Salvatore Di Lucia
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“Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.”
(Alfréd Rényi)
(Steve Jobs, 1955-2011)
Funzione simmetrica rispetto all’origine
Una funzione f è simmetrica rispetto all’origine se
f(-x)=-f(x),
dove f(-x) è la funzione ottenuta sostituendo x con -x nell’espressione analitica di f(x), e -f(x) è l’opposta di f(x).
Le funzioni simmetriche rispetto all’origine degli assi si dicono
funzioni dispari.
Attenzione:
l’espressione funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi non è propriamente corretta e nasconde un abuso di linguaggio che è bene mettere in evidenza.
Una funzione è una particolare relazione tra gli elementi di due insiemi.
Nel caso di una funzione reale di variabile reale ciò che può essere simmetrico rispetto all’origine non è la funzione in sé,
bensì
il grafico della funzione, ossia la sua rappresentazione nel piano cartesiano.
Si dovrebbe quindi fare riferimento
alla simmetria del grafico della funzione rispetto all’origine
e
non alla simmetria della funzione, ma si tratta di un abuso di linguaggio comunemente accettato.
1.) Come stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’origine
Consideriamo una funzione reale di variabile reale di cui conosciamo la forma analitica f(x).
Per stabilire se f è simmetrica rispetto all’origine degli assi basta attenersi ad alcuni semplici passaggi.
1.1) Calcolare f(-x) sostituendo in f(x) ogni occorrenza di x con -x, e svolgendo le eventuali semplificazioni.
1.2) Determinare -f(x), ossia l’opposta della funzione f(x).
1.3) Confrontare f(-x) con -f(x):
• se 
,
allora
f è simmetrica rispetto all’origine;
• se 
,
allora
f non è simmetrica rispetto all’origine.
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Vediamo degli esempi.
Esempio 1)
Stabilire se la funzione
è simmetrica rispetto all’origine.
Svolgimento:
determiniamo l’espressione analitica di f(-x), sostituendo x con -x
calcoliamo l’espressione di -f(x)
e infine confrontiamole:
poiché 
,
la funzione non è simmetrica rispetto all’origine.
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Esempio 2)
Controllare se la funzione
è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Svolgimento:
calcoliamo g(-x)
Raccogliamo a fattor comune -1 nel numeratore
È fatta: siamo partiti da g(-x) e siamo arrivati a -g(x),
dunque
g è simmetrica rispetto all’origine.
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Stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’origine dal suo grafico
Da un punto di vista grafico
una funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi se,
comunque si prende un punto P(x,y) appartenente al grafico della funzione, anche il punto P'(-x,-y)
(simmetrico di P rispetto all’origine)
appartiene al grafico della funzione.
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Vediamo un paio di esempi.
• Osserviamo il seguente grafico:
Esempio: grafico di una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Esempio:
grafico di una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Evidentemente il grafico è simmetrico rispetto all’origine, infatti comunque si sceglie un punto appartenente ad esso vi appartiene anche il suo simmetrico rispetto all’origine.
• Consideriamo ora il seguente grafico:
Esempio: grafico di una funzione non simmetrica rispetto all’asse origine degli assi.
Esempio:
grafico di una funzione non simmetrica rispetto all’asse origine degli assi.
Consideriamo il punto Q(4,-4), che appartiene al grafico della funzione.
Il suo simmetrico rispetto all’origine è Q'(-4,4), che però non vi appartiene.
Quindi questo grafico non è simmetrico rispetto all’origine degli assi.
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Tag: Funzione simmetrica rispetto all'origine
Salvatore Di Lucia
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(Alfréd Rényi)
Funzione simmetrica rispetto all’asse y
Una funzione f è simmetrica rispetto all’asse y se
f(-x)=f(x),
dove f(-x) è la funzione che si ottiene sostituendo x con -x nell’espressione analitica della funzione considerata.
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Le funzioni simmetriche rispetto all’asse y si dicono funzioni pari.
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Tra poco saremo più precisi e vedremo qualche esempio, ma prima facciamo una piccola puntualizzazione.
L’espressione funzione simmetrica rispetto all’asse y non è propriamente corretta e nasconde un abuso di linguaggio – comunemente accettato – che è bene conoscere.
Per definizione
una funzione è una legge che mette in relazione gli elementi di due insiemi e che deve soddisfare alcune proprietà.
