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Capitolo V. 

” Il mio scopo principale é stato di conciliare il rigore, al quale mi ero attenuto nel mio Corso di Analisi, con la semplicità che deriva immediatamente dalla considerazione delle quantità infinitesime.”

Augustin Cauchy (1823)

§ V.1.- Funzioni continue in uno spazio metrico .-

V.11.-

Sia uno spazio metrico

Sia uno spazio metrico

Sia data una funzioneSia a ∈ M un punto fisso non isolato (IV.15.a).

Consideriamo

la direzione x→a formate dalle sfere  escluso il punto a .-

 °°°°°

V.11.a.- Definizione di funzione continua per x=a.-Il punto x=a si chiama punto di continuità della funzione

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Se

quindi f(x) é una funzione numerica, allora:

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V.11.b.- Dal punto IV.66 segue la seconda definizione di continuità

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V.11.c.- Ogni punto isolato a∈M é, per definizione, punto di continuità della funzione f(x).

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V.11.d.- Definizione.-

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V.11.e.-Definizione.-

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V.11.f.- La definizione di continuità della funzione f(x) nel punto a∈M dipende, ovviamente, dalla metrica data sugli spazi metrici 

e

Ma poiché questa definizione può essere formulata nei termini di successioni convergenti (V.11.b), la proprietà di una funzione di essere continua in un punto x=a, così come su tutto l’insieme M non é violata sostituendo le metriche degli spazi metrici 

e 

con quelle omomorfe (III.34).

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V.12.a.- Un esempio evidente  di una funzione continua avente

come dominio di definizione e

come dominio di valori é fornito da una funzione costantedove é un punto fisso dello spazio

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 V.12.b.- Come secondo esempio, consideriamo la distanza ρ(x, a) da un punto fisso a.

Questa é una funzione numerica nello spazio metrico M.

La sua continuità in ogni punto dello spazio  deriva dalla relazione (III.32.b)

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figura 1

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Alcune nozioni fondamentali …

In matematica, una palla (o bolla, o intorno circolare) è un sinonimo di sfera, che gli viene preferito nel caso di spazi non tridimensionali e per gli spazi metrici in generale.

Spazi metrici

Sia M uno spazio metrico.

La palla (aperta) di raggio r > 0 centrata nel punto p di M è definita come

dove d è la distanza o metrica.

Se il simbolo di minore (<) è sostituito dal simbolo di minore o uguale (≤), la definizione precedente diventa quella di una

palla chiusa di raggio r > 0 centrata nel punto p di M è definita come:

.

Occorre comunque prestare attenzione al fatto che la chiusura di una palla aperta in generale non coincide con la palla chiusa ma è inclusa strettamente.

D’altronde, un elemento x di appartiene alla sua chiusura se e solo se esiste una successione di elementi di di cui x è il limite.

Può essere che ma non esistere una successione suddetta.

Nota in particolare che una palla (aperta o chiusa) include sempre p stesso, poiché r > 0.

Una palla unitaria (aperta o chiusa) è una palla di raggio 1.

Nello spazio euclideo n-dimensionale con l’ordinaria metrica euclidea, se lo spazio è la retta, la palla è un intervallo, e se lo spazio è il piano, la palla è il disco interno a un cerchio. Gli oggetti a quattro dimensioni e superiori sono chiamati iperpalla e ipersfera. Vedi quest’ultima per “volume” e “area”.

Con altre metriche la forma di una palla può essere differente, ad esempio:

• in 2 dimensioni:

  • con la norma 1 (cioè nella geometria Manhattan) una palla è un quadrato con le diagonali parallele agli assi coordinati

  • con la distanza di Chebyshev una palla è un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati

• in 3 dimensioni:

  • con la norma 1 una palla è un ottaedro regolare con le diagonali interne parallele agli assi coordinati

  • con la distanza di Chebyshev una palla è un cubo con gli spigoli paralleli agli assi coordinati

Nota che in molti casi le palle ruotate non sono palle.

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Definizioni Punto interno

Se S è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora x è un punto interno di S se esiste una palla aperta centrata in x e contenuta in S.

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme S di uno spazio metrico X. Espressa per intero, se X è uno spazio metrico con metrica d, allora

x è un punto interno di S se esiste r > 0 tale che y sia in S ogni volta che la distanza è d(x, y) < r.

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la “palla aperta” con “intorno“. Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora

x è un punto interno di S se esiste un intorno di x contenuto in S.

Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

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Definizione Punto aderente

Un punto è aderente ad se comunque si prenda un intorno dell’elemento , l’intersezione dell’intorno con l’insieme è sempre non vuota.

Spazi topologici

Un punto appartenente ad uno spazio topologico è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme di se ogni aperto contenente interseca . In simboli:

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

dove con si indica la palla di raggio e centro .

Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di

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Definizione di Frontiera (topologia)

In topologia,

la frontiera o contorno di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell’insieme meno il suo interno.

Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S.

Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono bd(S), fr(S), e .

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

 

Si definisce frontiera di S l’intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.

Si definisce frontiera di S l’insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S

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 Definizione di Punto di Accumulazione

Dato l’insieme e (non interessa che appartenga ad o meno), si dice che è punto di accumulazione per l’insieme se in ogni intorno di esiste almeno un elemento diverso da ed appartenente ad .

In formule:

Intuitivamente questo significa che se facciamo uno zoom su continuiamo a vedere punti di (diversi da ) a qualsiasi livello di ingrandimento.

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi un punto è di accumulazione per un insieme se l’insieme contiene punti “arbitrariamente vicini” ad . La nozione di “arbitrariamente vicino” è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

Spazi topologici

In topologia un punto appartenente ad uno spazio topologico è un punto di accumulazione per un sottoinsieme di se qualsiasi aperto contenente interseca in almeno un punto diverso da . In simboli:

Spazi metrici

In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

dove è la palla di raggio e centro . In altre parole, ogni palla centrata in interseca in qualche punto diverso da .

Nel caso di spazi metrici, se è punto di accumulazione per , allora è possibile trovare punti di , distinti da a distanza arbitrariamente piccola da . Dunque in ogni intorno di cadono infiniti punti di .

Nozioni correlate

L’insieme dei punti di accumulazione di è detto insieme derivato di e si indica di solito con .

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Definizione di Punto isolato

Un punto appartenente ad un sottoinsieme in uno spazio topologico è un punto isolato di se esiste un intorno di non contenente altri punti di .

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico),

è un punto isolato di se esiste una palla aperta centrata in che non contiene nessun elemento di diverso da .

Definizioni equivalenti

In modo equivalente, un punto di non è un punto isolato se e solo se è un punto di accumulazione per .

Insieme discreto

Un insieme costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto.

Il viceversa è vero

se lo spazio metrico è compatto e è chiuso:

in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo.

D’altra parte,

non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto: ad esempio l’insieme dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di è isolato in infatti: Sia e sia un intorno di e di raggio .
Allora dalla definizione abbiamo che è un punto isolato in .
Poiché per risulta che , deduciamo che è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

°°°°°

…Segue…

“……..”

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