Funzioni reali di variabile reale
7.08.- Studio di funzioni reali.-
07.- STUDIO DELLA MONOTONIA (CRESCENTE / DECRESCENTE) DI UNA FUNZIONE.-
Uno degli studi decisivi per determinare l’andamento del grafico di una funzione è quello di determinare dove la funzione cresce (e dove decresce). Precisando meglio, “Se la funzione y = f(x) non ha discontinuità in un intervallo ]a , b[ , si dice che è crescente in un punto c di tale intervallo se per i valori di x < c si ha f(x) < f(c) e per i valori di x > c si ha f(x) > f(c).
si dice che è decrescente in un punto c di tale intervallo se per i valori di x < c si ha f(x) > f(c) e per i valori di x > c si ha f(x) < f(c)”.
Lo strumento dell’analisi matematica che permette di studiare la crescenza di una funzione è il calcolo della derivata prima della funzione.
Si deve determinare per quali valori di x (intervalli dell’asse X) la funzione risulta crescente e per quali è decrescente.Si calcola la derivata prima di f e si risolvono le disequazioni f'(x) > 0 ed f'(x) < 0 e l’equazione f'(x) = 0, allo scopo di trovare gli intervalli in cui f é strettamente crescente o strettamente decrescente e gli eventuali punti di minimo o massimo relativo per f.
La derivata prima della funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico in quel punto (noto teorema) e, dunque, il suo segno dà le informazioni richieste. Ad esempio, la derivata della funzione nel punto x1 è 1 (positiva) e la funzione cresce, mentre nel punto x2 è – ½ (negativa) e la funzione decresce.
Se nel punto c si ha una situazione tale che la funzione è continua in un intorno ]a , b[ di c e si ha f(x) < f(c) sia per i valori di x < c che per i valori di x > c allora il punto c è un punto di massimo relativo per la funzione.
Se nel punto c si ha una situazione tale che la funzione è continua in un intorno ]a , b[ di c e si ha f(x) > f(c) sia per i valori di x < c che per i valori di x> c allora il punto c è un punto di minimo relativo.
Nota Bene :
perché c sia effettivamente un punto di massimo o di minimo per la funzione occorre che la retta tangente in quel punto sia orizzontale, ossia abbia coefficiente angolare (derivata della funzione in c) uguale a zero!
Osservazione:
la parola relativo indica che la condizione di massimo o di minimo si riferisce solo ad una piccola porzione di grafico (l’intervallo ]a , b[ ) e che per altri valori di x fuori da tale intervallo la funzione può risultare molto più alta del massimo o molto più bassa del minimo. in altre parole, la condizione di massimo o minimo relativo è locale e vale in un intorno del punto
Nella figura, (X1 , Y1) è un punto di massimo relativo e (X2 , Y2) è un punto di minimo relativo, ma la funzione assume valori anche più piccoli di Y1 (valori di x verso sistra) e valori più grandi di Y2 (valori di x verso destra).
Una descrizione completa della crescenza di quest’ultimo grafico è
La funzione è crescente per X < X1
La funzione è decrescente per X1< X < X2
La funzione ha un minimo relativo nel punto (X2 , Y2)
La funzione ha un massimo relativo nel punto (X1 , Y1)
Dunque, per determinare gli intervalli dove la funzione cresce (o decresce) ed i suoi punti di massimo e minimo relativi occorre:
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determinare la sua derivata prima
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studiarne il segno
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applicare il teorema
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descrivere crescenza, decrescenza e punti di massimo e minimo relativi
Esempio
Y = X^3 – 3X è una funzione continua in tutto R
La sua derivata prima è Y’ = 3X2 – 3 e, studiandone il segno,
3Xì2 – 3 ≥ 0 per X ≤ –1 X ≥ +1 abbiamo
la funzione cresce per X < –1 e X > +1
la funzione decresce per –1 < X < +1 e, poiché f’(–1) = 0 e f’(+1) = 0 ,
la funzione ha un max relativo per X = –1
la funzione ha un min relativo per X = +1
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…Seguirà…
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