Funzioni reali di variabile reale
7.31.- Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVIII
1.- Costruire il grafico della funzione y=f(x) 
determinando:
-
a) Dominio (o Campo di Esistenza)
-
a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
-
b) Punti di discontinuità
-
c) Punti estremali
-
d) intervalli di Crescita e di decrescenza
-
e) Punti di flesso
-
f) Concavità
-
g) Asintoti
°°°°°
Esercizio 18
Sia y=f(x) la funzione logaritmica trigonometrica :
Soluzione:
a) Dominio ( o Campo di esistenza )
infatti
a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
Intersezione asse x (intersezione non vuota)
infatti esistono infiniti punti di intersezione tra la funzione e l’asse x
Intersezione asse y (Intersezione vuota)
infatti non esistono punti di intersezione tra la funzione e l’asse y.
infatti
a2) Simmetrie
Poichè
la funzione non é simmetrica rispetto all’asse y.
Poichè
la funzione non é simmetrica rispetto all’origine degli assi.
infatti
a3) Periodicità
Poichè
la funzione é periodica.
infatti:
a4) Segno della funzione
Poichè la funzione é definita nell’insieme :
si ha
la funzione non esiste nell’intervallo.
la funzione esiste ed é sempre negativa nell’intervallo.
infatti :
b) Punti di discontinuità
Nota Bene.:
Se vi sono punti di discontinuità per la funzione, occorre determinare il tipo di discontinuità studiando il comportamento della funzione in un intorno (piccolo) di questi punti. Si possono trovare delle discontinuità di tipo “buco” , di tipo “salto” e di tipo “infinito” ; in quest’ultimo caso si ottengono asintoti verticali.
Quando lo studio del dominio indica che la funzione non esiste in qualche punto x_o , occorre studiare l’andamento della funzione VICINO a questo punto. Lo studio si esegue calcolando il limite della funzione quando x tende a quel punto x_o.
Si possono avere tre casi diversi:
A) DISCONTINUITA’ “BUCO” (terza specie)
Definizione 7.6.3.
Data una funzione reale di variabile reale f(x), sia x_o ∈ R un punto di accumulazione del suo dominio; diremo che x_o é un punto di discontinuità di III specie se esiste finito il limite
ma il valore della funzione in x_o non esiste oppure é diverso da tale limite (f(x_o)∉R oppure f(x_o)≠l ).
Se dal calcolo del limite risulta che quando x tende a x_o (sia da sinistra che da destra) la funzione tende al valore y_o allora la funzione manca del punto P(x_0 , y_0) come se vi fosse un “buco” nel grafico in quel punto.
In linguaggio matematico:
se x → x_o allora y→ y_o (la freccia si legge “tende a”)
lim f(x) = y_o
x → x_o
E’ possibile anche che in x_o la funzione sia definita ma di valore diverso da y_o (il punto nero figura 1). La discontinuità è eliminabile, basta definire la funzione in quel punto uguale a y_o (e si tappa il buco!).
B) DISCONTINUITA’ “INFINITO” (seconda specie)
Definizione 7.6.2.
Data una funzione reale di variabile reale f(x), sia x_o ∈ R un punto di accumulazione del suo dominio; diremo che x_o é un punto di discontinuità di II specie se non esiste o é infinito almeno uno dei seguenti limiti.
e
Se dal calcolo del limite risulta che quando x tende a x_o (da sinistra o da destra o da entrambe le parti) la funzione tende a ∞ (positivo o negativo che sia), allora il grafico della funzione si accosta sempre più alla retta x = x_o che viene detta asintoto verticale della funzione (si dice anche che la funzione è asintotica alla retta)
Si definisce discontinuità di seconda specie anche il caso in cui il limite destro o sinistro o entrambi non esistono.
C) DISCONTINUITA’ “SALTO” (prima specie)
Definizione 7.6.1.
Data una funzione reale di variabile reale f(x), sia x_o ∈ R un punto di accumulazione del suo dominio; diremo che x_o é un punto di discontinuità di I specie se esistono finiti ma diversi i seguenti limiti.
