In topologia,

la frontiera o contorno di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell’insieme meno il suo interno.

Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S.

Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono bd(S), fr(S), e $\partial S$ .

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

Si definisce frontiera di S l’intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.

Si definisce frontiera di S l’insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S

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Definizione di Punto di Accumulazione

Dato l’insieme $A \subset \R$ e $x_0 \in \R$ (non interessa che $x_0$ appartenga ad $A$ o meno), si dice che $x_0$ è punto di accumulazione per l’insieme $A$ se in ogni intorno $I(x_0)$ di $x_0$ esiste almeno un elemento $x$ diverso da $x_0$ ed appartenente ad $A$ .

In formule:

$\forall I(x_0) \exists x \in A: x \in I(x_0), x \ne x_0$

Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su $x_0$ continuiamo a vedere punti di $A$ (diversi da $x_0$ ) a qualsiasi livello di ingrandimento.

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme $S$ se l’insieme $S$ contiene punti “arbitrariamente vicini” ad $x_0$ . La nozione di “arbitrariamente vicino” è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto $x_0$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è un punto di accumulazione per un sottoinsieme $S$ di $X$ se qualsiasi aperto $A$ contenente $x_0$ interseca $S$ in almeno un punto diverso da $x_0$ . In simboli:

$\forall A \in T \text{ tale che } x_0 \in A: \ (A \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing.$

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

$\forall r>0: (D(x_0,r) \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing,$

dove $D(x_0,r)$ è la palla di raggio $r$ e centro $x_0$ . In altre parole, ogni palla centrata in $x_0$ interseca $S$ in qualche punto diverso da $x_0$ .

Nel caso di spazi metrici, se $x_0$ è punto di accumulazione per $S$ , allora è possibile trovare punti di $S$ , distinti da $x_0$ a distanza arbitrariamente piccola da $x_0$ . Dunque in ogni intorno di $x_0$ cadono infiniti punti di $S$ .

Nozioni correlate

L’insieme dei punti di accumulazione di $S$ è detto insieme derivato di $S$ e si indica di solito con $S'$ .

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Definizione di Punto isolato

Un punto $x_0$ appartenente ad un sottoinsieme $S$ in uno spazio topologico è un punto isolato di $S$ se esiste un intorno di $x_0$ non contenente altri punti di $S$ .

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico),

è un punto isolato di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x_0$ che non contiene nessun elemento di $S$ diverso da $x_0$ .

Definizioni equivalenti

In modo equivalente, un punto $x_0$ di $S$ non è un punto isolato se e solo se $x_0$ è un punto di accumulazione per $S$ .

Insieme discreto

Un insieme $S$ costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto.

Il viceversa è vero

se lo spazio metrico è compatto e $S$ è chiuso:

in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo.

D’altra parte,

non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l’insieme $\mathbb Q$ dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di $\mathbb N$ è isolato in $\mathbb N$ infatti: Sia $n_0 \in \mathbb{N}\$ e sia $I(n_0, r)$ un intorno di $n_0$ e di raggio $r$ .
Allora dalla definizione abbiamo che $n_0 \in \mathbb{N}\$ è un punto isolato in $\mathbb N \ \Leftrightarrow\ \exists \ r \in \mathbb{R}\ : I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing$ .
Poiché per $r = \frac 1 2$ risulta che $I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing$ , deduciamo che $n_0$ è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

L	M	M	G	V	S	D
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30	31

iMathematica

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Intervallo in R^n

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Intervallo

In matematica,

un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi e .

Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all’intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente,

un sottoinsieme dei numeri reali o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi e di , ogni altro elemento tale che sta anch’esso in .

Osservazione

In gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

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Insieme convesso

In uno spazio euclideo R^2

un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell’insieme.

Esempi di

insiemi convessi :

cerchi ,

sfere ,

cubi ,

piani ,

semipiani ,

trapezi ,

mentre

Esempi di

insiemi non convessi:

archi di circonferenze ,

tori ,

qualunque insieme che contenga buchi,

incavature o che non sia connesso .

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In uno spazio euclideo R^3

In tre dimensioni,

esempi di insiemi convessi sono

la sfera ,

il cubo ,

il paraboloide ,

mentre

esempi di insiemi non convessi sono :

il toro ,

l’ iperboloide iperbolato.

In termini più intuitivi una figura convessa è una figura “che esubera”, mentre una figura concava è una figura “che rientra”.

In insiemistica non si adopera la definizione di insieme concavo, bensì la nozione più articolata di

spazio connesso .

Nello studio delle funzioni , si può definire una funzione convessa come funzione il cui epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano.

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Spazi vettoriali

Sia

uno spazio vettoriale .

Un insieme si dice convesso se

per ogni coppia di punti il segmento che li congiunge:

è interamente contenuto in .

Un insieme bilanciato e convesso è detto assolutamente convesso .

Proprietà

Si può inoltre dimostrare che l’ intersezione di due insiemi convessi è ancora un insieme convesso. Infatti, siano X e Y due insiemi convessi, e A e B due punti appartenenti a .

