Funzioni reali di variabile reale
7.03.- Studio di funzioni reali.-
02.- STUDIO SIMMETRIE E/O PERIODICITA’ DI UNA FUNZIONE.-
Si cercano eventuali simmetrie (solo rispetto all’ origine degli assi O) o periodicità.
Se il dominio della funzione è simmetrico rispetto a O, allora
-
se
la funzione è pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse delle ordinate (asse 
) -
se
la funzione è dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine 
-
In entrambi i casi la costruzione di metà del grafico permette di costruire l’altra metà. Si tralasciano però altre possibili simmetrie assiali o centrali del grafico.
-
Se per qualche numero reale
e per ogni elemento 
dell’insieme di definizione si ha che la funzione è ancora definita in (
), con 
, allora la funzione è periodica di periodo 
. In questo caso la costruzione del grafico su un intervallo 
permette di costruire tutto il grafico.
Esercizio 02
Costruire il grafico della funzione
Soluzione :
a) Ricerca del dominio (Campo di Esistenza) di
poichè :
Il Campo di esistenza della funzione é
b) Verificare se la funzione f é pari o dispari.
poichè :
f(x) ≠ f(-x) ∀x∈]0,+∞[
f(-x) ≠ -f(x) ∀x∈]0,+∞[
-
la funzione non é pari nè dispari.
c) Ricercare i punti di discontinuità.
poichè : 
la funzione f é continua nell’intervallo ]0,+∞[, quindi non vi sono punti di discontinuità nel dominio di f.
d) Ricercare gli asintoti .
poichè :
-
Quando ci si avvicina ad un punto di frontiera (x = 0) del domino di f, si ha:
Ciò vuol dire che la retta x = 0 (asse delle ordinate) é un asintoto verticale. -
Determiniamo l’asintoto obliquo destro y = kx+b (l’asintoto obliquo sinistro non esiste perchè x non può tendere a -∞):
dunque y = 0 l’asse delle ascisse é l’asintoto destro.
e) Ricerchiamo i Punti Critici di prima e di seconda specie,
cioè i punti nei quali la derivata prima o la derivata seconda della funzione data si annulla o non esiste.
si ha: 
f'(x) esiste in tutti i punti del dominio della funzione data.
grafico 1
si ha: 
f”(x) esiste in tutti i punti del dominio della funzione data.
grafico 2
ed inoltre :
f) Studio del segno delle funzioni: f'(x) e f”(x)
Per determinare il segno di f'(x) (o quello di f”(x)) nell’intervallo suindicato é sufficiente stabilire il segno di f'(x) (o quello di f”(x)) in un punto qualunque dell’intervallo.
segno f'(x):
grafico 3
segno f”(x) :
grafico 4
g) Intersezione della funzione data con gli assi coordinati
Intersezione f con Asse x
Intersezione f con Asse y
quindi il grafico non interseca l’asse y.
grafico 5
h) Costruiamo il grafico con i risultati ottenuti.
grafico 6
Riuniamo tutti questi risultati e i punti caratteristici in una Tavola Riepilogativa
°°°°°°°°°°
…Seguirà…
iMathematica 
Devi effettuare l'accesso per postare un commento.