In tal caso chiameremo salto della funzione f in x0 la quantità 
Se dal calcolo del limite risulta che quando x tende a x_o la funzione tende da sinistra al valore Y1 e da destra al valore Y2 (diverso da Y1) allora la funzione ha un grafico spezzato, come se vi fosse un “salto” in quel punto.
Osservazione 1
E’ indifferente che la funzione sia definita o no nel punto x_o , la discontinuità resta e i due punti (x_o ,y_1) e (x_o , y_2) sono i punti di rottura della funzione.
°°°°°
Ciò premesso
Poichè la funzione é definita nell’insieme
grafico
la funzione ha (infiniti) punti di discontinuità.
Sia 
l’insieme dei punti di discontinuità della funzione.
poichè
allora tutti i punti dell’insieme
sono punti di discontinuità di seconda specie.
c) Punti estremali
I punti di massimo e minimo assoluto vengono anche detti punti estremali (o estremanti).
Derivata prima e segno relativo
Derivata seconda e segno relativo
-
ricerca massimo e minimo relativo
Calcolo derivata prima
poichè
quindi:
é un punto di massimo relativo
infatti :
ricerca massimo e minimo assoluto
d) intervalli di Crescita e di decrescita
poichè
infatti
e) Punti di flesso
Un punto 
nel quale la concavità del grafico di una funzione passa dalle y positive alle y negative e inversamente si chiama Punto di Flesso.
Poniamo la derivata seconda uguale a zero, poichè
non esistono Punti di flesso
infatti
f) Concavità
Nota Bene.:
Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso il basso nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sotto della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).
Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso l’alto nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sopra della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).
Una Condizione Sufficiente per la concavità verso il basso del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) < 0 sia verificata.
Una Condizione Sufficiente per la concavità verso l’alto del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) >0 sia verificata.
Osservazione 1
Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso il basso si dice anche che esso é Convesso verso l’alto.
Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso l’alto si dice anche che esso é Convesso verso il basso.
Poichè:
la funzione f(x) = ln (sin(x)) rivolge la concavità verso il basso
infatti:
g) Asintoti
Nota Bene.:
Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione y = f (x) tende a 0
per x →∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è
discontinua (asintoti verticali).
Asintoti Verticali
Si dice che la retta 
è un asintoto verticale per la funzione y = f (x) se c’è un punto singolare
(punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui si abbia:
oppure 
In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione
ed è il valore
(se esiste) ciò che dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali).
Asintoti Orizzontali
Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se si verifica una delle seguenti condizioni:
oppure 
dove k è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=k ed in questo caso è il numero k quel che dobbiamo determinare.
Se si effettua il limite per x tendente verso – ∞si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso + ∞ si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).
Asintoti Obliqui
Se non esiste l’asintoto orizzontale dobbiamo cercare l’eventuale asintoto obliquo (e ciò dobbiamo farlo sia a destra per x tendente verso + ∞ , che a sinistra per per x tendente verso – ∞ ). Una retta si dice asintoto obliquo se il il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y=mx+q (dove m ≠0) , altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine).
Si ha:
e
La retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Destro (A.Ob.D.).
Analogamentem si ha:
e
La retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Sinistro (A.Ob.S.).
°°°°°
Poichè
si hanno infiniti asintoti verticali…
infatti
°°°°°°°°°°°
grafico
°°°°°°°°°°°
…Seguirà…
… Esercitazione… “Studio di una Funzione Reale di Variabile Reale “
[contact-field label="Nome" type="name" required="1"/][contact-field label="E-mail" type="email" required="1"/][contact-field label="Sito web" type="url"/][contact-field label=’Commentare’ type=’textarea’
Tag: Punti di discontinuità di seconda specie, Punti di discontinuità di terza specie, Puntl di discontinuità di prima specie, Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVIII
Funzioni reali di variabile reale
7.30.- Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVII
1.- Costruire il grafico della funzione y=f(x) 
determinando:
-
a) Dominio (o Campo di Esistenza)
-
a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
-
b) Punti di discontinuità
-
c) Punti estremali
-
d) intervalli di Crescita e di decrescenza
-
e) Punti di flesso
-
f) Concavità
-
g) Asintoti
°°°°°
Esercizio 17
Sia y=f(x) la funzione esponenziale trigonometrica :
Soluzione:
a) Dominio ( o Campo di esistenza)
poiché
infatti
a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
Intersezione asse x (intersezione vuota)
infatti
Intersezione asse y (Intersezione non vuota)
infatti
Pertanto
a2) Simmetrie
Poichè
la funzione non é simmetrica rispetto all’asse y.
