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Funzioni reali di variabile reale

7.29.- Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVI

1.- Costruire il grafico della funzione y=f(x) determinando:

• a) Dominio (o Campo di Esistenza)

• a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
  

• a2) Simmetrie
  

• a3) Periodicità
  

• a4) segno della funzione
  

• b) Punti di discontinuità

• c) Punti estremali

• d) intervalli di Crescita e di decrescenza

• e) Punti di flesso

• f) Concavità

• g) Asintoti

°°°°°

 

Esercizio 16

Sia y=f(x) la funzione trigonometrica :

Soluzione:

a) Dominio ( o Campo di esistenza )

infatti

a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)

  Intersezione asse x (intersezione vuota) Intersezione asse y (Intersezione non vuota) infatti

a2) Simmetrie

Poichè la funzione non é simmetrica rispetto all’asse y.

 Poichèla funzione non é simmetrica rispetto all’origine degli assi.

 a3) Periodicità

 Poichèla funzione é periodica.

 infatti:

 a4) Segno della funzione

 Poichè la funzione é definita nell’insieme :

 la funzione  esiste ed é sempre negativa.

 la funzione esiste ed é sempre positiva.

infatti :

 

b) Punti di discontinuità

Poichè per si haeallora per

si haegrafico

la funzione  ha punti di discontinuità.

c) Punti estremali

I punti di massimo e minimo assoluto vengono anche detti punti estremali (o estremanti).

Poichècalcoliamo la derivata seconda di f(x) si ha:einfatti

d) intervalli di Crescita e di decrescenza

Poichèeinfatti

e) Punti di flesso

Un punto nel quale la concavità del grafico di una funzione passa dalle y positive alle y negative e inversamente si chiama Punto di Flesso.

Poniamo la derivata seconda uguale a zero , poichè

non esistono punti di flesso.

Infatti

f) Concavità

Nota Bene.:

Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso il basso nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sotto della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).

Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso l’alto nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sopra della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).

Una Condizione  Sufficiente per la concavità verso il basso del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) < 0 sia verificata.

Una Condizione  Sufficiente per la concavità verso l’alto del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) >0 sia verificata.

Osservazione 1

Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso il basso si dice anche che esso é Convesso verso l’alto.

Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso l’alto si dice anche che esso é Convesso verso il basso.

Poichè

g) Asintoti

Nota Bene.:

Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione y = f (x) tende a 0
per x →∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è
discontinua (asintoti verticali).

Asintoti Verticali

Si dice che la retta è un asintoto verticale per la funzione y = f (x) se c’è un punto singolare 

(punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui si abbia:oppure
In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione 

ed è il valore 

(se esiste) ciò che dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali).

Asintoti Orizzontali

Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se si verifica una delle seguenti condizioni: oppure
dove k è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=k ed in questo caso è il numero k quel che dobbiamo determinare.

Se si effettua il limite per x tendente verso – ∞si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso + ∞ si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).

Asintoti Obliqui

Se non esiste l’asintoto orizzontale dobbiamo cercare l’eventuale asintoto obliquo (e ciò dobbiamo farlo sia a destra per x tendente verso + ∞ , che a sinistra per per x tendente verso – ∞ ). Una retta si dice asintoto obliquo se il il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y=mx+q (dove m ≠0) , altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine).

Si ha:e

La retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Destro (A.Ob.D.).

Analogamentem si ha:eLa retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Sinistro (A.Ob.S.).

Poichè

°°°°°°°°°°°

grafico

 

…Seguirà…

… Esercitazione… “Studio di una Funzione Reale di Variabile Reale “

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