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Intervallo in R^n

11 Nov

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Intervallo

In matematica,

un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi $a$ e $b$ .

Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all’intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente,

un sottoinsieme $S$ dei numeri reali $\R$ o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ di $S$ , ogni altro elemento $z$ tale che $x<z<y$ sta anch’esso in $S$ .

Osservazione

In $\R$ gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

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Insieme convesso

In uno spazio euclideo R^2

un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell’insieme.

Esempi di

insiemi convessi :

cerchi ,

sfere ,

cubi ,

piani ,

semipiani ,

trapezi ,

mentre

Esempi di

insiemi non convessi:

archi di circonferenze ,

tori ,

qualunque insieme che contenga buchi,

incavature o che non sia connesso .

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In uno spazio euclideo R^3

In tre dimensioni,

esempi di insiemi convessi sono

la sfera ,

il cubo ,

il paraboloide ,

mentre

esempi di insiemi non convessi sono :

il toro ,

l’ iperboloide iperbolato.

In termini più intuitivi una figura convessa è una figura “che esubera”, mentre una figura concava è una figura “che rientra”.

In insiemistica non si adopera la definizione di insieme concavo, bensì la nozione più articolata di

spazio connesso .

Nello studio delle funzioni , si può definire una funzione convessa come funzione il cui epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano.

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Spazi vettoriali

Sia

$V$ uno spazio vettoriale .

Un insieme $UN$ si dice convesso se

per ogni coppia di punti $x, y \ in A$ il segmento che li congiunge:

${\ displaystyle \ {(1-t) x + ty: t \ in (0,1) \))$

è interamente contenuto in $UN$

Un insieme bilanciato e convesso è detto assolutamente convesso .

Proprietà

Si può inoltre dimostrare che l’ intersezione di due insiemi convessi è ancora un insieme convesso. Infatti, siano X e Y due insiemi convessi, e A e B due punti appartenenti a .
Allora, siccome X è convesso e contiene sia A che B, contiene anche il segmento AB. Altrettanto si può dire di Y.
Quindi il segmento AB appartiene ad entrambi gli insiemi, e dunque alla loro intersezione.
Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di ${\ displaystyle A, B \ in X \ cap Y}$

, l’intersezione $X \ cap Y$ è un insieme convesso.

Si dimostra che in ogni insieme $UN$ convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento ${\ displaystyle x_ {0} \ in A}$ tale che:

{\ displaystyle \ | x_ {0} \ | <\ | x \ | \ quad \ forall x \ in A \ setminus \ {x_ {0} \))

Esempi di insiemi convessi

Si consideri lo spazio euclideo . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Un semispazio di $\ mathbb {R} ^ {n}$ è il sottoinsieme ${\ displaystyle S = \ ((\ bf {x)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, {\ bf {v)) ^ {T} {\ bf {x)) \ leq b \}, }$ con ${\ displaystyle {\ bf {v)) \ in \ mathbb {R} ^ {n))$ e ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$ .
I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti ${\ displaystyle {\ bf {x)), {\ bf {y)) \ in S}$ , per ogni $t \ in [0,1]$

si ha:

{\ displaystyle {\ bf {v)) ^ {T} (t {\ bf {x)) + (1-t) {\ bf {y))) = t {\ bf {v)) ^ {T} {\ bf {x)) + (1-t) {\ bf {v)) ^ {T} {\ bf {y)) \ leq tb + (1-t) b = b,}

e quindi , ${\ displaystyle t {\ bf {x)) + (1-t) {\ bf {y)) \ in S}$

Data una norma $\ | \ cdot \ |$ su $\ mathbb {R} ^ {n}$ e un numero reale $t \ in \ mathbb {R}$ ,

la palla chiusa ${\ displaystyle \ ((\ bf {x)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x)) || \ leq t \))$ è un sottoinsieme convesso,

Data una norma $\ | \ cdot \ |$ su ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1))$ e un numero reale $t \ in \ mathbb {R}$ ,

il cono di norma ${\ displaystyle \ {({\ bf {x)), t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x)) || \ leq t \))$ è un sottoinsieme convesso.

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Gli intervalli di $\R$ sono quindi gli insiemi seguenti

(dove $a$ e $b$ sono due numeri reali tali che $a<b$ ):

${\displaystyle (a,b)=\{x|a<x<b\))$ (intervallo aperto)
${\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\))$ (intervallo chiuso)
${\displaystyle [a,b)=\{x|a\leq x<b\))$ (intervallo chiuso a sinistra)
${\displaystyle (a,b]=\{x|a<x\leq b\))$ (intervallo chiuso a destra)
${\displaystyle (a,+\infty )=\{x|x>a\))$ (intervallo aperto infinito a destra)
${\displaystyle [a,+\infty )=\{x|x\geq a\))$ (intervallo chiuso infinito a destra)
${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x|x<b\))$ (intervallo aperto infinito a sinistra)
${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x|x\leq b\))$ (intervallo chiuso infinito a sinistra)
$(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ (tutta la retta reale)
${\displaystyle [a,a]=\{a\))$ (un punto)
l’insieme vuoto

I punti $a$ e $b$ sono gli estremi dell’intervallo.

Quindi

una parentesi quadra $[$ $]$ indica che l’estremo appartiene all’intervallo,

mentre

una parentesi tonda $($ $)$ indica che non vi appartiene.

Una notazione alternativa usa $]$ e $[$ rispettivamente al posto di $($ e $)$ .

Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l’utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.

I primi quattro intervalli hanno lunghezza $b-a$ ,

i cinque seguenti hanno lunghezza infinita,

il punto e l’insieme vuoto hanno lunghezza $0$ .

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L’intervallo unitario è l’intervallo chiuso $[0,1]$ .

Proprietà

L’unione e l’intersezione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
L’immagine di un intervallo mediante una funzione continua da $\R$ in $\R$ è ancora un intervallo.
Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo $[a,b]$ .
Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli:

un punto, $[0,1]$ , $[0,1)$ , $(0,1)$ o l’insieme vuoto.

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Notazioni alternative

Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico,

il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico.

Ad esempio

3 ÷ 7 vuol dire ‘da tre a sette’, estremi compresi.

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Insieme aperto

Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità.

Intuitivamente,

un insieme è aperto se è possibile spostarsi sempre poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell’insieme senza uscire dall’insieme stesso.

In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire i settori come “vicino”, “lontano”, “attaccato”, “separato”;

Le definizioni non intuitive di insiemi aperti corrispondono a situazioni matematiche in cui questi utilizzati vengono utilizzati in modo non intuitivo.

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Spazi topologici

La topologia è l’ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti;

in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale;

preso

un insieme X,

se

una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto,

X diventa uno spazio topologico ,

T viene chiamata topologia di X

e

gli insiemi di T , per definizione, i suoi aperti.

Perché

la collezione T sia una topologia deve valere:

l’ unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
l’ intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
l’insieme X e l’ insieme vuoto appartengono a T

Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X, T ).

È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T ‘ , si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo “naturale”, indicare l’insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.

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Spazi metrici

In uno spazio metrico $(M,d)$ ,

un sottoinsieme $U$ di $M$ si dice aperto se, per ogni $x\in U$ , esiste un numero reale $\epsilon >0$ tale che i punti che distano da $x$ per meno di $\epsilon$ appartengono ancora a $U$ .

Formalmente:

se $d(x,y)<\epsilon$ , allora $y\in U$

Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di $M$ secondo la definizione precedente:

in questo modo

ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).

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Spazio euclideo

Lo spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ è un particolare spazio metrico.

Un insieme aperto $U$ dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni $x$ di $U$ esiste una palla di raggio $r>0$ centrata in $x$ , interamente contenuta in $U$ .

In particolare,

un intervallo in $\R$ è aperto se è del tipo $(a,b)$ , dove $a$ e $b$ possono anche essere rispettivamente $-\infty$ e $+\infty$ .

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Insieme chiuso

Ogni definizione di insieme aperto corrisponde a una definizione di insieme chiuso .

In generale,

un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto;

gli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizione a parte e questa proprietà viene provata come un teorema .

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Intorno

In analisi matematica e in topologia,

un insieme è detto intorno di un punto se contiene un insieme aperto contenente il punto.

Un intorno di un punto $x$ senza il punto $x$ si dice intorno bucato o anulare.

Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite.

Un intorno di un punto $x$ è intuitivamente un insieme di punti “vicini” al punto $x.$

Ogni intorno individua un insieme differente di vicini.

Spesso per tradurre in linguaggio matematico l’idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a $x$ si dice che vale “per ogni intorno di $x$ “.

Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.

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Spazi topologici

In un generico spazio topologico $(X,T)$ ,

un intorno di un punto $x$ è un insieme $V$ che contiene almeno un insieme aperto $U\in T$ contenente $x$ ,

cioè

$x\in U\subseteq V$ , che è l’abbreviazione di $x \in U$ e $U\subseteq V.$

L’insieme $V$ non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso.

Nel caso in cui

$V$ è aperto, si parla di intorno aperto

e quando

$V$ è chiuso, si parla di intorno chiuso.

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Intorni sferici

Nel caso di uno spazio metrico $(X,d)$ si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza.

In particolare risulta utile considerare

l’intorno sferico (o circolare) aperto di un punto $x$ in $X$ di raggio $r>0$

definito come l’insieme:

$B(x,r)=\{y\in X\ :\ d(y,x)<r\}.$

L’insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro $x$ e raggio $r>0$

(per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo $<$ il simbolo $\leq$ nella definizione di $B(x,r)$ .

Se si indica con $\overline S$ la chiusura di un insieme $S,$

allora è coerente indicare con $\overline B(x,r)$ il disco chiuso di centro $x$ e raggio $r$ ).

Un esempio è

l’intorno di raggio $r$ quando si considera $X={\mathbb {R))$ , che risulta poi essere un intervallo contenente $x$ del tipo $]x-r,x+r[$ , o $[x-r,x+r]$ , ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, $B(x,r)$ sia aperto o chiuso in $\mathbb{R}$ .

I dischi aperti tornano molto utili nell’Analisi e nella Topologia per diversi motivi.

Innanzitutto, è possibile definire l’intorno di un punto $x\in X$ come un qualunque sottoinsieme $U$ di $X$ tale che esista un $r>0$ in corrispondenza del quale $B(x,r)\subseteq U.$

Così facendo, tra l’altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro.

In secondo luogo,

un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma), è convesso.

Sia infatti

$(X,||\ ||)$ uno spazio normato, $x\in X$ e $r>0$ .

Se

$y,z\in B(x,r)$

e $\gamma :[0,1]\rightarrow X$ è la curva $\gamma (t)=(1-t)y+tz$

allora,

posto $\xi =\xi (t)=\gamma (t)$ si ha

$d(\xi ,x)=||\xi -x||=||(1-t)y+tz-(1-t)x-tx||\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||,$

e quindi, tenendo conto che per ogni $t\in [0,1]$ risulta $|1-t|+|t|=1$ , si ha

$d(\xi ,x)\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||<r(|1-t|+|t|)=r,$

qualunque sia $\xi \in \gamma ([0,1])$ .

Ne segue che $B(x,r)$ è convesso.

Da quanto abbiamo appena dimostrato discende che $B(x,r)$ è semplicemente connesso.

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Base di intorni

Una base di intorni (o anche sistema di intorni) è un insieme di intorni di un punto fissato $x$ “arbitrariamente piccoli”: una base di intorni identifica la “struttura topologica locale” del punto.

Più precisamente,

una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di $x$ contiene uno di questi intorni.

Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.

Spazio euclideo

Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico

spazio euclideo $\R^n$ di dimensione $n$ .

Nello spazio euclideo, come da definizione,

un intorno di $x_0$ è sempre un insieme contenente un insieme aperto $U$ , contenente a sua volta $x_0$ .

In particolare:

Un intorno sferico aperto di raggio $r$ è l’insieme

$\{x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d(x,x_{0})<r\}$

dove si fa uso della distanza euclidea.

Un intorno rettangolare è un intorno del tipo

$I_{1}\times \ldots \times I_{n}$

dove ciascun $I_{i}$ è un intervallo in $\R$ , intorno della coordinata $i$ -esima di $x_0$ .

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Retta reale

Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della retta reale.

Un intorno di un punto $x_0$ della retta reale $\mathbb{R}$ è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo

$(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )$

dove $\varepsilon >0$ è un numero positivo.

In particolare:

L’intorno è aperto se è un insieme aperto
L’intorno aperto di raggio $r$ è l’intervallo aperto $(x_{0}-r,x_{0}+r)$ .

Un intorno non è necessariamente aperto.

Ad esempio,

l’intervallo $[x_{0}-r,x_{0}+r]$ con $r>0$ è un intorno chiuso di $x_0$ .

La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa:

**un intorno di $+\infty$** è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma $(M,+\infty )$ , per qualche $M$ reale.

Analogamente

un intorno di $-\infty$ è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma $(-\infty ,M)$ per qualche $M$ reale.

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Insieme chiuso

In matematica, in particolare in topologia,

un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $(X,\mathcal{T})$ è chiuso se il suo complementare è aperto.

Intuitivamente

se un insieme è chiuso vuol dire che il “bordo” dell’insieme appartiene all’insieme stesso, infatti una definizione equivalente alla precedente è la seguente:

**$S$ è chiuso se contiene la sua frontiera.**

Gli insiemi chiusi hanno quindi le seguenti proprietà, “complementari” a quelle degli insiemi aperti, valide in un qualsiasi spazio topologico:

l’unione di un numero finito di chiusi è ancora un chiuso;
l’intersezione di una collezione arbitraria di chiusi è ancora un chiuso;
l’intero insieme $X$ e l’insieme vuoto sono chiusi.

Si possono usare queste proprietà come assiomi per definire una topologia su $X$ a partire dai chiusi, che coincide con quella generata nel modo usuale dalla famiglia ${\mathcal {T))$ degli aperti complementari.

Esempi

Sono insiemi chiusi della retta reale con l’usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

i sottoinsiemi contenenti un solo elemento;
gli intervalli $[a,b]$ , con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
gli intervalli $[a,+\infty )$ e $(-\infty ,b]$ , con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
i sottoinsiemi dei numeri naturali e dei numeri interi;
l’insieme di Cantor.

Non sono insiemi chiusi della retta reale con l’usuale topologia indotta dalla metrica euclidea i seguenti sottoinsiemi:

gli intervalli $[a,b)$ e $(a,b]$ , con $a$ e $b$ numeri reali finiti;
il sottoinsieme dei numeri razionali.

Altri esempi di insiemi chiusi sono:

un qualsiasi sottospazio vettoriale dello spazio euclideo;
un cerchio (circonferenza inclusa) nel piano, una sfera (con la sua superficie) nello spazio e più in generale un’ipersfera (con il suo bordo) in uno spazio euclideo a $n$ dimensioni. Più in generale l’insieme

$S=\left\{x\in X:d\left(x,O\right)\leq R\right\}$

dove $O$ è un punto dello spazio ed $R$ un numero reale positivo, è un insieme chiuso dello spazio metrico $(X,d)$ con topologia indotta dalla metrica $d$ .

Proprietà

Un sottoinsieme chiuso di un insieme compatto è anch’esso compatto.
Un sottoinsieme compatto in uno spazio di Hausdorff è chiuso.
La frontiera di un qualunque insieme è chiusa.
In uno spazio metrico (ad esempio quello euclideo), i punti sono chiusi.
Uno spazio topologico è uno spazio T1 se e solo se tutti i suoi punti sono chiusi.
La controimmagine di un chiuso attraverso una funzione continua tra due spazi topologici è chiusa.

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Insieme localmente chiuso

In matematica,

un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico $(X,\mathrm{T} )$ si dice localmente chiuso se soddisfa le seguenti condizioni equivalenti:

$S$ è aperto nella sua chiusura;
$S$ è aperto in un chiuso di $X$ ;
$S$ è chiuso in un aperto di $X$ ;
per ogni punto $x$ di $S$ esiste un intorno aperto $U$ di x tale che $S\cap U$ è chiuso in $U$ ;
$S$ è intersezione di un aperto e un chiuso di $X$ .

Osservazioni

Se $S$ è un sottoinsieme localmente chiuso di $X$ ,

allora

l’insieme $\Omega =(X\setminus {\bar {S)))\cup S$ è il più grande aperto di $X$ in cui $S$ è chiuso.

Infatti,

se $A$ è un altro aperto in cui $S$ è chiuso risulta $S={\bar {S))\cap A$

e quindi $\Omega =(X\setminus {\bar {S)))\cup ({\bar {S))\cap A)=((X\setminus {\bar {S)))\cup {\bar {S))))\cap ((X\setminus {\bar {S)))\cup A)=(X\setminus {\bar {S)))\cup A$ per cui $\Omega$ è aperto e $A\subseteq \Omega$

Esempi

Nella retta reale, l’intervallo [0, 1) è localmente chiuso, in quanto intersezione dell’aperto (-a, 1) e del chiuso [0, 1+a] (con a>0).
Il sottoinsieme ${\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0,\ x^{2}+y^{2}\leq 1\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y\leq 0,\ x^{2}+y^{2}<1\))$ di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2))$ munito della usuale topologia euclidea è localmente chiuso.
Ogni sottovarietà differenziabile di ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n))$ è uno spazio localmente chiuso.

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Insieme chiuso-aperto

In topologia ,

un insieme chiuso-aperto in uno spazio topologico

è un insieme contemporaneamente aperto e chiuso .