Poichè
la funzione non é simmetrica rispetto all’origine degli assi.
a3) Periodicità
Poichè
la funzione é periodica.
infatti:
a4) Segno della funzione
Poichè la funzione é definita nell’insieme R si ha:
∀ x∈R la funzione esiste ed é sempre positiva.
infatti :
b) Punti di discontinuità
Poichè la funzione é definita nell’insieme R si ha:
la funzione é continua in R, la funzione non ha punti di discontinuità.
infatti
c) Punti estremali
I punti di massimo e minimo assoluto vengono anche detti punti estremali (o estremanti).
Derivata prima e segno relativo
Derivata seconda e segno relativo
-
ricerca massimo e minimo relativo
Calcolo derivata prima della funzione
ovvero
calcoliamo le soluzioni dell’equazione
poichè
e
infatti
é un massimo relativo
é un minimo relativo
ovvero
ricerca massimo e minimo assoluto
d) intervalli di Crescita e di decrescita
Poichè
e
infatti
e) Punti di flesso
Un punto nel quale la concavità del grafico di una funzione passa dalle y positive alle y negative e inversamente si chiama Punto di Flesso.
Poniamo la derivata seconda uguale a zero 
poiché :
non esistono punti di flesso nell’intervallo
non esistono punti di flesso nell’intervallo
infatti
f) Concavità
Nota Bene.:
Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso il basso nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sotto della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).
Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso l’alto nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sopra della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).
Una Condizione Sufficiente per la concavità verso il basso del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) < 0 sia verificata.
Una Condizione Sufficiente per la concavità verso l’alto del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) >0 sia verificata.
Osservazione 1
Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso il basso si dice anche che esso é Convesso verso l’alto.
Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso l’alto si dice anche che esso é Convesso verso il basso.
Pertanto:
la funzione f(x) rivolge la concanità verso il basso nell’intervallo 
la funzione f(x) rivolge la concanità verso l’alto nell’intervallo 
infatti:
g) Asintoti
Limiti e asintoti
Nota Bene.:
Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione y = f (x) tende a 0
per x →∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è
discontinua (asintoti verticali).
Asintoti Verticali
Si dice che la retta è un asintoto verticale per la funzione y = f (x) se c’è un punto singolare
(punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui si abbia:oppure
In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione
ed è il valore
(se esiste) ciò che dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali).
Asintoti Orizzontali
Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se si verifica una delle seguenti condizioni: oppure
dove k è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=k ed in questo caso è il numero k quel che dobbiamo determinare.
Se si effettua il limite per x tendente verso – ∞si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso + ∞ si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).
Asintoti Obliqui
Se non esiste l’asintoto orizzontale dobbiamo cercare l’eventuale asintoto obliquo (e ciò dobbiamo farlo sia a destra per x tendente verso + ∞ , che a sinistra per per x tendente verso – ∞ ). Una retta si dice asintoto obliquo se il il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y=mx+q (dove m ≠0) , altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine).
Si ha:e
La retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Destro (A.Ob.D.).
Analogamentem si ha:eLa retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Sinistro (A.Ob.S.).
°°°°°
Poichè la funzione é definita nell’insieme R si ha:la funzione é continua in R, la funzione non ha punti di discontinuità.
Quindi per la funzione
non esistono Asintoti.
