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01 Nov

Corso di Analisi_j

Capitolo V. 

” Il mio scopo principale é stato di conciliare il rigore, al quale mi ero attenuto nel mio Corso di Analisi, con la semplicità che deriva immediatamente dalla considerazione delle quantità infinitesime.”

Augustin Cauchy (1823)

pp7

§ V.1.- Funzioni continue in uno spazio metrico .-

V.11.-

Sia 27 uno spazio metrico

Sia 28 uno spazio metrico

Sia data una funzione21Sia a ∈ M un punto fisso non isolato (IV.15.a).

Consideriamo

la direzione x→a formate dalle sfere 22 escluso il punto a .-

 °°°°°

V.11.a.- Definizione di funzione continua per x=a.-01Il punto x=a si chiama punto di continuità della funzione

21°°°°°

Se 45

quindi f(x) é una funzione numerica, allora:

6

°°°°°

V.11.b.- Dal punto IV.66 segue la seconda definizione di continuità

7

°°°°°

V.11.c.- Ogni punto isolato a∈M é, per definizione, punto di continuità della funzione f(x).

°°°°°

V.11.d.- Definizione.-8

°°°°°

V.11.e.-Definizione.-9

°°°°°

V.11.f.- La definizione di continuità della funzione f(x) nel punto a∈M dipende, ovviamente, dalla metrica data sugli spazi metrici 

27e

28Ma poiché questa definizione può essere formulata nei termini di successioni convergenti (V.11.b), la proprietà di una funzione di essere continua in un punto x=a, così come su tutto l’insieme M non é violata sostituendo le metriche degli spazi metrici 

27e 

28con quelle omomorfe (III.34).

°°°°°

V.12.a.- Un esempio evidente  di una funzione continua avente

27come dominio di definizione e

28come dominio di valori é fornito da una funzione costante16dove 17é un punto fisso dello spazio

28

°°°°°

 V.12.b.- Come secondo esempio, consideriamo la distanza ρ(x, a) da un punto fisso a.

Questa é una funzione numerica nello spazio metrico M.

La sua continuità in ogni punto 8dello spazio 27 deriva dalla relazione (III.32.b)

°°°°°

figura 1funzione continua

°°°°°

 

Alcune nozioni fondamentali …

In matematica, una palla (o bolla, o intorno circolare) è un sinonimo di sfera, che gli viene preferito nel caso di spazi non tridimensionali e per gli spazi metrici in generale.

Spazi metrici

Sia M uno spazio metrico.

La palla (aperta) di raggio r > 0 centrata nel punto p di M è definita come

B_r(p) = \{ x \in M \mid d(x,p) < r \},

dove d è la distanza o metrica.

Se il simbolo di minore (<) è sostituito dal simbolo di minore o uguale (≤), la definizione precedente diventa quella di una

palla chiusa di raggio r > 0 centrata nel punto p di M è definita come:

{\bar B}_r(p) = \{ x \in M \mid d(x,p) \le r \}.

Occorre comunque prestare attenzione al fatto che la chiusura di una palla aperta B_r(p) in generale non coincide con la palla chiusa {\bar B}_r(p) ma è inclusa strettamente.

D’altronde, un elemento x di B_r(p) appartiene alla sua chiusura se e solo se esiste una successione di elementi di B_r(p) di cui x è il limite.

Può essere che d(x,p) \le r ma non esistere una successione suddetta.

Nota in particolare che una palla (aperta o chiusa) include sempre p stesso, poiché r > 0.

Una palla unitaria (aperta o chiusa) è una palla di raggio 1.

Nello spazio euclideo n-dimensionale con l’ordinaria metrica euclidea, se lo spazio è la retta, la palla è un intervallo, e se lo spazio è il piano, la palla è il disco interno a un cerchio. Gli oggetti a quattro dimensioni e superiori sono chiamati iperpalla e ipersfera. Vedi quest’ultima per “volume” e “area”.

Con altre metriche la forma di una palla può essere differente, ad esempio:

  • in 2 dimensioni:

    • con la norma 1 (cioè nella geometria Manhattan) una palla è un quadrato con le diagonali parallele agli assi coordinati

    • con la distanza di Chebyshev una palla è un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati

  • in 3 dimensioni:

    • con la norma 1 una palla è un ottaedro regolare con le diagonali interne parallele agli assi coordinati

    • con la distanza di Chebyshev una palla è un cubo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati

Nota che in molti casi le palle ruotate non sono palle.

