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Funzioni reali di variabile reale

6.30.1 – Ricerca del Dominio di Funzioni Varie.-

Esercizio 1 :

Determinare il dominio della funzione Soluzione .-

grafico 1:

 Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 2 :

Determinare il dominio della funzione Soluzione .-

grafico 2:

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 3 :

Determinare il dominio della funzione

 Soluzione .-

grafico 3:

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 4 :

Determinare il dominio della funzioneSoluzione .-

grafico 4:

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 5 :

Determinare il dominio della funzioneSoluzione .-

grafico 5:Dominio di f:

°°°°°

 Esercizio 6 :

Determinare il dominio della funzione Soluzione .-

grafico 6:

Dominio di f:

°°°°°

°°°°°°°°°°

 

 

 

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Funzioni reali di variabile reale

6.29.1 – Ricerca del Dominio di Funzioni Varie.-

Esercizio 1 :

Determinare il dominio della funzione Soluzione .-

La funzione é somma di due funzioni irrazionali per cui bisogna porre a sistema le condizioni di esistenza delle due radici sono

x + 2 ≥ 0
1 − x ≥ 0

da cui si ha: 

x ≥ −2

x ≤ +1

D = {x ∈ R| − 2 ≤ x ≤ 1}  ↔  D = [−2; 1]

 grafico 1:Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 2 :

Determinare il dominio della funzioneSoluzione .-

In questo caso abbiamo due radici e un termine frazionario. Le tre condizioni vanno messe a sistema:

x^2 − 3 ≥ 0
x − 5 ≠ 0
x^2 − x − 30 ≤ 0

Per la seconda radice abbiamo cambiato il segno di tutti i termini e il verso della disequazione. Risolviamo la prima disequazione

x^2 − 3 ≥ 0

. Consideriamo l’equazione associata: x^2 − 3 = 0 ↔ x^2 = 3 da cui si ottengono le due soluzioni opposte

x = − √3      x = + √3

Avendo trovato due soluzioni distinte il
Δ associato é positivo per cui la soluzione della disequazione

x^2 − 3 ≥ 0

é data dall’insieme degli intervalli esterni rispetto alle due soluzioni ottenute

x ≤ −√3 ∨ x ≥√3

L’inequazione x − 5 ≠ 0 ha soluzione x≠5
L’ultima disequazione é di secondo grado completa :

Δ = 1 + 120 = 121

x1,2  =1 ± √121 / 2 = 1 ± 11 / 2

Le soluzioni dell’equazione associata sono:
x1 =1 − 11 / 2 = −10 / 2 = −5
e
x2 =1 + 11 / 2 = 12/2= 6
grafico 2:

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 3 :

Determinare il dominio della funzione

Soluzione .-

Impostiamo il sistema ponendo il primo radicando maggiore o uguale a zero e il secondo radicando maggiore di zero

x^2 + 2x / x − 1 ≥ 0
x^2 − 1 > 0

Risolviamo prima la disequazione fratta

x^2 + 2x / x − 1 ≥ 0

studiamo il numeratore  N ≥ 0;  x^2 + 2x ≥ 0;  x (x + 2) ≥ 0 da cui

N1 ≥ 0;  x ≥ 0
N2 ≥ 0;  x + 2 ≥ 0;  x ≥ −2

Studiamo il denominatore  D > 0; x − 1 > 0;  x > 1

otteniamo la soluzione della disequazione x^2 + 2x / x − 1 ≥ 0 :

−2 ≤ x ≤ 0 ∨ x > 1

Studiamo adesso la disequazione  x^2 − 1 > 0 la cui soluzione é

x < 1 ∨ x > 1

grafico 3:

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 4 :

Determinare il dominio della funzione

Soluzione .-

grafico 4:

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 5 :

Determinare il dominio della funzione

Soluzione .-

grafico 5:Dominio di f:

°°°°°

 Esercizio 6 :

Determinare il dominio della funzione

Soluzione .-

grafico 6:

Dominio di f:

°°°°°

 

 

 

 

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Funzioni reali di variabile reale

6.28.1 – Ricerca del Dominio di una Funzione.-

Esercizio 1 :

Determinare il dominio della funzione(generalizzazione) La funzione `e del tipo y = f(x) / g(x) con f(x) e g(x) polinomi reali in x.

Soluzione .-

grafico 1:Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 2 :

Determinare il dominio della funzione(generalizzazione) La funzione é del tipo y = f(x) / g(x)
con f(x) e g(x) polinomi reali in x.

Soluzione .-

grafico 2

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 3 :

Determinare il dominio della funzione

(generalizzazione) La funzione `e del tipo y = f(x) / g(x)
con f(x) e g(x) polinomi reali in x.

Soluzione .-

grafico 3

Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 4 :

Determinare il dominio della funzione(generalizzazione) La funzione é del tipo y = sqrt( f(x) )
con f(x) polinomio reale in x.

Soluzione .-

grafico 4Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 5 :

Determinare il dominio della funzione

(generalizzazione) La funzione é del tipo y =sqrt( f(x) / g(x))
con f(x) e g(x) polinomi reali in x.

Soluzione .-

in questo caso, trattandosi di una funzione irrazionale, dovremo porre il radicando maggiore o uguale a zero e studiare la disequazione:

x^2 − 4x / 1 − x2 ≥ 0

si tratta di una disequazione fratta da studiare ponendo maggiore o uguale a zero il numeratore (N) e maggiore a zero il denominatore (D) per poi studiare il prodotto dei segni:

N ≥ 0;     x2 − 4x ≥ 0;     x (x − 4) ≥ 0

da cui

N1 ≥ 0; x ≥ 0
N2 ≥ 0; x − 4 ≥ 0; x ≥ 4

Studiamo il segno del denominatore:

D > 0; 1 − x2 > 0; x2 − 1 < 0

grafico 5Dominio di f:

°°°°°

Esercizio 6 :

Determinare il dominio della funzione(generalizzazione) La funzione é del tipo y = f(x) /sqrt( g(x)) con f(x) e g(x) polinomi reali in x.

Soluzione .-

In questo caso bisognerebbe porre(generalizzazione) Questa situazione si verifica per ogni funzione del tipo

y =f(x)/ sqrt(g(x))

(regola) in tal caso é possibile porre g(x) > 0

grafico 6

Dominio di f:

°°°°°

°°°°°°°°°°

 

 

 

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6.27.1 – Le funzioni Trascendenti

6.- Potenze con esponente e base variabili  Siano :due funzioni reali di variabile reale, di g(x) ≥ 0, e h(x) una funzione qualunque. Il grafico della funzione f(x) é rappresentato in figura 1il Dominio di f é:infatti g(x) ≥ 0 quando x∈[x_1,x_2] e quindi f(x) esiste per gli stessi valori della x.

°°°°°

Siano :

due funzioni reali di variabile reale, di g(x) ≥ 0, e h(x) una funzione qualunque. Il grafico della funzione f(x) é rappresentato in figura 2il Dominio di f é:infatti g(x) ≥ 0 quando x∈[x_1,x_2] e quindi f(x) esiste per gli stessi valori della x.

°°°°°

Siano :due funzioni reali di variabile reale, di g(x) ≥ 0, e h(x) una funzione qualunque. Il grafico della funzione f(x) é rappresentato in figura 3il Dominio di f é:infatti g(x) ≥ 0 quando x∈[x_1,x_2] e quindi f(x) esiste per gli stessi valori della x.

il Codominio di f é:

°°°°°°°°°°°°

 

 

 

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6.26.1 – Le funzioni Trascendenti

5.- Potenze con esponente irrazionale positivo ↔ Criteri generali per determinare il dominio di particolari categorie di funzioni:
Tipo di funzione                                     Modello                  Dominio
Razionale intera (o polinomiale)   y = P(x)                          Tutti i numeri reali
Razionale fratta                            y = P(x)/Q(x)                  Tutti i numeri reali esclusi gli eventuali zeri del denominatore
Razionale Fratta con componenti razionali e/o non razionali  due espressioni qualsiasi                                                                               Tutti i numeri reali esclusi gli eventuali zeri del denominatore e quelli che impediscono il calcolo di qualcuna delle funzioni componenti
Irrazionale intera con indice pari     y = sqrt(n) P(x)         Tutti i numeri reali che rendono il radicando 0
Logaritmica                                        y = log(P(x))             Tutti i numeri reali che rendono l’argomento P(x) del logaritmo maggiore di 0
Esponenziale                                     y = e^ P(x)                Tutti i numeri reali esclusi eventualmente quelli non appartenenti al dominio dell’esponente P(x)

premessa:

CAMPI DI ESISTENZA

La maggior parte delle funzioni reali che utilizziamo nelle applicazioni sono espresse per mezzo di una o più delle otto operazioni aritmetiche (somma, differenza, prodotto, divisione, potenza, radice, esponenziale, logaritmo) con le quali si può operare nel campo dei numeri reali. Quindi per l’esistenza di tali funzioni basta tener presente quando queste operazioni danno risultato e quando lo danno unico. Non esiste alcun problema, come abbiamo visto, per la somma, la differenza, il prodotto, la potenza ad esponente intero positivo e l’esponenziale. Mentre qualche problema esiste per le altre e in particolare:
DIVISIONE −

occorre il divisore diverso da zero: POTENZA AD ESPONENTE IRRAZIONALE −

occorre la base maggiore di zero: RADICE AD INDICE PARI −

occorre il radicando maggiore o uguale a zero: LOGARITMO −

occorre l’argomento maggiore di zero: A queste regole vanno aggiunte  le seguenti: 

°°°°°

Ricerca del Dominio di una Funzione Composta:

Esempio 1

Sia Dominio funzione P (Polinomio)

Dominio:

°°°°°

SiaDominio funzione fDominio:

°°°°°

Sia

Dominio funzione gDominio:

°°°°°

SiaDominio funzione hDominio:

°°°°°

SiaDominio funzione m

Dominio:

°°°°°

SiaDominio funzione n

Dominio:

°°°°°

°°°°°°°°°°°°

 

 

 

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