Allora, siccome X è convesso e contiene sia A che B, contiene anche il segmento AB. Altrettanto si può dire di Y.

Quindi il segmento AB appartiene ad entrambi gli insiemi, e dunque alla loro intersezione.

Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di

, l’intersezione è un insieme convesso.

Si dimostra che in ogni insieme convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento tale che:

Esempi di insiemi convessi

Si consideri lo spazio euclideo .

Un semispazio di è il sottoinsieme con e .

I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti , per ogni

si ha:

e quindi ,

Data una norma su e un numero reale ,

la palla chiusa è un sottoinsieme convesso,

Data una norma su e un numero reale ,

il cono di norma è un sottoinsieme convesso.

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Gli intervalli di sono quindi gli insiemi seguenti

(dove e sono due numeri reali tali che ):

(intervallo aperto)

(intervallo chiuso)

(intervallo chiuso a sinistra)

(intervallo chiuso a destra)

un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi $a$ e $b$ .

un sottoinsieme $S$ dei numeri reali $\R$ o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ di $S$ , ogni altro elemento $z$ tale che $x<z<y$ sta anch’esso in $S$ .

In $\R$ gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

$V$ uno spazio vettoriale .

Un insieme $UN$ si dice convesso se

per ogni coppia di punti $x, y \ in A$ il segmento che li congiunge:

è interamente contenuto in $UN$

Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di ${\ displaystyle A, B \ in X \ cap Y}$

, l’intersezione $X \ cap Y$ è un insieme convesso.

Si dimostra che in ogni insieme $UN$ convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento ${\ displaystyle x_ {0} \ in A}$ tale che:

Si consideri lo spazio euclideo . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Un semispazio di $\ mathbb {R} ^ {n}$ è il sottoinsieme ${\ displaystyle S = \ ((\ bf {x)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, {\ bf {v)) ^ {T} {\ bf {x)) \ leq b \}, }$ con ${\ displaystyle {\ bf {v)) \ in \ mathbb {R} ^ {n))$ e ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$ .

I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti ${\ displaystyle {\ bf {x)), {\ bf {y)) \ in S}$ , per ogni $t \ in [0,1]$

e quindi , ${\ displaystyle t {\ bf {x)) + (1-t) {\ bf {y)) \ in S}$

Data una norma $\ | \ cdot \ |$ su $\ mathbb {R} ^ {n}$ e un numero reale $t \ in \ mathbb {R}$ ,

la palla chiusa ${\ displaystyle \ ((\ bf {x)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x)) || \ leq t \))$ è un sottoinsieme convesso,

Data una norma $\ | \ cdot \ |$ su ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1))$ e un numero reale $t \ in \ mathbb {R}$ ,

il cono di norma ${\ displaystyle \ {({\ bf {x)), t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x)) || \ leq t \))$ è un sottoinsieme convesso.

Gli intervalli di $\R$ sono quindi gli insiemi seguenti

(dove $a$ e $b$ sono due numeri reali tali che $a<b$ ):

${\displaystyle (a,b)=\{x|a<x<b\))$ (intervallo aperto)

${\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\))$ (intervallo chiuso)

${\displaystyle [a,b)=\{x|a\leq x<b\))$ (intervallo chiuso a sinistra)

${\displaystyle (a,b]=\{x|a<x\leq b\))$ (intervallo chiuso a destra)

${\displaystyle (a,+\infty )=\{x|x>a\))$ (intervallo aperto infinito a destra)

${\displaystyle [a,+\infty )=\{x|x\geq a\))$ (intervallo chiuso infinito a destra)

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x|x<b\))$ (intervallo aperto infinito a sinistra)

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x|x\leq b\))$ (intervallo chiuso infinito a sinistra)

$(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ (tutta la retta reale)

${\displaystyle [a,a]=\{a\))$ (un punto)

I punti $a$ e $b$ sono gli estremi dell’intervallo.

una parentesi quadra $[$ $]$ indica che l’estremo appartiene all’intervallo,

una parentesi tonda $($ $)$ indica che non vi appartiene.

Una notazione alternativa usa $]$ e $[$ rispettivamente al posto di $($ e $)$ .

I primi quattro intervalli hanno lunghezza $b-a$ ,

il punto e l’insieme vuoto hanno lunghezza $0$ .

L’intervallo unitario è l’intervallo chiuso $[0,1]$ .

L’immagine di un intervallo mediante una funzione continua da $\R$ in $\R$ è ancora un intervallo.

Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo $[a,b]$ .

un punto, $[0,1]$ , $[0,1)$ , $(0,1)$ o l’insieme vuoto.

In uno spazio metrico $(M,d)$ ,

un sottoinsieme $U$ di $M$ si dice aperto se, per ogni $x\in U$ , esiste un numero reale $\epsilon >0$ tale che i punti che distano da $x$ per meno di $\epsilon$ appartengono ancora a $U$ .

se $d(x,y)<\epsilon$ , allora $y\in U$

Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di $M$ secondo la definizione precedente: