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Funzioni reali di variabile reale

7.31.- Studio di funzioni reali.- Esercitazione XVIII

1.- Costruire il grafico della funzione y=f(x) determinando:

• a) Dominio (o Campo di Esistenza)

• a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)
  

• a2) Simmetrie
  

• a3) Periodicità
  

• a4) segno della funzione
  

• b) Punti di discontinuità

• c) Punti estremali

• d) intervalli di Crescita e di decrescenza

• e) Punti di flesso

• f) Concavità

• g) Asintoti

°°°°°

 

Esercizio 18

Sia y=f(x) la funzione logaritmica trigonometrica :

Soluzione:

a) Dominio ( o Campo di esistenza )

infatti

a1) Intersezione con l’ asse x (y=0)e con l’asse y (x=0)

 Intersezione asse x (intersezione non vuota)

infatti  esistono infiniti punti di intersezione tra la funzione e l’asse x

Intersezione asse y (Intersezione vuota)

infatti  non esistono punti di intersezione tra la funzione e l’asse y.

infatti

a2) Simmetrie

Poichè

 la funzione non é simmetrica rispetto all’asse y.

 Poichè

la funzione non é simmetrica rispetto all’origine degli assi.

infatti

 a3) Periodicità

 Poichè

 la funzione é periodica.

 infatti:

 a4) Segno della funzione

Poichè la funzione é definita nell’insieme :

si hala funzione non esiste nell’intervallo. la funzione esiste ed é sempre negativa nell’intervallo.

 infatti :

 

 b) Punti di discontinuità

Nota Bene.:

Se vi sono punti di discontinuità per la funzione, occorre determinare il tipo di discontinuità studiando il comportamento della funzione in un intorno (piccolo) di questi punti. Si possono trovare delle discontinuità di tipo “buco” , di tipo “salto” e di tipo “infinito” ; in quest’ultimo caso si ottengono asintoti verticali.

Quando lo studio del dominio indica che la funzione non esiste in qualche punto x_o , occorre studiare l’andamento della funzione VICINO a questo punto. Lo studio si esegue calcolando il limite della funzione quando x tende a quel punto x_o.

Si possono avere tre casi diversi:

A) DISCONTINUITA’ “BUCO” (terza specie)

Definizione 7.6.3.

Data una funzione reale di variabile reale f(x), sia x_o ∈ R un punto di accumulazione del suo dominio; diremo che x_o é un punto di discontinuità di III specie se esiste finito il limitema il valore della funzione in x_o non esiste oppure é diverso da tale limite (f(x_o)∉R oppure f(x_o)≠l ).

Se dal calcolo del limite risulta che quando x tende a x_o (sia da sinistra che da destra) la funzione tende al valore y_o  allora la funzione manca del punto P(x_0 , y_0) come se vi fosse un “buco” nel grafico in quel punto. 

In linguaggio matematico:

se  x → x_o  allora y→ y_o  (la freccia si legge “tende a”)
lim f(x) = y_o
x → x_o
E’ possibile anche che in x_o la funzione sia definita ma di valore diverso da y_o (il punto nero  figura 1). La discontinuità è eliminabile, basta definire la funzione in quel punto uguale a y_o (e si tappa il buco!).

B) DISCONTINUITA’ “INFINITO” (seconda specie)

Definizione 7.6.2.

Data una funzione reale di variabile reale f(x), sia x_o ∈ R un punto di accumulazione del suo dominio; diremo che x_o é un punto di discontinuità di II specie se non esiste o é infinito almeno uno dei seguenti limiti.eSe dal calcolo del limite risulta che quando x tende a x_o (da sinistra o da destra o da entrambe le parti) la funzione tende a ∞ (positivo o negativo che sia), allora il grafico della funzione si accosta sempre più alla retta x = x_o che viene detta asintoto verticale della funzione  (si dice anche che la funzione è asintotica alla retta)

 Si definisce discontinuità di seconda specie anche il caso in cui il limite destro o sinistro o entrambi non esistono.

C) DISCONTINUITA’ “SALTO” (prima specie)

Definizione 7.6.1.

Data una funzione reale di variabile reale f(x), sia x_o ∈ R un punto di accumulazione del suo dominio; diremo che x_o é un punto di discontinuità di I specie se esistono finiti ma diversi i seguenti limiti.In tal caso chiameremo salto della funzione f in x0 la quantità Se dal calcolo del limite risulta che quando x tende a x_o la funzione tende da sinistra al valore Y1 e da destra al  valore Y2 (diverso da Y1) allora la funzione ha un grafico spezzato, come se vi fosse un “salto” in quel punto.

Osservazione 1

E’ indifferente che la funzione sia definita o no nel punto x_o , la discontinuità resta e i due punti (x_o ,y_1) e (x_o , y_2) sono i punti di rottura della funzione.

 °°°°°

Ciò premesso

Poichè la funzione é definita nell’insieme

grafico

la funzione ha (infiniti) punti di discontinuità.

Sia l’insieme dei punti di discontinuità della funzione.

poichè

allora tutti i punti dell’insieme

sono punti di discontinuità di seconda specie.

 c) Punti estremali

 I punti di massimo e minimo assoluto vengono anche detti punti estremali (o estremanti).

 Derivata prima e segno relativo

 Derivata seconda e segno relativo

• ricerca massimo e minimo relativo

Calcolo derivata prima

poichè

quindi:é un punto di massimo relativo

infatti :

ricerca massimo e minimo assoluto

d) intervalli di Crescita e di decrescita

poichè

infatti

e) Punti di flesso

Un punto nel quale la concavità del grafico di una funzione passa dalle y positive alle y negative e inversamente si chiama Punto di Flesso.

Poniamo la derivata seconda uguale a zero, poichè

non esistono Punti di flesso

infatti

f) Concavità

Nota Bene.:

Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso il basso nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sotto della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).

Si dice che il grafico di una funzione derivabile y=f(x) é Concavo verso l’alto nell’intervallo (a,b) se per x ∈ (a,b) l’arco di curva del grafico é situato al di sopra della tangente al grafico della curva tracciata in un punto qualunque dell’intervallo (a,b).

Una Condizione  Sufficiente per la concavità verso il basso del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) < 0 sia verificata.

Una Condizione  Sufficiente per la concavità verso l’alto del grafico di una funzione é che nell’intervallo corrispondente la disuguaglianza f”(x) >0 sia verificata.

Osservazione 1

Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso il basso si dice anche che esso é Convesso verso l’alto.

Per dire che il grafico di una funzione é concavo verso l’alto si dice anche che esso é Convesso verso il basso.

Poichè:

la funzione f(x) = ln (sin(x)) rivolge la concavità verso il basso

infatti:

g) Asintoti

Nota Bene.:

Un asintoto è una retta tale che la distanza tra essa e la curva della funzione y = f (x) tende a 0
per x →∞ (asintoti orizzontali o obliqui) o per x che tende ad un punto ove la f non è definita o è
discontinua (asintoti verticali).

Asintoti Verticali

Si dice che la retta è un asintoto verticale per la funzione y = f (x) se c’è un punto singolare 

(punto di accumulazione escluso dal dominio) in cui si abbia:oppure
In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione 

ed è il valore 

(se esiste) ciò che dobbiamo determinare (pertanto una funzione che non abbia punti singolari non può avere asintoti verticali).

Asintoti Orizzontali

Si dice che la retta y = k è un asintoto orizzontale per la funzione y = f (x) se si verifica una delle seguenti condizioni: oppure
dove k è un numero reale. In pratica la curva si accosta sempre più ad una retta di equazione y=k ed in questo caso è il numero k quel che dobbiamo determinare.

Se si effettua il limite per x tendente verso – ∞si parla di Asintoto Orizzontale Sinistro (A.O.S.), se si effettua il limite per x tendente verso + ∞ si parla di Asintoto Orizzontale Destro (A.O.D.). I due asintoti possono coincidere (A.O.).

Asintoti Obliqui

Se non esiste l’asintoto orizzontale dobbiamo cercare l’eventuale asintoto obliquo (e ciò dobbiamo farlo sia a destra per x tendente verso + ∞ , che a sinistra per per x tendente verso – ∞ ). Una retta si dice asintoto obliquo se il il grafico della funzione si accosta (quando x tende a più o meno infinito) a quello di una retta di equazione y=mx+q (dove m ≠0) , altrimenti si tratterebbe di un asintoto orizzontale). Bisogna quindi determinare i valori m (coefficiente angolare) e q (ordinata all’origine).

Si ha:e

La retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Destro (A.Ob.D.).

Analogamentem si ha:eLa retta y = mx + q , in tal caso, si dice Asintoto Obliquo Sinistro (A.Ob.S.).

°°°°°

Poichè

si hanno infiniti asintoti verticali…

infatti

°°°°°°°°°°°

grafico

°°°°°°°°°°°

…Seguirà…

… Esercitazione… “Studio di una Funzione Reale di Variabile Reale “

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