°°°°°

Definizioni Punto interno

Se S è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora x è un punto interno di S se esiste una palla aperta centrata in x e contenuta in S.

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme S di uno spazio metrico X. Espressa per intero, se X è uno spazio metrico con metrica d, allora

x è un punto interno di S se esiste r > 0 tale che y sia in S ogni volta che la distanza è d(x, y) < r.

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la “palla aperta” con “intorno“. Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora

x è un punto interno di S se esiste un intorno di x contenuto in S.

Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

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Definizione Punto aderente

Un punto a è aderente ad A se comunque si prenda un intorno dell’elemento a, l’intersezione dell’intorno con l’insieme A è sempre non vuota.

Spazi topologici

Un punto x_0 appartenente ad uno spazio topologico (X,T) è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme S di X se ogni aperto contenente x_0 interseca S. In simboli:

\forall A \in T, x_0 \in A: A \cap S \not= \varnothing.

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

\forall r>0: B(x_0,r) \cap S \not= \varnothing,

dove con B(x_0,r) si indica la palla di raggio r e centro x_0.

Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di S

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Definizione di Frontiera (topologia)

In topologia,

la frontiera o contorno di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell’insieme meno il suo interno.

Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S.

Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono bd(S), fr(S), e \partial S.

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

 

Si definisce frontiera di S l’intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.

Si definisce frontiera di S l’insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S

°°°°°

 Definizione di Punto di Accumulazione

Dato l’insieme A \subset \R e x_0 \in \R (non interessa che x_0 appartenga ad A o meno), si dice che x_0 è punto di accumulazione per l’insieme A se in ogni intorno I(x_0) di x_0 esiste almeno un elemento x diverso da x_0 ed appartenente ad A.

In formule:

\forall I(x_0) \exists x \in A: x \in I(x_0), x \ne x_0

Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su x_0 continuiamo a vedere punti di A (diversi da x_0) a qualsiasi livello di ingrandimento.

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto x_0 è di accumulazione per un insieme S se l’insieme S contiene punti “arbitrariamente vicini” ad x_0. La nozione di “arbitrariamente vicino” è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto x_0 appartenente ad uno spazio topologico (X,T) è un punto di accumulazione per un sottoinsieme S di X se qualsiasi aperto A contenente x_0 interseca S in almeno un punto diverso da x_0. In simboli:

\forall A \in T \text{ tale che } x_0 \in A: \ (A \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing.

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

\forall r>0: (D(x_0,r) \setminus \lbrace x_0 \rbrace) \cap S \not= \varnothing,

dove D(x_0,r) è la palla di raggio r e centro x_0. In altre parole, ogni palla centrata in x_0 interseca S in qualche punto diverso da x_0.

Nel caso di spazi metrici, se x_0 è punto di accumulazione per S, allora è possibile trovare punti di S, distinti da x_0 a distanza arbitrariamente piccola da x_0. Dunque in ogni intorno di x_0 cadono infiniti punti di S.

Nozioni correlate

L’insieme dei punti di accumulazione di S è detto insieme derivato di S e si indica di solito con S'.

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Definizione di Punto isolato

Un punto x_0 appartenente ad un sottoinsieme S in uno spazio topologico è un punto isolato di S se esiste un intorno di x_0 non contenente altri punti di S.

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico),

è un punto isolato di S se esiste una palla aperta centrata in x_0 che non contiene nessun elemento di S diverso da x_0.

Definizioni equivalenti

In modo equivalente, un punto x_0 di S non è un punto isolato se e solo se x_0 è un punto di accumulazione per S.

Insieme discreto

Un insieme S costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto.

Il viceversa è vero

se lo spazio metrico è compatto e S è chiuso:

in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo.

D’altra parte,

non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l’insieme \mathbb Q dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di \mathbb N è isolato in \mathbb N infatti: Sia n_0 \in \mathbb{N}\ e sia I(n_0, r) un intorno di n_0 e di raggio r.
Allora dalla definizione abbiamo che n_0 \in \mathbb{N}\ è un punto isolato in \mathbb N \ \Leftrightarrow\ \exists \ r \in \mathbb{R}\ : I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing .
Poiché per r = \frac 1 2 risulta che I(n_0, r)\cap \mathbb{N} \smallsetminus\! \left \{ n_0 \right \} = \varnothing , deduciamo che n_0 è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

°°°°°

Corso di Analisi_j

…Segue…

“……..”

