integranda è continua su un compatto $[a,b]$ allora l’operazione di integrazione non dipende dalla scelta dei punti interni agli intervalli $[x_{i-1},x_{i}]$ , ovvero la funzione è integrabile.

Assoluta integrabilità

Una funzione $f$ si dice assolutamente integrabile su un intervallo aperto del tipo $[a,+\infty )$ se su tale intervallo è integrabile $\left|f\right|$ . Non tutte le funzioni integrabili sono assolutamente integrabili: un esempio di funzione di questo tipo è $\sin x/x$ . Viceversa, il teorema sull’esistenza degli integrali impropri all’infinito garantisce che una funzione $f$ assolutamente integrabile sia integrabile su un intervallo del tipo $[a,+\infty )$ .

Dimostrazione
Infatti, una condizione necessaria e sufficiente affinché $\int _((a))^((+\infty ))\!f(x)\,{\mathrm {d))x$ esista finito è che per ogni $\varepsilon >0$ esista $\gamma >0$ tale che per ogni $x_{1},x_{2}<\gamma$ si abbia: $\left\|\int _{x_{1))^{x_{2))f(x)\,\mathrm {d} x\right\|<\varepsilon .$ Sostituendo in quest’ultima espressione $f(x)$ con $\|f(x)\|$ la condizione di esistenza diventa: $\left\|\int _{x_{1))^{x_{2))\left\|f(x)\,\mathrm {d} x\right\|\right\|<\varepsilon ,$ da cui si ha: $\left\|\int _{a}^{b}\!f(x)\,{\mathrm {d))x\right\|\leq \int _{a}^{b}\left\|f(x)\right\|\,{\mathrm {d))x$ e quindi si può scrivere: $\int _{x_{1))^{x_{2))\left\|f(x)\,\mathrm {d} x\right\|<\varepsilon .$ Si ricava così che $f(x)$ è integrabile.

Dimostrazione

Infatti, una condizione necessaria e sufficiente affinché

\int _((a))^((+\infty ))\!f(x)\,{\mathrm {d))x

esista finito è che per ogni

\varepsilon >0

esista

\gamma >0

tale che per ogni

x_{1},x_{2}<\gamma

si abbia:

\left|\int _{x_{1))^{x_{2))f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

Sostituendo in quest’ultima espressione $f(x)$ con $|f(x)|$ la condizione di esistenza diventa:

\left|\int _{x_{1))^{x_{2))\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|\right|<\varepsilon ,

da cui si ha:

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,{\mathrm {d))x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,{\mathrm {d))x

e quindi si può scrivere:

\int _{x_{1))^{x_{2))\left|f(x)\,\mathrm {d} x\right|<\varepsilon .

Si ricava così che $f(x)$ è integrabile.

Teorema di Vitali-Lebesgue

Il teorema di Vitali-Lebesgue è un teorema che consente di individuare le funzioni definite su uno spazio $\R^n$ che siano integrabili secondo Riemann. Fu dimostrato nel 1907 dal matematico italiano Giuseppe Vitali contemporaneamente e indipendentemente con il matematico francese Henri Lebesgue.

Data una funzione su $\R^n$ che sia limitata e nulla al di fuori di un sottoinsieme limitato di $\mathbb {R} ^{n}$ , essa è integrabile secondo Riemann se e solo se è trascurabile l’insieme dei suoi punti di discontinuità. Se si verifica questo, la funzione è anche integrabile secondo Lebesgue e i due integrali coincidono. Nel caso in cui $n=1$ l’enunciato assume la seguente forma: una funzione $f$ limitata in un intervallo $[a, b]$ è ivi integrabile secondo Riemann se e solo se l’insieme dei suoi punti di discontinuità è di misura nulla rispetto alla misura di Lebesgue

Calcolo differenziale e calcolo integrale

Il teorema fondamentale del calcolo integrale, grazie agli studi e alle intuizioni di Leibniz, Newton, Torricelli e Barrow, stabilisce la relazione esistente tra calcolo differenziale e calcolo integrale.

Esso è generalizzato dal fondamentale teorema di Stokes.

Funzioni primitive

Il problema inverso a quello della derivazione consiste nella ricerca di tutte le funzioni la cui derivata sia uguale a una funzione assegnata. Questo problema è noto come ricerca delle primitive di una funzione. Nel caso in cui $F$ sia una primitiva di $f$ (cioè se $F'(x)=f(x)$ ) allora, poiché la derivata di una funzione costante è nulla, anche una qualunque funzione del tipo:

G(x)=F(x)+c,

che differisca da $F(x)$ per una costante arbitraria $c$ , risulta essere primitiva di $f(x)$ . Infatti:

G'(x)=F'(x)+0=f(x).

Quindi, se una funzione $f(x)$ ammette primitiva $F(x)$ allora esiste un’intera classe di primitive del tipo:

G(x)=F(x)+c.

Viceversa, tutte le primitive di $f(x)$ sono della forma $F(x)+c$ .

Integrale indefinito

La totalità delle primitive di una funzione $f(x)$ si chiama integrale indefinito di tale funzione. Il simbolo:

$\int \!f(x)\,\mathrm {d} x,$

denota l’integrale indefinito della funzione $f(x)$ rispetto a $x$ . La funzione $f(x)$ è detta anche in questo caso funzione integranda. In un certo senso (non formale), si può vedere l’integrale indefinito come “l’operazione inversa della derivata”. Tuttavia, da un punto di vista formale, la derivazione non è iniettiva e quindi non è invertibile e l’operatore integrale restituisce l’insieme delle primitive che o è vuoto oppure contiene infiniti elementi.

Ogni funzione continua in un intervallo ammette sempre integrale indefinito, ma non è detto che sia derivabile in ogni suo punto. Se $f$ è una funzione definita in un intervallo nel quale ammette una primitiva $F$ allora l’integrale indefinito di $f$ è:

\int \!f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+c,

dove $c$ è una generica costante reale.

Funzione integrale

Sia $f\colon I\to \mathbb {R}$ una funzione definita su un intervallo $I=[a,b]$ . Se la funzione è integrabile su ogni intervallo chiuso e limitato $J$ contenuto in $I$ , al variare dell’intervallo $J$ varia il valore dell’integrale. Si ponga $J=[x_{0},x]$ , dove $x_0$ è fissato e l’altro estremo $x$ è variabile: l’integrale di $f$ su $J$ diventa allora una funzione di $x$ . Tale funzione si dice funzione integrale di $f$ o integrale di Torricelli, e si indica con:

F(x)=\int _{x_{0))^{x}\!f(t)\,\mathrm {d} t.

La variabile di integrazione $t$ è detta variabile muta, e varia tra $x_0$ e $x$ .

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Lo stesso argomento in dettaglio:

Teorema fondamentale del calcolo integrale.

La prima parte del teorema è detta primo teorema fondamentale del calcolo, afferma che la funzione integrale (come sopra definita)

F(x)=\int _{a}^{x}f(t)dt,\qquad a\leq x\leq b,

è una primitiva della funzione di partenza.

Cioè

F^{\prime }(x)=f(x),

La seconda parte del teorema è detta secondo teorema fondamentale del calcolo, e consente di calcolare l’integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.

\int _{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a),

e tale relazione è detta formula fondamentale del calcolo integrale.

Lemma di derivazione degli integrali

Sia $I\subset \mathbb {R}$ un intervallo, $f\colon {\underset {(x,t)}{I)){\underset {\mapsto }{\longrightarrow )){\underset {f(x,t)}{\mathbb {R} ))$ funzione di classe ${\mathcal {C))^{1}$ in $x$ e $\alpha ,\beta \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$ curve di classe ${\mathcal {C))^{1}$ . Sia $\Phi \colon {\underset {x}{I)){\underset {\mapsto }{\longrightarrow )){\underset {\Phi (x)}{\mathbb {R} ))$ la funzione integrale di classe ${\mathcal {C))^{1}$ definita come:

\Phi (x)=\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}\!\!\!f(x,t)dt\implies \Phi ^{\prime }(x)=f(x,\beta (x))\cdot \beta ^{\prime }(x)-f(x,\alpha (x))\cdot \alpha ^{\prime }(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}{\frac {\partial }{\partial x))f(x,t)dt.

Proprietà degli integrali

Di seguito si riportano le proprietà principali dell’operatore integrale.

Linearità

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e siano $\alpha ,\beta \in {\mathbb {R))$ . Allora:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione
Infatti, dalla definizione si ha che: $\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}\,[\alpha f(t_{s})+\beta g(t_{s})],$ da cui: $\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))[\alpha \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \sum _{s=1}^{n}g(t_{s})].$ Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha: $\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}g(t_{s})$ da cui discende la proprietà di linearità.

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}\,[\alpha f(t_{s})+\beta g(t_{s})],

da cui:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))[\alpha \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \sum _{s=1}^{n}g(t_{s})].

Dalla proprietà distributiva e dal fatto che il limite della somma coincide con la somma dei limiti si ha:

\int _{a}^{b}[\alpha f(x)+\beta g(x)]\,\mathrm {d} x=\alpha \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})+\beta \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}g(t_{s})

da cui discende la proprietà di linearità.

Additività

Sia $f$ continua e definita in un intervallo $[a,c]$ e sia $b\in [a,c]$ . Allora:

\int _{a}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x+\int _{b}^{c}\!f(x)\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione
Infatti, dalla definizione si ha che: $\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}),$ da cui se si ha $c\in [a,b]$ esistono un valore $h$ e un valore $k$ la cui somma è $n$ tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti: ${\frac {b-c}{h))={\frac {c-a}{k))=\delta x$ $\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\left(\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})\right).$ Distribuendo la misura dell’intervallo: $\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{\frac {b-a}{n))\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})$ in cui $n-k=h$ . Considerando l’intervallo $[c,b]$ , l’indice $s=h+1,\ldots ,n$ può essere riscritto come $s=1,\ldots ,k$ in quanto ${\displaystyle t_{h+1))$ è il valore superiore del primo intervallo della partizione di $[c,b]$ . Ricordando che: $((b-c} \over {h))=((c-a} \over {k))=\delta x,$ risulta allora: $\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h\to +\infty }((c-a} \over {h))\sum _{s=1}^{h}f(t_{s})+\lim _{k\to +\infty }((b-c} \over {k))\sum _{s=1}^{k}f\left(t(s)\right)$ da cui discende la proprietà di additività.

Dimostrazione

Infatti, dalla definizione si ha che:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s}),

da cui se si ha $c\in [a,b]$ esistono un valore $h$ e un valore $k$ la cui somma è $n$ tali che per un affinamento sufficiente della partizione risulti:

{\frac {b-c}{h))={\frac {c-a}{k))=\delta x

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\left(\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})\right).

Distribuendo la misura dell’intervallo:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }{\frac {b-a}{n))\sum _{s=1}^{n-k}f(t_{s})+\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=h+1}^{n}f(t_{s})

in cui $n-k=h$ . Considerando l’intervallo $[c,b]$ , l’indice $s=h+1,\ldots ,n$ può essere riscritto come $s=1,\ldots ,k$ in quanto ${\displaystyle t_{h+1))$ è il valore superiore del primo intervallo della partizione di $[c,b]$ . Ricordando che:

((b-c} \over {h))=((c-a} \over {k))=\delta x,

risulta allora:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{h\to +\infty }((c-a} \over {h))\sum _{s=1}^{h}f(t_{s})+\lim _{k\to +\infty }((b-c} \over {k))\sum _{s=1}^{k}f\left(t(s)\right)

da cui discende la proprietà di additività.

Monotonia (o teorema del confronto)

Siano $f$ e $g$ due funzioni continue definite in un intervallo $[a, b]$ e tali che $f(x)\leq g(x)$ in $[a, b]$ . Allora:

\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!g(x)\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione
Infatti, se si verifica che $f(x)\leq g(x)$ nel compatto $\ [a,b]$ , effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore $b-a/n$ si ottiene: $((b-a} \over {n))f(t_{s})\leq ((b-a} \over {n))g(t_{s}),$ per ogni $t_((s))$ . A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente: $\sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))g(t_{s}).$ Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l’integrale) la disuguaglianza resta immutata: $\lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))g(t_{s}).$ Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Dimostrazione

Infatti, se si verifica che

f(x)\leq g(x)

nel compatto

\ [a,b]

, effettuando una partizione di tale intervallo la disuguaglianza permane e moltiplicando da ambo i lati per il fattore

b-a/n

si ottiene:

((b-a} \over {n))f(t_{s})\leq ((b-a} \over {n))g(t_{s}),

per ogni $t_((s))$ . A questo punto se la relazione è valida per qualsiasi intervallo in cui è suddiviso il compatto vale la seguente:

\sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))g(t_{s}).

Come conseguenza del corollario del teorema della permanenza del segno dei limiti, applicando il limite alle somme integrali di Riemann (ottenendo quindi l’integrale) la disuguaglianza resta immutata:

\lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }\sum _{s=1}^{n}((b-a} \over {n))g(t_{s}).

Da ciò deriva la proprietà di monotonia degli integrali.

Valore assoluto

Tale teorema si potrebbe considerare come un corollario del teorema del confronto. Se $f$ è integrabile in un intervallo $[a, b]$ si ha:

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,\mathrm {d} x.

Dimostrazione
Infatti, essendo valida la relazione $-\|f(t_((s)))\|\leq f(t_((s)))\leq \|f(t_((s)))\|$ per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo: $-\sum _{s=1}^{n}\|f(t_{s})\|\leq \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}\|f(t_{s})\|.$ Moltiplicando ogni membro per il fattore $b-a/n$ e applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali: $-\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}\|f(t_{s})\|\leq \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}\|f(t_{s})\|$ $-\int _{a}^{b}\|f(x)\|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\|f(x)\|\,\mathrm {d} x,$ ove quest’ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come: $\left\|\int _{a}^{b}\!f(x)\,{\mathrm {d))x\right\|\leq \int _{a}^{b}\left\|f(x)\right\|\,{\mathrm {d))x$ la quale è la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Dimostrazione

Infatti, essendo valida la relazione

-|f(t_((s)))|\leq f(t_((s)))\leq |f(t_((s)))|

per ogni s, è possibile sommare membro a membro le varie componenti della relazione, ottenendo:

-\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|.

Moltiplicando ogni membro per il fattore $b-a/n$ e applicando il limite in modo da affinare gli intervalli della partizione si ottengono gli integrali:

-\lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|\leq \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}f(t_{s})\leq \lim _{n\to +\infty }((b-a} \over {n))\sum _{s=1}^{n}|f(t_{s})|

-\int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \int _{a}^{b}|f(x)|\,\mathrm {d} x,

ove quest’ultima disuguaglianza può essere espressa in termini di valore assoluto come:

\left|\int _{a}^{b}\!f(x)\,{\mathrm {d))x\right|\leq \int _{a}^{b}\left|f(x)\right|\,{\mathrm {d))x

la quale è la proprietà del valore assoluto degli integrali.

Teorema della media

Lo stesso argomento in dettaglio:

Teorema della media integrale

Teorema della media pesata.

Se $f:[a,b]\to {\mathbb R}$ è continua allora esiste $c \in (a,b)$ tale che:

((1} \over {b-a))\int _{a}^{b}\!f(x)\,\mathrm {d} x=f(c).

Integrale improprio

Lo stesso argomento in dettaglio: Integrale improprio.

Un integrale improprio è un limite della forma:

\lim _((b\to \infty ))\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm {d))x\qquad \lim _((a\to -\infty ))\int _{a}^{b}f(x)\,{\mathrm {d))x

oppure:

\lim _((c\to b^{-))}\int _{a}^{c}f(x)\,{\mathrm {d))x\quad \lim _((c\to a^{+))}\int _{c}^{b}f(x)\,{\mathrm {d))x

Un integrale è improprio anche nel caso in cui la funzione integranda non è definita in uno o più punti interni del dominio di integrazione.

Metodi di integrazione

Lo stesso argomento in dettaglio:

Metodi di integrazione.