°°°°°
grafico
°°°°°°°°°°°
…Seguirà…
… Esercitazione… “Studio di una Funzione Reale di Variabile Reale “
[contact-field label="Nome" type="name" required="1"/][contact-field label="E-mail" type="email" required="1"/][contact-field label="Sito web" type="url"/][contact-field label=’Commentare’ type=’textarea’
Tag: Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVII
Funzioni reali di variabile reale
7.29.- Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVI
1.- Costruire il grafico della funzione y=f(x) 
determinando:
-
a) Dominio (o Campo di Esistenza)
-
a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
-
b) Punti di discontinuità
-
c) Punti estremali
-
d) intervalli di Crescita e di decrescenza
-
e) Punti di flesso
-
f) Concavità
-
g) Asintoti
°°°°°
Esercizio 16
Sia y=f(x) la funzione trigonometrica :
Soluzione:
a) Dominio ( o Campo di esistenza )
infatti
a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
Intersezione asse x (intersezione vuota)
Intersezione asse y (Intersezione non vuota)
infatti
a2) Simmetrie
Poichè
la funzione non é simmetrica rispetto all’asse y.
Poichè
la funzione non é simmetrica rispetto all’origine degli assi.
a3) Periodicità
Poichè
la funzione é periodica.
infatti:
a4) Segno della funzione
Poichè la funzione é definita nell’insieme :
la funzione esiste ed é sempre negativa.
la funzione esiste ed é sempre positiva.
infatti :
b) Punti di discontinuità
Poichè per 
si ha
e
allora per
si ha
e
grafico
la funzione ha punti di discontinuità.
c) Punti estremali
I punti di massimo e minimo assoluto vengono anche detti punti estremali (o estremanti).
Poichè
calcoliamo la derivata seconda di f(x) si ha:
e
infatti
d) intervalli di Crescita e di decrescenza
Poichè
e
infatti
e) Punti di flesso
Un punto nel quale la concavità del grafico di una funzione passa dalle y positive alle y negative e inversamente si chiama Punto di Flesso.
Poniamo la derivata seconda uguale a zero , poichè
non esistono punti di flesso.
Infatti
f) Concavità
Nota Bene.:
Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso il basso nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sotto della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).
Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso l’alto nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sopra della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).
Una Condizione Sufficiente per la concavità verso il basso del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) < 0 sia verificata.
Una Condizione Sufficiente per la concavità verso l’alto del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) >0 sia verificata.
Osservazione 1
Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso il basso si dice anche che esso é Convesso verso l’alto.
Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso l’alto si dice anche che esso é Convesso verso il basso.
Poichè
g) Asintoti
Nota Bene.:
Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione y = f (x) tende a 0
per x →∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è
discontinua (asintoti verticali).
Asintoti Verticali
Si dice che la retta è un asintoto verticale per la funzione y = f (x) se c’è un punto singolare
(punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui si abbia:oppure
In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione
ed è il valore
(se esiste) ciò che dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali).
Asintoti Orizzontali
Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se si verifica una delle seguenti condizioni: oppure
dove k è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=k ed in questo caso è il numero k quel che dobbiamo determinare.
Se si effettua il limite per x tendente verso – ∞si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso + ∞ si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).
Asintoti Obliqui
Se non esiste l’asintoto orizzontale dobbiamo cercare l’eventuale asintoto obliquo (e ciò dobbiamo farlo sia a destra per x tendente verso + ∞ , che a sinistra per per x tendente verso – ∞ ). Una retta si dice asintoto obliquo se il il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y=mx+q (dove m ≠0) , altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine).
Si ha:e
La retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Destro (A.Ob.D.).
Analogamentem si ha:eLa retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Sinistro (A.Ob.S.).
Poichè
°°°°°°°°°°°
grafico
…Seguirà…
… Esercitazione… “Studio di una Funzione Reale di Variabile Reale “
[contact-field label="Nome" type="name" required="1"/][contact-field label="E-mail" type="email" required="1"/][contact-field label="Sito web" type="url"/][contact-field label=’Commentare’ type=’textarea’
Tag: Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVI
iMathematica 
Devi effettuare l'accesso per postare un commento.