Salvatore Di Lucia
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“Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.”
(Alfréd Rényi)
Grafico immediato di funzioni semplici_2
Questa è la seconda parte della lezione sul metodo del grafico immediato, che mediante semplici considerazioni algebriche permette di disegnare il grafico intuitivo di funzioni con espressioni non troppo complicate.
Qui di seguito proseguiremo con una carrellata di esempi in cui combineremo
il significato geometrico delle operazioni tra funzioni
e
le regole del grafico intuitivo.
In particolare ci occuperemo di mostrare come le principali operazioni algebriche influiscono sul grafico delle funzioni trigonometriche.
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1.) Grafico intuitivo per funzioni con il seno
L’esempio che prendiamo come riferimento è dato dalla funzione
1.1) Disegniamo il grafico del seno:
1.2) Il coefficiente che moltiplica l’argomento dimezza il periodo, in sostanza comporta una contrazione orizzontale della funzione 
Ecco una rappresentazione dei due grafici sovrapposti:
In blu y=sin(x), in rosso y=sin(2x).
a) Dilatazioni e traslazioni orizzontali
Consideriamo ora la funzione
a.1) Come in precedenza partiamo dal grafico del seno.
a.2) Sommare la costante +2 all’argomento del seno significa traslarlo di 2 unità a sinistra:
a.3) Il coefficiente che moltiplica 
provoca una dilatazione del seno rispetto all’asse y
Riassumendo:
In blu y=sin(x), in rosso y=sin(x+2), in verde y=3sin(x+2)
b) Dilatazioni e traslazioni verticali
Consideriamo la funzione
Qui dobbiamo ricordarci che sommare una costante all’espressione funzione comporta una traslazione verticale, quindi non fatevi ingannare da questo esempio;
svolgendo la moltiplicazione vi renderete conto di come tutti passaggi siano già noti.
b.1) Partiamo dal grafico del seno.
b.2) Spostiamo il grafico verticalmente di 2 unità sommando un +2 all’espressione della funzione.
b.3) Moltiplichiamo l’espressione della funzione per 2, il che comporta una dilatazione lungo l’asse delle ordinate.
In modo del tutto equivalente avremmo potuto sviluppare il prodotto nell’espressione analitica della funzione, considerando quindi
per poi applicare l’usuale ragionamento.
Grafico della funzione y=2(sin(x)+2).
2.) Grafico intuitivo di funzioni con il coseno
Traslazioni e moduli
Il coseno si comporta rispetto al prodotto e alla somma di costanti esattamente come il seno, dunque consideriamo sin da subito un esempio un po’ più elaborato rispetto ai precedenti:
2.1) Tracciamo il grafico del coseno: cos(x)
2.2) Consideriamo la somma nell’argomento del coseno, dunque 
il grafico si sposta a destra di 3 unità.
2.3) Ora è il momento di sommare la costante +5 all’espressione della funzione.
Ne consegue una traslazione verso l’alto di 5 unità.
2.4) Applichiamo il valore assoluto all’espressione della funzione appena scritta: poiché essa è positiva 
il modulo, che ribalta sopra l’asse x la parte negativa del grafico,
in questo caso non ha alcun effetto.
Riassumendo:
In blu y=cos(x), in rosso y=cos(x-3), in verde y=cos(x-3)+5=|cos(x-3)+5|.
c) Moduli e traslazioni
Consideriamo infine la funzione
In questo caso, dopo aver traslato orizzontalmente il coseno dobbiamo calcolarne il modulo, e successivamente traslarlo verso l’alto di 5.
c.1) Partiamo dal grafico del coseno.
c.2) Disegniamo il grafico del coseno traslato verso destra di 3 unità
c.3) Passiamo al modulo applicato all’intera funzione, per cui ribaltiamo simmetricamente il grafico rispetto all’asse delle x.
c.4) Sommiamo la costante positiva all’immagine della funzione, per cui ne consegue una traslazione verso l’alto di 5 unità.
Sovrapponendo tutti i grafici ricaviamo:
In blu y=cos(x), in rosso y=cos(x-3), in verde y=|cos(x-3)|, in grigio y=|cos(x-3)|+5.
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Link Lezione precedente
Esercitazione
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