L’integrazione di una funzione reale è un calcolo matematico di non semplice risoluzione generale. Il caso più semplice si ha quando si riconosce la funzione integranda essere la derivata di una funzione nota $\Phi$ . In casi più complessi esistono numerosi metodi per trovare la funzione primitiva. In particolare, tra le tecniche più diffuse per la ricerca della primitiva dell’integranda sono queste due:

se l’integranda è il prodotto di due funzioni, l’integrazione per parti riduce l’integrale alla somma di una funzione e un altro integrale che può ricondursi al caso più semplice descritto sopra in cui l’integranda è la derivata di una funzione nota;
se l’integranda è trasformazione di una derivata nota attraverso una qualche funzione derivabile, l’integrazione per sostituzione riporta il calcolo all’integrale di quella derivata nota, modificato per un fattore di differenziabilità che dipende dalla trasformazione in gioco.

Stima di somme tramite integrale

Un metodo che consente di ottenere la stima asintotica di una somma è l’approssimazione di una serie tramite il suo integrale. Sia $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{+}$ una funzione monotona non decrescente. Allora per ogni $a\in \mathbb {N}$ e ogni intero $n\geq a$ si ha:

f(a)+\int _{a}^{n}\!f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n}\!f(k)\leq \int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x+f(n).

Infatti, se $n=a$ la proprietà è banale, mentre se $n\,>\,a$ si osserva che la funzione è integrabile in ogni intervallo chiuso e limitato di $\mathbb{R} ^{+}$ , e che per ogni $k\in \mathbb{N}$ vale la relazione:

f(k)\leq \int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq f(k+1).

Sommando per $k=a,a+1,\ldots ,n-1$ si ottiene dalla prima disuguaglianza:

\sum _{k=a}^{n-1}f(k)\leq \sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,

mentre dalla seconda segue che:

\int _{a}^{n}f(x)\,\mathrm {d} x=\sum _{k=a}^{n-1}\int _{k}^{k+1}f(x)\,\mathrm {d} x\leq \sum _{k=a}^{n-1}f(k+1).

Aggiungendo ora $f(a)$ e $f(n)$ alle due somme precedenti si verifica la relazione.

Altri operatori di integrazioneAccanto agli integrali di Riemann e Lebesgue sono stati introdotti diversi altri operatori integrali. L’integrale di Riemann-Stieltjes è una generalizzazione dell’integrale di Riemann, ed è a sua volta generalizzato dall’integrale di Lebesgue-Stieltjes, che è anche un’estensione dell’integrale di Lebesgue.°°°°°

Integrali di Denjoy, Perron, Henstock e altri

Lo stesso argomento in dettaglio:

Integrale di Denjoy,

Integrale di Perron

Integrale di Henstock-Kurzweil.

Sono state sviluppate altre definizioni di integrale, alcune delle quali sono dovute a Denjoy, Perron, Henstock e altri.

I tre nominati condividono la validità del teorema fondamentale del calcolo integrale in una forma più generale rispetto alla trattazione di Riemann e Lebesgue.

Il primo in ordine cronologico a essere introdotto è stato l’integrale di Denjoy, definito per mezzo di una classe di funzioni che generalizza le funzioni assolutamente continue.

Successivamente, solo due anni dopo, Perron ha dato la sua definizione con un metodo che ricorda le funzioni maggioranti e minoranti di Darboux.

In ultimo, Ralph Henstock e (indipendentemente) Jaroslaw Kurzweil forniscono una terza definizione equivalente, detta anche integrale di gauge: essa sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann, la cui semplicità rispetto alle altre due è probabilmente il motivo per cui questo integrale è più noto con il nome del matematico inglese che con quelli di Denjoy e Perron.

Integrale di Henstock-Kurzweil

In analisi matematica, l’integrale di Henstock-Kurzweil è una possibile definizione di integrale per una funzione di variabile reale.

Il concetto è stato introdotto indipendentemente da Ralph Henstock e da Jaroslaw Kurzweil a partire dal 1957.

È noto anche come integrale di gauge o come integrale di Riemann generalizzato, in quanto la sua definizione è portata avanti come generalizzazione di quella dell’integrale di Riemann.

Introduzione storica

Anche dopo la definizione di integrale di Lebesgue, era impossibile affermare la validità generale del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale: rimanevano, infatti, alcune funzioni che possedevano primitiva ma che non erano integrabili, neanche su intervalli limitati di $\R$ ; ciò riguardava ovviamente funzioni con comportamento abbastanza “patologico”, come può essere una funzione che presenta un asintoto verticale in un punto. Il problema non era trascurabile per le sue implicazioni nello studio delle equazioni differenziali.

Il primo a interessarsi della questione fu Arnaud Denjoy, che nel 1912 riuscì a dare una definizione di integrale che soddisfaceva in pieno questo requisito, cioè tale che la seguente affermazione fosse vera:

Se una funzione $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ è derivabile, allora la sua derivata è integrabile e vale

\int _{a}^{b}\!f'(x)\,\mathrm {d} x=f(b)-f(a).

Questo risultato generalizza infatti i corrispondenti teoremi riguardanti Riemann e Lebesgue perché l’integrabilità della derivata è una tesi, non una ipotesi.

La sua definizione era però particolarmente complicata, perché faceva uso della nozione di induzione transfinita per gestire le singolarità che entravano in gioco.

Solo due anni più tardi, Oskar Perron diede un’altra definizione che risolveva anche il problema dell'”integrabilità delle derivate”. Il suo integrale era dato in termini di funzioni maggioranti e funzioni minoranti, con un linguaggio estremamente diverso da quello di Denjoy, eppure è stato dimostrato che le due definizioni sono equivalenti: ogni funzione Denjoy-integrabile è Perron-integrabile con stesso valore dell’integrale e viceversa.

Negli anni cinquanta, infine, il britannico Ralph Henstock e il ceco Jaroslaw Kurzweil hanno dato, indipendentemente, una nuova definizione di integrale, che sfrutta una leggera generalizzazione della definizione di Riemann.

Anche questa definizione risulta equivalente a quella di Denjoy, ma è formulata in un modo nettamente più familiare e comprensibile delle altre.

Definizione

La definizione originale è data per funzioni $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ definite su intervalli compatti a valori reali. Come per l’integrale di Riemann, si lavora con partizioni dell’intervallo $[a,b]$ . A differenza di quest’ultimo, però, la scelta dei punti interni ad ogni sottointervallo della partizione non è arbitraria, ma deve soddisfare un’ulteriore ipotesi di regolarità. Infatti saranno ammissibili per formare una somma di Riemann solo partizioni ${\displaystyle \{I_{j}\))$ che, insieme con un certo numero di punti di scelta ${\displaystyle t_{j}\in I_{j))$ , soddisfano un criterio detto di $\delta$ -finitezza, che si enuncia come

I_{j}\subset (t_{j}-\delta (t_{j}),t_{j}+\delta (t_{j})),

dove $\delta$ è una funzione strettamente positiva definita su $[a,b]$ . La coppia $(\{t_{j}\},\{I_{j}\})$ punti di scelta-sottointervalli si dice per brevità una partizione puntata $\delta$ -fine e la funzione $\delta$ una gauge.

A questo punto si può dire che:

La funzione $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ ha integrale di Henstock-Kurzweil uguale al valore $A$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste una funzione di gauge $\delta$ tale che ogni partizione puntata di $[a,b]$ $\delta$ -fine soddisfa

\left|\sum _{j=1}^{n}(f(t_{j})\cdot |I_{j}|)-A\right|<\varepsilon .

Il primo termine della disuguaglianza sopra è esattamente la somma di Riemann di $f$ relativa ai punti ${\displaystyle t_{j))$ e agli intervalli $I_{j}$ ( $|I_{j}|$ rappresenta la misura dell’intervallo $I_{j}$ ). Notiamo infatti che tale definizione è quasi uguale a quella di Riemann; le differenze si limitano al sostituire una costante $\delta$ positiva con una funzione positiva e la condizione “mesh minore di $\delta$ ” con quella di “ $\delta$ -finitezza”.

Questa generalizzazione, che potrebbe sembrare leggera, in realtà è fondamentale, perché corrisponde all’idea di poter definire un $\delta$ per ogni punto di $[a,b]$ e quindi alla possibilità di approssimare meglio il comportamento della funzione, in zone dove essa abbia un comportamento più “patologico” perché molto oscillatorio, o perché essa presenta un asintoto, mediante partizioni localmente più raffinate.

Osservazione

La definizione si basa sulla proprietà di $\delta$ -finitezza di una partizione puntata, ma l’assenza totale di ipotesi sulla funzione $\delta$ potrebbe far nascere dei dubbi riguardo all’esistenza di partizioni $\delta$ -fini per gauge “bizzarre”.

Fortunatamente un lemma dovuto a Pierre Cousin, addirittura del secolo precedente quindi non collegato alla teoria dell’integrazione, assicura proprio che partizioni $\delta$ -fini esistano per ogni funzione positiva $\delta$ .

La dimostrazione di questo risultato non è banale, perché coinvolge la completezza dei reali, quindi questo può caratterizzarsi come un piccolo punto debole della teoria.

ProprietàCome è stato detto nell’introduzione, questo teorema soddisfa una versione generale del teorema fondamentale del calcolo integrale: se una funzione è derivabile, allora la sua derivata è integrabile e soddisfa la formula fondamentale del calcolo.Ci sono tuttavia altre proprietà interessanti che esso soddisfa: innanzitutto, esso estende l’integrale di Riemann, come è facile capire analizzando la somiglianza delle definizioni.

Molto meno immediato, ma forse più importante, è che l’integrale di Henstock-Kurzweil estende anche l’integrale di Lebesgue, assicurando così una base di funzioni integrabili molto ampia, che include molte funzioni di grande importanza nelle applicazioni.

Inoltre, valgono come per l’integrale di Lebesgue i teoremi di convergenza monotona e dominata.

Una differenza rispetto a quest’ultimo è però che l’integrabilità di una funzione non implica quella del suo valore assoluto. Si verifica infatti che, se una funzione è integrabile, il suo modulo è anch’esso integrabile se e solo se la sua funzione integrale è a variazione limitata.

Da questa limitazione deriva un lato in prima analisi negativo della teoria, cioè che lo spazio funzionale delle funzioni integrabili su un determinato dominio è sì uno spazio vettoriale, ma non è stata trovata una norma che lo renda di Banach.

Particolarmente usata su $[a,b]$ risulta la norma di Alexiewicz

\sup \left\{\left|\int _{a}^{x}f\right|,a<x\leq b\right\}.

Tale funzione soddisfa le proprietà di una norma quando vengono identificate due funzioni uguali quasi ovunque (altrimenti è una seminorma), come nella teoria di Lebesgue.

Integrazione su intervalli illimitati

La costruzione di Henstock e Kurzweil risolve anche un altro lato negativo dell’integrale di Riemann, cioè il problema dell’integrazione impropria: dando infatti una appropriata definizione di gauge su un intervallo illimitato, si verifica il seguente risultato:

Se $f\colon [a,+\infty ]\to \mathbb {R}$ è integrabile su ogni intervallo limitato $[a,c]$ , allora è integrabile su tutto $[a,+\infty ]$ se e solo se esiste finito il limite $\lim _{c\to +\infty }\int _{a}^{c}f$ . In tal caso, vale l’uguaglianza

\int _{a}^{+\infty }f=\lim _{c\to +\infty }\int _{a}^{c}f.

È da sottolineare che la precedente formula, che nell’integrale di Riemann era una definizione, in questa teoria è una tesi. Questo teorema (che si può adattare anche per l’altra tipologia di integrale improprio) è dovuto a Heinrich Hake.

°°°°°

Lemma di Itō

In matematica, il lemma di Itō (“Formula di Itō”) usato nel calcolo stocastico al fine di computare il differenziale di una funzione di un particolare tipo di processo stocastico. Trova ampio impiego nella matematica finanziaria.

Il lemma è un’estensione dello sviluppo in serie di Taylor che si usa per funzioni deterministiche, ossia senza termine casuale, ed è applicabile per una funzione stocastica, ossia con un termine in dW.

Tale termine non è un differenziale esatto e rappresenta la componente casuale di una variabile aleatoria. dW è l’abbreviazione che indica un processo di Wiener, usato per rappresentare il moto delle particelle nella teoria cinetica dei gas.

In frazioni piccole a piacere della variabile temporale, una grandezza di questo tipo manifesta comunque un’elevata variabilità.

Dal lemma di Itō si ricava l’integrale di Itō, che estende e generalizza l’integrale di Riemann per funzioni stocastiche.

Diversamente dall’integrale di Riemann, non ha un significato geometrico, non è un’area.

Enunciato del lemmaSia $x(t)$ un processo di Itō (o processo di Wiener generalizzato); in altre parole, $x(t)$ soddisfa l’equazione differenziale stocastica:

{\displaystyle dx(t)=a(x,t)dt+b(x,t)dW_{t))

Sia inoltre una funzione $f$ , avente derivata seconda continua. Allora:

$f(x(t),t)$ è ancora un processo di Itō;

Si ha:

{\displaystyle df(x(t),t)=\left(a(x,t){\frac {\partial f}{\partial x))+{\frac {\partial f}{\partial t))+{\frac {1}{2))(b(x,t))^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}\right)dt+b(x,t){\frac {\partial f}{\partial x))dW_{t))

Giustificazione informale del risultatoTramite un’espansione in serie di Taylor di $\ f(x(t),t)$ si ottiene:

df={\frac {\partial f}{\partial x))dx+{\frac {\partial f}{\partial t))dt+{\frac {1}{2)){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}dx^{2}+\cdots

Sostituendo $dx$ dalla SDE sopra si ha:

df={\frac {\partial f}{\partial x))(adt+bdW_{t})+{\frac {\partial f}{\partial t))dt+{\frac {1}{2)){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}\left(a^{2}dt^{2}+2ab\,dt\,dW_{t}+b^{2}dW_{t}^{2}\right)+\cdots

Lo sviluppo in serie di Taylor viene di solito troncato al primo ordine; già questo consente una buona approssimazione della funzione di partenza. In questo caso, bisogna considerare che i termini in ${\displaystyle dW^{2))$ vanno come quelli in ${\displaystyle dt^{1))$ ; avendo lo stesso ordine di grandezza troncando al primo ordine, devono essere considerati anche i termini in ${\displaystyle dW^{2))$ . Passando al limite per $dt$ tendente a 0, i termini ${\displaystyle dtdW_{t},dt^{2))$ scompaiono. Infatti, nei limiti infinitesimi (a zero) prevale la potenza con esponente più basso, che arriva a zero più lentamente degli altri termini. Per contro ${\displaystyle (dW_{t})^{2))$ tende a $dt$ ; quest’ultima proprietà può essere dimostrata provando che:

dW^{2}={\textrm {E))\left(dW^{2}\right)

{\textrm {E))\left(dW^{2}\right)=dt

Sostituendo questi risultati nell’espressione per $df$ si ottiene:

{\displaystyle df=\left(a{\frac {\partial f}{\partial x))+{\frac {\partial f}{\partial t))+{\frac {1}{2))b^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2))}\right)dt+b{\frac {\partial f}{\partial x))dW_{t))

come richiesto. Una dimostrazione formale di questo risultato richiede la definizione di un integrale stocastico.

Integrale di Itō

Lo stesso argomento in dettaglio:

Lemma di Itō.

L’integrale di Itō fa parte dell’analisi di Itō per i processi stocastici.

In letteratura è introdotto utilizzando varie notazioni, una delle quali è la seguente:

$\int _{0}^{T}X_{s}\,\mathrm {d} W_{s},$

dove $W_((s))$ è il processo di Wiener. L’integrale non è definito come un integrale ordinario, in quanto il processo di Wiener ha variazione totale infinita. In particolare, gli strumenti canonici di integrazione di funzioni continue non sono sufficienti. L’utilizzo principale di tale strumento matematico è nel calcolo differenziale di equazioni in cui sono coinvolti integrali stocastici, che inseriti in equazioni volte a modellizzare un particolare fenomeno (come il moto aleatorio delle particelle o il prezzo delle azioni nei mercati finanziari) rappresentano il contributo aleatorio sommabile (rumore) dell’evoluzione del fenomeno stesso.