Esempi

In uno spazio topologico X ,

l ‘ insieme vuoto e l’intero spazio X sono entrambi chiusi-aperti.

Ora si consideri lo spazio X dato dall’unione dei due intervalli [0,1] e [2,3].

La topologia su X E ereditata venire topologia di sottospazio

Dalla topologia ordinaria della retta reale R .

In X , l’insieme [0,1] è chiuso-aperto, così come l’insieme [2,3].

Questo è un esempio abbastanza tipico:

ogni volta che uno spazio è formato da un numero finito di componenti connesse disgiunte, i componenti saranno chiuse aperte nella topologia relativa.

Come esempio meno banale,

si consideri lo spazio Q di tutti i numeri razionali con la loro topologia ordinaria, e l’insieme A di tutti i numeri razionali positivi il cui quadrato è maggiore di 2 .

Usando Il Fatto Che Non E in Q ,

Si Può mostrare Facilmente Che

Un E un Insieme chiuso-aperto di Q .

(Si osservi che A non è un sottoinsieme chiuso-aperto della retta reale R ;

non è nemmeno chiuso o aperto in R. ) ${\ displaystyle {\ sqrt [{}] {2))}$

Risultati ed ulteriori nozioni

Uno spazio topologico X si dice Connesso sé Gli Unici Insiemi chiusi-aperti Sono L’Insieme vuoto e X .
Un insieme è chiuso-aperto se e solo se la sua frontiera è vuota.
Ogni insieme chiuso-aperto è l’unione di componenti connesse .
Se tutte le componenti connesse di X sono aperte (ad esempio, se X ha solo un numero finito di componenti, o se X è localmente connesso ), allora un insieme è chiuso-aperto in X se e solo se è una unione di componenti connesse .
Uno spazio topologico X è discreto se e solo se tutti i suoi sottoinsiemi sono chiusi-aperti.
Usando come operazioni l ‘ unione e l’ intersezione , i sottoinsiemi chiusi-aperti di un dato spazio topologico X insieme una algebra di Boole .
Curiosamente, ogni algebra di Boole può essere ottenuta in questo modo con un opportuno spazio topologico: vedi teorema di rappresentazione di Stone.

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Parte interna

In matematica, e più precisamente in topologia,

la parte interna di un insieme $S$ consiste in tutti i punti che sono intuitivamente «non sui bordi di $S$ ».

Un punto della parte interna di $S$ è un punto interno di $S$ .

La nozione di parte interna è per molti versi il duale della nozione di chiusura.

Definizioni

Se $S$ è un sottoinsieme di uno spazio euclideo,

allora

$x$ è un punto interno di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x$ e contenuta in $S$ .

Questa definizione si generalizza a ogni sottoinsieme $S$ di uno spazio metrico $X$ ,

infatti

se $X$ è uno spazio metrico con metrica $d$ ,

allora

$x$ è un punto interno di $S$ se esiste $r>0$ tale che $y$ sia in $S$ ogni volta che la distanza è $d(x,y)<r$

La parte interna di un sottoinsieme $S$ di uno spazio euclideo è l’insieme di tutti i punti interni di S.

L’interno di $S$ è indicato con ${\rm {int))(S)$ , ${\rm {Int))(S)$ , o ${\overset {\circ }{S))$ .

In altre parole:

${\displaystyle {\rm {Int))(S)=\{x\in S\ |\ \exists U(x):U(x)\subset S\))$

dove si indica con $U(x)$ un intorno di $x$ .

Nota che

queste proprietà sono soddisfatte anche se

“interno”, “sottoinsieme”, “unione”, contenuto in”, “più grande” e “aperto”

sono sostituiti da

“chiusura”, “superinsieme”, “intersezione”, “che contiene”, “più piccolo” e “chiuso”.

Per maggiori informazioni sull’argomento, vedi operatore di interno più in basso.

Caso generale in uno spazio topologico

Questa definizione si generalizza a uno spazio topologico sostituendo la “palla aperta” con “intorno“.

Nota che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

Sia

$(X,\tau )$ spazio topologico

e

sia

$S\subseteq X$ .

Un punto $x\in X$ si dice interno a $S$ se $\exists \ U\in \tau$ tale che $x\in U\subseteq S$ _, ossia se $S$ è un intorno di $x$ .

La parte interna di un sottoinsieme $S$ è l’insieme di tutti i punti interni di $S$ ed è indicato con $Int(S)$ oppure ${\overset {\circ }{S))$ .

Proprietà

Sia

$(X,\tau )$ spazio topologico

e

siano

$A$ , $B$ sottoinsiemi di $X$ .

Allora:

${\rm {Int))(A)\subseteq A$ è un aperto in $X$ ed è il più grande aperto contenuto in $A$ ;
$A$ è aperto in $X$ $\Leftrightarrow$ $A={\rm {Int))(A)$ ;
$A\subseteq B\Rightarrow {\rm {Int))(A)\subseteq {\rm {Int))(B)$ ;
${\rm {Int))(A\cup B)\supseteq {\rm {Int))(A)\cup {\rm {Int))(B)$
${\rm {Int))(A\cap B)={\rm {Int))(A)\cap {\rm {Int))(B)$ .

Osserviamo che quindi queste proprietà valgono anche in un qualsiasi

spazio metrico

e

spazio euclideo.

Esempi

In ogni spazio la parte interna dell’insieme vuoto è l’insieme vuoto.
In ogni spazio $X$ , ${\overset {\circ }{X))=X$ .
Se $X$ è lo spazio euclideo $\mathbb{R}$ dei numeri reali, allora ${\rm {Int))([0,1])=(0,1)$ .
Se $X$ è lo spazio euclideo $\mathbb{R}$ , allora la parte interna dell’insieme $\mathbb{Q}$ dei numeri razionali è vuoto.
Se $X$ è il piano complesso ${\displaystyle \mathbb {C} =\mathbb {R} ^{2))$ , allora $\operatorname {Int} ({z\in \mathbb {C} :|z|\geq 1})=\{z\in \mathbb {C} :|z|>1\}.$
In ogni spazio euclideo, la parte interna di ogni insieme finito è l’insieme vuoto.

Sull’insieme dei numeri reali è possibile porre un’altra topologia diversa da quella standard.

Se $X=\mathbb {R}$ , dove $\mathbb{R}$ ha la topologia del limite inferiore, allora ${\rm {Int))([0,1])=[0,1)$ .
Se si considera su $\mathbb{R}$ la topologia nella quale ogni insieme è aperto, allora ${\rm {Int))([0,1])=[0,1]$ .
Se si considera su $\mathbb{R}$ la topologia nella quale gli unici insiemi aperti sono l’insieme vuoto e $\mathbb{R}$ stesso, allora ${\rm {Int))([0,1])=\emptyset$ .

Questi esempi mostrano che l’interno di un insieme dipende dalla scelta della topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti:

In ogni spazio discreto, dal momento che ogni insieme è aperto, ogni insieme è uguale al suo interno.
In ogni spazio banale $X$ , dal momento che gli unici insiemi aperti sono l’insieme vuoto e $X$ stesso, abbiamo ${\rm {Int))(X)=X$ e per ogni sottoinsieme proprio $A$ di $X$ , ${\overset {\circ }{A))=\emptyset$ .

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Operatore parte interna

Dato un insieme $S$ ,

l’operatore parte interna ${\overset {\circ }{S))$ è il duale dell’operatore di chiusura ${\bar {S))$ ,

nel senso che

${\displaystyle {\overset {\circ }{S))}=X\backslash {\overline {(X\backslash S)))$

e anche

${\displaystyle {\displaystyle {\bar {S))=X\backslash {\overset {\circ }{(X\backslash S)))))$

dove

$X$ indica lo spazio topologico contenente $S$ ,

e

$\backslash$ indica il complemento di un insieme.

Di conseguenza la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori parte interna, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.

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Chiusura (topologia)

In matematica,

la chiusura di un insieme S consiste dei punti di aderenza di S, ripartiti in punti di accumulazione e punti isolati; intuitivamente, la chiusura è composta dai punti “vicini” a S.

Un punto che si trova nella chiusura di S è un punto di chiusura di S.

La nozione di chiusura è in un certo senso duale alla nozione di parte interna.

Definizioni

Punto di chiusura

Per S sottoinsieme di uno spazio euclideo,

x è un punto di chiusura di S se ogni sfera aperta centrata su x contiene almeno un punto di S (questo punto può essere x stesso).

Questa definizione si generalizza ad ogni sottoinsieme S di uno spazio metrico X.

Espressa per intero,

dato

X spazio metrico con metrica d,

x è un punto di chiusura di S se

per ogni r > 0, esiste un y in S tale che la distanza d(x, y) < r

(ancora, possiamo avere x = y).