Se poi si considera una funzione reale di variabile reale,
si capisce subito che ciò che può essere simmetrico rispetto all’asse y
non è la funzione in sé, quanto piuttosto il suo grafico,
ossia la sua rappresentazione nel piano cartesiano.
Volendo essere rigorosi si dovrebbe quindi parlare di
simmetria del grafico di una funzione rispetto all’asse delle y
e
non di simmetria di una funzione rispetto all’asse y.
Ribadiamo tuttavia che si tratta di un abuso di linguaggio comunemente accettato.
1.) Come stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’asse y
Sia f una funzione reale di variabile reale di cui conosciamo la forma analitica f(x).
Per stabilire se f è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate basta attenersi ai seguenti passaggi.
1) Calcolare f(-x) sostituendo in f(x) ogni occorrenza di x con -x, e svolgendo le eventuali semplificazioni;
2) confrontare f(-x) con f(x):
• se 
, allora f è una funzione simmetrica rispetto all’asse y;
• se 
, allora f non è simmetrica rispetto all’asse y.
Vediamo degli esempi.
Esempio 1)
Stabilire se la funzione
è simmetrica rispetto all’asse y.
Svolgimento:
determiniamo l’espressione analitica di f(-x) sostituendo x con -x
Poiché 
la funzione non è simmetrica rispetto all’asse y.
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Esempio 2)
Verificare che la funzione
è simmetrica rispetto all’asse y.
Svolgimento:
calcoliamo g(-x):
Raccogliamo a fattor comune -1 nel numeratore
e semplifichiamo il segno meno del numeratore con quello del denominatore
Evidentemente 
, dunque abbiamo a che fare con una funzione simmetrica rispetto all’asse y.
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2.) Stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’asse y dal suo grafico
Da un punto di vista grafico
una funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate se,
comunque si prende un punto P(x, y) appartenente al grafico della funzione,
anche il punto P'(-x, y)
(simmetrico di P rispetto all’asse delle y)
appartiene al grafico della funzione.
Come spesso accade è più difficile a dirsi che a farsi, e basteranno un paio di esempi per avere tutto chiaro.
• Osserviamo il seguente grafico:
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Esempio: grafico di una funzione simmetrica rispetto all’asse y.
Evidentemente è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, infatti comunque si sceglie un punto che appartiene al grafico vi appartiene anche il suo simmetrico rispetto all’asse y.
• Consideriamo un altro grafico:
Esempio: grafico di una funzione non simmetrica rispetto all’asse y.
Osserviamo che il punto R(5,2) appartiene al grafico della funzione, ma non vi appartiene il suo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, che è R(-5,2).
Quindi
questo grafico non è simmetrico rispetto all’asse y.
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Tag: Funzione simmetrica rispetto all'asse y
Salvatore Di Lucia
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Significato geometrico di funzioni pari e dispari
Nella lezione precedente sulle funzioni pari e dispari abbiamo definito i concetti di funzione pari e di funzione dispari.
Queste due proprietà analitiche hanno anche un’interpretazione geometrica e ciascuna di esse si traduce in una precisa condizione di simmetria sul grafico.
In questa lezione vedremo qual è il significato grafico di parità e disparità delle funzioni qualora una tra le due condizioni sussista,
e spiegheremo come dedurre la condizione geometrica a partire dalla condizione algebrica, corroborando la spiegazione con alcuni esempi.
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Interpretazione geometrica di parità e disparità delle funzioni
Partiamo subito dal significato grafico.
Data una funzione 
in riferimento alla rappresentazione della funzione nel piano cartesiano risulta che:
– una funzione pari è simmetrica rispetto all’asse y;
– una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani.
Ragioniamo per un istante.
Sappiamo che per poter parlare di parità/disparità è necessario che il dominio Dom(f), inteso come insieme reale, sia simmetrico rispetto a x = 0.
Sotto tale ipotesi ha senso indagare e stabilire se la funzione assegnata è pari o dispari (o né pari né dispari).
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1.) Per la condizione di parità deve risultare
ciò significa che, comunque si consideri x∈Dom(f), valutando la funzione f nel punto (-x) otteniamo il medesimo valore f(x).
Osservando che (-x) è il simmetrico di x rispetto all’origine degli assi, si conclude che
il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
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2.) Per la condizione di disparità deve risultare
concludiamo con un ragionamento analogo che valutando la funzione f nel punto (-x) otteniamo il valore opposto -f(x) rispetto al valore f(x) che la funzione assume in x.
Ne consegue che
il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’origine degli assi.
