Salvatore Di Lucia
°°°°°
“Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.”
(Alfréd Rényi)
Significato geometrico di funzioni pari e dispari
Nella lezione precedente sulle funzioni pari e dispari abbiamo definito i concetti di funzione pari e di funzione dispari.
Queste due proprietà analitiche hanno anche un’interpretazione geometrica e ciascuna di esse si traduce in una precisa condizione di simmetria sul grafico.
In questa lezione vedremo qual è il significato grafico di parità e disparità delle funzioni qualora una tra le due condizioni sussista,
e spiegheremo come dedurre la condizione geometrica a partire dalla condizione algebrica, corroborando la spiegazione con alcuni esempi.
°°°°°
Interpretazione geometrica di parità e disparità delle funzioni
Partiamo subito dal significato grafico.
Data una funzione 
in riferimento alla rappresentazione della funzione nel piano cartesiano risulta che:
– una funzione pari è simmetrica rispetto all’asse y;
– una funzione dispari è simmetrica rispetto all’origine degli assi cartesiani.
Ragioniamo per un istante.
Sappiamo che per poter parlare di parità/disparità è necessario che il dominio Dom(f), inteso come insieme reale, sia simmetrico rispetto a x = 0.
Sotto tale ipotesi ha senso indagare e stabilire se la funzione assegnata è pari o dispari (o né pari né dispari).
°°°°°
1.) Per la condizione di parità deve risultare
ciò significa che, comunque si consideri x∈Dom(f), valutando la funzione f nel punto (-x) otteniamo il medesimo valore f(x).
Osservando che (-x) è il simmetrico di x rispetto all’origine degli assi, si conclude che
il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate.
°°°°°
2.) Per la condizione di disparità deve risultare
concludiamo con un ragionamento analogo che valutando la funzione f nel punto (-x) otteniamo il valore opposto -f(x) rispetto al valore f(x) che la funzione assume in x.
Ne consegue che
il grafico della funzione è simmetrico rispetto all’origine degli assi.
°°°°°
Esempi
sul significato geometrico di parità e disparità
Per capire ciò che abbiamo appena scritto possiamo fare riferimento agli esempi grafici.
A voi l’onere e l’onore di applicare le indicazioni della precedente lezione e di verificare algebricamente, di volta in volta, le definizioni.
°°°°°
I) Consideriamo la funzione polinomiale
La funzione è pari e ha grafico
che è simmetrico rispetto all’asse delle y.
°°°°°
II) Consideriamo la funzione polinomiale
è dispari, con grafico simmetrico rispetto all’origine
°°°°°
III) Consideriamo la funzione polinomiale
non è né pari né dispari,
infatti
nel grafico non vediamo simmetrie rispetto all’asse y, o rispetto all’origine.
°°°°°
IV) Consideriamo la funzione coseno
è pari, il suo grafico è
e, ancora una volta, è simmetrico rispetto all’asse delle y.
°°°°°
V) Consideriamo la funzione seno
è dispari e il grafico risulta simmetrico rispetto all’origine
°°°°°
Simmetria di una funzione :
f : x ∈ Dom(f)⊆R → y = f(x) ∈ Cod(f)⊆R
Le più importanti simmetrie di una funzione sono:
– simmetria rispetto all’asse y
– simmetria rispetto l’origine degli assi
Per studiare la simmetria di una funzione si procede nel modo seguente:
1.) si sostituisce x con -x ottenendo così f(-x)
2.) si osserva:
– se f(-x) = f(x) la funzione è simmetrica rispetto all’asse y e si dice pari
– se f(-x) = -f(x) avremo una simmetria relativa all’origine e la funzione si dirà dispari
– se f(-x) non è uguale né ad f(x) né ad -f(x)
non avremo nessuna delle precedenti simmetrie.
°°°°°
Esempi
Proponiamoci di studiare le eventuali simmetrie notevoli delle funzioni
1.) f(x) = x^2-2x
2.) (x^3-3x)/(2x)
3.) x^3-x
°°°°°
1.) Per la prima funzione:
f(-x) = (-x)^2-2(-x) = x^2+ 2x
che è diversa sia da f(x) = x^2-2x che da -f(x) = -(x^2-2x) = -x^2 + 2x
quindi nessuna simmetria notevole
°°°°°
2.) Per la seconda funzione,
essendo
f(-x) = ((-x)^3-3 (-x) )/(2(-x)) = (-x^3+3x)/(-2x) = (-(x^3-3x))/(-2x) =( x^3-3x)/(2x) = f(x)
abbiamo una funzione pari
°°°°°
3.) Per la terza funzione si vede ad occhio nudo che è dispari.
Grafico:
iMathematica 
Devi effettuare l'accesso per postare un commento.