Esempi di calcolo di un integrale

In base alle informazioni fornite dal primo teorema fondamentale del calcolo integrale si può effettuare il calcolo di un integrale cercando una funzione la cui derivata coincide con la funzione da integrare.
A questo scopo possono essere d’aiuto le tavole d’integrazione.
Così per effettuare il calcolo dell’integrale della funzione vista in precedenza $f(x)=mx$ attraverso la ricerca di una primitiva si ricorre alla formula:

\int mx^{\alpha }\,\mathrm {d} x=((mx^{\alpha +1)) \over {\alpha +1))+c,

la cui derivata coincide proprio con

\ mx^((\alpha ))

. Prendendo in considerazione la (già esaminata precedentemente) funzione

\ f(x)=mx

e integrandola si ottiene:

\int mx\,\mathrm {d} x=((mx^{2)) \over {2))+c.

Mentre per quanto concerne l’integrale definito nel compatto

\ [a,b]

si ha, in forza del secondo teorema fondamentale del calcolo integrale

\int _((a))^((b))mx\,{\mathrm {d))x=\left[((mb^((2))} \over {2))+c\right]-\left[((ma^((2))} \over {2))+c\right]=m((b^{2}-a^{2)) \over {2))

esattamente lo stesso risultato ottenuto in precedenza.

Si supponga di fissare un sistema di riferimento cartesiano attraverso le rette ortogonali e orientate delle ascisse e delle ordinate. Si supponga ora che su tale sistema di assi sia definita una retta la cui equazione esplicita è $f(x)=mx$ .
Si vuole calcolare l’integrale di tale retta definita sul compatto $[a,b]$ situato sull’asse delle ascisse. Si supponga per semplicità che i punti $a$ e $b$ si trovino sul semiasse positivo delle ascisse e siano entrambi positivi.
Allora l’area sottesa alla retta considerata nel compatto $[a,b]$ è uguale all’area di un trapezio che “poggiato” in orizzontale sull’asse delle ascisse è caratterizzato da un’altezza uguale a $b-a$ , base maggiore $mb$ e base minore $\ ma$ .
L’area di tale figura è data, come noto dalla geometria elementare, dalla formula $((1} \over {2))(mb+ma)(b-a)$ , ovvero $m((b^{2}-a^{2)) \over {2))$ .

Nell’ottica del calcolo dell’integrale di questa retta definita nel compatto

\ [a,b]

si effettua una partizione di tale intervallo, dividendolo in

n

parti uguali:

\ x_{0}=a;\quad x_{1}=a+((b-a} \over {n));\quad x_{2}=a+2((b-a} \over {n));\quad \dots \,;\quad x_{n}=a+n((b-a} \over {n))=b.

Nel generico intervallo

[x_((i-1)),x_((i))]

si sceglie come punto arbitrario il punto più esterno

x_((i))

(ma andrebbe bene qualsiasi punto dell’intervallo), considerando la funzione

\ y=mx

nel generico punto

x_((i))

interno all’intervallo

[x_((i-1)),x_((i))]

. Si avrà quindi

f(x_((i)))=m\left[a+i((b-a} \over {n))\right]

, e la somma integrale di Riemann diventa:

\ \sigma _{n}=\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})((b-a} \over {n))=\sum _{i=1}^{n}m\left[a+i((b-a} \over {n))\right]((b-a} \over {n))=ma(b-a)+m\left(((b-a} \over {n))\right)^{2}\sum _{i=1}^{n}i

nella quale la progressione aritmetica

\sum _((i=1))^((n))i=((n(n+1)} \over {2))

restituisce un’espressione delle somme di Riemann uguale a:

\sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}((n+1} \over {2n)).

Per passare dalle somme integrali di Riemann all’integrale vero e proprio è ora necessario, in conformità con la definizione di integrale, il passaggio al limite di suddette somme.

Ovvero:

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+m(b-a)^{2}\lim _{n\to +\infty }((n+1} \over {2n)).

Calcolando il limite per

\ n\to \infty

, dato che

\ ((n+1} \over {2n))\to \ ((1} \over {2))

, si ottiene:

\int _{a}^{b}mx\,\mathrm {d} x=\lim _{n\to +\infty }\sigma _{n}=ma(b-a)+((m(b-a)^{2)) \over {2)),

dalla quale, eseguendo la somma si ricava:

\int _((a))^((b))mx\,{\mathrm {d))x=m((b^{2}-a^{2)) \over {2))

la quale è esattamente l’area del trapezio costruito dalla retta

\ y=mx

sul piano insieme all’asse delle ascisse.

°°°°°

Funzione cilindrica

Una funzione cilindrica è una funzione a 2 variabili che dipende solo da una delle due; è, quindi, molto semplice da graficare.

Sia $f(x,y)=g(y)$ e sia noto il grafico di g; considerando una serie di punti generici $(x,y_{0})$ ottengo una retta in quanto il valore della x rimane costante (proprio perché la funzione non dipende da questa variabile).

Ne consegue che il grafico di f è un cilindro ottenuto componendo tutte le rette; è sufficiente quindi graficare g nel piano zy (o zx se $f(x,y)=g(x)$ ) e tracciare delle rette parallele (si veda il grafico di $f(x,y)=\cos(y)$ ottenibile disegnando cos(y) [funzione dalla traccia nota] e unendo quindi le rette prolungate, parallele all’asse x).

Grafico di f(x,y)=cos(y), realizzato con Maple 9.5

Alcune funzioni notevoli:

Funzione Beta

Esistono diversi tipi di funzione beta in matematica:

La funzione beta di Eulero ;
La funzione beta di Dirichlet ;
La funzione beta in teoria quantistica dei campi.

Funzione Gamma

In matematica, la funzione Gamma, nota anche come funzione gamma di Eulero è una funzione meromorfa, continua sui numeri reali positivi, che estende il concetto di fattoriale ai numeri complessi, nel senso che per ogni numero intero non negativo $n$ si ha:

\Gamma(n+1) = n!

dove $n!$ denota il fattoriale di $n,$ cioè il prodotto dei numeri interi da $1$ a $n$ : $n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots n$ .

Definizione

Valore assoluto della funzione gamma sul piano complesso

La notazione $\Gamma(z)$ è dovuta a Legendre.

Se la parte reale del numero complesso $z$ è positiva, allora l’integrale

\Gamma (z)=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

converge assolutamente. Comunque, usando la continuazione analitica, si può estendere la definizione della $\Gamma$ a tutti i numeri complessi $z$ , anche con parte reale non positiva, ad eccezione degli interi minori o uguali a zero. Usando l’integrazione per parti, in effetti, si può dimostrare che:

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)\,,

per cui si ha:

\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z))

In questo modo, la definizione della $\Gamma$ può essere estesa dal semipiano $\mathrm{Re}(z) >0$ a quello $\mathrm {Re} (z)>-1$ (ad eccezione del polo in $z=0$ ), e successivamente a tutto il piano complesso (con poli in $z=0,-1,-2,\dots$ ).

Siccome $\Gamma(1)=1$ , la relazione riportata sopra implica, per tutti i numeri naturali $n$ , che:

\Gamma(n+1)=n!\,.

In statistica si incontra di frequente (per esempio nella variabile casuale normale) l’integrale:

\int_{-\infty} ^{+\infty} e^{-\frac{x^2}{2))dx=\sqrt{2\pi}

che si ottiene ponendo ${\textstyle {\frac {x^{2)){2))=t}$ , e quindi $x=\sqrt{2t}$ , ottenendo quindi ${\textstyle dx={\frac {\sqrt {2)){2{\sqrt {t))))dt}$

{\begin{aligned}\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2)){2))}dx&=2\int _{0}^{+\infty }e^{-{\frac {x^{2)){2))}dx\\&=2\int _{0}^{+\infty }{\frac {\sqrt {2)){2))t^{-{\frac {1}{2))}e^{-t}dt\\&={\sqrt {2))\Gamma \left({\frac {1}{2))\right)\\&={\sqrt {2\pi ))\end{aligned))

Espressioni alternative

Le seguenti espressioni alternative per la funzione Gamma, sono valide su tutto il piano complesso (ad eccezione dei poli):

\Gamma (z)=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!n^{z)){z(z+1)\cdots (z+n)))

dovuta a Gauss,

\Gamma(z) = \frac{e^{-\gamma z)){z} \prod_{n=1}^\infty \left(1 + \frac{z}{n}\right)^{-1} e^{z/n}

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni, dovuta a Schlömilch e ottenibile applicando il teorema di fattorizzazione di Weierstrass alla funzione ${\frac {1}{\Gamma (z)))$

{\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)))=ze^{\gamma z}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n))\right)e^{-{\frac {z}{n))))

Un’ulteriore espressione alternativa è la seguente:

\Gamma(z) = \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n!}\frac{1}{z+n} + \int_1^{+\infty} t^{z-1}e^{-t}dt.

In questa formula sono espliciti i poli di ordine $1$ e residuo $\frac{(-1)^n}{n!}$ che la funzione Gamma ha in $z = -n$ , per ogni $n$ intero non negativo.

La singolarità nell’origine può essere anche dedotta dalla relazione di ricorrenza. Infatti

\lim_{z \to 0} \Gamma(z) = \lim_{z \to 0} \frac{\Gamma(z+1)}{z} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z},

dove è stato fatto uso della relazione $\Gamma(1)=1$ .

Proprietà

Altre importanti proprietà della funzione Gamma sono la formula di riflessione di Eulero:

\Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin(\pi z)},\qquad z\not \in \mathbb {Z} ,

e quella di duplicazione:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{2))\right)=2^{1-2z}{\sqrt {\pi ))\Gamma (2z)

che a sua volta è un caso particolare della formula di moltiplicazione:

\Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{m))\right)\Gamma \left(z+{\frac {2}{m))\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m))\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}m^{1/2-mz}\Gamma (mz)

la quale per $z=0$ diventa:

{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{m))\right)\Gamma \left({\frac {2}{m))\right)\cdots \Gamma \left({\frac {m-1}{m))\right)={\frac {(2\pi )^{(m-1)/2)){\sqrt {m))))

Quest’ultima identità è ottenibile anche dalla formula di riflessione e dall’identità trigonometrica ${\displaystyle \prod _{k=1}^{m-1}\sin {\frac {k\pi }{m))={\frac {m}{2^{m-1))))$ .

Le derivate della funzione Gamma:

\Gamma ^{(n)}(z)=\int _{0}^{+\infty }[\ln {(t)}]^{n}\,t^{z-1}\,e^{-t}\,dt

possono essere espresse in funzione della stessa funzione Gamma e di altre funzioni, per esempio:

\Gamma'(z)=\Gamma(z)\psi_0(z),

dove $\psi_0$ è la funzione poligamma di ordine zero. In particolare,

\Gamma'(1)=-\gamma,

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni.

Si ha, inoltre:

{\frac {d}{dz))\ln {\Gamma {(z)))={\frac {\Gamma '{(z))){\Gamma {(z)))}=\psi _{0}(z)=-\gamma -{\frac {1}{z))-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n+z))-{\frac {1}{n))\right)

che per $z=m$ intero positivo si riduce ad una somma finita

{\displaystyle \psi _{0}(m)={\frac {\Gamma '{(m))){\Gamma {(m)))}=-\gamma +1+{\frac {1}{2))+\dots +{\frac {1}{m-1))=-\gamma +H_{m-1))

dove ${\displaystyle H_{m-1))$ è l'(m-1)-esimo numero armonico.

Derivando membro a membro rispetto a $z$ si ha, ancora,

{\displaystyle {\frac {d}{dz)){\frac {\Gamma '{(z))){\Gamma {(z)))}=\psi _{1}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+z)^{2))))

che per $z=0$ diverge, mentre per $z=1$ diviene la serie armonica generalizzata di ordine 2

\left[{\frac {d}{dz)){\frac {\Gamma '{(z))){\Gamma {(z)))}\right]_{z=1}=\psi _{1}(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+1)^{2))}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))}=\zeta (2)={\frac {\pi ^{2)){6))

Lukacs studiò altre proprietà nell’opera A Characterization of the Gamma Distribution negli Annals of Mathematical Statistics del 1955.

Ricordiamo anche che, a partire dalla funzione Gamma, la funzione poligamma di ordine $m$ è definita nel modo seguente:

\psi _{m}(z):=\left({\frac {d}{dz))\right)^{m+1}\ln {\Gamma (z)}=\left({\frac {d}{dz))\right)^{m}{\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)))=\left({\frac {d}{dz))\right)^{m}\psi _{0}(z)

Valori notevoli

Probabilmente, il più noto valore che la funzione Gamma assume su numeri non interi è:

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi},

che si può trovare ponendo $z=\frac{1}{2}$ nella formula di riflessione.

Oltre a questo e al già citato valore assunto sui numeri naturali, sono interessanti anche le seguenti proprietà, che interessano i multipli dispari di $\frac{1}{2}$

\Gamma \left({\frac {n}{2))\right)={\frac {(n-2)!!}{2^{(n-1)/2))}{\sqrt {\pi ))=((\frac {n}{2))-1 \choose {\frac {n-1}{2))}\left({\frac {n-1}{2))\right)!{\sqrt {\pi ))

\Gamma \left(-{\frac {n}{2))\right)={\frac {\sqrt {\pi ))((\Biggl (}{\begin{matrix}-1/2\\{\frac {n+1}{2))\end{matrix)){\Biggr )}\left({\frac {n+1}{2))\right)!))

dove $n!!$ denota il semifattoriale e la parentesi tonda a due livelli il coefficiente binomiale.

Teorema di unicità

Lo stesso argomento in dettaglio:

Teorema di Bohr-Mollerup.

Il teorema di Bohr-Mollerup afferma che, tra tutte le funzioni che estendono la funzione fattoriale, solo la funzione Gamma è tale che il suo logaritmo è una funzione convessa.

°°°°°

Funzione zeta di Riemann

In matematica, la funzione zeta di Riemann è una funzione che riveste una fondamentale importanza nella teoria analitica dei numeri e ha notevoli risvolti in fisica, teoria della probabilità e statistica.

I primi risultati riguardanti questa funzione furono ottenuti da Leonhard Euler nel diciottesimo secolo, ma il nome deriva da Bernhard Riemann, che nel testo Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, pubblicato nel 1859, avanzò l’ipotesi di una relazione tra gli zeri della funzione e la distribuzione dei numeri primi, la celebre congettura di Riemann.

Definizione e prime proprietà

La funzione zeta di Riemann è definita prolungando analiticamente la serie di Dirichlet

$\zeta (s)={\frac 1{1^{s))}+{\frac 1{2^{s))}+{\frac 1{3^{s))}+\cdots =\sum _((n=1))^{\infty }{\frac {1}{n^{s))},$

convergente per ogni numero complesso $s$ di parte reale ${\mathrm {Re))(s)$ maggiore di $1$ . Tramite il prolungamento trovato da Riemann la serie di Dirichelet è estesa ad una funzione olomorfa su tutto il piano complesso ad eccezione di $1$ , dove ha un polo semplice.

La funzione zeta possiede zeri semplici negli interi pari negativi, detti zeri banali, mentre tutti gli altri zeri sono disposti simmetricamente rispetto alla retta ${\mathrm {Re))(s)={\frac {1}{2))$ , detta retta critica, e sono tutti contenuti nella striscia $0<{\mathrm {Re))(s)<1$ , detta striscia critica.

Storia

Bernhard Riemann fu il primo ad evidenziare la connessione tra gli zeri della funzione zeta di Riemann e la distribuzione dei numeri primi.

