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Funzioni reali di variabile reale

7.13.- Studio di funzioni reali.-

12.- COSTRUZIONE DEI GRAFICI DELLE FUNZIONI SECONDO I LORO PUNTI CARATTERISTICI.-

Tutti gli strumenti fin qui forniti vengono utilizzati per lo studio di una funzione reale di variabile reale, nel quale essi trovano la loro più completa applicazione. Diamo di seguito uno schema generale che permette di ottenere le informazioni necessarie per la costruzione del grafico.

Campo di esistenza

Le nozioni acquisite nei primi giorni di luglio riguardo le proprietà delle funzioni algebriche e trascendenti, ci consentono ora di esplicitare le condizioni necessarie affinchè una funzione reale di variabile reale possa esistere. Si tratta, in generale, di risolvere un sistema di disequazioni del tipo:

C.E. :

• ogni denominatore deve essere diverso da zero

• ogni radicando con indice di radice pari deve essere maggiore o uguale a zero

• ogni argomento di logaritmo deve essere maggiore di zero

• ogni argomento di arcoseno o arcocoseno deve essere compreso fra -1 e 1, estremi inclusi.

Simmetrie e periodicità

A questo punto va controllato se la funzione data gode di simmetrie elemetari e/o di periodicità mediante l’utilizzo delle relative definizioni.
Ricordiamo la definizione di funzione pari, ossia con grafico simmetrico rispetto all’asse delle ordinate:
f(-x) = f(x); ∀x ∈ C.E.
e di funzione dispari, ossia con grafico simmetrico rispetto all’origine:
f(-x) = .f(x); ∀x ∈ C.E.
Naturalmente, qualora il C.E. della funzione non sia un insieme simmetrico rispetto allo 0, non ha alcun senso controllare se la funzione é pari o dispari. In questa sede non consideriamo simmetrie diverse da quelle elemenatri viste sopra perché di trattazione meno immediata.
Ricordiamo la definizione di funzione periodica di periodo T:
f(x + kT) = f(x); ∀x ∈C.E.; ∀k ∈Z
Qualora la funzione risulti periodica é sufficiente studiarla e disegnarne il graco all’interno di un periodo opportunamente scelto.

Segno della funzione

Studiare il segno della funzione data significa ricavare dove risulta:

f(x) > 0
f(x) = 0
f(x) < 0

e a tale scopo é sufficiente, per il principio di esclusione, risolvere, per esempio, la sola disequazione

f(x) ≥ 0

Vengono così determinati gli eventuali punti di intersezione del grafico della funzione data con l’asse delle ascisse e le regioni del piano nelle quali esso deve trovarsi. A questo livello é interessante cercare anche l’eventuale punto di intersezione del grafico della funzione data con l’asse delle ordinate.

Limiti e asintoti

Vanno calcolati i limiti negli eventuali punti di discontinuità e, se necessario, sulla frontiera del C.E.. Si possono presentare alcuni casi notevoli:

1. se risultaallora la funzione ha un asintoto verticale  (A.V.) di equazione:   x = c
2. se risultaallora la funzione ha un asintoto orizzontale (A.O.) di equazione:  y = k

3. se risultaallora la funzione potrebbe avere un asintoto obliquo (A,OB.) di equazione : y = mx + q

se e A tal proposito può essere interessante cercare le eventuali intersezioni del grafico con gli asintoti orizzontali e obliqui.

Derivata prima e segno relativo

Va calcolata la derivata prima f'(x) della funzione data e di questa va studiato il segno; studiare il segno della derivata prima signica ricavare dove risulta

f'(x) > 0
f'(x) = 0
f'(x) < 0

e a tale scopo e sufficiente, per il principio di esclusione, risolvere, per esempio, la sola disequazione

f'(x) ≥ 0

Vengono così determinati, come dimostrato nella seconda conseguenza del Teorema di Lagrange, gli intervalli in cui la funzione e crescente (f'(x) > 0), decrescente (f'(x) < 0) e i punti a tangente orizzontale (f'(x) = 0). Detta c l’ascissa di uno di tali punti, quindi f'(c) = 0, e supposto che la funzione data sia continua in un intorno di c, con riferimento a tale intorno si possono presentare le seguenti situazioni:

1. se f cresce in un intorno sinistro di c e decresce in un intorno destro di c allora f ammette in c un punto di massimo relativo M(c; f(c));

2. se f decresce in un intorno sinistro di c e cresce in un intorno destro di c allora f ammette in c un punto di minimo relativo N(c; f(c));

3. se f cresce in un intorno sinistro di c e cresce in un intorno destro di c allora f ammette in c un punto di  esso ascendente F(c; f(c)) a tangente orizzontale;

4. se f decresce in un intorno sinistro di c e decresce in un intorno destro di c allora f ammette in c un punto di  esso discendente F(c; f(c)) a tangente orizzontale.

Piu in generale, diremo che la funzione f ammette in c un punto di massimo relativo (o locale) se esiste un intorno di c in cui risulta f(x)  f(c); cio implica che vi possono essere punti di massimo relativo a tangente non orizzontale, addirittura di non derivabilita. Analogamente per il minimo relativo.

Nell’ipotesi in cui la funzione abbia in c un punto di continuità ma dubbia derivabilità, é necessario calcolare il limite :per ottenere informazioni sul comportamento della funzione in prossimità di c attraverso la pendenza
delle tangenti.

Derivata seconda e segno relativo

Va calcolata la derivata seconda f”(x) della funzione data e di questa va studiato il segno; studiare il segno della derivata seconda significa ricavare dove risulta

f”(x) > 0
f”(x) = 0
f”(x) < 0

e a tale scopo e sufficiente, per il principio di esclusione, risolvere, per esempio, la sola disequazione

f”(x) ≥ 0

Vengono così determinati, come é senz’altro possibile dimostrare ma esula dagli obiettivi di questo lezione, gli intervalli in cui la funzione volge la concavità verso l’alto (corrispondenti alle zone in cui risulta f”(x) > 0), volge la concavità verso il basso (corrispondenti alle zone in cui risulta f”(x) < 0) e i punti in cui la derivata seconda si annulla. Detta c l’ascissa di uno di tali punti, quindi f”(c) = 0, e supposto che la funzione data sia continua in un intorno di c, con riferimento a tale intorno si possono vericare le seguenti situazioni:

1. se f volge la concavita verso l’alto in un intorno sinistro di c e volge la concavita verso il basso in un intorno destro di c allora f ammette in c un punto di  flesso F(c; f(c)) o di cambio di concavità.

2. se f volge la concavità verso il basso in un intorno sinistro di c e volge la concavità verso l’alto in un intorno destro di c allora f ammette in c un punto di  flesso F(c; f(c)) o di cambio di concavità.

Se invece nell’intorno di c, ove risulti sempre f”(c) = 0, non c’e cambio di concavità, allora signica che in c la funzione ha un punto di massimo o di minimo relativo; in questo caso esso deve essere stato già scoperto con lo studio della derivata prima.

Ricordiamo che la funzione può avere un punto di  flesso anche se non ammette in esso derivate prima e seconda (come gia visto nel caso di  flessi a tangente verticale). Infine, puo essere richiesto di calcolare l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in un punto di  flesso; essa, come già visto in precedenza, é data da:

t_F : y – f(c) = f'(c)(x – c)

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Grafici di Alcune funzioni:

y = f(x) Razionale Intera

Sia la sua derivata prima f’la sua derivata seconda f”Grafico di y=f(x)

y = f(x) Razionale Frazionaria

Sia la sua derivata prima f’

la sua derivata seconda f”

Grafico di y=f(x)

grafico 2

y = f(x) Irrazionale y = f(x) Esponenziale

Siagrafico y=f(x)

la sua derivata prima f’

grafico y’=f'(x)

la sua derivata seconda f”

grafico y”=f”(x)

y = f(x) Logaritmica

Siagrafico y=f(x)

 la sua derivata prima f’grafico y’=f'(x)

la sua derivata seconda f”grafico y”=f”(x)

y = f(x) Trigonometrica

 

y = f(x) Trigonometrica

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°°°°°°°°°°

 

…Seguirà…

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