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Intervallo in R^n
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Intervallo
In matematica,
un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi e .
Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all’intervallo e possono essere infiniti.
Definizione
Formalmente,
un sottoinsieme dei numeri reali o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi e di , ogni altro elemento tale che sta anch’esso in .
Osservazione
In gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.
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Insieme convesso
In uno spazio euclideo R^2
un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell’insieme.
Esempi di
insiemi convessi :
cerchi ,
sfere ,
cubi ,
piani ,
semipiani ,
trapezi ,
mentre
Esempi di
insiemi non convessi:
archi di circonferenze ,
tori ,
qualunque insieme che contenga buchi,
incavature o che non sia connesso .
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In uno spazio euclideo R^3
In tre dimensioni,
esempi di insiemi convessi sono
la sfera ,
il cubo ,
il paraboloide ,
mentre
esempi di insiemi non convessi sono :
il toro ,
l’ iperboloide iperbolato.
In termini più intuitivi una figura convessa è una figura “che esubera”, mentre una figura concava è una figura “che rientra”.
In insiemistica non si adopera la definizione di insieme concavo, bensì la nozione più articolata di
spazio connesso .
Nello studio delle funzioni , si può definire una funzione convessa come funzione il cui epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano.
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Spazi vettoriali
Sia
uno spazio vettoriale .
Un insieme si dice convesso se
per ogni coppia di punti il segmento che li congiunge:
è interamente contenuto in .
Un insieme bilanciato e convesso è detto assolutamente convesso .
Proprietà
-
Si può inoltre dimostrare che l’ intersezione di due insiemi convessi è ancora un insieme convesso. Infatti, siano X e Y due insiemi convessi, e A e B due punti appartenenti a .
-
Allora, siccome X è convesso e contiene sia A che B, contiene anche il segmento AB. Altrettanto si può dire di Y.
-
Quindi il segmento AB appartiene ad entrambi gli insiemi, e dunque alla loro intersezione.
-
Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di
, l’intersezione è un insieme convesso.
-
Si dimostra che in ogni insieme convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento tale che:
Esempi di insiemi convessi
Si consideri lo spazio euclideo .
-
Un semispazio di è il sottoinsieme con e .
-
I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti , per ogni
si ha:
-
e quindi ,
-
Data una norma su e un numero reale ,
la palla chiusa è un sottoinsieme convesso,
-
Data una norma su e un numero reale ,
il cono di norma è un sottoinsieme convesso.
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Gli intervalli di sono quindi gli insiemi seguenti
(dove e sono due numeri reali tali che ):
-
(intervallo aperto)
-
(intervallo chiuso)
-
(intervallo chiuso a sinistra)
-
(intervallo chiuso a destra)
-
(intervallo aperto infinito a destra)
-
(intervallo chiuso infinito a destra)
-
(intervallo aperto infinito a sinistra)
-
(intervallo chiuso infinito a sinistra)
-
(tutta la retta reale)
-
(un punto)
-
l’insieme vuoto
I punti e sono gli estremi dell’intervallo.
Quindi
una parentesi quadra indica che l’estremo appartiene all’intervallo,
mentre
una parentesi tonda indica che non vi appartiene.
Una notazione alternativa usa e rispettivamente al posto di e .
Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l’utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.
I primi quattro intervalli hanno lunghezza ,
i cinque seguenti hanno lunghezza infinita,
il punto e l’insieme vuoto hanno lunghezza .
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L’intervallo unitario è l’intervallo chiuso .
Proprietà
-
L’unione e l’intersezione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
-
L’immagine di un intervallo mediante una funzione continua da in è ancora un intervallo.
-
Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
-
Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo .
-
Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli:
un punto, , , o l’insieme vuoto.
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Notazioni alternative
Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico,
il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico.
Ad esempio
3 ÷ 7 vuol dire ‘da tre a sette’, estremi compresi.
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Insieme aperto
Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità.
Intuitivamente,
un insieme è aperto se è possibile spostarsi sempre poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell’insieme senza uscire dall’insieme stesso.