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Esempi
sul significato geometrico di parità e disparità
Per capire ciò che abbiamo appena scritto possiamo fare riferimento agli esempi grafici.
A voi l’onere e l’onore di applicare le indicazioni della precedente lezione e di verificare algebricamente, di volta in volta, le definizioni.
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I) Consideriamo la funzione polinomiale
La funzione è pari e ha grafico
che è simmetrico rispetto all’asse delle y.
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II) Consideriamo la funzione polinomiale
è dispari, con grafico simmetrico rispetto all’origine
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III) Consideriamo la funzione polinomiale
non è né pari né dispari,
infatti
nel grafico non vediamo simmetrie rispetto all’asse y, o rispetto all’origine.
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IV) Consideriamo la funzione coseno
è pari, il suo grafico è
e, ancora una volta, è simmetrico rispetto all’asse delle y.
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V) Consideriamo la funzione seno
è dispari e il grafico risulta simmetrico rispetto all’origine
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Simmetria di una funzione :
f : x ∈ Dom(f)⊆R → y = f(x) ∈ Cod(f)⊆R
Le più importanti simmetrie di una funzione sono:
– simmetria rispetto all’asse y
– simmetria rispetto l’origine degli assi
Per studiare la simmetria di una funzione si procede nel modo seguente:
1.) si sostituisce x con -x ottenendo così f(-x)
2.) si osserva:
– se f(-x) = f(x) la funzione è simmetrica rispetto all’asse y e si dice pari
– se f(-x) = -f(x) avremo una simmetria relativa all’origine e la funzione si dirà dispari
– se f(-x) non è uguale né ad f(x) né ad -f(x)
non avremo nessuna delle precedenti simmetrie.
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Esempi
Proponiamoci di studiare le eventuali simmetrie notevoli delle funzioni
1.) f(x) = x^2-2x
2.) (x^3-3x)/(2x)
3.) x^3-x
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1.) Per la prima funzione:
f(-x) = (-x)^2-2(-x) = x^2+ 2x
che è diversa sia da f(x) = x^2-2x che da -f(x) = -(x^2-2x) = -x^2 + 2x
quindi nessuna simmetria notevole
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2.) Per la seconda funzione,
essendo
f(-x) = ((-x)^3-3 (-x) )/(2(-x)) = (-x^3+3x)/(-2x) = (-(x^3-3x))/(-2x) =( x^3-3x)/(2x) = f(x)
abbiamo una funzione pari
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3.) Per la terza funzione si vede ad occhio nudo che è dispari.
Grafico:
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Tag: Significato geometrico di funzioni pari e dispari, Simmetria di una funzione
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Funzione pari, funzione dispari
Una funzione pari è una funzione tale per cui f(-x) = f(x),
e che quindi assume valori simmetrici rispetto all’asse delle ordinate;
una funzione dispari è una funzione tale per cui f(-x) = -f(x)
e che quindi assume valori simmetrici rispetto all’origine.
Sebbene i termini funzione pari e funzione dispari siano decisamente poco intuitivi, in realtà è sufficiente capire la definizione per potere stabilire con certezza se una funzione è pari o dispari, o nessuna delle due cose.
Lo scopo di questa lezione consiste nel fornire le definizioni formali e spiegarne il significato nel dettaglio, mediante opportuni esempi.
Definizioni di funzione pari e dispari
Per introdurre le definizioni di parità e disparità di una funzione non possiamo prescindere dal concetto di simmetria di un insieme reale rispetto allo zero.
Consideriamo una funzione
e immaginiamo di rappresentare il dominio Dom(f) su una retta orientata, avendo cura di indicare il valore x = 0.
Se vi ricordate cos’è la simmetria rispetto a un punto, capirete in un istante qual è la proprietà che caratterizza un insieme reale simmetrico rispetto all’origine (il valore zero).
Con questa premessa diremo che:
• è una funzione pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all’origine e se vale la proprietà
• è una funzione dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all’origine e se vale la proprietà
• Nel caso non dovesse sussistere alcuna delle precedenti condizioni, diremo che la funzione considerata non è né pari né dispari.
Al di là delle condizioni algebriche che contraddistinguono le funzioni pari e le funzioni dispari, è importante ricordare che le definizioni di parità e disparità non possono prescindere dalla simmetria del dominio rispetto all’origine.
Per questo motivo la prima ipotesi che dovremo verificare sarà proprio quella relativa alla simmetria del dominio:
se essa sussiste procederemo con il controllo della condizione algebrica,
in caso contrario concluderemo che la funzione in esame non è né pari né dispari.
