Salvatore Di Lucia
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“Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.”
(Alfréd Rényi)
(Steve Jobs, 1955-2011)
Funzione simmetrica rispetto all’origine
Una funzione f è simmetrica rispetto all’origine se
f(-x)=-f(x),
dove f(-x) è la funzione ottenuta sostituendo x con -x nell’espressione analitica di f(x), e -f(x) è l’opposta di f(x).
Le funzioni simmetriche rispetto all’origine degli assi si dicono
funzioni dispari.
Attenzione:
l’espressione funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi non è propriamente corretta e nasconde un abuso di linguaggio che è bene mettere in evidenza.
Una funzione è una particolare relazione tra gli elementi di due insiemi.
Nel caso di una funzione reale di variabile reale ciò che può essere simmetrico rispetto all’origine non è la funzione in sé,
bensì
il grafico della funzione, ossia la sua rappresentazione nel piano cartesiano.
Si dovrebbe quindi fare riferimento
alla simmetria del grafico della funzione rispetto all’origine
e
non alla simmetria della funzione, ma si tratta di un abuso di linguaggio comunemente accettato.
1.) Come stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’origine
Consideriamo una funzione reale di variabile reale di cui conosciamo la forma analitica f(x).
Per stabilire se f è simmetrica rispetto all’origine degli assi basta attenersi ad alcuni semplici passaggi.
1.1) Calcolare f(-x) sostituendo in f(x) ogni occorrenza di x con -x, e svolgendo le eventuali semplificazioni.
1.2) Determinare -f(x), ossia l’opposta della funzione f(x).
1.3) Confrontare f(-x) con -f(x):
• se 
,
allora
f è simmetrica rispetto all’origine;
• se 
,
allora
f non è simmetrica rispetto all’origine.
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Vediamo degli esempi.
Esempio 1)
Stabilire se la funzione
è simmetrica rispetto all’origine.
Svolgimento:
determiniamo l’espressione analitica di f(-x), sostituendo x con -x
calcoliamo l’espressione di -f(x)
e infine confrontiamole:
poiché 
,
la funzione non è simmetrica rispetto all’origine.
Grafico:
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Esempio 2)
Controllare se la funzione
è simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Svolgimento:
calcoliamo g(-x)
Raccogliamo a fattore comune -1 nel numeratore
È fatta: siamo partiti da g(-x) e siamo arrivati a -g(x),
dunque
g è simmetrica rispetto all’origine.
Grafico:
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Stabilire se una funzione è simmetrica rispetto all’origine dal suo grafico
Da un punto di vista grafico
una funzione è simmetrica rispetto all’origine degli assi se,
comunque si prende un punto P(x,y) appartenente al grafico della funzione, anche il punto P'(-x,-y)
(simmetrico di P rispetto all’origine)
appartiene al grafico della funzione.
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Vediamo un paio di esempi.
• Osserviamo il seguente grafico:
Esempio: grafico di una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Esempio:
grafico di una funzione simmetrica rispetto all’origine degli assi.
Evidentemente il grafico è simmetrico rispetto all’origine, infatti comunque si sceglie un punto appartenente ad esso vi appartiene anche il suo simmetrico rispetto all’origine.
• Consideriamo ora il seguente grafico:
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