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Intervallo
Definizione
Formalmente,
un sottoinsieme dei numeri reali o di un altro insieme ordinato è un intervallo se per ogni coppia di elementi e di , ogni altro elemento tale che sta anch’esso in .
Osservazione
In gli intervalli corrispondono agli insiemi convessi.
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Insieme convesso
In uno spazio euclideo R^2
un insieme convesso è un insieme nel quale, per ogni coppia di punti, il segmento che li congiunge è interamente contenuto nell’insieme.
Esempi di
insiemi convessi :
mentre
Esempi di
insiemi non convessi:
qualunque insieme che contenga buchi,
incavature o che non sia connesso .
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In uno spazio euclideo R^3
In tre dimensioni,
esempi di insiemi convessi sono
mentre
esempi di insiemi non convessi sono :
In termini più intuitivi una figura convessa è una figura “che esubera”, mentre una figura concava è una figura “che rientra”.
In insiemistica non si adopera la definizione di insieme concavo, bensì la nozione più articolata di
Nello studio delle funzioni , si può definire una funzione convessa come funzione il cui epigrafico è un sottoinsieme convesso del piano.
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Spazi vettoriali
Sia
uno spazio vettoriale .
Un insieme si dice convesso se
per ogni coppia di punti il segmento che li congiunge:
-
è interamente contenuto in .
Un insieme bilanciato e convesso è detto assolutamente convesso .
Proprietà
-
Si può inoltre dimostrare che l’ intersezione di due insiemi convessi è ancora un insieme convesso. Infatti, siano X e Y due insiemi convessi, e A e B due punti appartenenti a .
-
Allora, siccome X è convesso e contiene sia A che B, contiene anche il segmento AB. Altrettanto si può dire di Y.
-
Quindi il segmento AB appartiene ad entrambi gli insiemi, e dunque alla loro intersezione.
-
Siccome questo ragionamento si può fare per ogni possibile scelta di
, l’intersezione è un insieme convesso.
-
Si dimostra che in ogni insieme convesso, chiuso, non vuoto e contenuto in uno spazio di Hilbert esiste un unico elemento tale che:
Esempi di insiemi convessi
Si consideri lo spazio euclideo .
-
Un semispazio di è il sottoinsieme con e .
-
I semispazi sono sottoinsiemi convessi, infatti: dati due punti , per ogni
si ha:
-
-
e quindi ,
-
Data una norma su e un numero reale ,
la palla chiusa è un sottoinsieme convesso,
-
Data una norma su e un numero reale ,
il cono di norma è un sottoinsieme convesso.
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Gli intervalli di sono quindi gli insiemi seguenti
(dove e sono due numeri reali tali che ):
-
(intervallo aperto)
-
(intervallo chiuso)
-
(intervallo chiuso a sinistra)
-
(intervallo chiuso a destra)
-
(intervallo aperto infinito a destra)
-
(intervallo chiuso infinito a destra)
-
(intervallo aperto infinito a sinistra)
-
(intervallo chiuso infinito a sinistra)
-
(tutta la retta reale)
-
(un punto)
-
I punti e sono gli estremi dell’intervallo.
Quindi
una parentesi quadra indica che l’estremo appartiene all’intervallo,
mentre
una parentesi tonda indica che non vi appartiene.
Una notazione alternativa usa e rispettivamente al posto di e .
Entrambe le notazioni fanno parte dello standard ISO 31-11 e del successivo ISO 80000-2 come equivalenti sebbene la notazione che prevede l’utilizzo delle parentesi tonde per indicare gli intervalli aperti sia in assoluto la più utilizzata.
I primi quattro intervalli hanno lunghezza ,
i cinque seguenti hanno lunghezza infinita,
il punto e l’insieme vuoto hanno lunghezza .
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L’intervallo unitario è l’intervallo chiuso .
Proprietà
-
L’unione e l’intersezione di due intervalli aventi intersezione non vuota è un intervallo.
-
L’immagine di un intervallo mediante una funzione continua da in è ancora un intervallo.
-
Un sottoinsieme della retta reale è un intervallo se e solo se è connesso.
-
Un intervallo è compatto se e solo se è del tipo .
-
Ogni intervallo (anche infinito) è omeomorfo a uno, ed uno solo, di questi cinque intervalli:
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Notazioni alternative
Raramente in ambito matematico, ma sovente in ambito ingegneristico,
il simbolo ÷, chiamato obelo, viene usato in Italia per indicare un intervallo numerico.
Ad esempio
3 ÷ 7 vuol dire ‘da tre a sette’, estremi compresi.
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Insieme aperto
Il concetto di insieme aperto si trova in matematica in molti ambiti e con diversi gradi di generalità.
Intuitivamente,
un insieme è aperto se è possibile spostarsi sempre poco in ogni direzione a partire da ogni punto dell’insieme senza uscire dall’insieme stesso.
In realtà, seguendo le definizioni generali ci si può allontanare abbastanza da questa idea intuitiva; attraverso la definizione di insieme aperto si possono definire i settori come “vicino”, “lontano”, “attaccato”, “separato”;
Le definizioni non intuitive di insiemi aperti corrispondono a situazioni matematiche in cui questi utilizzati vengono utilizzati in modo non intuitivo.
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Spazi topologici
La topologia è l’ambito più generale in cui si incontrano gli insiemi aperti;
in questo contesto il concetto di insieme aperto viene considerato fondamentale;
preso
un insieme X,
se
una qualunque collezione T di sottoinsiemi di X soddisfa le proprietà riportate sotto,
T viene chiamata topologia di X
e
gli insiemi di T , per definizione, i suoi aperti.
Perché
la collezione T sia una topologia deve valere:
-
l’ unione di una collezione arbitraria di insiemi di T è ancora un insieme di T
-
l’ intersezione di un numero finito di insiemi di T è ancora un insieme di T
-
l’insieme X e l’ insieme vuoto appartengono a T
Lo spazio topologico viene indicato specificando la coppia (X, T ).
È da notare che se si considera uno stesso insieme X con due diverse topologie T e T ‘ , si hanno due spazi topologici diversi; tuttavia in molti casi, in cui la struttura topologica emerge in modo “naturale”, indicare l’insieme è sufficiente per individuare lo spazio topologico.
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Spazi metrici
un sottoinsieme di si dice aperto se, per ogni , esiste un numero reale tale che i punti che distano da per meno di appartengono ancora a .
Formalmente:
se , allora
Gli aperti metrici così definiti costituiscono una topologia di secondo la definizione precedente:
in questo modo
ogni spazio metrico è dotato in modo naturale di una struttura di spazio topologico, e tutti gli aperti metrici possono essere considerati aperti topologici (ma non viceversa).
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Lo spazio euclideo è un particolare spazio metrico.
Un insieme aperto dello spazio euclideo è un insieme tale che per ogni di esiste una palla di raggio centrata in , interamente contenuta in .
In particolare,
un intervallo in è aperto se è del tipo , dove e possono anche essere rispettivamente e .
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Insieme chiuso
Ogni definizione di insieme aperto corrisponde a una definizione di insieme chiuso .
In generale,
un insieme è chiuso se e solo se è il complementare di un insieme aperto;
gli spazi topologici questa è esattamente la proprietà definitoria, negli altri ambiti si danno definizione a parte e questa proprietà viene provata come un teorema .
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