Il primo a notare l’importanza della funzione zeta nello studio dei numeri primi fu Eulero che, nel 1737, dimostrò l’identità, nota come prodotto di Eulero:

\zeta (x):=\sum _((n=1))^{\infty }{\frac 1{n^{x))}=\prod _((p{\text{ primo)))){\frac 1{1-p^((-x)))),

ove $x$ è un numero reale maggiore di $1$ . Grazie a questa formula, Eulero dedusse che la serie

\sum _((p{\text{ primo)))){\frac 1p}

diverge, e quindi che i numeri primi sono piuttosto densi nell’insieme dei numeri naturali, più dei quadrati perfetti; ad esempio si può notare come il ragionamento di Eulero fornisca anche una diversa dimostrazione del teorema dell’infinità dei numeri primi, già elegantemente dimostrato dalla matematica greca.

Nel secolo seguente Čebyšëv e altri matematici si dedicarono allo studio della comprensione della distribuzione dei numeri primi, utilizzando per lo più metodi di combinatoria e la formula prodotto di Eulero, senza tuttavia riuscire a dimostrare la relazione asintotica

$\pi (x):={\text{ numero di primi minori o uguali a ))x\sim {\frac x{\ln x)),$

congetturata da Legendre e ora nota come teorema dei numeri primi.

Fu però con Bernhard Riemann che la funzione zeta iniziò ad assumere un ruolo centrale nella teoria dei numeri. Nel suo unico articolo sull’argomento, Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse, Riemann considerò la funzione zeta non più solo per una variabile reale $x$ , ma per una variabile complessa $s$ , e la studiò utilizzando metodi di analisi complessa. I risultati principali ottenuti da Riemann furono:

la dimostrazione del fatto che la funzione $\zeta$ si possa prolungare analiticamente su tutto il piano complesso, ad eccezione di $1$ , in cui la funzione ha un polo semplice;
la scoperta di un’equazione funzionale (dimostrata in due diversi modi) che permette di mettere in relazione i valori della funzione zeta a destra e a sinistra della retta Re(s)=1/2;^[3]
una formula esatta che mostra la dipendenza della funzione enumerativa dei primi dagli zeri della funzione zeta.
L’introduzione di una nuova funzione olomorfa intera, ξ(s), strettamente legata alla ζ(s), e un abbozzo di dimostrazione di una formula prodotto per ξ(s) (questa formula fu dimostrata rigorosamente solo 34 anni dopo, da Jacques Hadamard).

Oltre a questi risultati, Riemann diede alcune formule senza dimostrazione, tra cui una formula con una stima asintotica del numero di zeri non banali della funzione zeta, e scrisse che è “molto probabile” che tutti questi zeri abbiano parte reale uguale a 1/2. Questa congettura ha preso il nome di ipotesi di Riemann ed è tuttora uno dei problemi aperti più importanti di tutta la matematica, grazie alle conseguenze che implicherebbe sulla distribuzione dei numeri primi.

Negli anni a seguire, vari matematici svilupparono ulteriormente le idee di Riemann, e fornirono dimostrazioni rigorose per alcune sue formule. In particolare i risultati più importanti furono ottenuti da von Mangoldt e soprattutto da Hadamard e de la Vallée Poussin. Questi ultimi infatti riuscirono a dimostrare che la funzione zeta non ha zeri nella retta ${\mathrm {Re))(s)=1$ e da questo ottenere come corollario il teorema dei numeri primi.

Da allora, grossi sforzi sono stati fatti per dimostrare l’ipotesi di Riemann, ma sono stati ottenuti solo risultati parziali che restano molto lontani da quanto previsto da Riemann. Nell’impossibilità di fare ulteriori progressi in questa direzione, lo sforzo dei teorici dei numeri si è spostato su altri importanti problemi relativi alla funzione zeta: lo studio della crescita della funzione zeta lungo la retta critica, lo studio dei suoi momenti e sulla trascendenza o razionalità dei suoi valori sui numeri naturali dispari.

Proprietà principali

Il grafico cartesiano della funzione zeta per i numeri reali tra -18,5 e 10

Il prodotto di Eulero

Lo stesso argomento in dettaglio:

Formula prodotto di Eulero.

Una delle proprietà fondamentali della funzione zeta di Riemann, è il prodotto di Eulero,

$\zeta (s):=\sum _((n=1))^{\infty }{\frac 1{n^{s))}=\prod _((p{\text{ primo)))){\frac {1}{1-p^((-s)))),$

valida per ${\mathrm {Re))(s)>1$ , e dove il prodotto è effettuato su tutti i numeri primi $p$ . La dimostrazione di questa identità usa solo la formula per la somma della serie geometrica e il teorema fondamentale dell’aritmetica. Infatti, per ${\mathrm {Re))(s)>0$ , si può calcolare la somma geometrica

\sum _((m=0))^{\infty }\left(p^((-s))\right)^{m}={\frac {1}{1-p^((-s)))),

per ogni primo $p$ . Moltiplicando tra loro queste identità per tutti i primi $p$ , per ${\mathrm {Re))(s)>1$ (questa ulteriore restrizione serve per assicurare la convergenza) si ha:

${\begin{aligned}\prod _((p{\text{ primo)))){\frac {1}{1-p^((-s))))&=\prod _((p{\text{ primo))))\left(\sum _((m=0))^{\infty }\left(p^((-s))\right)^{m}\right)\\&=\left(1+2^((-s))+(2^{2})^((-s))+(2^{3})^((-s))+\cdots \right)\cdot \left(1+3^((-s))+(3^{2})^((-s))+(3^{3})^((-s))+\cdots \right)\cdot \left(1+5^((-s))+(5^{2})^((-s))+(5^{3})^((-s))+\cdots \right)\cdots \\&=1+2^((-s))+3^((-s))+(2^{2})^((-s))+5^((-s))+(2\cdot 3)^((-s))+\cdots \\&=\zeta (s),\end{aligned))$

dato che per il teorema fondamentale dell’aritmetica ogni numero naturale si può decomporre in maniera unica come prodotto di potenze di primi.

È interessante notare che la formula di Eulero ha come conseguenza che vi sono infiniti numeri primi. Infatti, se vi fosse solo un numero finito di numeri primi allora il prodotto di Eulero sarebbe un prodotto finito e quindi sarebbe definito anche per $s=1$ , mentre in tale punto la funzione zeta ha un polo. Sebbene possa sembrare esageratamente complicata per un teorema di cui esistono dimostrazioni elementari, questa dimostrazione è molto importante in quanto una sua generalizzazione è stata usata da Dirichlet per dimostrare il teorema dell’infinità dei numeri primi nelle progressioni aritmetiche.

Questo prodotto è all’origine del collegamento tra funzione zeta e numeri primi.

Alcune serie correlate

Oltre alla serie che viene solitamente usata per definirla, la funzione zeta di Riemann è strettamente collegata anche con alcune altre serie di Dirichlet. Tra queste, è di fondamentale importanza la serie per la derivata logaritmica della funzione zeta,

${\frac {\zeta '}{\zeta ))(s)=-\sum _((n=1))^((\infty )){\frac {\Lambda (n)}{n^{s))}\qquad {\mathrm {Re))(s)>1,$

che si ottiene derivando il logaritmo del prodotto di Eulero. La funzione $\Lambda$ è la Funzione di von Mangoldt, una funzione che è diversa da zero solo nelle potenze dei numeri primi. Da questa identità si può ricavare facilmente, attraverso l’uso della somma per parti, la formula

{\frac {\zeta '}{\zeta ))(s)=-s\int _{1}^{+\infty }{\frac {\psi (x)}{x^{s+1))}\,dx\qquad \mathrm {Re} (s)>1,

dove

\psi (x):=\sum _((n\leq x))\Lambda (n)

è la funzione ψ di Čebyšëv, sostanzialmente una versione pesata della funzione enumerativa dei primi, $\pi(x)$ .

Altre serie di Dirichlet importanti collegate con la funzione zeta sono

{\frac {1}{\zeta (s)))=\sum _((n=1))^((\infty )){\frac {\mu (n)}{n^{s))}\qquad {\mathrm {Re))(s)>1,

dove $\mu$ è la funzione di Möbius, e

\zeta ^{k}(s)=\sum _((n=1))^((\infty )){\frac {d_{k}(n)}{n^{s))}\qquad {\mathrm {Re))(s)>1,

dove $d_{k}(n)$ è il numero di rappresentazioni di $n$ come prodotto di $k$ interi maggiori di $1$ . In particolare,

\zeta ^{2}(s)=\sum _((n=1))^((\infty )){\frac {d(n)}{n^{s))}\qquad {\mathrm {Re))(s)>1,

dove $d$ è la funzione divisore.

Anche la funzione eta di Dirichlet

\eta (s)=\sum _((n=1))^((\infty )){\frac {(-1)^((n-1))}{n^{s))}\qquad {\mathrm {Re))(s)>0,

è legata alla funzione zeta di Riemann, tramite la relazione

\eta (s)=\left(1-2^((1-s))\right)\zeta (s),

e può essere usata per prolungare analiticamente la funzione zeta sul semipiano ${\mathrm {Re))(s)>0$ .

Equazione funzionale

Una delle proprietà più importanti della funzione zeta di Riemann è che soddisfa la seguente equazione funzionale:

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^((s-1))\sin \left({\frac {\pi s}{2))\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s),$

ove $\Gamma (s)$ è la funzione Gamma. Questa formula è un’uguaglianza tra funzioni meromorfe valida su tutto il piano complesso. Per $s$ di parte reale negativa, tutte le funzioni a destra dell’uguaglianza non hanno poli e negli interi pari, la funzione seno ha zeri semplici; da ciò segue che la funzione zeta ha zeri semplici (detti zeri banali) negli interi negativi.

Questa equazione può essere vista come una formula di riflessione rispetto a s = 1/2 e permette di esprimere la funzione zeta a sinistra della retta Re(s) = 1/2 in termine della funzione zeta a destra di tale retta e di alcune funzioni ben note. La funzione zeta di Riemann si può “completare”, andando a formare la funzione Xi di Riemann,

\xi (s)={\frac {1}{2))s(s-1)\pi ^((-{\frac {s}{2))))\Gamma \left({\frac {s}{2))\right)\zeta (s),

che è olomorfa intera, ha gli stessi zeri della funzione zeta, ad eccezione degli zeri banali, e soddisfa l’equazione funzionale simmetrica

\xi (s)=\xi (1-s).

^[6]

Gli zeri e l’ipotesi di Riemann

Lo stesso argomento in dettaglio:

Ipotesi di Riemann.

A parte gli zeri “banali”, presenti negli interi pari negativi, la funzione zeta non ha zeri a destra di σ=1 e a sinistra di σ=0 (né possono esserci zeri “vicini” a tali due rette). Inoltre, gli zeri non banali sono simmetrici rispetto alle rette σ=1/2 e t=0 e, secondo quanto ipotizzato da Riemann, appartengono tutti alla retta σ=1/2.

Il prodotto di Eulero ha come immediata conseguenza che la funzione zeta non ha zeri nel semipiano Re(s) > 1.

Inoltre, grazie all’equazione funzionale, da ciò segue che gli unici zeri che la funzione zeta ha nel semipiano Re(s) < 0 sono gli zeri banali.

Gli zeri restanti possono quindi essere solo nella striscia 0 ≤ Re(s) ≤ 1 e, sempre grazie all’equazione funzionale, sono simmetrici rispetto a s = 1/2 e anche rispetto alla retta Im(s) = 0.

Di conseguenza, per ogni zero non banale σ + it ve n’è un altro in σ – it ed altri due in 1 -σ ± it (questi zeri coincidono con i precedenti se σ = 1/2).

Inoltre, nelle loro dimostrazioni del teorema dei numeri primi, Hadamard e de la Vallée Poussin mostrarono che la funzione zeta non ha zeri neanche nella retta Re(s) = 1 (e dunque, per l’equazione funzionale, neanche in Re(s) = 0).

In particolare, tutti gli zeri non banali della funzione zeta sono nella striscia 0 < Re(s) < 1, che viene dunque detta striscia critica. Nella sua memoria del 1859,

Riemann ha espresso la sua convinzione che gli zeri siano disposti proprio al centro di tale striscia, nella retta Re(s) = 1/2 (la retta critica); questa congettura è tuttora aperta ed ha preso il nome di ipotesi di Riemann (in inglese Riemann hypothesis o RH).

I valori assoluti della funzione zeta nel piano complesso. A un valore più scuro corrisponde un valore assoluto più piccolo

L’ipotesi di Riemann è molto lontana dall’essere dimostrata e non è ancora noto se esista un ε > 0 tale che tutti gli zeri σ + it di ζ stiano in σ <1-ε (l’ipotesi di Riemann corrisponde a ε = 1/2 e, grazie al teorema di Hadamard e de la Vallée Poussin l’asserzione è dimostrata essere vera per ε = 0). Tuttavia, qualche risultato parziale è stato ottenuto; il primo ad estendere la regione priva di zeri (zero-free region) è stato de la Vallée Poussin, che nel 1899 ha provato che gli zeri della funzione zeta di Riemann soddisfano la disequazione

\sigma <1-{\frac {C}{\log(|t|+2))),

per una costante $C>0$ . Questo risultato è stato leggermente migliorato nel corso degli anni, con progressi portati da John Edensor Littlewood, Nikolai Chudakov, Nikolai Mikhailovich Korobov e Ivan Matveevič Vinogradov. Quest’ultimo nel 1958 ha dimostrato che

\sigma <1-{\frac {C}{(\log |t|)^((\frac 23))(\log \log |t|)^((\frac 13)))),

per t > 3 e per una costante C >0. Se si eccettua per alcuni miglioramenti alla costante C (il più recente dei quali è dovuto a Ford, che ha dimostrato che si può prendere C = 1/57.54), il teorema di Vinogradov è tuttora la migliore disuguaglianza nota per la regione priva di zeri.

La formula di Riemann-von MangoldtNella memoria di Riemann è presente una stima asintotica per il numero di zeri non banali con parte immaginaria compresa tra $0$ e $T$ per $T$ che tende all’infinito.

Definito

N(T):=\#\left\{\sigma +it\mid \ \zeta (\sigma +it)=0,\ 0<t<T,0<\sigma <1\right\},

dove $\#$ denota la cardinalità dell’insieme, si ha

N(T)={\frac {T}{2\pi ))\log {\frac T{2\pi e))+{\frac 78}+S(T)+O\left({\frac 1T}\right),

dove $O$ denota il simbolo di Landau

S(T):={\frac 1\pi }\arg \left(\zeta \left({\frac 12}+iT\right)\right)=O(\log T)

e $\arg$ indica l’argomento.

Questa formula, enunciata da Riemann, è stata dimostrata da von Mangoldt nel 1905 ed è nota come formula di Riemann-von Mangoldt.

È chiaro che l’ipotesi di Riemann è vera se e solo se $N(T)$ coincide con

N_{0}(T):=\#\left\((\frac 12}+it\mid \ \zeta \left({\frac 12}+it\right)=0,\ 0<t<T\right\}.

Sono stati ottenuti alcuni risultati parziali in questa direzione, i più importanti dei quali sono dovuti ad Hardy e Littlewood, che hanno provato che

N_{0}(T)\gg T,

a Selberg che ha provato che

N_{0}(T)\geq \kappa N(T)

per una qualche costante κ > 0, e a Levinson e Conrey che hanno migliorato tale costante, portandola rispettivamente a 1/3 e poco più di 2/5.

Un’altra importante congettura sulla funzione zeta di Riemann (detta congettura degli zeri semplici o, in inglese, Simple Zeros Conjecture) asserisce che tutti gli zeri della funzione sono semplici.

I risultati ottenuti a proposito della percentuale degli zeri semplici sono molto simili a quelli per la percentuale degli zeri sulla retta critica ed anche in questo caso è stato provato che

N_{0}^{*}(T):=\#\left\((\frac 12}+it\mid \ \zeta \left({\frac 12}+it\right)=0,\zeta '\left({\frac 12}+it\right)\neq 0,\ 0<t<T\right\}\geq \kappa ^{*}N_{0}(T).

per una costante κ* > 2/5.^[9]^[11]

Correlazione tra gli zeriDalla formula asintotica per N(T) è facile dimostrare che, assumendo l’ipotesi di Riemann, la distanza media tra due zeri consecutivi di ζ(s) ad altezza T è 2Π/logT.

Ci possono però essere intervalli insolitamente lunghi ed insolitamente corti senza zeri ed infatti, assumendo l’ipotesi di Riemann ed indicando con ${\frac 12}+\gamma _((n))$ l’n-esimo zero non banale (di parte immaginaria positiva) della funzione zeta di Riemann, si ha che esistono due costanti λ₁ < 1 e λ₂ > 1 tali che

\liminf {\frac {\gamma _((n+1))-\gamma _{n)){2\pi /\log \gamma _{n))}<\lambda _{1}

\limsup {\frac {\gamma _((n+1))-\gamma _{n)){2\pi /\log \gamma _{n))}>\lambda _{2}.

^[12]^[13]

Un’importante congettura sugli zeri della funzione zeta di Riemann è la congettura della correlazione delle coppie di Hugh Montgomery (in inglese, pair correlation conjecture).

Questa congettura afferma che, per ogni β > α > 0, si ha

\left\{\gamma ,\gamma '\in [0,T]\mid \zeta \left({\frac 12}+\gamma \right)=0,\zeta \left({\frac 12}+\gamma '\right)=0,\ {\frac {2\pi \alpha }{\log T))\leq \gamma -\gamma '\leq {\frac {2\pi \beta }{\log T))\right\}\sim N(T)\int _{\alpha }^{\beta }\left(1-\left({\frac {\sin \pi u}{u))\right)^{2}\right)\,du,

per $T$ che tende all’infinito.^[14]

Serie di Laurent

La funzione zeta di Riemann ha un polo semplice in s = 1, la sua serie di Laurent in tale punto è

\zeta (s)={\frac {1}{s-1))+\sum _((n=0))^((\infty ))((\frac {(-1)^{n)){n!))\gamma _{n}(s-1)^{n)),

dove le costanti sono chiamate costanti di Stieltjes e sono definite come:

\gamma _{k}={\frac {(-1)^{k)){k!))\lim _((N\rightarrow \infty ))\left(\sum _((m\leq N)){\frac {\ln ^{k}m}{m))-{\frac {\ln ^((k+1))N}{k+1))\right)

La costante γ₀ è dunque la Costante di Eulero-Mascheroni.

°°°°°

Prodotto di Hadamard

Sulla base del teorema di fattorizzazione di Weierstrass, Jacques Hadamard dimostrò che:

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{s\left(\ln(2\pi )-1+{\frac {\gamma }{2))\right))){2(s-1)\Gamma (1+s/2)))\cdot \prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho ))\right)e^{s/\rho ))$

dove $\gamma$ è la costante di Eulero-Mascheroni e $\rho$ sono gli zeri non banali della funzione zeta.

Relazione con la funzione digamma

La funzione zeta compare nello sviluppo in serie di Taylor della funzione digamma:

\psi _{0}(z+1)=\sum _((k=0))^{\infty }(-1)^((k+1))\zeta (k+1)\ {z^{k))

Relazione con la trasformata di Mellin

Lo stesso argomento in dettaglio: Trasformata di Mellin.

La trasformata di Mellin di una funzione $f(x)$ è definita come:

\((\mathcal {M))f\}(s)=\int _{0}^{+\infty }f(x)x^{s-1}dx

Essa è collegata alla funzione zeta. Infatti:

\Gamma (s)\zeta (s)=\left\((\mathcal {M))\left({\frac {1}{e^((x))-1))\right)\right\}(s).

dove $\Gamma (s)$ è la funzione Gamma di Eulero.

Ciò equivale a dire che:

$\zeta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)))\int _((0))^((+\infty )){\frac {x^((s-1))}{e^{x}-1))dx.$

Questa rappresentazione converge per ${\mathrm {Re))(s)>1$ e non può essere dunque usata per estendere il dominio della funzione.

Se π(x) è il numero di numeri primi compresi tra $0$ e $x$ allora possiamo scrivere che:

\ln \zeta (s)=s\int _{0}^((+\infty )){\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)))\,dx.

E considerando la funzione $J(x)$ come $J(x)=\sum {\frac {\pi (x^((1/n)))}{n))$ abbiamo che:

{\frac {\ln \zeta (s)}{s))=\left\((\mathcal {M))J\right\}(-s).

I valori della funzione zeta

Lo stesso argomento in dettaglio:

Costanti zeta.

$L'immagine mostra i valori per la parte reale ed immaginaria di ζ ( 1 / 2 + i y ) {\displaystyle \zeta (1/2+iy)} con y che varia tra 0 e 50.$

L’immagine mostra i valori per la parte reale ed immaginaria di $\zeta (1/2+iy)$ con y che varia tra 0 e 50.

Il calcolo dei valori esatti della funzione zeta è stato un compito piuttosto difficile: Eulero riuscì nel 1735 ad avere una formula esatta per la funzione zeta di $2$ . Il suo metodo si poteva applicare per tutti gli $s$ pari:

$\zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2))}+{\frac {1}{3^{2))}+\cdots ={\frac {\pi ^{2)){6))\approx 1,645$ ;

la dimostrazione di questo fatto è la soluzione del problema di Basilea.

$\zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4))}+{\frac {1}{3^{4))}+\cdots ={\frac {\pi ^{4)){90))\approx 1,0823$

$\zeta (6)=1+{\frac {1}{2^{6))}+{\frac {1}{3^{6))}+\cdots ={\frac {\pi ^{6)){945))\approx 1,0173$

Più in generale è stato dimostrato che:

$\zeta (2n)={\frac {2^((2n-1))\pi ^((2n))|B_((2n))|}{(2n)!)),$

dove $B_{n}$ è l’ $n$ -esimo numero di Bernoulli.

Non sono note formule analoghe, per i valori della funzione zeta in corrispondenza di $s=3$ né per altri valori dispari (e maggiori di $1$ ) di $s$ . Sommando i primi termini della serie che definisce la funzione zeta si possono però ottenere valori approssimati:

$\zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3))}+{\frac {1}{3^{3))}+\cdots \approx 1,202,$

$\zeta (5)=1+{\frac {1}{2^{5))}+{\frac {1}{3^{5))}+\cdots \approx 1,0369,$

$\zeta (7)=1+{\frac {1}{2^{7))}+{\frac {1}{3^{7))}+\cdots \approx 1,0083.$

La razionalità e la trascendenza di questi valori è da molti anni al centro dell’interesse di molti studiosi di teoria dei numeri trascendenti.

Al 2014, non è noto se essi siano trascendenti o meno, mentre l’irrazionalità è stata dimostrata solo per la costante di Apéry ζ(3) da Roger Apéry nel 1978.

Ci sono inoltre altri risultati parziali sull’irrazionalità di queste costanti; ad esempio, è stato dimostrato che almeno uno tra ζ(5), ζ(7), ζ(9), e ζ(11) è irrazionale.

Altri valori

$\zeta (3/2)\approx 2,612$

$\zeta (5/2)\approx 1,341$

$\zeta (7/2)\approx 1,127$

$\zeta (-1)=-{\frac {1}{12))$

$\zeta (0)=-{\frac {1}{2))$

Il lavoro di Riemann

Molto prima che Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrassero il teorema dei numeri primi, Bernhard Riemann pubblicò nel 1859 (come accennato) un articolo in cui trattava la funzione zeta.

Oltre a estendere il dominio della funzione tramite prolungamenti analitici Riemann, partendo dal Prodotto di Eulero, dimostrò una formula straordinaria che esprimeva appieno la correlazione tra numeri primi e funzione zeta

$\pi (x)=\sum _((m=1))^{\infty }{\mu (m){\frac {J(x^((1/m)))}{m))},$

dove

$J(x)={\mathrm {Li))(x)-\sum _((\rho ))((\mathrm {Li))(x^{\rho })}+\int _{x}^((+\infty ))((\frac {1}{u^{2}-1))\cdot {\frac {du}{u\ln u))},$

e la serie sulla destra è sommata su tutti gli zeri non banali $\rho$ della funzione zeta di Riemann. La formula dà sempre un valore numerico reale anche se i $\rho$ sono numeri complessi.

Questo è dovuto al fatto che le parti immaginarie degli zeri sono simmetriche rispetto all’origine.

In altre parole se ζ(a+bi)=0 anche ζ(a-bi)=0 e questa proprietà si estende anche a ${\mathrm {Li))(x^{\rho })$ .

Sommando dunque queste quantità la parte immaginaria si annulla.

°°°°°

Funzione identità

In matematica si chiama funzione identità su un insieme la funzione che associa ad ogni elemento l’elemento stesso. $X$

La funzione identità su si indica con . Essa ha dunque come dominio e codominio ed è racconto per cui per ogni si ha . $X$ ${\ mathrm {id)) _ {X}$ $X$ $x \ in X$ ${\ mathrm {id)) _ {X} (x) = x$

Proprietà

La funzione identità è la più semplice tra le funzioni definibili su un insieme, ed è inoltre compatibile con praticamente tutte le strutture matematiche possedute dall’insieme; viene infatti utilizzata come prototipo per definire gli automorfismi , ovvero le funzioni interne ad un insieme, che ne conservano le strutture. All’interno del gruppo degli automorfismi di una data struttura, l’identità costituente l’ elemento neutro rispetto alla composizione di morfismi.

A seconda delle strutture su cui è applicata, la funzione identità riveste quindi diverse caratteristiche:

su un insieme è una biiezione ;
su qualunque struttura algebrica è un isomorfismo ;
su uno spazio vettoriale è una funzione lineare ;
su uno spazio metrico è una isometria ;
su uno spazio topologico è un omeomorfismo ;
su una varietà differenziabile è un diffeomorfismo .

Rappresentazioni

La funzione identità può venire rappresentata in modi diversi a seconda delle caratteristiche degli insiemi su cui è definita; ad esempio:

sull’insieme dei numeri reali è possibile rappresentare la funzione con il suo grafico sul piano cartesiano che corrisponde alla bisettrice del primo e terzo quadrante ; $\ mathbb {R}$ ${\ mathrm {id)) _ ((\ mathbb {R))}$

su uno spazio vettoriale di dimensione la funzione identità è una trasformazione lineare rappresentata dalla matrice identità di ordine . $n$ $n$

°°°°°

Funzioni di interesse probabilistico e statistico

Funzione di ripartizione

In statistica e teoria della probabilità, la funzione di ripartizione (o funzione cumulativa) è una funzione di variabile reale che racchiude le informazioni su un fenomeno (un insieme di dati, un evento casuale) riguardanti la sua presenza o la sua distribuzione prima o dopo un certo punto.

Nel calcolo delle probabilità

Nel calcolo delle probabilità la funzione di ripartizione, o funzione di probabilità cumulata, di una variabile casuale $X$ a valori reali è la funzione che associa a ciascun valore $x$ la probabilità del seguente evento: “la variabile casuale $X$ assume valori minori o uguali ad $x$ “.

In altre parole, è la funzione $F\colon \mathbb{R} \to [0,1]$ con dominio la retta reale e immagine nell’intervallo $[0,1]$ definita da

F(x)=P(X\leq x).

Una funzione F è una valida funzione di ripartizione se è non decrescente, continua a destra e

F(x)\geq 0,\quad \forall x

\lim _((x\to +\infty ))F(x)=1

\lim _((x\to -\infty ))F(x)=0

Una funzione di ripartizione non è necessariamente continua a sinistra (e dunque continua globalmente): se $X$ è una variabile casuale discreta e $z$ un punto del suo supporto, allora $F$ è una funzione a gradino e dunque

\lim _((x\to z^{-))}F(x)=\lim _((x\to z^{-))}\sum _((i=1))^{n}p(x_{i})=\sum _((i=1))^{n}p(x_{i})

(ponendo senza restrizioni di generalità $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<x<z$ ) poiché è una costante indipendente da $x$ , mentre

$F(z)=\sum _((i=1))^{n}p(x_{i})+p(z)$

dunque essendo $p(z)\neq 0$ si ha che $F$ non è continua.

Più in generale, una funzione di ripartizione individua univocamente una intera distribuzione di probabilità, cioè una funzione che ad ogni sottoinsieme misurabile $A$ associa la probabilità che $X$ cada in $A$ .

Proprietà

Si può dimostrare dalla definizione che valgono le seguenti uguaglianze, ponendo per semplicità di notazione $F(x^{-}):=\lim _((t\to x^{-))}F(t)$ :

$\operatorname {P}(X<x)=F(x^{-})$
$\operatorname {P}(a<X\leq b)=F(b)-F(a)$
$\operatorname {P}(a\leq X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})$
$\operatorname {P}(a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^{-})$
$\operatorname {P}(a<X<b)=F(b^{-})-F(a)$
$\operatorname {P} (X=b)=F(b)-F(b^{-})$

Se $X$ è una variabile casuale assolutamente continua la funzione di ripartizione di $X$ può essere espressa come funzione integrale:

F(x)=\int _((-\infty ))^{x}f(u)du

ove $f$ è detta funzione di densità di $X$ .

Si può anche considerare la relazione inversa:

F'(x)=f(x)

Se $X$ è una variabile casuale discreta (ossia ammette una collezione numerabile di possibili valori $x_{1},\ldots ,x_{n},\ldots$ )

F(x)=\sum _((x_{i}\leq x))p(x_{i})

dove $p(x)=P(X=x)$ è detta funzione di probabilità di $X$ .

Esempi

Grafico della funzione di ripartizione relativa alla distribuzione uniforme

Se $X$ è la variabile aleatoria risultato del lancio di un dado a sei facce si ha

F(x)={\begin{cases}0&x<1\\\lfloor x\rfloor /6&1\leq x<6\\1&x\geq 6\end{cases))

dove con $\lfloor x\rfloor$ si indica la parte intera di x.

Se $X$ è la variabile casuale uniforme continua in $[0,1]$ si ha

F(x)={\begin{cases}0&x<0\\x&0\leq x<1\\1&x\geq 1\end{cases))

Funzione di sopravvivenza

In alcuni modelli è più utile analizzare la probabilità che un certo dato numerico valga più del valore $x$ (come nella vita di un organismo, biologico o meccanico): questi casi sono trattati dalla branca chiamata analisi di sopravvivenza. Si definisce allora la funzione di sopravvivenza $S$ (dal termine inglese survival) come il complemento della funzione di ripartizione:

S(x)=P(X>x)=1-F(x)

Nei casi rispettivamente continuo e discreto, valgono naturalmente delle identità speculari a quelle della ripartizione:

S(x)=\int _{x}^((+\infty ))f(t)dt

S(x)=\sum _((t>x))p(t).

Ogni funzione di sopravvivenza $S(x)$ è una funzione monotona decrescente, vale a dire $S(a)\leq S(b)$ per $a>b.$

Il tempo $x=0$ rappresenta l’origine, in genere l’inizio di uno studio o l’inizio del funzionamento di alcuni sistemi.

Variabili aleatorie multivariate

Più in generale la funzione di ripartizione di una variabile aleatoria $X$ a valori in ${\mathbb R}^{k}$ è la funzione $F(x)$ con dominio ${\mathbb R}^{k}$ e codominio l’intervallo $[0,1]$ definita da

F(x_{1},\ldots ,x_{k})=P((X_{1}\leq x_{1})\cap (X_{2}\leq x_{2})\cap \ldots \cap (X_{k}\leq x_{k}))

dove $X_i$ sono le componenti di $X$ .

Questa funzione possiede la proprietà di essere continua a destra separatamente per ogni variabile. Valgono inoltre le seguenti formule, derivanti dalla definizione:

Per qualsiasi $i$ , $\lim _((x_{i}\to -\infty ))F(x_{1},\ldots ,x_{k})=0$
$F$ è monotona crescente separatamente in ogni variabile, cioè se $c>0$ , $F(x_{1},\ldots ,x_{i}+c,\ldots ,x_{k})\geq F(x_{1},\ldots ,x_{i},\ldots ,x_{k})$
se $k=2$ per semplicità, $P(a<X_{1}\leq b,c<X_{2}\leq d)=F(b,d)+F(a,c)-F(a,d)-F(b,c)$
$\lim _((x_{i}\to +\infty ))F(x_{1},\ldots ,x_{k})=G(x_{1},\ldots ,x_((i-1)),x_((i+1)),\ldots ,x_{k})$ dove $G$ è la funzione di ripartizione della variabile $(k-1)$ -variata $(X_{1},X_{2},\ldots ,X_((i-1)),X_((i+1)),\ldots ,X_{k})$ .