 
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Pubblicato da su 1 novembre 2015 in funzioni continue

 

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19 Set

Limiti_j

V. Funzioni continue

” Il mio scopo principale é stato di conciliare il rigore, al quale mi ero attenuto nel mio Corso di Analisi, con la semplicità che deriva immediatamente dalla considerazione delle quantità infinitesime.”

Augustin Cauchy (1823)

9.19. – Funzioni continue in uno Spazio Metrico.-

Sia M uno spazio metrico

Sia P uno spazio metrico

Sia data una funzione21Sia a∈M un punto fisso non isolato.

Consideriamo  la direzione x→a formate dalle sfere22escluso il punto a .

9.19.1. – Definizione.-3Osservazione 1

Se 456Osservazione 2

Dal Teorema 9.17.3

segue la seconda definizione di continuità

9.19.2. – Definizione.-7

Osservazione 3

Ogni punto isolato a∈M é, per definizione, punto di continuità della funzione f(x).

9.19.3. – Definizione.-8

9.19.4. – Definizione.-9Osservazione 4

La definizione di continuità della funzione f(x) nel punto a∈M dipende, ovviamente, dalla metrica data sugli spazi metrici M e P.

Ma poichè questa definizione può essere formulata nei termini di successioni convergenti, la proprietà di una funzione di essere continua in un punto a, così come su tutto l’insieme M non é violata sostituendo le metriche dgli spazi metrici M e P con quelle omomorfe.

9.19.5a. – Un esempio evidente  di una funzione continua avente M come dominio di definizione e P come dominio di valori é fornito da una funzione costante16dove 17é un punto fisso dello spazio P.

9.19.5b. – Come secondo esempio, consideriamo la distanza ρ(x,a) da un punto fisso a. Questa é una funzione numerica nello spazio metrico M. La sua continuità in ogni punto 8dello spazio M deriva dalla relazione

°°°

9.19.6. –

Le proposizioni seguenti relative al caso di funzioni numeriche permettono di costruire larghe classi di funzioni continue.

a.-

Se 10Se11anche12b.-

Se 10Se11anche13c.-

Se 10Se11Se14anche15d.-

La funzione numerica y=x , definita sulla retta numerica R, é evidentemente continua su R. Dalle proposizioni a.-, b.-, c.- segue che:

Ogni polinomio 16é continuo dappertutto su R.

Ogni funzione razionale17é continua dappertutto su R, tranne nei punti in cui il suo denominatore si annulla.

e.-

La funzione numerica 18(la k-esima coordinata del vettore 19) é, evidentemente, continua nello spazio  a n dimensioni 6Dalle proposizioni a.-, b.-, c.- segue che:

Ogni polinomio nelle coordinate del vettore 19é continuo dappertutto  in

6Dalle proposizioni a.-, b.-, c.- segue che:

Ogni funzione razionale delle coordinte del vettore19é continua dappertutto  in

6tranne nei punti in cui il suo denominatore si annulla.

9.19.7. –

Sia data una funzione21continua su M.

Sia 20un insieme e

Sia21.

1a.-22

1b.-23

1c.- Conseguenza.

Se 5é continua, 24sono insiemi aperti.25sono insiemi chiusi.

1d.-

Se26sono funzioni continue, per quali che siano28e29l’insieme30é aperto.

l’insieme31é chiuso.

1e.-

In virtù della proposizione 1d.-, numerose figure dell geometria elementare descritte dai sistemi di disuguaglianze:3031sono, rispettivamente, aperte o chiuse. Così, in uno spazio a n dimensioni, un insieme della forma30é aperto e si chiama rettangolo aperto.

Un insieme della forma31é chiuso e si chiama rettangolo chiuso.

Osservazione 5

In uno spazio a n=2 dimensioni

Un poligono a m lati descritto da m disuguaglianze della forma:32é un insieme aperto, ossi un poligono a m lati aperto.

Un poligono a m lati descritto da m disuguaglianze della forma:33é un insieme chiuso, ossi un poligono a m lati chiuso.

Osservazione 6

In uno spazio  a n dimensioni,

sono definiti i poliedri aperti e poliedri chiusi da disuguaglianze che legano le funzioni lineari di coordinate.

Osservazione 7

Fra le figure menzionate, quelle chiuse e limitate sono dei Compatti.

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Limiti_j

Seguirà …

Lo studio…Limiti in uno Spazio Metrico…

 
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Pubblicato da su 19 settembre 2014 in Limiti

 

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