In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire i settori come “vicino”, “lontano”, “attaccato”, “separato”;
Le definizioni non intuitive di insiemi aperti corrispondono a situazioni matematiche in cui questi utilizzati vengono utilizzati in modo non intuitivo.
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Spazi topologici
La topologia è l’ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti;
in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale;
preso
un insieme X,
se
una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto,
X diventa uno spazio topologico ,
T viene chiamata topologia di X
e
gli insiemi di T , per definizione, i suoi aperti.
Perché
la collezione T sia una topologia deve valere:
-
l’ unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
-
l’ intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
-
l’insieme X e l’ insieme vuoto appartengono a T
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X, T ).
È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T ‘ , si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo “naturale”, indicare l’insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
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Spazi metrici
In uno spazio metrico ,
un sottoinsieme di si dice aperto se, per ogni , esiste un numero reale tale che i punti che distano da per meno di appartengono ancora a .
Formalmente:
se , allora
Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di secondo la definizione precedente:
in questo modo
ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).
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Spazio euclideo
Lo spazio euclideo è un particolare spazio metrico.
Un insieme aperto dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni di esiste una palla di raggio centrata in , interamente contenuta in .
In particolare,
un intervallo in è aperto se è del tipo , dove e possono anche essere rispettivamente e .
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Insieme chiuso
Ogni definizione di insieme aperto corrisponde a una definizione di insieme chiuso .
In generale,
un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto;
gli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizione a parte e questa proprietà viene provata come un teorema .
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Punto di accumulazione
Punto di accumulazione
In matematica
il concetto di punto di accumulazione è uno dei principali dell’analisi matematica e della topologia.
Definizione
Dato l’insieme e (non interessa che appartenga ad o meno),
si dice che è punto di accumulazione per l’insieme se in ogni intorno di esiste almeno un elemento diverso da e appartenente ad .
In formule:
Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a ci sono sempre punti di (diversi da ).
Generalizzazioni
La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici;
in entrambi i casi un punto è di accumulazione per un insieme se l’insieme contiene punti “arbitrariamente vicini” ad .
La nozione di “arbitrariamente vicino” è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.
Spazi topologici
In topologia
un punto appartenente ad uno spazio topologico è un punto di accumulazione per un sottoinsieme di se
qualsiasi aperto contenente interseca in almeno un punto diverso da .
In simboli:
Spazi metrici
In uno spazio metrico,
se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:
dove è la palla di raggio e centro .
In altre parole,
ogni palla centrata in interseca in qualche punto diverso da .
Nel caso di spazi metrici,
se è punto di accumulazione per , allora è possibile trovare punti di , distinti da a distanza arbitrariamente piccola da .
Dunque
in ogni intorno di cadono infiniti punti di .
Nozioni correlate
L’insieme dei punti di accumulazione di è detto insieme derivato di e si indica di solito con .
Segue …
limite per funzioni reali di variabile reale
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“La matematica non conosce razze o confini geografici; per la matematica, il mondo culturale è una singola nazione.”
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limite per funzioni reali di variabile reale
Premessa
Punto di Accumulazione
Questa idea intuitiva ci dice che il limite rappresenta la vicinanza di una funzione ad un determinato valore (sia esso un numero reale o ) per che tende ad un certo valore (anche qui sia esso un numero reale o). Per comodità di notazione scriveremo
Questa è la definizione generale di limite per una funzione.
È davvero molto importante e bisogna saperla maneggiare con grande naturalezza.
Vediamo ora come si può utilizzare questa definizione e come si trasforma a seconda dei casi.
Caso 1: e limite reale λ∈R
Caso 2: e limite
Caso 3: e limite
Caso 4: e limite reale λ∈R
cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno abbastanza grande ed in particolare sempre più grande di (tendente quindi a ).
Caso 5: e limite reale λ∈R
cioè per ogni intervallo del limite, esiste un numero reale tale che il valore della funzione è vicino al limite quanto si voglia, per un opportuno abbastanza piccole ed in particolare sempre più piccolo di (tendente quindi a ).
Caso 6:
Questi sono sostanzialmente i modelli di tutti i casi di limite.
Esercizio nel caso di :
Caso 7:
Caso 8:
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