Da quest’ultima proprietà viene anche l’uguaglianza

\lim _((x_{k}\to +\infty ))\lim _((x_((k-1))\to +\infty ))\ldots \lim _((x_{1}\to +\infty ))F(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{k})=1

e l’affermazione vale ovviamente anche per ogni permutazione degli indici $i$ .

In statistica descrittiva

Lo stesso argomento in dettaglio:

Statistica descrittiva.

In statistica la funzione di ripartizione empirica, o funzione di distribuzione cumulata, viene usata per descrivere fenomeni quantitativi o comunque descritti con valori misurati su scale ordinali, intervallari o proporzionali, ma non se misurati con una scala nominale.

La funzione di ripartizione viene indicata solitamente con $F(x)$ e rappresenta il numero di osservazioni del fenomeno minori o uguali del valore $x$ .

Se $x_{1},\ldots ,x_{n}$ sono le osservazioni (ordinate in senso crescente), con frequenze relative $f_{1},\ldots ,f_{n}$ la funzione di ripartizione ha espressione analitica

F(x)={\begin{cases}0&x<x_{1}\\F_{i}=\sum _((j\leq i))f_{j}&x_{i}\leq x<x_((i+1))\\1&x\geq x_{n}\end{cases))

Le $F_{i}$ sono dette frequenze relative cumulate.

°°°°°

Funzione di probabilità

Nella teoria della probabilità, la funzione di probabilità $p_{X}(x)$ , o funzione di massa di probabilità, o densità discreta di una variabile casuale discreta $X$ è una funzione di variabile reale che assegna ad ogni valore possibile di $X$ la probabilità dell’evento elementare $(X=x)$ .

Nel caso in cui la variabile casuale $X$ sia continua, cioè l’insieme dei possibili valori ha la potenza del continuo, allora tale probabilità è sempre nulla, quindi questa definizione è inutile. Al contrario, si utilizza la funzione di densità di probabilità.

Definizione

Data una variabile casuale discreta $X(s):S\rightarrow \mathbb{R}$ , la funzione di probabilità è la funzione

$p_{X}(x)=P(X=x)=P(\{s\in S:X(s)=x\}).$

che associa ad ogni punto $x$ dello spazio campionario la probabilità che la variabile $X(s)$ assuma esattamente quel valore. Inoltre, deve essere soddisfatta la seguente equazione: $\Sigma _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$
Per estendere tale definizione a tutta la retta reale, si assume che per ogni valore $x$ che $X$ non può assumere (cioè non contenuto nel supporto di $X$ ) essa vale 0, cioè:

p_{X}:\mathbb{R} \longrightarrow [0,1],\,p_{X}(x)={\begin{cases}P(X=x),&x\in S,\\0,&x\in {\mathbb {R))\backslash S.\end{cases))

Dato che $S$ , il supporto di $X$ , è un insieme numerabile, la $p_{X}(x)$ è una funzione nulla quasi ovunque.

Nel caso di variabili multivariate discrete (cioè con supporto un sottoinsieme discreto di $\mathbb {R} ^{n}$ ) $X=(X_{1},X_{2},...,X_{n})$ , la funzione di probabilità congiunta è definita come segue:

p_{X}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=P((X_{1}=x_{1})\cap (X_{2}=x_{2})\cap \ldots \cap (X_{n}=x_{n}))

Il secondo membro spesso, per comodità di notazione, si scrive più semplicemente $P(X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2},...,X_{n}=x_{n})$

La funzione di probabilità marginale della i-esima componente si ricava grazie al teorema della probabilità assoluta. Sia n=2 per semplicità; allora da $(X=t)=(X=t)\cap \Omega$ ne deriva

p_{X}(t)=P(X=t,Y\in \mathbb{R} )=\sum _((y\in R_{Y))}P(X=t,Y=y)

Relazioni con la funzione di ripartizione

Se indichiamo con $F_{X}$ la funzione di ripartizione di $X$ , allora:

$p_{X}(x)=F_{X}(x)-F_{X}(x^{-})$ , dove con $F_{X}(x^{-})$ si indica il limite sinistro della F_X in x.

Da ciò si deduce che, se $X$ è una variabile casuale continua, tale valore è nullo in ogni punto, poiché la sua funzione di ripartizione è continua. Dunque ha senso definire tale funzione solo per variabili aletorie discrete.

$F_{X}(x)=\sum _((\xi \leq x))p_{X}(\xi )$

Un caso molto particolare di densità

Lo stesso argomento in dettaglio:

Funzione di densità di probabilità.

La funzione di probabilità può essere pensata come una densità, cioè in termini integrali, grazie all’approccio assiomatico di Kolmogorov che si basa sulla teoria della misura: se si pensa infatti di munire lo spazio campionario $\R$ della misura del conteggio (counting measure in inglese) $c$ risulta:

$P(X\in A)=\sum _((x\in A))p_{X}(x)=\sum _((x\in A))p_{X}(x)\cdot 1=\sum _((x\in A))p_{X}(x)\cdot c(\{x\})=\int _((\bigcup _((x\in A))\{x\))}p(x)dc=\int _{A}p(x)dc$

cioè la funzione di probabilità risulta essere una densità rispetto alla misura del conteggio, diversa da quella di Lebesgue.

Questa osservazione permette innanzitutto di unificare, quando conveniente, le due grandi classi di variabili discrete e continue in un’unica trattazione in termini di densità (per una opportuna misura) e poi evita di far nascere problemi di natura teorica quando si vanno a considerare variabili casuali vettoriali del tipo $(X,Y)$ , dove una delle due è discreta e l’altra è continua: basta fornire lo spazio campionario prodotto della misura $c\times \mu$ (nel caso $X$ discreta), dove $\mu$ sarà l’usuale misura di Lebesgue.

°°°°°

Funzione di densità di probabilitàIn matematica , Una Funzione di densita di Probabilità (o dall’inglese PDF funzione densità di probabilità ) e L’Analogo della Funzione di Probabilità Di Una variabile Casuale nel Caso in cui la variabile Casuale SIA continua , cioè l’Insieme dei Valori Possibili Che ha la potenza del continuo . Essa descrive la “densità” di probabilità in ogni punto nello spazio campionario $X$ .

Definizione

La funzione di densità di probabilità di una variabile casuale è un’applicazione non negativa integrabile secondo Lebesgue e reale di variabile reale tale che la probabilità dell’insieme A sia data da $X$ $p_ {X} (x)$

{\ displaystyle P (X \ in A) = \ int _ {A} p_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x}

per tutti i sottinsiemi A dello spazio campionario . Intuitivamente, se una distribuzione di probabilità ha densità , allora l’ intervallo ha probabilità .

Da ciò deriva che la funzione è definita come $p_ {X} (x)$ ${\ displaystyle [x, x + \ mathrm {d} x]}$ ${\ displaystyle p_ {X} (x) \, \ mathrm {d} x}$ $p_ {X} (x)$

{\ displaystyle p_ {X} ({\ bar {x))): {\ bar {x)) \ mapsto \ lim _ {\ mathrm {d} x \ to 0} {\ frac {P (x <{\ barra {x)) <x + \ mathrm {d} x)} {\ mathrm {d} x))}

Assumendo , ciò corrisponde al limite della probabilità che si trovi nell’intervallo per che tende a zero.

Di qui il nome di funzione di ‘densità’, in quanto essa rappresenta il rapporto tra una probabilità e un’ampiezza. $x \ equiv {\ bar {x))$ ${\ bar {x))$ ${\ displaystyle [x, x + \ mathrm {d} x]}$ ${\ mathrm {d)) x$

Per la condizione di normalizzazione l’integrale su tutto lo spazio di deve essere 1.

Di conseguenza ogni funzione non negativa, integrabile secondo Lebesgue, con integrale su tutto lo spazio uguale a 1, è la funzione densità di probabilità di una ben definita distribuzione di probabilità.

Una variabile casuale che possiede densità si dice ” variabile casuale continua “. $p_ {X} (x)$

Per le variabili casuali multivariate (o vettoriali) la trattazione formale è assolutamente identica: si dice assolutamente continua se esiste una funzione a valori reali definita in , detta densità congiunta , tale che per ogni sottoinsieme A dello spazio campionario $(X_ {1}, \ ldots, X_ {n})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

{\ displaystyle P (X \ in A) = \ int _ {A} p_ {X_ {1}, \ ldots, X_ {n)) (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \, \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n))

Conserva tutte le proprietà di una densità scalare: è una funzione non negativa a integrale unitario su tutto lo spazio.

Una proprietà importante è che se è assolutamente continua allora lo è ogni sua componente; il viceversa invece non vale.

La densità di un componente, detta densità marginale , si ottiene con un ragionamento analogo al teorema della probabilità assoluta , cioè fissando l’insieme dei suoi valori di cui si vuole determinare la probabilità e la disponibilità di variare tutte le altre componenti.

Infatti (nel Caso bivariato per semplicità) l’evento e l’evento ,

dunque $(X_ {1}, \ ldots, X_ {n})$ $(X \ in A)$ $(X \ in A, Y \ in \ mathbb {R})$

{\ displaystyle P (X \ in A) = \ int _ {A \ times \ mathbb {R}} p_ {X, Y} (x, y) \, \ mathrm {d} x \, \ mathrm {d} y = \ int _ {A} \ left (\ int _ {\ mathbb {R}} p_ {X, Y} (x, y) \, \ mathrm {d} y \ right) \ mathrm {d} x}

utilizzando il teorema di Fubini . La densità marginale di è data dunque da $X$

{\ displaystyle p_ {X} (x) = \ int _ {\ mathbb {R}} p_ {X, Y} (x, y) \, \ mathrm {d} y}

Esempi

Esempio di gaussiana

La funzione di densità della variabile casuale normale di media 0 e varianza 1 (detta normale standard ), di cui a destra è riportato il grafico e l’espressione analitica della corrispondente densità nel caso generico (media e varianza ). $\ mu$ $\ sigma ^ {2}$

Un altro esempio può essere dato dalla densità di probabilità uniforme su un segmento (0,1). Si può verificare immediatamente che è densità di probabilità facendo l’integrale tra (0,1).

°°°°°

Funzione generatrice dei momenti

La funzione generatrice dei momenti viene usata nella teoria della probabilità per caratterizzare in modo astratto le variabili casuali permettendo da un lato di estrarne agevolmente alcuni parametri (come il valore atteso e la varianza ) contro due diverse variabili casuali e vedere il loro comportamento in condizioni limite.

La funzione generatrice dei momenti g (t) di una variabile casuale X è definita come il valore atteso di , dove esso è finito (e ciò può accadere solo in un intorno dello 0, in cui vale 1 indipendentemente da X ). Infatti tale valore atteso potrebbe essere infinito e in tal caso si dice semplicemente che X non possiede funzione generatrice dei momenti. $e ^ {tX}$

Descrizione

Nel caso di variabili casuali discrete si ottiene:

\ g (t) = \ mbox {E} [e ^ {tX}] = \ sum_ {i = 1} ^ {n} p_ {i} e ^ {tX_ {i))

mentre per le variabili casuali continuano :

\ g (t) = \ mbox {E} [e ^ {tX}] = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {tx} f_ {X} (x) dx

dove , denotano le funzioni di massa ( densità nel caso continuo) della vc in questione. $\ p_ {i}, \ i = 1, \ ldots, n$ $f_ {X} (x)$

Dalla funzione generatrice dei momenti è possibile ricavare i momenti semplici di ordine k derivando k volte g (t) con t = 0. Vale a dire:

\ \ mu_ {1} = \ frac {dg} {dt} | _ {t = 0} = g '(0)

\ \ mu_ {2} = \ frac {d ^ {2} g} {dt ^ {2)) | _ {t = 0} = g '' (0)

\ \ ldots

dall’ultima espressione sopra si può ad esempio ricavare la varianza .

Teoremi

Se sono vc indipendenti e la loro somma: $\ X_1, X_2, \ ldots, X_n$ $\ X$

$\ X = X_1 + X_2 + \ cdots + X_n$

allora la funzione generatrice dei momenti di è il prodotto delle funzioni generatrici dei momenti delle singole : $\ X$ $\ X_i$

$\ g (t; X) = \ prod_ {i = 1} ^ {n} g (t; X_ {i})$ .

Un secondo teorema importante è il seguente

Se due variabili casuali su uno stesso spazio di probabilità hanno stessa funzione generatrice dei momenti, allora le due variabili casuali coincidono.

°°°°°

Funzione caratteristica (teoria della probabilità)

Nella teoria della probabilità, la funzione caratteristica di una generica distribuzione di probabilità definita sulla retta reale, concetto principalmente sistematizzato da Lukacs, è genericamente una qualsiasi funzione del tipo:

$\phi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{itX}\right)=\int _{\mathbb {R} }e^{itx}\,dF_{X}(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f_{X}(x)\,e^{itx}\,dx.$

dove $X$ è una qualsiasi variabile casuale con la distribuzione in questione, $t$ è un numero reale, E indica il valore atteso e $F$ è la funzione di distribuzione cumulativa.

La seconda definizione è un integrale di Riemann-Stieltjes ed è valida indipendentemente dall’esistenza della funzione di densità di probabilità, mentre l’ultima è valida nel caso la densità esista.

Se $X$ è una variabile casuale vettoriale, si può considerare l’argomento $t$ come vettore e $tX$ come prodotto scalare.

Descrizione

Una funzione caratteristica esiste per ogni variabile casuale. Inoltre, esiste una biiezione fra funzioni di distribuzione cumulativa e funzioni caratteristiche. In altre parole, due distribuzioni di probabilità non condividono mai la stessa funzione caratteristica, a meno che non coincidano.

Data una funzione caratteristica $\phi$ , è possibile ricostruire la funzione di ripartizione $F$ :

F_{X}(y)-F_{X}(x)={\frac {1}{2\pi ))\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-itx}-e^{-ity)){it))\,\phi _{X}(t)\,dt.

In generale questo è un integrale improprio; la funzione integranda può essere anche condizionatamente integrabile piuttosto che Lebesgue-integrabile, cioè l’integrale del suo valore assoluto può essere infinito.

Si può inoltre accedere, qualora esista, alla funzione di densità di probabilità operando come segue

{\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi ))={\frac {1}{2\pi ))\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{-it(x-\xi )}-e^{-it(x+\xi ))){2it\xi ))\,\phi _{X}(t)\,dt\,={\frac {1}{2\pi ))\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {e^{it\xi }-e^{-it\xi )){2it\xi ))\,e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt\,

Compare così la definizione di seno all’interno dell’integrale

{\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi ))={\frac {1}{2\pi ))\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {sin(t\xi )}{t\xi ))\,e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt\,

Facendo il limite di $\xi \rightarrow 0$ otteniamo

\lim _{\xi \rightarrow 0}{\frac {F_{X}(x+\xi )-F_{X}(x-\xi )}{2\xi ))=f_{X}(x)={\frac {1}{2\pi ))\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-itx}\phi _{X}(t)\,dt\,

Le funzioni caratteristiche sono usate nella dimostrazione più comune del teorema del limite centrale.

Le funzioni caratteristiche possono essere anche usate per trovare i momenti di una variabile casuale. A condizione che il momento $n$ -esimo esista, la funzione caratteristica può essere derivata $n$ volte e

\operatorname {E}\left(X^{n}\right)=(-i)^{n}\,\phi _{X}^(((n)))(0)=(-i)^{n}\,\left[{\frac {d^{n)){dt^{n))}\phi _{X}(t)\right]_((t=0)).

Nozioni correlate includono la funzione generatrice dei momenti e la funzione generatrice di probabilità.

La funzione caratteristica è strettamente legata alla trasformata di Fourier: La funzione caratteristica di una distribuzione con funzione di densità $f$ è proporzionale alla trasformata di Fourier inversa di $f$ .

Le funzioni caratteristiche sono particolarmente utili nel trattare funzioni di variabili casuali indipendenti. Ad esempio, se ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n))$ è una successione di variabili casuali indipendenti, e

S_{n}=\sum _((i=1))^{n}a_{i}X_{i},

dove le $a_{i}$ sono costanti, allora la funzione caratteristica per $S_{n}$ è data da

\phi _{S_{n))(t)=\prod _{i=1}^{n}\phi _{X_{i))(a_{i}t)

°°°°°

Segue …

Read the rest of this entry »

Lascia un commento

Pubblicato da salvatore di lucia su 18 novembre 2020 in MATEMATICA

Tag: Endofunzione, Endofunzioni finite, funzione armonica, Funzione calcolabile, Funzione enumerativa dei primi, Funzione ricorsiva, Gruppo alternante, Insiemi con ripetizioni, Involuzione, Involuzioni, Permutazione, Segno di una permutazione

FUNZIONE ARMONICA

30 Giu

FUNZIONE ARMONICA

In analisi matematica,

una funzione armonica indica una funzione $f: U \to \mathbb R$ definita su un dominio $U\subset \mathbb R^n$ che sia derivabile parzialmente due volte e che soddisfi l’equazione di Laplace, cioè tale che

$\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f(x) } {\partial x_i^2} = 0, \quad \forall x \in U.$

Le funzioni armoniche sono importanti in molti aspetti della matematica e della fisica, e sono l’oggetto principale dell’analisi armonica.

Esempio

La funzione

f(x, y) = e^kxsin(ky)

definita su un qualsiasi aperto di $\R^2$ , è armonica. Infatti

$\frac{\partial f}{\partial x} = k e^{kx} \sin(ky), \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = k^2 \sin(ky) e^{kx}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = k e^{kx} \cos(ky), \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -k^2 \sin(ky) e^{kx}$

e la somma delle derivate parziali seconde è sempre 0.

Proprietà del valor medio

Ogni funzione armonica soddisfa la proprietà del valor medio.

Si fissi un dominio $U\,\!$ e sia $f \in C^2(U)$ una funzione armonica.

Si indichi $\omega_n\,\!$ il volume della palla unitaria in $\mathbb R^n\,\!$ .

Allora per ogni palla chiusa di raggio R e centro y, che denotiamo $B=B_R(y)\,\!$ , vale la seguente uguaglianza:

$f(y)=\frac{1}{n \omega_n R^{n-1}}\oint_{\partial B} f(x) ds.$

Inoltre vale anche

$f(y)=\frac{1}{\omega_n R^n} \int_B f(x) dx.$

Dimostrazione:

Si fissi $\rho\in (0,R)$ . Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale $\nabla f$ si ottiene

$\oint_{\partial B_\rho} \frac{\partial f(x)}{\partial \nu} ds = \int_{B_\rho}\Delta f(x)dx=0.$

Si passi dalle coordinate cartesiane (x, y) a quelle polari (r,ω), con r = | x − y | , $\omega=\frac{x-y}{r}$ .

Quindi f(x) = f(y + rω) e si verifica.

$\oint_{\partial B_\rho} f(x) ds=\oint_{\partial B_\rho} f(y+r \omega) ds.$

Calcoliamo l’integrale della derivata normale di f.

Riscalando rispetto ad ω si ottiene

$\oint_{\partial B_\rho} \frac{\partial f(y+r \omega)}{\partial \nu} ds = \rho^{n-1}\int_{|\omega|=1} \frac{\partial f(y+r\omega)}{\partial r} d\omega .$

È possibile scambiare derivata e integrale, quindi

$\rho^{n-1}\int_{|\omega|=1} \frac{\partial f(y+r\omega)}{\partial r} d\omega =\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho} \int_{|\omega|=1} f(y+r\omega) d\omega.$

Per concludere, si torni all’integrale di superficie

$\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho} \int_{|\omega|=1} f(y+r\omega) d\omega =\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho^{1-n} \oint_{\partial B_\rho} u(x) ds)$

Se ne deduce che per ogni ρ si ha $\rho^{1-n} \int_{\partial B_\rho} f(x) ds= R^{1-n} \int_{\partial B_\rho} f(x) ds$

Passando al limite per $\rho \to 0$ si ottiene la prima uguaglianza. La seconda si ottiene integrando rispetto a ρ.

Principio del massimo

Il principio del massimo è, forse, la proprietà più importante della funzioni armoniche.

Esso afferma che massimi e minimi stretti di una funzione armonica, se esistenti, vengono assunti al bordo.

Più precisamente, si consideri $f:U \to \mathbb R$ una funzione armonica, dove $U\,\!$ è un dominio di $R^n\,\!$ .

Si supponga che esista $x_0\,\!$ in $U\,\!$ tale che $f(x)\leq f(x_0)$ per ogni $x \in U$ . Allora $f\,\!$ è costante.

Dimostrazione:

La dimostrazione usa la proprietà del valor medio.

Sia $M:=\sup f$ e si consideri l’insieme $U_M:=f^{-1}(M)\,\!$ .

Per ipotesi, esso è non vuoto, ed è chiuso in $U\,\!$ per la continuità di $f\,\!$ .

Si consideri adesso la funzione $f-M\,\!$ . Essa è negativa ed armonica.

Si scelga una palla $B_R(x_0)\subset U$ e si applichi la proprietà del valor medio a $f-M\,\!$ .

Si ottiene

$0=f(x_0)-M =\frac{1}{\omega_n R^n}\int_{B_R(x_0)} (f(x)-M) dx$

Dato che l’integrando è negativo, l’uguaglianza è soddisfatta se e solo se $f(x)=M\,\!$ nella palla $B_R(x_0)\,\!$ .

Quindi $B_R(x_0)\subset U_M$ , cioè $U_M\,\!$ è aperto in $U\,\!$ .

Ne consegue $U_M=U\,\!$ .

Armonicità delle funzioni complesse analitiche

Nel caso di funzioni di variabile complessa, il concetto di funzione armonica entra come particolare teorema soddisfatto dalle funzioni analitiche.

Sia infatti f(x + iy) = ω(z) = u(x,y) + iv(x,y) una funzione analitica.

Allora sia la u(x,y) che la v(x,y) sono funzioni armoniche delle due variabili x e y:

$\begin{cases}\frac {\partial^2 u(x,y)} {\partial x^2}+\frac {\partial^2 u(x,y)} {\partial y^2} = 0 \\ \frac {\partial^2 v(x,y)} {\partial x^2}+\frac {\partial^2 v(x,y)} {\partial y^2} = 0 \end{cases}$

Dimostrazione:

Basta calcolare le derivate seconde delle equazioni di Cauchy – Riemann e confrontarle, ricordando che:

$(2) \ u_x = v_y\quad;\quad u_y = - v_x$

$\begin{cases} u_{xx} = v_{yx} \\ u_{xy} = v_{yy} \\ u_{yx} = - v_{xx} \\ u_{yy} = - v_{xy} \end{cases}$

Sommando la prima e l’ultima e la seconda e la terza ed utilizzando il teorema di Schwarz sull’invertibilità delle derivate parziali:

$(3) \ \begin{cases} u_{xx} + u_{yy} = 0 \\ v_{xx} + v_{yy} =0\end{cases}$

c.v.d.

Abbiamo così un importante teorema:

date due funzioni u e v armoniche in un aperto D che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora v è detta armonica coniugata di u, ma non è vero il contrario.

Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto D del piano complesso se e solo se v è l’armonica coniugata di u.

Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall’assegnazione della sua parte reale u(x,y) e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Vediamo come calcolare l’armonica coniugata di una funzione u(x, y) con un esempio.

Sia u(x, y) = y³ − 3x²y.

Questa funzione è armonica poiché:

u_xx + u_yy = − 6y + 6y = 0

Volendo trovare l’armonica coniugata v(x,y), utilizziamo le condizioni di Cauchy-Riemann: u_x = v_y, dunque:

u_x = − 6xy = v_y

Possiamo integrare questa v_y mantenendo fissata la variabile x (cioè considerandola come una costante):

$v(x,y) = \int - 6 x y \, dy = - 3 x y^2 + \phi(x)$

dove φ(x) è una funzione arbitraria dipendente da x.

Ora utilizziamo la condizione di Cauchy-Riemann u_y = − v_x, per farlo deriviamo v(x, y) ottenuta per integrazione rispetto a x:

v_x = − 3y² + φ^‘(x)

e calcoliamo la derivata u_y dalla funzione di partenza:

u_y = 3y² − 3x²

quindi uguagliamo e ricaviamo il valore di φ(x):

$3 y^2 - 3 x^2 = 3 y^2 - \phi^{'} (x) \; \rightarrow \; \phi^{'} (x) = 3 x^2$

dalla quale per integrazione:

φ(x) = x³ + C

dove C è la costante di integrazione. Abbiamo terminato:

v(x,y) = − 3xy² + x³ + C

cioè abbiamo ricavato l’armonica coniugata di u(x, y) a meno di una costante C; in tal modo la funzione:

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = (y³ − 3x²y) + i(x³ − 3xy² + C)

è una funzione analitica uguale a f(z) = i(z³ + C).

°°°°°

Read the rest of this entry »

Lascia un commento

Pubblicato da salvatore di lucia su 30 giugno 2011 in MATEMATICA

Tag: funzione armonica

WebMaster : Salvatore Di Lucia

iMathematica :
più La si visita più Vi aiuta a risolvere ... iProblemi ...!
Statistiche del Sito:
- 1.026.674 visite
Ricerca Articolo
Cerca
Calendario
Maggio: 2024

L M M G V S D

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18 19

20 21 22 23 24 25 26

27 28 29 30 31

« Apr
Traduttore
I Grandi Matematici
Questo slideshow richiede JavaScript.
Visitatori del Sito :

Free counters
Grandi Matematici
Questo slideshow richiede JavaScript.
Categorie
Categorie
Articoli Mese
Articoli Mese
Maggio 2024

– Analisi Matematica I

— Grafici di funzioni

—Limiti
Aprile 2024

– Analisi Matematica I

— Numeri Reali

—Funzioni
Marzo 2024

– Analisi Matematica I

— Teoria degli Insiemi

—Relazioni Matematiche
Febbraio 2024

– Logica Matematica

— Tavole Verità

—Tautologie
Gennaio 2024

– Logica Matematica

— Proposizione logica

— Connettivi Logici
Dicembre 2023

– Algebra I

— Funzione di Eulero

— Teorema di Eulero
Novembre 2023

– Algebra I

— Divisibilità Partizioni

— Congruenze in
Ottobre 2023

– Analisi I

— Successioni di numeri reali

— Esercitazioni
Settembre 2023

– Analisi I

— Funzioni

— Segno di Funzione
Agosto 2023

– Algebra

— Equazioni

— Disequazioni
Luglio 2023

– Algebra

— Strutture Algebriche
Giugno 2023

– Calcolo Combinatorio

— Coefficiente Binomiale
Maggio 2023

– Funzioni Polinomiali

— Scomposizione di Polinomi
Aprile 2023

– Funzioni Reale di variabile Reale

— Studio di Funzione
Marzo 2023

– Funzioni Reale di variabile Reale

— Studio di Funzione
Febbraio 2023

– Insieme dei Numeri Complessi

— ℂ
Gennaio 2023

– Insiemi Numerici

— ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ=ℚ ∪ 𝕀
Dicembre 2022

– Algebra Lineare

— Sistemi Lineari

—Esercitazione
Novembre 2022

– Algebra Lineare

— Matrice, Determinante

—Esercitazione
Ottobre 2022

– Analisi I

— Integrali

—Esercitazione
Settembre 2022

– Analisi I

— Derivata

—Esercitazione
Agosto 2022

– Analisi I

— Teoremi sui Limiti

—Esercitazione
Luglio 2022

– Analisi I

— Teoria dei Limiti

—Esercitazione
Giugno 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali

—Esercitazione
Maggio 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali

—Esercitazione
Aprile 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali
Marzo 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali
Febbraio 2022

– Analisi I

— Integrali
Gennaio 2022

– Analisi I

— Derivate
Dicembre 2021

– Algebra

— Polinomi
Novembre 2021

– Corso di Analisi II

— Topologia Generale
Ottobre 2021

– Corso di Analisi II

— Equazioni Differenziali
Settembre 2021

– Corso di Analisi

— Coniche

— Quadriche
Agosto 2021

– Corso di Analisi

— Classificazione delle Funzioni
Luglio 2021

– Corso di Analisi

— Successioni Numeriche
Giugno 2021

– Corso di Analisi

— Serie Numeriche
Maggio 2021

– Corso di Analisi

— Serie Numeriche
Aprile 2021

– Corso di Analisi

—Tipi di Funzioni
Marzo 2021

– Corso di Analisi

—Tipi di Funzioni
Febbraio 2021

– Corso di Analisi

—Confronto tra Funzioni
Gennaio 2021

– Corso di Analisi

—Confronto tra Funzioni
Dicembre 2020

– Corso di Analisi

—Limiti Teoremi
Novembre 2020

– Corso di Analisi

—Limiti
Ottobre 2020

– Corso di Analisi

—o-piccolo

_O-grande

_Esercizi sui Limiti
Settembre 2020

– Corso di Analisi

—Punto di accumulazione

—Simboli di Landau
Agosto 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Luglio 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Giugno 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Maggio 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Aprile 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Marzo 2020

– Corso di Analisi

—Le Coniche
Febbraio 2020

– Corso di Analisi

—Le Coniche
Gennaio 2020

– Corso di Analisi

—Le Coniche
Dicembre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Novembre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Ottobre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Settembre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Agosto 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Luglio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia
Giugno 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia
Maggio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Aprile 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Marzo 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Febbraio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Gennaio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Gennaio 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Dicembre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Novembre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Ottobre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Settembre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Agosto 2018

– Corso di Analisi

—Esercizi sui Numeri Complessi
Luglio 2018

– Corso di Analisi

—Esercizi sui Numeri Complessi
Giugno 2018

– Corso di Analisi

—Insieme dei Numeri Complessi
Maggio 2018

– Corso di Analisi

—Teoria dei Numeri
Aprile 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Marzo 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Febbraio 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Dicembre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Novembre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Ottobre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Settembre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Agosto 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Luglio 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Giugno 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Maggio 2017