Un altro modo per esprimere questo è dire che

x è un punto di chiusura di S se la distanza d(x, S) := inf{d(x, s) : s in S} = 0.

Questa definizione si generalizza agli spazi topologici sostituendo “sfera aperta” con “intorno“.

Sia

S un sottoinsieme di uno spazio topologico X.

Allora

x è un punto di chiusura di S se ogni intorno di x contiene un punto di S.

Si noti che questa definizione non dipende dal fatto che gli intorni siano aperti oppure no.

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Punto di accumulazione

La definizione di punto di chiusura è strettamente legata alla definizione di punto di accumulazione.

La differenza fra le due definizioni è sottile ma importante – vale a dire, nella definizione di

punto di accumulazione, **ogni intorno del punto x in questione deve contenere almeno un punto dell’insieme S diverso da x stesso.**

Quindi

ogni punto di accumulazione è un punto di chiusura,

ma non tutti i punti di chiusura sono punti di accumulazione.

Un punto di chiusura che non è un punto di accumulazione è un punto isolato.

In altre parole,

un punto x è un punto isolato di S se è un elemento di S e se esiste un intorno di x che non contiene alcun altro punto di S diverso da x stesso.

Per un dato insieme S e un punto x,

x è un punto di chiusura di S se e solo se x è un elemento di S

o

x è un punto di accumulazione di S.

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Chiusura di un insieme

La chiusura di un insieme S è l’insieme di tutti i punti di chiusura di S.

La chiusura di S è indicata con $\overline S$ , cl(S), Cl(S), o S⁻.

La chiusura di un insieme ha le proprietà seguenti.

cl(S) è un insieme chiuso e contiene S.
cl(S) è l’intersezione di tutti gli insiemi chiusi che contengono S.
cl(S) è il più piccolo insieme chiuso contenente S.
Un insieme S è chiuso se e solo se S = cl(S).
Se S è un sottoinsieme di T, allora cl(S) è un sottoinsieme di cl(T).
Se A è un insieme chiuso, allora A contiene S se e solo se A contiene cl(S).

Talvolta la seconda o la terza proprietà sono prese come definizione della chiusura topologica.

In uno spazio numerabile di primo tipo (come uno spazio metrico),

cl(S) è l’insieme di tutti i limiti di tutte le sequenze convergenti di punti in S.

Per uno spazio topologico generico, questa affermazione rimane vera se si sostituisce “sequenza” con “rete“.

Si osservi che queste proprietà sono soddisfatte anche se “chiusura”, “intersezione”, “contiene/contenente”, “più piccolo” e “chiuso” sono sostituite con “interno”, “unione”, “contenuto in”, “più grande”, e “aperto”.

Per maggiori informazioni in materia, si veda operatore di chiusura più avanti.

Esempi

In ogni spazio, la chiusura dell’insieme vuoto è l’insieme vuoto.
In ogni spazio X, cl(X) = X.
Se X è lo spazio euclideo R dei numeri reali, allora cl((0, 1)) = [0, 1].
Se X è lo spazio euclideo R, allora la chiusura dell’insieme Q dei numeri razionali è l’intero spazio R. Diciamo che Q è denso in R.
Se X è il piano complesso C = R², allora cl({z in C : |z| > 1}) = {z in C : |z| ≥ 1}.
Se S è un sottoinsieme finito di uno spazio euclideo, allora cl(S) = S. (Per uno spazio topologico generico, questa proprietà è equivalente all’assioma T₁.)

Sull’insieme dei numeri reali si possono porre altre topologie oltre a quella standard.

Se X = R, dove R ha la topologia del limite inferiore, allora cl((0, 1)) = [0, 1].
Se si considera su R la topologia nella quale ogni insieme è aperto (chiuso), allora cl((0, 1)) = (0, 1).
Se si considera su R la topologia nella quale gli unici insiemi aperti (chiusi) sono l’insieme vuoto e R stesso, allora cl((0, 1)) = R.

questi esempi mostrano che la chiusura di un insieme dipende dalla topologia dello spazio sottostante. Gli ultimi due esempi sono casi particolari dei seguenti.

In ogni spazio discreto, dal momento che ogni spazio è aperto (chiuso), ogni insieme è uguale alla sua chiusura.
In ogni spazio banale X, dal momento che gli unici insiemi aperti (chiusi) sono l’insieme vuoto e X stesso, abbiamo che la chiusura dell’insieme vuoto è l’insieme vuoto, e per ogni sottoinsieme non vuoto A di X, cl(A) = X. In altre parole, ogni insieme non vuoto in uno spazio banale è denso.

La chiusura di un insieme dipende anche dallo spazio nel quale stiamo prendendo la chiusura. Ad esempio, se X è l’insieme dei numeri razionali, con l’usuale topologia di sottospazio indotta dallo spazio euclideo R, e se S = {q in Q : q² > 2}, allora S è chiuso in Q, e la chiusura di S in Q è S; tuttavia, la chiusura di S nello spazio euclideo R è l’insieme di tutti i numeri reali maggiori o uguali a $\sqrt2$ .

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Operatore di chiusura

L’operatore di chiusura ⁻ è il duale dell’operatore di parte interna ^o, nel senso che

S⁻ = X \ (X \ S)^o

e anche

S^o = X \ (X \ S)⁻

dove X indica lo spazio topologico contenente S, e il simbolo \ indica il complemento di un insieme.

Quindi, la teoria astratta degli operatori di chiusura e gli assiomi di chiusura di Kuratowski possono essere facilmente tradotti nel linguaggio degli operatori di interno, sostituendo gli insiemi con i loro complementi.

Risultati sulla chiusura

L’insieme $S$ è chiuso se e solo se $Cl(S)=S$ .

In particolare,

la chiusura dell’insieme vuoto è l’insieme vuoto, e la chiusura di $X$ stesso è $X$ .

La chiusura di una intersezione di insiemi è sempre un sottoinsieme di (ma non deve essere uguale a) l’intersezione delle chiusure degli insiemi.

Nel caso di una unione di un numero finito di insiemi, la chiusura dell’unione e l’unione delle chiusure sono uguali; l’unione di zero insiemi è l’insieme vuoto, e così questa affermazione contiene l’affermazione precedente sulla chiusura dell’insieme vuoto come caso particolare.

La chiusura di un numero infinito di insiemi non deve essere uguale all’unione delle chiusure, ma contiene sempre come sottoinsieme l’unione delle chiusure.

Se $A$ è uno sottospazio di $X$ contenente $S$ , allora la chiusura di $S$ calcolata in $A$ è uguale all’intersezione di $A$ con la chiusura di $S$ calcolata in $X$ : $Cl_A(S) = A\cap Cl_X(S)$ .

In particolare, $S$ è denso in $A$ se e solo se $A$ è un sottoinsieme di $Cl_X(S)$ .

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Frontiera (topologia)

In topologia,

la frontiera o contorno o bordo di un sottoinsieme S di uno spazio topologico X è la chiusura dell’insieme meno il suo interno.

Un elemento della frontiera di S è chiamato punto di frontiera di S.

Le notazioni usate per indicare la frontiera di un insieme S includono b(S) , bd(S), fr(S), e $\partial S$ .

Esistono altri due modi equivalenti per definire la frontiera di S e i punti di frontiera di S.

Si definisce frontiera di S l’intersezione fra la chiusura di S e la chiusura del suo complementare.
Si definisce frontiera di S l’insieme dei punti p in X tali che ogni intorno di p contiene almeno un punto di S e almeno un punto non appartenente a S.

Proprietà

La frontiera di un insieme è chiusa.
La frontiera di un insieme è uguale all’intersezione fra la chiusura dell’insieme e la chiusura del suo complemento.
Un insieme è chiuso se e solo se la frontiera dell’insieme è contenuta nell’insieme, e aperto se e solo se è disgiunto dalla sua frontiera.
La frontiera di un insieme è uguale alla frontiera del suo complemento.
La chiusura di un insieme è uguale all’unione dell’insieme con la sua frontiera.
La frontiera di un insieme è vuota se e solo se l’insieme è contemporaneamente chiuso e aperto (cioè se è un insieme chiuso-aperto).

Esempi

Consideriamo la usuale topologia dell’asse reale; se $X=[0,5)$ , allora secondo $\partial X=\{0,5\}$ .
$\partial \overline {B}({\mathbf {a)),r)=\overline {B}({\mathbf {a)),r)-B({\mathbf {a)),r)$
$\partial D^{n}\simeq S^((n-1))$
$\partial \varnothing =\varnothing$
Se Ω denota il disco caratterizzato dalla disuguaglianza x²+y² ≤ 1, in R³ si ha ∂Ω = Ω, mentre in R², ∂Ω = {(x, y) | x²+y² = 1}. Quindi, la frontiera di un insieme può dipendere dall’insieme in cui è immerso.

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Insieme derivato

In matematica, e in particolare in topologia generale,

l’insieme derivato di un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico è l’insieme di tutti i punti di accumulazione di $S$ .

Di solito è indicato con $S'$ , ${\mathcal {D))S$ o $D(S)$ .

Il concetto di insieme derivato fu introdotto da Georg Cantor nel 1872. Egli sviluppò la teoria degli insiemi principalmente per studiare gli insiemi derivati nella retta reale.

Proprietà

Un sottoinsieme $S$ di uno spazio topologico è chiuso quando $S'\subseteq S$ , cioè quando $S$ contiene tutti i suoi punti di accumulazione.

Due sottoinsiemi $S$ e $T$ sono separati quando sono disgiunti e ognuno è disgiunto dall’insieme derivato dell’altro (sebbene gli insiemi derivati potrebbero non essere disgiunti tra loro).

L’insieme $S$ è detto perfetto se $S'=S$ , o equivalentemente un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati. Gli insiemi perfetti sono particolarmente importanti nelle applicazioni del teorema della categoria di Baire.

Due spazi topologici sono omeomorfi se e solo se esiste una biiezione da uno all’altro tale che l’insieme derivato dell’immagine di ogni sottoinsieme è l’immagine dell’insieme derivato di quell’insieme, cioè

$D(f(S))=f(D(S))$ .

Topologia in termini di insiemi derivati

Poiché gli omeomorfismi possono essere descritti interamente in termini di insiemi derivati, gli insiemi derivati sono stati usati come nozione primitiva in topologia.

Un insieme di punti $X$ può essere dotato con un operatore ${\displaystyle ^{*))$ che manda sottoinsiemi di $X$ in sottoinsiemi di $X$ e tale che per ogni sottoinsieme $S$ e ogni punto $x$ si abbia

$\varnothing ^{*}=\varnothing ;$
$S^{**}\subseteq S^{*};$
$x\in S^{*}\implies x\in (S\setminus \{x\})^{*};$
$(S\cup T)^{*}\subseteq S^{*}\cup T^{*};$
$S\subseteq T\implies S^{*}\subseteq T^{*}.$

Poiché data la 5, la 3 è equivalente alla 3′ sotto, e poiché la 4 e la 5 sono equivalenti alla 4′ sotto, si hanno i seguenti assiomi equivalenti:

1. $\varnothing ^{*}=\varnothing ;$
2. $S^{**}\subseteq S^{*};$
3′. $S^{*}=(S\setminus \{x\})^{*};$
4′. $(S\cup T)^{*}=S^{*}\cup T^{*}.$

Diciamo che

un sottoinsieme $S$ è chiuso se $S^{}\subseteq S$ e in questo modo definiamo una topologia su $X$ tale che $S^{}=S'$ , cioè ${\displaystyle ^{*))$ è l’operatore insieme derivato.

Se imponiamo anche che l’insieme derivato di un singoletto sia l’insieme vuoto, allora lo spazio risultante sarà uno spazio di Hausdorff. Infatti 2 e 3′ potrebbero non essere veri in uno spazio che non è di Hausdorff.

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Insieme limite

In matematica,

l’insieme limite di una successione $\{x_{n}\}$ consiste in tutti i suoi punti di accumulazione:

$\omega (x_{n})=\bigcap _{n=0}^{\infty }{\overline {\{x_{k}:k>n\))}\qquad n\in \mathbb {N}$

dove ${\displaystyle {\overline {\{x_{k}:k>n\))))$ è la chiusura di ${\displaystyle \{x_{k}:k>n\))$ .

Nello studio dei sistemi dinamici,

un insieme limite di un’orbita $\phi (t,x_{0})$ di un sistema dinamico per un punto iniziale $x_0$ è l’insieme dei punti $p$ tali per cui esiste una successione di istanti temporali $t_{k}\to \pm \infty$ tale che $\phi (t_{k},x_{0})\to p$ per $k\to \infty$ .

Gli insiemi limite forniscono informazioni sul comportamento a lungo termine di un sistema dinamico;

esempi particolarmente studiati sono

gli insiemi limite in corrispondenza di punti periodici (punti fissi) della traiettoria percorsa dal sistema, ad esempio orbite periodiche (cicli limite) e diversi altri attrattori.

Sistemi dinamici discreti

Sia $X$ uno spazio metrico

e

sia $f:X\rightarrow X$ una funzione continua la cui iterazione definisce un sistema dinamico discreto.

L’insieme $\omega$ -limite di un punto $x\in X$ , indicato con $\omega (x,f)$ , è l’insieme di tutti i punti di accumulazione della successione ${\displaystyle \{f^{k}(x):k>n\))$ formata dalle orbite passanti per $x$ :

${\displaystyle \omega (x,f)=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }{\overline {\{f^{k}(x):k>n\))))$

In altri termini,

$y\in \omega (x,f)$ se e solo se c’è una successione strettamente crescente di numeri naturali ${\displaystyle \{n_{k}\}_{k\in \mathbb {N} ))$ tale che $f^{n_{k))(x)\rightarrow y$ con $k\rightarrow \infty$ .

Se $f$ è un omeomorfismo si può definire in modo simile l’insieme $\alpha$ -limite semplicemente cambiando nella definizione orbita in avanti con orbita inversa, cioè:

$\alpha (x,f)=\omega (x,f^{-1})$

Entrambi gli insiemi sono $f$ -invarianti e se $X$ è uno spazio compatto sono compatti e non vuoti.

°°°°°

Sistemi dinamici continui

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall’equazione differenziale ordinaria:

{\displaystyle {\frac {dx}{dt))=f(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n))

sia $x(t)=\phi (t,x_{0})$ la soluzione (o flusso) del sistema per il punto iniziale ${\displaystyle x(0)=x_{0))$ , con $\gamma (x_{0})$ la corrispondente orbita (l’immagine del flusso).

Un punto $x'$ è detto punto $\omega$ -limite della soluzione $\phi (t,x_{0})$ (punto $\omega$ -limite dell’orbita $\gamma (x_{0})$ ) se esiste una successione $t_{1},\dots ,t_{k},\dots$ di istanti temporali tali che:

\phi (t_{k},x_{0})\to x'\qquad k\to \infty

t_{k}\to +\infty

L’insieme $\omega$ -limite di $\phi (t,x_{0})$ è l’insieme di tutti i punti $\omega$ -limite di $\phi (t,x_{0})$ (di $\gamma (x_{0})$ ).

L’insieme $\alpha$ -limite si definisce analogamente come l’insieme di tutti i punti $\alpha$ -limite della traiettoria $\phi (t,x_{0})$ ,

cioè i punti tali che $\phi (t_{k},x_{0})\to x'$ per $t_{k}\to -\infty$ e $k\to \infty$ .

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Insieme perfetto

In matematica , e in particolare in topologia ,

un insieme perfetto è un insieme chiuso senza punti isolati

e

uno spazio perfetto è uno spazio topologico senza punti isolati.

In questi spazi ogni punto può essere approssimato arbitrariamente bene da altri punti, cioè dato un punto e un intorno del punto esiste un altro punto nell’intorno.

In questo articolo ogni spazio che non è perfetto sarà detto imperfetto .

Esempi

La retta reale è uno spazio perfetto connesso .

Gli spazi di Baire sono spazi perfetti totalmente sconnessi , e quindi questo vale anche per lo spazio di Cantor . $\ R$ ${\ displaystyle \ mathbf {2} ^ {\ omega))$

Ogni insieme non vuoto ammette una topologia con la quale è imperfetto: la topologia discreta .

Ogni insieme con più di un punto ammette una topologia con la quale è perfetto: la topologia banale .

Proprietà

Ogni sottoinsieme aperto di uno spazio perfetto è perfetto.

Ogni spazio perfetto non vuoto ha sottospazi che sono imperfetti con la topologia di sottospazio : i singoletti .

La proprietà di uno spazio topologico di essere perfetto è una proprietà locale:

uno spazio è perfetto se e solo se ogni punto ammette una base di intorni tale che ogni intorno nel racconto base è perfetto nella topologia di sottospazio.

Sia ${\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i \ in I))$ una famiglia di spazi topologici.

Come per ogni proprietà locale, l’ unione disgiunta ${\ displaystyle \ bigsqcup _ {i} X_ {i))$ è perfetta se e solo se ogni $X_i$ è perfetto.

Il prodotto cartesiano di una famiglia ${\ displaystyle \ {X_ {i} \} _ {i \ in I))$ è perfetto nella topologia prodotto se e solo se vale almeno una delle seguenti proprietà:

almeno uno degli spazi $X_i$ è perfetto;
${\ displaystyle I = \ varnothing}$ ;
è infinito l’insieme degli indici ${\ displaystyle i \ in I}$ tali che $X_i$ ha almeno due punti $.$

L ‘ immagine tramite una funzione continua ei quozienti di spazi perfetti non sono necessariamente perfetti.

Ma l’immagine di uno spazio perfetto rispetto ad una funzione continua iniettiva è perfetta.

Un insieme perfetto contenuto in uno spazio metrico completo è non numerabile.

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Insieme denso

In matematica,

un sottoinsieme di uno spazio topologico è denso nello spazio topologico se ogni elemento dello spazio appartiene all’insieme o ne è un punto di accumulazione.

Nel caso di un insieme di numeri reali, ad esempio, per ogni coppia di numeri distinti vi è sempre un elemento dell’insieme compreso tra i due.

I numeri razionali e i numeri irrazionali sono due insiemi densi, mentre i numeri interi non lo sono.

Definizione

Sia $X$ uno spazio topologico.

Un sottoinsieme $A$ di $X$ è denso in $X$ se l’unico sottoinsieme chiuso di $X$ contenente $A$ è $X$ stesso, ovvero la chiusura di $A$ è $X$ .

Le seguenti definizioni sono inoltre equivalenti a quella data. $A$ è denso in $X$ se e solo se:

Ogni sottoinsieme aperto non vuoto di $X$ interseca $A$ .
Il complementare di $A$ ha parte interna vuota.
Ogni punto di $X$ o appartiene ad $A$ o è un punto di accumulazione per $A$ .

Esempi

Ogni spazio topologico $S$ è denso in sé stesso; tutti gli altri chiusi di $S$ e tutti i sottoinsiemi di essi non sono densi in $S$ .
Lo spazio dei numeri reali con l’usuale topologia euclidea ha gli insiemi dei numeri razionali, dei numeri irrazionali, dei numero algebrici, dei numero trascendenti e il complementare dell’insieme di Cantor come sottoinsiemi densi.
Se $A\subseteq B\subseteq C$ e $A$ è denso in $C$ , allora anche $B$ è denso in $C$ .
Se un sottoinsieme è denso in una topologia, allora è denso anche in ogni topologia meno fine.
Il complementare di un insieme mai denso è denso.
Nel piano, una superficie senza bordo è densa nell’insieme formato dalla stessa superficie con bordo.
Teorema di approssimazione di Weierstrass: i polinomi sono densi nell’insieme $C[a,b]$ delle funzioni continue sull’intervallo $[a,b]$ , dotato della distanza

$d_{\infty }(f,g)=\max _((x\in [a,b]))|f(x)-g(x)|$

Uno spazio metrico $M$ è denso nel suo completamento $\gamma M$

°°°°°

Insieme mai denso

In topologia,

un sottoinsieme A di uno spazio topologico X si dice mai denso se la parte interna della chiusura di A è vuota.

Per esempio,

l’insieme dei numeri interi è un sottoinsieme mai denso della retta reale R.

L’ordine delle operazioni è molto importante.

Per esempio,

l’insieme dei numeri razionali, visto come sottoinsieme di R, ammette interno vuoto e, quindi, la chiusura dell’interno è vuoto ma è tutt’altro che mai denso; infatti è denso in R, l’esatto opposto di un insieme mai denso.

Si noti inoltre come la proprietà dipenda dallo spazio circostante: un insieme A può essere mai denso se visto come sottospazio topologico di X, ma non se considerato come sottospazio topologico di Y.

Ogni sottoinsieme di un insieme mai denso è mai denso, e l’unione di una famiglia finita di insiemi mai densi è mai denso.

In altri termini, gli insiemi mai densi costituiscono, fornendo una opportuna nozione di insieme trascurabile, un ideale di insiemi.

L’unione numerabile di insiemi mai densi, non è, in generale, mai densa (in altri termini, gli insiemi mai densi non costituiscono, in generale, un sigma-ideale).

Tale unione è invece nota come insieme di prima categoria, concetto sul quale è costruito il teorema della categoria di Baire.

Insiemi mai densi di misura positiva

Un insieme mai denso non è necessariamente trascurabile in tutti i sensi.

Per esempio,

se X è l’intervallo unitario [0,1], esiste un insieme denso avente misura di Lebesgue nulla

(per esempio, l’insieme dei numeri razionali), ma esiste altresì un insieme mai denso di misura positiva.

Un esempio

(una variante dell’insieme di Cantor), lo si ottiene rimuovendo da [0,1] tutte le frazioni del tipo a/2ⁿ, espresse in termini minimi per ogni intero positivo a e n, e gli intervalli ad esse circostanti [a/2ⁿ − 1/2²ⁿ⁺¹, a/2ⁿ + 1/2²ⁿ⁺¹]; poiché, per ogni n, ciò elimina intervalli che assommano, al massimo, a 1/2ⁿ⁺¹, la rimozione di tutti gli intervalli di questo tipo genera un insieme mai denso di misura non inferiore a 1/2, e perciò rappresenta la maggior parte dell’insieme di riferimento [0,1].

Generalizzando tale procedimento, si possono costruire, nell’intervallo unitario, insiemi mai densi di qualsiasi misura inferiore a 1.

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Punto isolato

In topologia generale,

un punto isolato per un insieme $S$ è un punto che non ha altri punti di $S$ “vicini”.

Definizione

Un punto $x_0$ appartenente ad un sottoinsieme $S$ in uno spazio topologico è un punto isolato di $S$ se esiste un intorno di $x_0$ non contenente altri punti di $S$ .

Spazio metrico o euclideo

In particolare, in uno spazio euclideo (o in uno spazio metrico),

$x_0$ è un punto isolato di $S$ se esiste una palla aperta centrata in $x_0$ che non contiene nessun elemento di $S$ diverso da $x_0$ .

Definizioni equivalenti

In modo equivalente,

un punto $x_0$ di $S$ non è un punto isolato se e solo se $x_0$ è un punto di accumulazione per $S$ .

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Insieme discreto

Un insieme $S$ costituito esclusivamente di punti isolati è detto insieme discreto.

Ogni insieme finito in uno spazio metrico è discreto.

Il viceversa è vero se lo spazio metrico è compatto e $S$ è chiuso:

in uno spazio compatto, ogni sottoinsieme chiuso discreto è finito.

Un sottoinsieme discreto in uno spazio non compatto può non essere finito, ma generalmente è numerabile: questo accade ad esempio nello spazio euclideo.

D’altra parte, non è vero che ogni sottoinsieme numerabile dello spazio euclideo è discreto:

ad esempio l’insieme ${\mathbb Q}$ dei numeri razionali è numerabile ma non discreto.

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Insieme perfetto

Un insieme chiuso senza punti isolati, costituito da soli punti di accumulazione, è detto insieme perfetto.

Esempi

Ogni elemento di $\mathbb N$ è isolato in $\mathbb N$ infatti:

Sia $n_{0}\in \mathbb {N} \$ e sia $I(n_{0},r)$ un intorno di $n_{0}$ e di raggio $r$ .

Allora dalla definizione abbiamo che

$n_{0}\in \mathbb {N} \$ è un punto isolato in $\mathbb {N} \ \Leftrightarrow \ \exists \ r\in \mathbb {R} \ :I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing$ .
Poiché per $r={\frac {1}{2))$ risulta che $I(n_{0},r)\cap \mathbb {N} \smallsetminus \!\left\{n_{0}\right\}=\varnothing$ , deduciamo che $n_{0}$ è isolato.

Gli spazi topologici dei seguenti esempi sono da considerare sottospazi della retta reale.

Per l’insieme $S=\{0\}\cup [1,2]$ , il punto $0$ è un punto isolato.

Per l’insieme ${\displaystyle S=\{0\}\cup \{1,1/2,1/3,\ldots \))$ , ciascun punto $1/k$ è un punto isolato, tranne il punto $0$ che non lo è perché esistono altri punti appartenenti all’insieme $S$ vicini a $0$ quanto desiderato.

L’insieme ${\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \))$ dei numeri naturali è un insieme discreto.

L’insieme chiuso $[a,b]$ è un insieme perfetto.

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Punto di accumulazione

In matematica

il concetto di punto di accumulazione è uno dei principali dell’analisi matematica e della topologia.

Definizione

Dato l’insieme $A\subset \mathbb{R}$ e $x_{0}\in \mathbb{R}$ (non interessa che $x_0$ appartenga ad $A$ o meno), si dice che

$x_0$ è punto di accumulazione per l’insieme $A$ se in ogni intorno $I(x_{0})$ di $x_0$ esiste almeno un elemento $x$ diverso da $x_0$ e appartenente ad $A$ .

In formule:

\forall I(x_{0})\,\exists x\in A:x\in I(x_{0})\setminus \{x_{0}\}.

Intuitivamente questo significa che arbitrariamente vicino a $x_0$ ci sono sempre punti di $A$ (diversi da $x_0$ ).

Generalizzazioni

La nozione di punto di accumulazione è generalizzata agli spazi metrici e topologici; in entrambi i casi

un punto $x_0$ è di accumulazione per un insieme $S$ se l’insieme $S$ contiene punti “arbitrariamente vicini” ad $x_0$ .

La nozione di “arbitrariamente vicino” è formalizzata in modo appropriato, a seconda che lo spazio sia munito di una metrica o soltanto di una topologia.

°°°°°

Spazi topologici

In topologia

un punto $x_0$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è un punto di accumulazione per un sottoinsieme $S$ di $X$ se qualsiasi aperto $A$ contenente $x_0$ interseca $S$ in almeno un punto diverso da $x_0$ .

In simboli:

$\forall A\in T{\text{ tale che ))x_{0}\in A:\ (A\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing .$

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Spazi metrici

In uno spazio metrico,

se si considera la topologia naturale indotta dalla metrica, la definizione introdotta precedentemente è equivalente alla seguente:

$\forall r>0:(D(x_{0},r)\setminus \lbrace x_{0}\rbrace )\cap S\not =\varnothing ,$

dove $D(x_{0},r)$ è la palla di raggio $r$ e centro $x_0$ .

In altre parole,

ogni palla centrata in $x_0$ interseca $S$ in qualche punto diverso da $x_0$ .

Nel caso di spazi metrici,

se $x_0$ è punto di accumulazione per $S$ , allora è possibile trovare punti di $S$ , distinti da $x_0$ a distanza arbitrariamente piccola da $x_0$ .

Dunque in ogni intorno di $x_0$ cadono infiniti punti di $S$ .

L’insieme dei punti di accumulazione di $S$ è detto insieme derivato di $S$ e si indica di solito con $S'$ .

°°°°°

Punto di aderenza

In topologia generale,

un punto $x$ è un punto di aderenza ad un sottospazio di uno spazio topologico se è possibile trovare punti di questo sottospazio “arbitrariamente vicini” ad $x$ .

Si tratta di una nozione meno restrittiva di quella di punto di accumulazione.

Definizione

Un punto $a$ è aderente ad $A$ se e solo se, comunque si prenda un intorno dell’elemento $a$ , l’intersezione dell’intorno con l’insieme $A$ è sempre non vuota.

Ovvero,

$a$ è un punto di aderenza per $A$ se e solo se $a$ è un punto di accumulazione per $A$ o è un punto isolato di $A$ .

Spazi topologici

Un punto $x_0$ appartenente ad uno spazio topologico $(X,T)$ è detto punto di aderenza (o punto di chiusura) per un sottoinsieme $S$ di $X$ se ogni aperto contenente $x_0$ interseca $S$ .

In simboli:

\forall A\in T,x_{0}\in A:A\cap S\not =\varnothing .

Spazi metrici

In uno spazio metrico,

se si considera la topologia naturalmente indotta dalla metrica, la definizione è equivalente alla richiesta seguente.

\forall r>0:B(x_{0},r)\cap S\not =\varnothing ,

dove con $B(x_{0},r)$ si indica la palla di raggio $r$ e centro $x_0$ .

Non ne consegue (come nel caso dei punti di accumulazione) che in ogni palla vi siano infiniti punti di $S$ .

°°°°°

Differenza con i punti di accumulazione

Tutti i punti di accumulazione di $S$ sono anche aderenti ma non è valido il viceversa.

Non è richiesto infatti che ogni intorno di $x_0$ intersechi $S$ in punti diversi da $x_0$ .

L’intersezione non vuota può essere garantita dallo stesso punto, purché appartenente a $S$ .

Ne consegue che tutti i punti di $S$ sono aderenti in $S$ , anche quando non sono di accumulazione.

In tale ultimo caso si parla di punti isolati.

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Chiusura di un insieme

L’insieme dei punti di aderenza di $S$ è detto chiusura (o aderenza) di $S$ .

°°°°°

Segue …

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Pubblicato da salvatore di lucia su 11 novembre 2021 in Topologia

Tag: Chiusura (topologia), Chiusura di un insieme, Frontiera (topologia), Insieme aperto, Insieme chiuso, Insieme chiuso-aperto, Insieme denso, Insieme derivato, Insieme discreto, Insieme limite, Insieme localmente chiuso, Insieme mai denso, Insieme perfetto, Intervallo, Intervallo in R^n, Intorno, Operatore di chiusura, Operatore parte interna, Parte interna, punto di accumulazione, Punto di aderenza, Punto di chiusura, punto isolato

Intorno

27 Mar

Intorno

In analisi matematica e in topologia,

un insieme è detto intorno di un punto se contiene un insieme aperto contenente il punto.

Un intorno di un punto $x$ senza il punto $x$ si dice intorno bucato o anulare.

Si tratta di un concetto fondamentale che è alla base delle nozioni di funzione continua e limite. Un intorno di un punto $x$ è intuitivamente un insieme di punti “vicini” al punto $x.$

Ogni intorno individua un insieme differente di vicini.

Spesso per tradurre in linguaggio matematico l’idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a $x$ si dice che vale “per ogni intorno di $x$ “.

Il concetto di intorno è strettamente connesso al concetto di insieme aperto.

Spazi topologici

In un generico spazio topologico $(X,T)$ , un intorno di un punto $x$ è un insieme $V$ che contiene almeno un insieme aperto $U\in T$ contenente $x$ , cioè $x\in U\subseteq V$ ^[1], che è l’abbreviazione di $x \in U$ e $U\subseteq V.$

L’insieme $V$ non è necessariamente un insieme aperto o un insieme chiuso. Nel caso in cui $V$ è aperto, si parla di intorno aperto e quando $V$ è chiuso di intorno chiuso.

Intorni sferici

Nel caso di uno spazio metrico $(X,d)$ si possono considerare intorni caratterizzati da richieste sulla distanza. In particolare risulta utile considerare l’intorno sferico (o circolare) aperto di un punto $x$ in $X$ di raggio $r>0$ definito come l’insieme:

B(x,r)=\{y\in X\ :\ d(y,x)<r\}.

L’insieme in questione viene detto anche palla aperta, o disco aperto, di centro $x$ e raggio $r>0$ (per avere un disco chiuso basta sostituire al simbolo $<$ il simbolo $\leq$ nella definizione di $B(x,r)$ .

Se si indica con $\overline S$ la chiusura di un insieme $S,$ allora è coerente indicare con $\overline B(x,r)$ il disco chiuso di centro $x$ e raggio $r$ ).

Un esempio è l’intorno di raggio $r$ quando si considera $X={\mathbb {R))$ , che risulta poi essere un intervallo contenente $x$ del tipo $]x-r,x+r[$ , o $[x-r,x+r]$

, ovvero, aperto o chiuso, a seconda che, rispettivamente, $B(x,r)$ sia aperto o chiuso in $\mathbb{R}$ .

I dischi aperti tornano molto utili nell’Analisi e nella Topologia per diversi motivi. Innanzitutto, è possibile definire l’intorno di un punto $x\in X$ come un qualunque sottoinsieme $U$ di $X$ tale che esista un $r>0$ in corrispondenza del quale $B(x,r)\subseteq U.$

Così facendo, tra l’altro, discende naturalmente che lo stesso disco aperto è un intorno del suo centro. In secondo luogo, un qualsiasi disco aperto (ma anche chiuso) definito in uno spazio metrico derivante da uno spazio normato (cioè uno spazio normato visto come spazio metrico, dove la metrica è quella indotta dalla norma), è convesso.

Sia infatti $(X,||\ ||)$ uno spazio normato, $x\in X$ e $r>0$ . Se $y,z\in B(x,r)$ , e $\gamma :[0,1]\rightarrow X$ è la curva $\gamma (t)=(1-t)y+tz$ , allora, posto $\xi =\xi (t)=\gamma (t)$ , si ha

d(\xi ,x)=||\xi -x||=||(1-t)y+tz-(1-t)x-tx||\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||,

e quindi, tenendo conto che per ogni $t\in [0,1]$ risulta $|1-t|+|t|=1$ , si ha

d(\xi ,x)\leq |1-t|||y-x||+|t|||z-x||<r(|1-t|+|t|)=r,

qualunque sia $\xi \in \gamma ([0,1])$ . Ne segue che $B(x,r)$ è convesso. Da quanto abbiamo appena dimostrato discende che $B(x,r)$ è semplicemente connesso.

Base di intorni

Una base di intorni (o anche sistema di intorni) è un insieme di intorni di un punto fissato $x$ “arbitrariamente piccoli”: una base di intorni identifica la “struttura topologica locale” del punto.

Più precisamente, una base di intorni è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di $x$ contiene uno di questi intorni.

Una base di intorni è utile a definire le proprietà locali di un punto, come ad esempio la connessione locale.

Spazio euclideo

Il concetto di intorno può essere analizzato in particolare adottando un generico spazio euclideo $\R^n$ di dimensione $n$ . Nello spazio euclideo, come da definizione, un intorno di $x_0$ è sempre un insieme contenente un insieme aperto $U$ , contenente a sua volta $x_0$ . In particolare:

Un intorno sferico aperto di raggio $r$ è l’insieme

$\{x\in \mathbb{R} ^{n}\ |\ d(x,x_{0})<r\}$

dove si fa uso della distanza euclidea.

Un intorno rettangolare è un intorno del tipo

$I_{1}\times \ldots \times I_{n}$

dove ciascun $I_{i}$ è un intervallo in $\R$ , intorno della coordinata $i$ -esima di $x_0$ .

Retta reale

Dal generico spazio euclideo è possibile ridursi al caso più particolare della retta reale.

Un intorno di un punto $x_0$ della retta reale $\mathbb{R}$ è un insieme della retta che contiene un intervallo aperto del tipo

(x_{0}-\varepsilon ,x_{0}+\varepsilon )

dove $\varepsilon >0$ è un numero positivo.

In particolare:

L’intorno è aperto se è un insieme aperto
L’intorno aperto di raggio $r$ è l’intervallo aperto $(x_{0}-r,x_{0}+r)$ .

Un intorno non è necessariamente aperto.

Ad esempio,

l’intervallo $[x_{0}-r,x_{0}+r]$ con $r>0$ è un intorno chiuso di $x_0$ .

La definizione di intorno si estende anche alla retta estesa:

un intorno di $+\infty$ è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma $(M,+\infty )$ , per qualche $M$ reale.

Analogamente

un intorno di $-\infty$ è un insieme che contiene un intervallo aperto della forma $(-\infty ,M)$ , per qualche $M$ reale.

°°°°°

Segue …

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Pubblicato da salvatore di lucia su 27 marzo 2021 in MATEMATICA

Tag: Intorno

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Intervallo in R^n

°°°°°

°°°°°

Intervallo

In matematica,

un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi e .

Gli estremi possono (ma non devono necessariamente) appartenere all’intervallo e possono essere infiniti.

Definizione

Formalmente,

un sottoinsieme dei numeri reali o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi e di , ogni altro elemento tale che sta anch’esso in .

Osservazione

In gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

°°°°°

Insieme convesso

In uno spazio euclideo R^2

un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell’insieme.

Esempi di

insiemi convessi :

cerchi ,

sfere ,

cubi ,

piani ,

semipiani ,

trapezi ,

mentre

Esempi di

insiemi non convessi:

archi di circonferenze ,

tori ,

qualunque insieme che contenga buchi,

incavature o che non sia connesso .

°°°°°

In uno spazio euclideo R^3

In tre dimensioni,

esempi di insiemi convessi sono

la sfera ,

il cubo ,

il paraboloide ,

mentre

esempi di insiemi non convessi sono :

il toro ,

l’ iperboloide iperbolato.

In termini più intuitivi una figura convessa è una figura “che esubera”, mentre una figura concava è una figura “che rientra”.

In insiemistica non si adopera la definizione di insieme concavo, bensì la nozione più articolata di

spazio connesso .

Nello studio delle funzioni , si può definire una funzione convessa come funzione il cui epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano.

°°°°°

Spazi vettoriali

Sia

uno spazio vettoriale .

Un insieme si dice convesso se

per ogni coppia di punti il segmento che li congiunge:

è interamente contenuto in .

Un insieme bilanciato e convesso è detto assolutamente convesso .

Proprietà

Si può inoltre dimostrare che l’ intersezione di due insiemi convessi è ancora un insieme convesso. Infatti, siano X e Y due insiemi convessi, e A e B due punti appartenenti a .

Allora, siccome X è convesso e contiene sia A che B, contiene anche il segmento AB. Altrettanto si può dire di Y.

Quindi il segmento AB appartiene ad entrambi gli insiemi, e dunque alla loro intersezione.

Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di

, l’intersezione è un insieme convesso.

Si dimostra che in ogni insieme convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento tale che:

Esempi di insiemi convessi

Si consideri lo spazio euclideo .

Un semispazio di è il sottoinsieme con e .

I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti , per ogni

si ha:

e quindi ,

Data una norma su e un numero reale ,

la palla chiusa è un sottoinsieme convesso,

Data una norma su e un numero reale ,

il cono di norma è un sottoinsieme convesso.

°°°°°

Gli intervalli di sono quindi gli insiemi seguenti

(dove e sono due numeri reali tali che ):

(intervallo aperto)

(intervallo chiuso)

(intervallo chiuso a sinistra)

(intervallo chiuso a destra)

un intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali formato da tutti i punti della retta reale che sono compresi tra due estremi $a$ e $b$ .

un sottoinsieme $S$ dei numeri reali $\R$ o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi $x$ e $y$ di $S$ , ogni altro elemento $z$ tale che $x<z<y$ sta anch’esso in $S$ .

In $\R$ gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.

$V$ uno spazio vettoriale .

Un insieme $UN$ si dice convesso se

per ogni coppia di punti $x, y \ in A$ il segmento che li congiunge:

è interamente contenuto in $UN$

Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di ${\ displaystyle A, B \ in X \ cap Y}$

, l’intersezione $X \ cap Y$ è un insieme convesso.

Si dimostra che in ogni insieme $UN$ convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento ${\ displaystyle x_ {0} \ in A}$ tale che:

Si consideri lo spazio euclideo . $\ mathbb {R} ^ {n}$

Un semispazio di $\ mathbb {R} ^ {n}$ è il sottoinsieme ${\ displaystyle S = \ ((\ bf {x)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, {\ bf {v)) ^ {T} {\ bf {x)) \ leq b \}, }$ con ${\ displaystyle {\ bf {v)) \ in \ mathbb {R} ^ {n))$ e ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {R}}$ .

I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti ${\ displaystyle {\ bf {x)), {\ bf {y)) \ in S}$ , per ogni $t \ in [0,1]$

e quindi , ${\ displaystyle t {\ bf {x)) + (1-t) {\ bf {y)) \ in S}$

Data una norma $\ | \ cdot \ |$ su $\ mathbb {R} ^ {n}$ e un numero reale $t \ in \ mathbb {R}$ ,

la palla chiusa ${\ displaystyle \ ((\ bf {x)) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x)) || \ leq t \))$ è un sottoinsieme convesso,

Data una norma $\ | \ cdot \ |$ su ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n-1))$ e un numero reale $t \ in \ mathbb {R}$ ,

il cono di norma ${\ displaystyle \ {({\ bf {x)), t) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, || {\ bf {x)) || \ leq t \))$ è un sottoinsieme convesso.

Gli intervalli di $\R$ sono quindi gli insiemi seguenti

(dove $a$ e $b$ sono due numeri reali tali che $a<b$ ):

${\displaystyle (a,b)=\{x|a<x<b\))$ (intervallo aperto)

${\displaystyle [a,b]=\{x|a\leq x\leq b\))$ (intervallo chiuso)

${\displaystyle [a,b)=\{x|a\leq x<b\))$ (intervallo chiuso a sinistra)

${\displaystyle (a,b]=\{x|a<x\leq b\))$ (intervallo chiuso a destra)

${\displaystyle (a,+\infty )=\{x|x>a\))$ (intervallo aperto infinito a destra)

${\displaystyle [a,+\infty )=\{x|x\geq a\))$ (intervallo chiuso infinito a destra)

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x|x<b\))$ (intervallo aperto infinito a sinistra)

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x|x\leq b\))$ (intervallo chiuso infinito a sinistra)

$(-\infty ,+\infty )=\mathbb {R}$ (tutta la retta reale)

${\displaystyle [a,a]=\{a\))$ (un punto)

I punti $a$ e $b$ sono gli estremi dell’intervallo.

una parentesi quadra $[$ $]$ indica che l’estremo appartiene all’intervallo,

una parentesi tonda $($ $)$ indica che non vi appartiene.

Una notazione alternativa usa $]$ e $[$ rispettivamente al posto di $($ e $)$ .

I primi quattro intervalli hanno lunghezza $b-a$ ,

il punto e l’insieme vuoto hanno lunghezza $0$ .

L’intervallo unitario è l’intervallo chiuso $[0,1]$ .

L’immagine di un intervallo mediante una funzione continua da $\R$ in $\R$ è ancora un intervallo.

Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo $[a,b]$ .

un punto, $[0,1]$ , $[0,1)$ , $(0,1)$ o l’insieme vuoto.

In uno spazio metrico $(M,d)$ ,

un sottoinsieme $U$ di $M$ si dice aperto se, per ogni $x\in U$ , esiste un numero reale $\epsilon >0$ tale che i punti che distano da $x$ per meno di $\epsilon$ appartengono ancora a $U$ .

se $d(x,y)<\epsilon$ , allora $y\in U$

Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di $M$ secondo la definizione precedente: