SPAZI METRICI
8.7- Successioni Convergenti di punti di un spazio metrico.-
8.7.1 Successioni Convergenti.
Consideriamo una successione
di punti di uno spazio metrico 
8.7.2 Definizione di successione convergente.-
La successione
si dice Convergente al punto
(questo fatto si denota con il simbolo)
se per ogni ε > 0 si può fissare un N numero naturale tale che per ogni n ≥ N la disuguaglianza 
sia verificata.
Ovvero:
Osservazione 1
In altre parole , la successione
é convergente al punto
se ad ogni sfera con centro in x e raggio ε appartengono tutti i punti di questa successione, a partire da un determinato punto in poi (e, quindi, all’esterno della sfera si trovano soltanto un numero finito dei punti di M).
8.7.3 Definizione di punto limite di una successione.-
Il puntoé detto allora limite della successione
e si denota co il simbolo
pertanto :
Osservazione 1
Il simbolo
significa ” x_n converge ad x “, ossia, in forma esplicita, ” per n→∞, la successione converge ad x secondo la metrica ρ “.
8.7.4.- Definizione di Successione Divergente.-
Se per una successione
non esiste nessun punto
per il quale sarebbe valida la relazione
La successione si dice divergente.
8.7.4a.- Esempi
Se M é la retta numerica, 
con la metrica
allora la definizione 8.7.2 assume la seguente forma :
Una successione di numeri reali 
converge a un numero reale x se per ogni ε > 0 si può fissare un N tale che per ogni n ≥ N la disuguaglianza 
sia verificata.
Così, la successione dei punti 
sulla retta numerica (con la metrica )
converge al punto x = 0; infatti, per un dato ε > 0, consideriamo un numero naturale N > 1/ε, per ogni n ≥N, abbiamo 
cosicchè i punti corrispondenti di 
appartengono alla sfera di raggio ε e di centro x = 0.
8.7.5 Lemma sulla continuità della distanza.-
Vogliamo dimostrare che le relazioni :
in uno spazio metrico M, implicano la relazione 
DIM.:
Fissiamo per un dato ε > 0 un N tale che, per n > N sia verificata la disuguaglianza 
in accordo con la disuguaglianza di quadrilatero
é verificata per gli stessi n>N la disuguaglianza
il che dimostra la relazione
°°°°°
8.7.6 Proprietà delle successioni convergenti
a) Siano
due successioni numeriche convergenti allora le relazioni :con 
implicano la disuguaglianza
DIM.:
Se supponiamo che x>y e che ε=x-y>0 troviamo un numero N tale che, per n>N, siano verificate le disuguaglianze
Allora
ovvero
in contraddizione con l’ipotesi
la proposizione é quindi dimostrata.
°°°°°
8.7.6 Proprietà delle successioni convergenti
b) Siano
due successioni numeriche convergenti allora le relazioni :implicano la relazione
DIM.:
dalle ipotesi scaturisce quanto segue: troviamo per un dato ε > 0 un numero N tale che, per n≥N, siano verificate le disuguaglianze
Allora, per gli stessi n≥N, é verificata anche la disuguaglianza
come dovevasi dimostrare.
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8.7.7 Proprietà delle successioni convergenti
c) Siano
tre successioni numeriche convergenti allora le relazioni :
con
implicano la disuguaglianza
DIM.:
La dimostrazione discende immediatamente dalle proprietà a) e b).
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8.7.8 Proprietà delle successioni convergenti
d) Sia uno spazio reale a m dimensioni aventi la metrica
se
allora
vogliamo dimostrare che:
la convergenza di una successione di vettori
a un vettore
é equivalente alla convergenza di m successioni numeriche 
DIM.:
°°°°°
8.7.9 Proprietà delle successioni convergenti.-
e) Se una successione é convergente, essa converge verso un unico elemento dello spazio
DIM.:
°°°°°
8.7.10 Proprietà delle successioni convergenti.-
f) Se una successione
é convergente, essa é limitata nello spazio
(in altre parole, i numeri 
dove b é un elemento di uno spazio
formano un insieme limitato sulla retta numerica).
DIM.:
°°°°°
Seguirà …
Lo studio dei …Spazi Metrici Limitati…
Tag: Successioni Convergenti di punti di un spazio metrico
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