- Corso di Analisi
--Trasformazioni Lineari
Aprile 2017

- Corso di Analisi
--Equazioni Differenziali Lineari
Marzo 2017

- Corso di Analisi
--Equazioni Differenziali Ordinarie
Febbraio 2017

- Corso di Analisi
--Precorso
Gennaio2017

- Corso di Analisi
--Serie Trigonometriche
Dicembre 2016

- Corso di Analisi
--Strutture Fondamentali dell'Analisi
Novembre 2016

- Corso di Analisi
--Strutture Fondamentali dell'Analisi
Ottobre 2016

- Corso di Analisi
--Strutture Fondamentali dell'Analisi
Settembre 2016

- Corso di Analisi
-- Integrali Impropri
Agosto 2016

- Corso di Analisi
-- Funzioni Analitiche
Luglio 2016

- Corso di Analisi
-- Integrale Curvilineo
Giugno 2016

- Corso di Analisi
-- Integrale definito
Maggio 2016

- Corso di Analisi
-- Integrale di Riemann
Aprile 2016

- Corso di Analisi
-- Derivate di ordine superiore
Marzo 2016

- Corso di Analisi
-- Derivate
Febbraio 2016

- Corso di Analisi
-- Esercizi sulle Serie
Gennaio 2016

- Corso di Analisi
-- Serie
Dicembre 2015

– Corso di Analisi
— Successioni di funzioni
Novembre 2015

- Corso di Analisi
-- Funzioni Continue
Ottobre 2015

- Corso di Analisi
--Teoria dei Limiti
Settembre 2015

- Corso di Analisi
-- Spazi Metrici
Agosto 2015

- Corso di Analisi
-- Numeri Complessi
Luglio 2015

- Corso di Analisi
-- Numeri Reali
Giugno 2015

- Integrali Impropri
Maggio 2015

- Funzioni Analitiche II
Aprile 2015

- Funzioni Analitiche I
Marzo 2015

- Integrale Teoria Generale II
Febbraio 2015

- Integrale Teoria Generale I
Gennaio 2015

- Derivate di ordine superiore
Dicembre 2014

- Derivata teoria generale.
Novembre 2014

- Serie teoria generale.-
Ottobre 2014

- Limiti teoria generale II
Settembre 2014

- Limiti teoria generale I
Agosto 2014

- Spazi Metrici.
Luglio 2014

– Funzioni Reali II
Giugno 2014

- Funzioni Reali I
Maggio 2014

- Disequazioni Trascendenti -
Aprile 2014

– Disequazioni
Marzo 2014

- Fascio di Coniche II
Febbraio 2014

- Fascio di Coniche I
Gennaio 2014

– Geometria Analitica I
Dicembre 2013

– Trigonometria
Novembre 2013

– Metodo di Tartenville
Ottobre 2013

- Dimostrazione Formale
Settembre 2013

– Logica Matematica
Agosto 2013

– Insiemi
Luglio 2013

- Logica
Giugno 2013

- Analisi Matematica II
Maggio 2013

– Metrica Euclidea
Aprile 2013

– Derivazione
Marzo 2013

– Elementi di Topologia
Febbraio 2013

- Le Serie
Gennaio 2013

– Teoria degli Insiemi
Dicembre 2012

– Teoria degli Insiemi
Novembre 2012

– Teoria degli Insiemi
Ottobre 2012

– Teoria degli Insiemi
Settembre 2012

– Teoria degli Insiemi
Agosto 2012

– Teoria degli Insiemi
Luglio 2012

– Teoria degli Insiemi
Giugno 2012

– Teoria degli Insiemi
Maggio 2012

– Teoria degli Insiemi
Aprile 2012

– Teoria degli Insiemi
Marzo 2012

– Teoria degli Insiemi
Febbraio 2012

– Teoria degli Insiemi
Gennaio 2012

– Teoria degli Insiemi
Dicembre 2011

– Teoria degli Insiemi
Novembre 2011

– Teoria degli Insiemi
Ottobre 2011

– Teoria degli Insiemi
Settembre 2011

– Teoria degli Insiemi
Agosto 2011

– Teoria degli Insiemi
Luglio 2011

– Teoria degli Insiemi
Giugno 2011

– Teoria degli Insiemi
Maggio 2011

– Teoria degli Insiemi
Aprile 2011

– Teoria degli Insiemi
Marzo 2011

– Teoria degli Insiemi
Febbraio 2011

– Teoria degli Insiemi
Gennaio 2011

– Teoria degli Insiemi
Dicembre 2010

– Teoria degli Insiemi
Tag
Applicazioni del piano complesso in se stesso cambiamento del riferimento Condizione Sufficiente coordinate polari Criteri di convergenza per serie a termini non negativi Criterio di Cauchy Definizione di derivata DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE Differenziale dominio di una funzione equazione differenziale Equazione di Laplace Equazioni e Disequazioni Trascendenti formula di Taylor funzione arcocosecante funzione arcocoseno funzione arcosecante funzione arcoseno funzione armonica funzione biunivoca Funzione concava Funzione convessa funzione esponenziale Funzione Iniettiva Funzione inversa Funzione ricorsiva funzione suriettiva Funzione Trigonometriche funzioni discontinue funzioni trigonometriche grafico di una funzione gruppo identità di Eulero Il Pensiero Matematico Insieme aperto Insieme chiuso Integrale di Lebesgue integrale di riemann Integrali curvilinei di funzioni complesse Integrali impropri contenenti un parametro integrazione per parti isometria Le Coniche Limite (+) infinito per x che tende a un valore (+) infinito limite di una funzione Limite di una Serie numerica con Excel Limiti calcolo mediante limiti notevoli matrici Numeri Complessi Numeri Reali Permutazione Polinomi polinomi a coefficienti reali Polinomio di Taylor Problema di Cauchy prodotto scalare prodotto vettoriale Punti singolari isolati punto di accumulazione punto isolato Radice ennesima di x∈R x≧0 regole di derivazione Rette Schema generale di applicazione dell'integrale Serie Armonica Serie di Taylor simmetria assiale Spazio Metrico Completo teorema di Cauchy teorema di Lagrange teorema di Rolle trasformazioni lineari trigonometria vettori vettori linearmente dipendenti
Instagram
Amministrazione
- Registrati
- Accedi
- Flusso di pubblicazione
- Feed dei commenti
- WordPress.com
e-mail

Inserisci il tuo indirizzo e-mail per iscriverti a questo blog e ricevere notifiche di nuovi messaggi per e-mail.

Indirizzo email:

Unisciti a 230 altri iscritti
Vivi l’Attimo!
Articoli e Pagine
- Esercitazioni sulla Iperbole
- Analisi Matematica : L’INTEGRALE DI LEBESQUE
- Insieme dei numeri razionali
- La serie dei numeri naturali
- Integrale Generale di una Equazione Differenziale
- Coordinate polari e sferiche
- Derivate delle funzioni esponenziali e logaritmiche16
- Logaritmo in base a
- Funzione convessa
- Serie geometrica
Autore
Social
- Visualizza il profilo di sdlrmr@gmail.com su Facebook
- Visualizza il profilo di rmr4448 su Twitter
- Visualizza il profilo di rmr4448 su Instagram
- Visualizza il profilo di salvatore-di-lucia-a52302b8 su LinkedIn
- Google+

iMathematica

Archivi tag: funzione armonica

Funzione armonica

°°°°°

Funzione armonica

In analisi matematica,

una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine che soddisfa l’equazione di Laplace:

ossia l’insieme delle funzioni armoniche costituisce il nucleo dell’operatore di Laplace.

Nell’ambito della teoria del potenziale le funzioni armoniche sono spesso dette funzioni potenziale, o potenziali, e sono utilizzate in fisica e ingegneria,

ad esempio,

per ricondurre lo studio di un campo vettoriale in tre dimensioni al caso di un campo scalare in una dimensione. In tale contesto, una funzione armonica scalare viene detta potenziale scalare, mentre una funzione armonica vettoriale è chiamata potenziale vettore.

Le funzioni armoniche rivestono particolare importanza in analisi complessa, in quanto se una funzione armonica definita in un certo spazio viene trasformata con una mappa conforme in un altro spazio, allora tale trasformazione è armonica.

Per tale ragione,

ogni funzione definita con un potenziale può subire una trasformazione conforme, e rimane ancora vincolata a un potenziale.

Definizione

Una funzione definita su un dominio si dice armonica se è di classe e soddisfa l’equazione di Laplace:

Per la linearità dell’operatore di Laplace, la somma di due funzioni armoniche e il prodotto di esse per uno scalare restituiscono un’altra funzione armonica.

Ad esempio,

la funzione , definita su un qualsiasi aperto di , è armonica.

Infatti:

e la somma delle derivate parziali seconde è sempre nulla.

Proprietà del valor medio

Ogni funzione armonica soddisfa la proprietà del valor medio.

Si fissi un dominio e sia una funzione armonica.

Si indichi il volume della sfera unitaria in .

Allora per ogni sfera chiusa di raggio e centro , contenuta in , denotata con ¯, vale la seguente uguaglianza:

Inoltre, vale anche:

Dimostrazione

Si fissi . Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale si ottiene:

Passando dalle coordinate cartesiane a quelle polari con:

si ha , e si verifica:

Calcolando l’integrale della derivata normale di e riscalando rispetto a si ottiene:

ed è possibile scambiare derivata e integrale:

Considerando l’integrale di superficie:

se ne deduce che per ogni si ha:

e passando al limite per si ottiene la prima uguaglianza. La seconda si ottiene integrando rispetto a .

Principio del massimo

Il principio del massimo afferma che massimi e minimi stretti di una funzione armonica, se esistenti, vengono assunti al bordo.

Più precisamente, si consideri una funzione armonica, dove è un dominio aperto e connesso di .

Si supponga che esista in tale che per ogni .

Allora è costante.

La dimostrazione usa la proprietà del valor medio.

Sia e si consideri l’insieme .

Per ipotesi, esso è non vuoto; inoltre, per la continuità di , è chiuso (nella topologia indotta) in quanto controimmagine di un insieme chiuso.

Considerando la funzione , essa è negativa e armonica: si scelga una palla di raggio e si applichi la proprietà del valor medio a .

Si ottiene:

Dato che l’integrando è non positivo, l’uguaglianza è soddisfatta se e solo se nella palla

Quindi e è aperto in in quanto

(ovvero , unione di insiemi aperti).

è quindi contemporaneamente aperto e chiuso in , ma, poiché è connesso, e sono i soli sottoinsiemi aperti e chiusi. Ne consegue .

Armonicità delle funzioni complesse analitiche

Nel caso di funzioni di variabile complessa,

il concetto di funzione armonica entra come particolare teorema soddisfatto dalle funzioni analitiche.

Sia infatti:

una funzione analitica.

Allora sia la sia la sono funzioni armoniche delle due variabili e :

Infatti,

è sufficiente calcolare le derivate seconde delle equazioni di Cauchy-Riemann e confrontarle, ricordando che:

si ha:

Sommando la prima e l’ultima e la seconda e la terza e utilizzando il teorema di Schwarz sull’invertibilità delle derivate parziali:

Si ha così che date due funzioni e armoniche in un aperto che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora è detta armonica coniugata di , ma non è vero il contrario.

Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto del piano complesso se e solo se è l’armonica coniugata di .

Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall’assegnazione della sua parte reale e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Per un esempio di come calcolare l’armonica coniugata di una funzione si consideri la funzione .

Questa funzione è armonica poiché:

Volendo trovare l’armonica coniugata , utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann si ha:

Si può integrare mantenendo fissata la variabile (considerandola come una costante):

dove ) è una funzione arbitraria dipendente da .

Per utilizzare la condizione di Cauchy-Riemann si deriva ottenuta per integrazione rispetto a :

e si calcola la derivata dalla funzione di partenza:

Uguagliando si ricava il valore di :

dalla quale per integrazione:

dove è la costante di integrazione.

Si ha dunque:

cioè si è ricavata l’armonica coniugata di a meno di una costante .

In tal modo la funzione:

è una funzione analitica uguale a .

°°°°°

Link Lezione precedente

Link Lezione successiva

una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine $f$ che soddisfa l’equazione di Laplace:

Una funzione $f\colon U\to \mathbb {R}$ definita su un dominio $U\subset {\mathbb R}^{n}$ si dice armonica se è di classe $C^2$ e soddisfa l’equazione di Laplace:

la funzione $f(x,y)=e^{{kx}}\sin(ky)$ , definita su un qualsiasi aperto di $\mathbb{R} ^{2}$ , è armonica.

Si fissi un dominio $U$ e sia $f\in C^{2}(U)$ una funzione armonica.

Si indichi $\omega _{n}$ il volume della sfera unitaria in $\mathbb R^n$ .

Allora per ogni sfera chiusa di raggio $R$ e centro $y$ , contenuta in $U$ , denotata con $B={\overline {B_{R}(y)}}$ , vale la seguente uguaglianza:

Si fissi $\rho \in (0,R)$ . Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale $\nabla f$ si ottiene:

Passando dalle coordinate cartesiane $(x,y)$ a quelle polari $(r,\omega ),$ con:

si ha $f(x)=f(y+r\omega )$ , e si verifica:

Calcolando l’integrale della derivata normale di $f$ e riscalando rispetto a $\omega$ si ottiene:

se ne deduce che per ogni $\rho$ si ha:

e passando al limite per $\rho \to 0$ si ottiene la prima uguaglianza. La seconda si ottiene integrando rispetto a $\rho$ .

Più precisamente, si consideri $f:U\to \mathbb{R}$ una funzione armonica, dove $U$ è un dominio aperto e connesso di $\mathbb {R} ^{n}$ .

Si supponga che esista $x_0$ in $U$ tale che $f(x)\leq f(x_{0})$ per ogni $x \in U$ .

Allora $f$ è costante.

Sia $M:=\sup f$ e si consideri l’insieme $U_{M}:=f^{{-1}}(M)$ .

Per ipotesi, esso è non vuoto; inoltre, per la continuità di $f$ , è chiuso (nella topologia indotta) in quanto controimmagine di un insieme chiuso.

Considerando la funzione $f-M$ , essa è negativa e armonica: si scelga una palla $B_{R}(x_{0})\subset U$ di raggio $R$ e si applichi la proprietà del valor medio a $f-M$ .

Dato che l’integrando è non positivo, l’uguaglianza è soddisfatta se e solo se $f(x)=M$ nella palla $B_{R}(x_{0}).$

Quindi $B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M}$ e $U_{M}$ è aperto in $U$ in quanto

$U_{M}\subseteq \bigcup _{x_{0}\in U_{M}}B_{R}(x_{0})\subseteq U_{M}$ (ovvero $U_{M}=\bigcup _{x_{0}\in U_{M}}B_{R}(x_{0})$ , unione di insiemi aperti).

$U_{M}$ è quindi contemporaneamente aperto e chiuso in $U$ , ma, poiché $U$ è connesso, $U$ e $\varnothing$ sono i soli sottoinsiemi aperti e chiusi. Ne consegue $U_{M}=U$ .

Allora sia la $u(x,y)$ sia la $v(x,y)$ sono funzioni armoniche delle due variabili $x$ e $y$ :

Si ha così che date due funzioni $u$ e $v$ armoniche in un aperto $D$ che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora $v$ è detta armonica coniugata di $u$ , ma non è vero il contrario.

Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto $D$ del piano complesso se e solo se $v$ è l’armonica coniugata di $u$ .

Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall’assegnazione della sua parte reale $u(x,y)$ e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Per un esempio di come calcolare l’armonica coniugata di una funzione $u(x,y)$ si consideri la funzione $u(x,y)=y^{3}-3x^{2}y$ .

Volendo trovare l’armonica coniugata $v(x,y)$ , utilizzando le condizioni di Cauchy-Riemann $u_{x}=v_{y}$ si ha:

Si può integrare $v_{{y}}$ mantenendo fissata la variabile $x$ (considerandola come una costante):

dove $\phi (x)$ è una funzione arbitraria dipendente da $x$ .

Per utilizzare la condizione di Cauchy-Riemann $u_{y}=-v_{x}$ si deriva $v(x,y)$ ottenuta per integrazione rispetto a $x$ :

e si calcola la derivata $u_{y}$ dalla funzione di partenza:

Uguagliando si ricava il valore di $\phi (x)$ :

dove $C$ è la costante di integrazione.

cioè si è ricavata l’armonica coniugata di $u(x,y)$ a meno di una costante $C$ .

è una funzione analitica uguale a $f(z)=i(z^{3}+C)$ .

una funzione armonica è una funzione differenziabile fino al secondo ordine $f$ che soddisfa l’equazione di Laplace:

Una funzione $f\colon U\to \mathbb {R}$ definita su un dominio $U\subset {\mathbb R}^{n}$ si dice armonica se è di classe $C^2$ e soddisfa l’equazione di Laplace:

la funzione $f(x,y)=e^((kx))\sin(ky)$ , definita su un qualsiasi aperto di $\mathbb{R} ^{2}$ , è armonica. Infatti:

Si fissi un dominio $U$ e sia $f\in C^{2}(U)$ una funzione armonica.

Si indichi $\omega _{n}$ il volume della sfera unitaria in $\mathbb R^n$ .

Allora per ogni sfera chiusa di raggio $R$ e centro $y$ , denotata con $B=B_{R}(y)$ , vale la seguente uguaglianza:

Si fissi $\rho \in (0,R)$ .

Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale $\nabla f$ si ottiene:

Passando dalle coordinate cartesiane $(x,y)$ a quelle polari $(r,\omega ),$ con: