Salvatore Di Lucia
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“Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.”
(Alfréd Rényi)
Funzione pari, funzione dispari
Una funzione pari è una funzione tale per cui f(-x) = f(x),
e che quindi assume valori simmetrici rispetto all’asse delle ordinate;
una funzione dispari è una funzione tale per cui f(-x) = -f(x)
e che quindi assume valori simmetrici rispetto all’origine.
Sebbene i termini funzione pari e funzione dispari siano decisamente poco intuitivi, in realtà è sufficiente capire la definizione per potere stabilire con certezza se una funzione è pari o dispari, o nessuna delle due cose.
Lo scopo di questa lezione consiste nel fornire le definizioni formali e spiegarne il significato nel dettaglio, mediante opportuni esempi.
Definizioni di funzione pari e dispari
Per introdurre le definizioni di parità e disparità di una funzione non possiamo prescindere dal concetto di simmetria di un insieme reale rispetto allo zero.
Consideriamo una funzione
e immaginiamo di rappresentare il dominio Dom(f) su una retta orientata, avendo cura di indicare il valore x = 0.
Se vi ricordate cos’è la simmetria rispetto a un punto, capirete in un istante qual è la proprietà che caratterizza un insieme reale simmetrico rispetto all’origine (il valore zero).
Con questa premessa diremo che:
• 
è una funzione pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all’origine e se vale la proprietà
• è una funzione dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all’origine e se vale la proprietà
• Nel caso non dovesse sussistere alcuna delle precedenti condizioni, diremo che la funzione considerata non è né pari né dispari.
Al di là delle condizioni algebriche che contraddistinguono le funzioni pari e le funzioni dispari, è importante ricordare che le definizioni di parità e disparità non possono prescindere dalla simmetria del dominio rispetto all’origine.
Per questo motivo la prima ipotesi che dovremo verificare sarà proprio quella relativa alla simmetria del dominio:
se essa sussiste procederemo con il controllo della condizione algebrica,
in caso contrario concluderemo che la funzione in esame non è né pari né dispari.
Esempi di funzioni pari e dispari
Applichiamo le definizioni in alcuni esempi per stabilire se le funzioni proposte sono pari o dispari.
I) Consideriamo
La funzione è pari, infatti è definita su tutto R che è un insieme evidentemente simmetrico rispetto all’origine, e inoltre
Grafico :
La funzione non è dispari, infatti
Quindi 
Si noti che nella verifica della condizione algebrica abbiamo effettuato la valutazione della funzione sostituendo -x in luogo di x.
Onde evitare banali errori di distrazioni vi consigliamo di ricorrere alle parentesi e di scrivere meccanicamente (-x) in luogo di x.
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II) Sia
Anche in questo caso abbiamo a che fare con una funzione polinomiale, pertanto definita su 
, quindi ha senso procedere con il controllo delle condizioni algebriche che definiscono la parità e la disparità.
La funzione non è pari, poiché
La funzione é dispari, infatti
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III) La funzione
è definita su tutto R, per cui possiamo procedere con la verifica della condizione algebrica.
La funzione non è pari, perché
La funzione non è dispari, infatti
Concludiamo quindi che
la funzione non è né pari né dispari.
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IV) La funzione logaritmica
ha dominio 
,
pertanto non è né pari né dispari.
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V) La funzione coseno
è pari,
infatti è definita sull’intero asse reale e
inoltre dalle formule degli archi associati
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VI) La funzione seno
è dispari, infatti è definita su tutto R e inoltre
Attenzione:
non basta escludere un caso per poter affermare l’altro.
In sostanza non si può concludere che una funzione è pari mostrando che non è dispari,
né si può concludere che una funzione è dispari mostrando che non è pari.
Bisogna sempre controllare entrambe le definizioni!
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Proprietà delle funzioni pari e dispari
Dopo aver fornito le definizioni di funzione pari e di funzione dispari procediamo con l’elenco delle proprietà più importanti di cui esse godono, e per non appesantire troppo la lezione ne omettiamo le dimostrazioni
(che possono essere tranquillamente prodotte dallo Studente per esercizio).
Non sottovalutiamo queste proprietà perché possono tornare davvero utili nel prosieguo dello studio dell’Analisi matematica.
Qualche esempio?
Possono semplificare notevolmente lo studio di una funzione
o ancora il calcolo di un integrale.
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Qui di seguito considereremo due funzioni entrambe definite su un insieme simmetrico rispetto all’origine 
:
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1.) Parità e disparità della funzione nulla
f(x) è una funzione pari e dispari su D se e solo se
f(x) è identicamente nulla su D.
2.) Operazioni con le funzioni pari
In riferimento alle operazioni tra funzioni,
se f(x) e g(x) sono funzioni pari su D allora:
– la funzione somma 
è una funzione pari;
– la funzione differenza 
è una funzione pari;
– la funzione prodotto 
è una funzione pari;
– la funzione quoziente 
è una funzione pari.
– indipendentemente dal valore della costante reale non nulla 
la funzione 
è una funzione pari.
Se c fosse uguale a 0
la funzione sarebbe identicamente nulla ed è dunque sia pari che dispari.
3.) Operazioni con le funzioni dispari
Se f(x) e g(x) sono funzioni dispari su D allora:
– la funzione somma è una funzione dispari;
– la funzione differenza 
è una funzione dispari;
– la funzione prodotto 
è una funzione pari;
– la funzione quoziente 
è una funzione pari.
– indipendentemente dal valore della costante reale non nulla 
, la funzione 
è una funzione dispari.
Se c fosse uguale a 0
allora la funzione sarebbe identicamente nulla che è sia pari che dispari.
4.) Operazioni tra funzioni pari e funzioni dispari
Se f(x) è una funzione pari e g(x) è una funzione dispari su D,
entrambe non identicamente nulle,
allora:
– la funzione somma 
non è né pari né dispari;
– la funzione differenza 
non è né pari né dispari;
– la funzione prodotto è una funzione dispari;
– la funzione quoziente è una funzione dispari.
Tutte le proprietà elencate si dimostrano applicando pedissequamente le definizioni di funzione pari e dispari.
Nella lezione successiva –
interpretazione geometrica della parità e della disparità di una funzione –
vedremo che
le nozioni di parità e di disparità giocano un ruolo rilevante nel momento in cui si deve effettuare lo studio di una funzione.
In particolare scopriremo che se abbiamo la fortuna di lavorare con una funzione pari o dispari, allora ci possiamo risparmiare un sacco di lavoro.
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Link Lezione precedente
Esercitazione
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