Salvatore Di Lucia
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“Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.”
(Alfréd Rényi)
Funzione simmetrica rispetto all’asse y
Una funzione f è simmetrica rispetto all’asse y se
f(-x)=f(x),
dove f(-x) è la funzione che si ottiene sostituendo x con -x nell’espressione analitica della funzione considerata.
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Le funzioni simmetriche rispetto all’asse y si dicono funzioni pari.
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Tra poco saremo più precisi e vedremo qualche esempio, ma prima facciamo una piccola puntualizzazione.
L’espressione funzione simmetrica rispetto all’asse y non è propriamente corretta e nasconde un abuso di linguaggio – comunemente accettato – che è bene conoscere.
Per definizione
una funzione è una legge che mette in relazione gli elementi di due insiemi e che deve soddisfare alcune proprietà.
Se poi si considera una funzione reale di variabile reale,
si capisce subito che ciò che può essere simmetrico rispetto all’asse y
non è la funzione in sé, quanto piuttosto il suo grafico,
ossia la sua rappresentazione nel piano cartesiano.
Volendo essere rigorosi si dovrebbe quindi parlare di
simmetria del grafico di una funzione rispetto all’asse delle y
e
non di simmetria di una funzione rispetto all’asse y.
Ribadiamo tuttavia che si tratta di un abuso di linguaggio comunemente accettato.
1.) Come stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’asse y
Sia f una funzione reale di variabile reale di cui conosciamo la forma analitica f(x).
Per stabilire se f è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate basta attenersi ai seguenti passaggi.
1) Calcolare f(-x) sostituendo in f(x) ogni occorrenza di x con -x, e svolgendo le eventuali semplificazioni;
2) confrontare f(-x) con f(x):
• se 
, allora f è una funzione simmetrica rispetto all’asse y;
• se 
, allora f non è simmetrica rispetto all’asse y.
Vediamo degli esempi.
Esempio 1)
Stabilire se la funzione
è simmetrica rispetto all’asse y.
Svolgimento:
determiniamo l’espressione analitica di f(-x) sostituendo x con -x
Poiché 
la funzione non è simmetrica rispetto all’asse y.
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Esempio 2)
Verificare che la funzione
è simmetrica rispetto all’asse y.
Svolgimento:
calcoliamo g(-x):
Raccogliamo a fattor comune -1 nel numeratore
e semplifichiamo il segno meno del numeratore con quello del denominatore
Evidentemente 
, dunque abbiamo a che fare con una funzione simmetrica rispetto all’asse y.
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2.) Stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’asse y dal suo grafico
Da un punto di vista grafico
una funzione è simmetrica rispetto all’asse delle ordinate se,
comunque si prende un punto P(x, y) appartenente al grafico della funzione,
anche il punto P'(-x, y)
(simmetrico di P rispetto all’asse delle y)
appartiene al grafico della funzione.
Come spesso accade è più difficile a dirsi che a farsi, e basteranno un paio di esempi per avere tutto chiaro.
• Osserviamo il seguente grafico:
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Esempio: grafico di una funzione simmetrica rispetto all’asse y.
Evidentemente è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, infatti comunque si sceglie un punto che appartiene al grafico vi appartiene anche il suo simmetrico rispetto all’asse y.
• Consideriamo un altro grafico:
Esempio: grafico di una funzione non simmetrica rispetto all’asse y.
Osserviamo che il punto R(5,2) appartiene al grafico della funzione, ma non vi appartiene il suo simmetrico rispetto all’asse delle ordinate, che è R(-5,2).
Quindi
questo grafico non è simmetrico rispetto all’asse y.
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Funzione simmetrica rispetto all’asse x
Consideriamo un punto P sul piano cartesiano ed il suo simmetrico P’ rispetto all’asse x; vogliamo capire la relazione tra le loro coordinate.
Supponiamo
ad esempio che
P abbia coordinate (2,3).
Allora la distanza di P dall’asse x sarà uguale alla distanza di P’ dall’asse, e il segmento PP’ sarà perpendicolare all’asse x.
P’ risulta avere coordinate (2,-3).
In generale
una simmetria rispetto all’asse x è una trasformazione che ad ogni punto P(x, y) associa un punto P'(x,-y) avente stessa ascissa di P e ordinata opposta.
Possiamo applicare la simmetria ad un grafico anziché ad un singolo punto; per trovare il grafico simmetrico basterà scegliere opportunamente alcuni punti del grafico dato, trovare i loro trasformati mediante la simmetria e tracciare quindi il grafico passante per essi.
Il caso più semplice è il grafico di una retta.
Consideriamo ad esempio la retta di equazione y=-2x+3.
Innanzi tutto la rappresentiamo nel piano congiungendo due punti trovati con l’aiuto di una tabella 
dove i valori di x sono scelti arbitrariamente, come più ci fa comodo, mentre i corrispondenti valori di y vengono trovati sostituendo i valori di x nell’espressione “-2x+3”;
si fa anche notare che come valori di x sono stati scelti lo 0 perché così si ottiene il punto della retta situato sull’asse y, e 3/2 perché così si ottiene il punto della retta situato sull’asse x.
Abbiamo così individuato i punti A(0,3) e B(3/2,0), e possiamo tracciare il grafico della retta
Troviamo poi i punti A’ e B’ simmetrici di A e B rispetto all’asse x:
saranno A'(0,-3) e B'(3/2,0).
Congiungendo tali punti si trova il grafico della retta simmetrica di quella data rispetto all’asse x
Si può notare che il punto B’ coincide con B, e le due rette passano entrambe per questo punto comune.
Non si tratta di un caso:
infatti B appartiene proprio all’asse x che è l’asse di simmetria, e ogni punto dell’asse di simmetria ha il simmetrico coincidente con se stesso.
D’altra parte l’ordinata di tali punti è 0, e l’opposto di 0 è ancora 0!
I punti che hanno la caratteristica di coincidere con il proprio trasformato si dicono punti fissi o uniti.
Allora adesso risulterà chiaro che per trovare il grafico simmetrico conviene individuare l’intersezione della retta data con l’asse x, dato che si tratta di un punto fisso.
Per il momento abbiamo trovato il grafico simmetrico a quello della retta data di equazione y=-2x+3.
Ma qual è l’equazione della retta così ottenuta?
Per trovarla basta cambiare segno alla y nell’equazione di partenza, perché questo è l’effetto di una simmetria rispetto all’asse x.
Dunque si ha: -y=-2x+3 e cambiando segno a tutti i termini y=2x-3.
Si potrebbe provare a disegnare questa retta congiungendo due suoi punti individuati tramite una tabella, e verificare che si ottiene proprio la retta ottenuta precedentemente per simmetria.
Proviamo ora ad applicare la simmetria al grafico di una funzione modulo, ad esempio y=|-x+2| , avente il seguente grafico
Si trovano i simmetrici dei tre punti A, B, C’ che individuano il grafico della funzione data
A(0,2) → A”(0,-2) |
B(2,0) → B”(2,0) |
C'(3,1) → C”(3,-1) |
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