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iMathematica
Uno degli obiettivi principali della matematica, quando è insegnata bene, è di suscitare la fede dell’allievo nella ragione, la sua fiducia nella verità di ciò che è stato dimostrato e nella validità della
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Capitolo V.
” Il mio scopo principale é stato di conciliare il rigore, al quale mi ero attenuto nel mio Corso di Analisi, con la semplicità che deriva immediatamente dalla considerazione delle quantità infinitesime.”
Augustin Cauchy (1823)
§ V.1.- Funzioni continue in uno spazio metrico .-
V.11.-
Sia uno spazio metrico
Sia uno spazio metrico
Sia data una funzioneSia a ∈ M un punto fisso non isolato (IV.15.a).
Consideriamo
la direzione x→a formate dalle sfere escluso il punto a .-
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V.11.a.- Definizione di funzione continua per x=a.-Il punto x=a si chiama punto di continuità della funzione
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Se
quindi f(x) é una funzione numerica, allora:
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V.11.b.- Dal punto IV.66 segue la seconda definizione di continuità
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V.11.c.- Ogni punto isolato a∈M é, per definizione, punto di continuità della funzione f(x).
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V.11.d.- Definizione.-
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V.11.e.-Definizione.-
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V.11.f.- La definizione di continuità della funzione f(x) nel punto a∈M dipende, ovviamente, dalla metrica data sugli spazi metrici
e
Ma poiché questa definizione può essere formulata nei termini di successioni convergenti (V.11.b), la proprietà di una funzione di essere continua in un punto x=a, così come su tutto l’insieme M non é violata sostituendo le metriche degli spazi metrici
e
con quelle omomorfe (III.34).
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V.12.a.- Un esempio evidente di una funzione continua avente
come dominio di definizione e
come dominio di valori é fornito da una funzione costantedove é un punto fisso dello spazio
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V.12.b.- Come secondo esempio, consideriamo la distanza ρ(x, a) da un punto fisso a.
Questa é una funzione numerica nello spazio metrico M.
La sua continuità in ogni punto dello spazio deriva dalla relazione (III.32.b)
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figura 1
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Alcune nozioni fondamentali …
In matematica, una palla (o bolla, o intorno circolare) è un sinonimo di sfera, che gli viene preferito nel caso di spazi non tridimensionali e per gli spazi metrici in generale.
Spazi metrici
Sia M uno spazio metrico.
La palla (aperta) di raggio r > 0 centrata nel punto p di M è definita come
dove d è la distanza o metrica.
Se il simbolo di minore (<) è sostituito dal simbolo di minore o uguale (≤), la definizione precedente diventa quella di una
palla chiusa di raggio r > 0 centrata nel punto p di M è definita come:
-
.
Occorre comunque prestare attenzione al fatto che la chiusura di una palla aperta in generale non coincide con la palla chiusa ma è inclusa strettamente.
D’altronde, un elemento x di appartiene alla sua chiusura se e solo se esiste una successione di elementi di di cui x è il limite.
Può essere che ma non esistere una successione suddetta.
Nota in particolare che una palla (aperta o chiusa) include sempre p stesso, poiché r > 0.
Una palla unitaria (aperta o chiusa) è una palla di raggio 1.
Nello spazio euclideo n-dimensionale con l’ordinaria metrica euclidea, se lo spazio è la retta, la palla è un intervallo, e se lo spazio è il piano, la palla è il disco interno a un cerchio. Gli oggetti a quattro dimensioni e superiori sono chiamati iperpalla e ipersfera. Vedi quest’ultima per “volume” e “area”.
Con altre metriche la forma di una palla può essere differente, ad esempio:
-
in 2 dimensioni:
-
con la norma 1 (cioè nella geometria Manhattan) una palla è un quadrato con le diagonali parallele agli assi coordinati
-
con la distanza di Chebyshev una palla è un quadrato con i lati paralleli agli assi coordinati
-
-
in 3 dimensioni:
Nota che in molti casi le palle ruotate non sono palle.
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Definizioni Punto interno
Se S è un sottoinsieme di uno spazio euclideo, allora x è un punto interno di S se esiste una palla aperta centrata in x e contenuta in S.
Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme S di uno spazio metrico X. Espressa per intero, se X è uno spazio metrico con metrica d, allora
x è un punto interno di S se esiste r > 0 tale che y sia in S ogni volta che la distanza è d(x, y) < r.
Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la “palla aperta” con “intorno“. Sia S un sottoinsieme di uno spazio topologico X. Allora
x è un punto interno di S se esiste un intorno di x contenuto in S.
Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.
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Definizione Punto aderente
Un punto è aderente ad se comunque si prenda un intorno dell’elemento , l’intersezione dell’intorno con l’insieme è sempre non vuota.
Spazi topologici
Un punto appartenente ad uno spazio topologico è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme di se ogni aperto contenente interseca . In simboli:
Spazi metrici
In uno spazio metrico, se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.
dove con si indica la palla di raggio e centro .
Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di
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Definizione di Frontiera (topologia)
In topologia,
la frontiera o contorno di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell’insieme meno il suo interno.
Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S.
Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono bd(S), fr(S), e .
Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.
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