iMathematica

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Punto di accumulazione

Definizione

Dato l’insieme  e  (non interessa che  appartenga ad  o meno), si dice che  è punto di accumulazione per l’insieme  se in ogni intorno  di  esiste almeno un elemento  diverso da  e appartenente ad . In formule:

Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a  ci sono sempre punti di  (diversi da ).

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto  è di accumulazione per un insieme  se l’insieme  contiene punti “arbitrariamente vicini” ad . La nozione di “arbitrariamente vicino” è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto  appartenente ad uno spazio topologico  è un punto di accumulazione per un sottoinsieme  di  se qualsiasi aperto  contenente  interseca  in almeno un punto diverso da . In simboli:

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

dove  è la palla di raggio  e centro .

In altre parole, ogni palla centrata in  interseca  in qualche punto diverso da .

Nel caso di spazi metrici, se  è punto di accumulazione per , allora è possibile trovare punti di , distinti da  a distanza arbitrariamente piccola da . Dunque in ogni intorno di  cadono infiniti punti di .

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Limite (matematica) 

In matematica , il concetto di limite serve a descrivere l’andamento di una funzione all’avvicinarsi del suo argomento a un dato valore ( limite di una funzione ) oppure l’andamento di una successione al crescere illimitato dell’indice ( limite di una successione ). I limiti si utilizzano in tutti i rami dell’analisi matematica ; sono usati ad esempio per definire la continuità , la derivazione e l ‘ integrazione . Il concetto di limite di una funzione, più generale del limite di una successione, può essere generalizzato da quello di limite di un filtro .

Cenni storici

Il concetto di limite era già presente in modo intuitivo nell’antichità, per esempio in Archimede (nel suo metodo di esaustione ), e fu utilizzato, anche se non in modo rigoroso, a partire dalla fine del XVII secolo da Newton , Leibniz , Eulero e D’Alembert .

La prima definizione abbastanza rigorosa di limite risale al XIX secolo con Cauchy , seguita da una miglior formalizzazione di Weierstrass .

Una completa teoria del limite si ha con Heine , che nel 1872 pubblicò un lavoro che creò molto interesse all’epoca e nel quale stilò regole e proprietà del limite. Molti altri studiosi sono interessati al problema del limite, approfondendo l’argomento con lo studio dell’analisi infinitesimale, tra cui Bolzano , Dedekind e Cantor .

Ma solo nel 1922 Eliakim Hastings Moore ed HL Smith diedero una nozione generale ( topologica ) di limite  , ed è quella attualmente utilizzata in matematica. Nel 1937 , Henri Cartan ne fornì una versione equivalente, basata sul concetto di filtro .

Limite di una successione

Una successione di numeri reali ha come limite il numero se al crescere di i termini della successione “sono arbitrariamente vicini” al valore . Formalmente, questa nozione è resa chiedendo che per ogni piccolo a piacere esista un numero naturale tale per ogni .  

Una successione può non avere limite, ad esempio , data da: 

non ha limite. D’altra parte, se esiste un limite , si dice che la successione converge ad ; in questo caso, il limite è unico (una successione non può convergere a due valori distinti). Ad esempio, la successione , data da: 

convergere uno zero.

Considerando uno spazio topologico , una successione con tende al limite se, comunque si prenda un intorno di , esiste un racconto per cui per tutti gli , e si scrive:  

Se è uno spazio di Hausdorff il limite di con , se esiste, è unico. 

Limite di una funzione

Il limite di una funzione generalizza il limite di una successione di punti in uno spazio topologico ; si considera la successione una funzione nello spazio topologico con la topologia discreta . In tale definizione, un intorno di ha la forma . 

Siano dati una funzione definita su un sottoinsieme della retta reale ed un punto di accumulazione di . Un numero reale è il limite di per tendente a se la distanza fra ed è arbitrariamente piccola quando si avvicina a .     

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi è la distanza fra e e è la distanza fra ed . Il concetto di “arbitrariamente piccolo” è espresso formalmente con i quantificatori “per ogni” ( quantificatore universale ) ed “esiste” ( quantificatore esistenziale ). 

Formalmente, è limite se per ogni numero reale piccolo a piacere esiste un altro numero reale positivo tale:  

per ogni in con .

In questo caso si scrive:

La definizione di limite di una funzione è necessaria per formalizzare il concetto di funzione continua .

Limite di un ultrafiltro

Dato uno spazio topologico , un punto è il limite di un ultrafiltro su se ogni intorno di appartiene a .  

Il limite di una funzione rispetto ad un filtro è definito considerando una funzione tra spazi topologici e un filtro su . Il punto e Il limite di nel RISPETTO annuncio SE E Il limite di posta e Il limite di . Si scrive in tal caso: 

Limite insiemistico

Il concetto di limite si estende anche alle successioni di insiemi attraverso le nozioni di limite superiore e limite inferiore : data una successione di insiemi , l’insieme limite è definito come l’insieme che intuitivamente contiene gli elementi che stanno nel maggior numero di insiemi della successione. 

Formalmente, una successione di insiemi si dice possedere limite se vale la seguente uguaglianza: