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Funzioni reali di variabile reale

7.14.- Studio di funzioni reali.- Esercitazione I

1.- Costruire il grafico della funzione y=f(x) determinando:

• a) Dominio (o Campo di Esistenza)

• a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
  

• a2) Simmetrie
  

• a3) Periodicità
  

• a4) segno della funzione
  

• b) Punti di discontinuità

• c) Punti estremali

• d) intervalli di Crescita e di decrescenza

• e) Punti di flesso

• f) Concavità

• g) Asintoti

°°°°°

Esercizio 01

Sia y=f(x) la funzione razionale intera :

Soluzione:

a) Dominio di f(x) (o Campo di esistenza)infatti

a1) Intersezione con gli assi x e y

• Intersezione asse x – Punti : (O=(0,0) e P=(3,0))
  

•  Intersezione asse y – Punto : ( O=(0,0) )
  

  

infatti

a2) Simmetrie

Poichèla funzione non é simmetrica.

a3) Periodicità

Poichèla funzione non é periodica.

Quindi:

a4) Segno della funzione

infatti

b) Punti di discontinuità

Poichè grafico

la funzione non ha punti di discontinuità.

c) Punti estremali

I punti di massimo e minimo assoluto vengono anche detti punti estremali (o estremanti).

Derivata prima e segno relativo

 Derivata seconda e segno relativo

• ricerca massimo e minimo relativo

Calcolo derivata primapoichè

é un massimo relativo

é un minimo relativo

infatti :

• ricerca massimo e minimo assoluto

d) intervalli di Crescita e di decrescenza

Derivata prima e segno relativo

poichèinfattie) Punti di flesso

Un punto nel quale la concavità del grafico di una funzione passa dalle y positive alle y negative e inversamente si chiama Punto di Flesso.

Poniamo la derivata seconda uguale a zero otteniamo così Poichèequindipertanto

f) Concavità

Nota Bene.:

Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso il basso nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sotto della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).

Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso l’alto nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sopra della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).

Una Condizione  Sufficiente per la concavità verso il basso del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) < 0 sia verificata.

Una Condizione  Sufficiente per la concavità verso l’alto del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) >0 sia verificata.

Osservazione 1

Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso il basso si dice anche che esso é Convesso verso l’alto.

Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso l’alto si dice anche che esso é Convesso verso il basso.

Osservazione I° Metodoquindi

g) Asintoti

Limiti e asintoti

Nota Bene.:

Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione y = f (x) tende a 0
per x →∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è
discontinua (asintoti verticali).

Asintoti Verticali

Si dice che la retta è un asintoto verticale per la funzione y = f (x) se c’è un punto singolare 

(punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui si abbia:oppure
In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione 

ed è il valore 

(se esiste) ciò che dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali).

Asintoti Orizzontali

Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se si verifica una delle seguenti condizioni: oppure
dove k è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=k ed in questo caso è il numero k quel che dobbiamo determinare.

Se si effettua il limite per x tendente verso – ∞si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso + ∞ si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).

Asintoti Obliqui

Se non esiste l’asintoto orizzontale dobbiamo cercare l’eventuale asintoto obliquo (e ciò dobbiamo farlo sia a destra per x tendente verso + ∞ , che a sinistra per per x tendente verso – ∞ ). Una retta si dice asintoto obliquo se il il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y=mx+q (dove m ≠0) , altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine).

Si ha:e

La retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Destro (A.Ob.D.).

Analogamentem si ha:eLa retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Sinistro (A.Ob.S.).

 °°°°°

grafico

ovvero:

 °°°°°°°°°°°

…Seguirà…

… Esercitazione… “Studio di una Funzione Reale di Variabile Reale “

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