Esempi di funzioni pari e dispari
Applichiamo le definizioni in alcuni esempi per stabilire se le funzioni proposte sono pari o dispari.
I) Consideriamo
La funzione è pari, infatti è definita su tutto R che è un insieme evidentemente simmetrico rispetto all’origine, e inoltre
Grafico :
La funzione non è dispari, infatti
Quindi 
Si noti che nella verifica della condizione algebrica abbiamo effettuato la valutazione della funzione sostituendo -x in luogo di x.
Onde evitare banali errori di distrazioni vi consigliamo di ricorrere alle parentesi e di scrivere meccanicamente (-x) in luogo di x.
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II) Sia
Anche in questo caso abbiamo a che fare con una funzione polinomiale, pertanto definita su 
, quindi ha senso procedere con il controllo delle condizioni algebriche che definiscono la parità e la disparità.
La funzione non è pari, poiché
La funzione é dispari, infatti
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III) La funzione
è definita su tutto R, per cui possiamo procedere con la verifica della condizione algebrica.
La funzione non è pari, perché
La funzione non è dispari, infatti
Concludiamo quindi che
la funzione non è né pari né dispari.
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IV) La funzione logaritmica
ha dominio 
,
pertanto non è né pari né dispari.
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V) La funzione coseno
è pari,
infatti è definita sull’intero asse reale e
inoltre dalle formule degli archi associati
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VI) La funzione seno
è dispari, infatti è definita su tutto R e inoltre
Attenzione:
non basta escludere un caso per poter affermare l’altro.
In sostanza non si può concludere che una funzione è pari mostrando che non è dispari,
né si può concludere che una funzione è dispari mostrando che non è pari.
Bisogna sempre controllare entrambe le definizioni!
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Proprietà delle funzioni pari e dispari
Dopo aver fornito le definizioni di funzione pari e di funzione dispari procediamo con l’elenco delle proprietà più importanti di cui esse godono, e per non appesantire troppo la lezione ne omettiamo le dimostrazioni
(che possono essere tranquillamente prodotte dallo Studente per esercizio).
Non sottovalutiamo queste proprietà perché possono tornare davvero utili nel prosieguo dello studio dell’Analisi matematica.
Qualche esempio?
Possono semplificare notevolmente lo studio di una funzione
o ancora il calcolo di un integrale.
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Qui di seguito considereremo due funzioni entrambe definite su un insieme simmetrico rispetto all’origine 
:
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1.) Parità e disparità della funzione nulla
f(x) è una funzione pari e dispari su D se e solo se
f(x) è identicamente nulla su D.
2.) Operazioni con le funzioni pari
In riferimento alle operazioni tra funzioni,
se f(x) e g(x) sono funzioni pari su D allora:
– la funzione somma 
è una funzione pari;
– la funzione differenza 
è una funzione pari;
– la funzione prodotto 
è una funzione pari;
– la funzione quoziente 
è una funzione pari.
– indipendentemente dal valore della costante reale non nulla 
la funzione 
è una funzione pari.
Se c fosse uguale a 0
la funzione sarebbe identicamente nulla ed è dunque sia pari che dispari.
3.) Operazioni con le funzioni dispari
Se f(x) e g(x) sono funzioni dispari su D allora:
– la funzione somma è una funzione dispari;
– la funzione differenza 
è una funzione dispari;
– la funzione prodotto 
è una funzione pari;
– la funzione quoziente 
è una funzione pari.
– indipendentemente dal valore della costante reale non nulla 
, la funzione 
è una funzione dispari.
Se c fosse uguale a 0
allora la funzione sarebbe identicamente nulla che è sia pari che dispari.
4.) Operazioni tra funzioni pari e funzioni dispari
Se f(x) è una funzione pari e g(x) è una funzione dispari su D,
entrambe non identicamente nulle,
allora:
– la funzione somma 
non è né pari né dispari;
– la funzione differenza 
non è né pari né dispari;
– la funzione prodotto è una funzione dispari;
– la funzione quoziente è una funzione dispari.
Tutte le proprietà elencate si dimostrano applicando pedissequamente le definizioni di funzione pari e dispari.
Nella lezione successiva –
interpretazione geometrica della parità e della disparità di una funzione –
vedremo che
le nozioni di parità e di disparità giocano un ruolo rilevante nel momento in cui si deve effettuare lo studio di una funzione.
