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III. SPAZI METRICI

§ III.7.- Spazi Completi .-

III.75.a.- Teorema di Baire .-

Se uno spazio metrico completo M é rappresentato in forma di una somma numerabile dei suoi sottoinsiemi chiusi

,ovvero :

almeno uno di questi sottoinsiemi contiene interamente una sfera dello spazio M .-

Dimostrazione

Dimostriamo per assurdo: (neghiamo la tesi) nessuno degli insiemi

contiene interamente una sfera.-

Sia

un punto non appartenente all’insieme

; poichè

é un insieme chiuso, esiste allora una sfera

non contenente nessun punto di

.- All’interno della sfera esiste un punto non appartenente all’insieme come

neanche una sfera

é contenuta nell’insieme

.- Si può supporre che

Procedendo in questo modo, costruiamo una successione di sfere

Il punto comune di tutte queste sfere,che esiste in virtù del lemma III.74.d. , non appartiene a nessuno degli insiemi

e ciò é in contraddizione con l’ipotesi

Il teorema é dimostrato .-

figura 1

°°°°°

III.75.b.-

L’insieme

non può essere rappresentato in forma di una somma numerabile di sottoinsiemi chiusi dell’intervallo

Dimostrazione

Se si avesse tutto l’intervallo

sarebbe rappresentato sotto forma di una somma numerabile di sottoinsiemi chiusi (una famiglia numerabile di insiemi e una famiglia numerabile di insiemi puntuali contenente ciascuno un solo punto razionale).

Poichè l’intervallo

é uno spazio completo (III.73. c.), si otterrebbe un risultato in contraddizione con il teorema di Baire .-

°°°°°

III.75.c.-

Applicando il teorema degli intervalli inclusi abbiamo dimostrato nel punto II.41 che l’insieme dei punti dell’intervallo

é non numerabile .-

Possiamo ora stabilire una proposizione analoga per una larga classe di spazi metrici completi .-

Premessa

Introduciamo preliminarmente la seguente definizione di punto isolato:

Esempio

Sia con la metrica usuale; alloraé un punto isolato se esiste un intervallo contenente il punto

e nessun altro punto dell’insieme

Lemma .-

Uno spazio metrico completo M, se é composto di un insieme numerabile di punti, contiene un punto isolato .-

Dimostrazione

Ogni punto é un sottoinsieme  chiuso di uno spazio metrico .- Applicando il teorema di Baire, otteniamo che, in questo caso, un certo punto

dello spazio M contiene una sfera , il che é possibile soltanto se il punto

é isolato .-

 °°°°°

Ne segue

III.75.d.-

Ogni spazio metrico completo M senza punti isolati é non numerabile .-

 °°°°°

Osservazione.-

Questa proposizione diventa non valida rinunciando all’ipotesi sull’assenza di punti isolati nello spazio  M.-

Esempio

Ogni insieme chiuso numerabile della retta

(per esempio una successione convergente al limite e il suo limite) considerato come spazio metrico a sè stante.-

 °°°°°

…Segue…

“……..”

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