In particolare scopriremo che se abbiamo la fortuna di lavorare con una funzione pari o dispari, allora ci possiamo risparmiare un sacco di lavoro.
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Tag: Funzione Dispari, Funzione Pari
Salvatore Di Lucia
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(Alfréd Rényi)
Grafico immediato di funzioni semplici_2
Questa è la seconda parte della lezione sul metodo del grafico immediato, che mediante semplici considerazioni algebriche permette di disegnare il grafico intuitivo di funzioni con espressioni non troppo complicate.
Qui di seguito proseguiremo con una carrellata di esempi in cui combineremo
il significato geometrico delle operazioni tra funzioni
e
le regole del grafico intuitivo.
In particolare ci occuperemo di mostrare come le principali operazioni algebriche influiscono sul grafico delle funzioni trigonometriche.
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1.) Grafico intuitivo per funzioni con il seno
L’esempio che prendiamo come riferimento è dato dalla funzione
1.1) Disegniamo il grafico del seno:
1.2) Il coefficiente che moltiplica l’argomento dimezza il periodo, in sostanza comporta una contrazione orizzontale della funzione
Ecco una rappresentazione dei due grafici sovrapposti:
In blu y=sin(x), in rosso y=sin(2x).
a) Dilatazioni e traslazioni orizzontali
Consideriamo ora la funzione
a.1) Come in precedenza partiamo dal grafico del seno.
a.2) Sommare la costante +2 all’argomento del seno significa traslarlo di 2 unità a sinistra:
a.3) Il coefficiente che moltiplica 
provoca una dilatazione del seno rispetto all’asse y
Riassumendo:
In blu y=sin(x), in rosso y=sin(x+2), in verde y=3sin(x+2)
b) Dilatazioni e traslazioni verticali
Consideriamo la funzione
Qui dobbiamo ricordarci che sommare una costante all’espressione funzione comporta una traslazione verticale, quindi non fatevi ingannare da questo esempio;
svolgendo la moltiplicazione vi renderete conto di come tutti passaggi siano già noti.
b.1) Partiamo dal grafico del seno.
b.2) Spostiamo il grafico verticalmente di 2 unità sommando un +2 all’espressione della funzione.
b.3) Moltiplichiamo l’espressione della funzione per 2, il che comporta una dilatazione lungo l’asse delle ordinate.
In modo del tutto equivalente avremmo potuto sviluppare il prodotto nell’espressione analitica della funzione, considerando quindi
per poi applicare l’usuale ragionamento.
Grafico della funzione y=2(sin(x)+2).
2.) Grafico intuitivo di funzioni con il coseno
Traslazioni e moduli
Il coseno si comporta rispetto al prodotto e alla somma di costanti esattamente come il seno, dunque consideriamo sin da subito un esempio un po’ più elaborato rispetto ai precedenti:
2.1) Tracciamo il grafico del coseno: cos(x)
2.2) Consideriamo la somma nell’argomento del coseno, dunque 
il grafico si sposta a destra di 3 unità.
2.3) Ora è il momento di sommare la costante +5 all’espressione della funzione.
Ne consegue una traslazione verso l’alto di 5 unità.
2.4) Applichiamo il valore assoluto all’espressione della funzione appena scritta: poiché essa è positiva 
il modulo, che ribalta sopra l’asse x la parte negativa del grafico,
in questo caso non ha alcun effetto.
Riassumendo:
In blu y=cos(x), in rosso y=cos(x-3), in verde y=cos(x-3)+5=|cos(x-3)+5|.
c) Moduli e traslazioni
Consideriamo infine la funzione
In questo caso, dopo aver traslato orizzontalmente il coseno dobbiamo calcolarne il modulo, e successivamente traslarlo verso l’alto di 5.
c.1) Partiamo dal grafico del coseno.
c.2) Disegniamo il grafico del coseno traslato verso destra di 3 unità
c.3) Passiamo al modulo applicato all’intera funzione, per cui ribaltiamo simmetricamente il grafico rispetto all’asse delle x.
c.4) Sommiamo la costante positiva all’immagine della funzione, per cui ne consegue una traslazione verso l’alto di 5 unità.
Sovrapponendo tutti i grafici ricaviamo:
In blu y=cos(x), in rosso y=cos(x-3), in verde y=|cos(x-3)|, in grigio y=|cos(x-3)|+5.
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Tag: Grafico immediato di funzioni semplici_2
iMathematica 
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