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Funzione pari, funzione dispari

03 Mag

Salvatore Di Lucia

°°°°°

“Se mi sento triste, faccio matematica per essere felice. Se sono felice, faccio matematica per restare felice.”
(Alfréd Rényi)

Funzione pari, funzione dispari

Una funzione pari è una funzione tale per cui f(-x) = f(x),

e che quindi assume valori simmetrici rispetto all’asse delle ordinate;

una funzione dispari è una funzione tale per cui f(-x) = -f(x)

e che quindi assume valori simmetrici rispetto all’origine.

Sebbene i termini funzione pari e funzione dispari siano decisamente poco intuitivi, in realtà è sufficiente capire la definizione per potere stabilire con certezza se una funzione è pari o dispari, o nessuna delle due cose.

Lo scopo di questa lezione consiste nel fornire le definizioni formali e spiegarne il significato nel dettaglio, mediante opportuni esempi.

Definizioni di funzione pari e dispari

Per introdurre le definizioni di parità e disparità di una funzione non possiamo prescindere dal concetto di simmetria di un insieme reale rispetto allo zero.

Consideriamo una funzione

e immaginiamo di rappresentare il dominio Dom(f) su una retta orientata, avendo cura di indicare il valore x = 0.

Se vi ricordate cos’è la simmetria rispetto a un punto, capirete in un istante qual è la proprietà che caratterizza un insieme reale simmetrico rispetto all’origine (il valore zero).

Con questa premessa diremo che:

•    è una funzione pari se il suo dominio è simmetrico rispetto all’origine e se vale la proprietà

•   è una funzione dispari se il suo dominio è simmetrico rispetto all’origine e se vale la proprietà

• Nel caso non dovesse sussistere alcuna delle precedenti condizioni, diremo che la funzione considerata non è né pari né dispari.

Al di là delle condizioni algebriche che contraddistinguono le funzioni pari e le funzioni dispari, è importante ricordare che le definizioni di parità e disparità non possono prescindere dalla simmetria del dominio rispetto all’origine.

Per questo motivo la prima ipotesi che dovremo verificare sarà proprio quella relativa alla simmetria del dominio:

se essa sussiste procederemo con il controllo della condizione algebrica,

in caso contrario concluderemo che la funzione in esame non è né pari né dispari.

Esempi di funzioni pari e dispari

 Applichiamo le definizioni in alcuni esempi per stabilire se le funzioni proposte sono pari o dispari.

 I) Consideriamo

La funzione è pari, infatti è definita su tutto R che è un insieme evidentemente simmetrico rispetto all’origine, e inoltre

Grafico :

La funzione non è dispari, infatti

Quindi

Si noti che nella verifica della condizione algebrica abbiamo effettuato la valutazione della funzione sostituendo -x in luogo di x.

Onde evitare banali errori di distrazioni vi consigliamo di ricorrere alle parentesi e di scrivere meccanicamente (-x) in luogo di x.

°°°°°

II) Sia

Anche in questo caso abbiamo a che fare con una funzione polinomiale, pertanto definita su , quindi ha senso procedere con il controllo delle condizioni algebriche che definiscono la parità e la disparità.

La funzione non è pari, poiché

La funzione é dispari, infatti

°°°°°

III) La funzione

è definita su tutto R, per cui possiamo procedere con la verifica della condizione algebrica.

La funzione non è pari, perché

La funzione non è dispari, infatti

Concludiamo quindi che

la funzione non è né pari né dispari.

°°°°°

IV) La funzione logaritmica

ha dominio  ,

pertanto non è né pari né dispari.

°°°°°

V) La funzione coseno

è pari,

infatti è definita sull’intero asse reale e

inoltre dalle formule degli archi associati

°°°°°

VI) La funzione seno

è dispari, infatti è definita su tutto R e inoltre

Attenzione:

non basta escludere un caso per poter affermare l’altro.

In sostanza non si può concludere che una funzione è pari mostrando che non è dispari,

né si può concludere che una funzione è dispari mostrando che non è pari.

Bisogna sempre controllare entrambe le definizioni!

°°°°°

Proprietà delle funzioni pari e dispari

Dopo aver fornito le definizioni di funzione pari e di funzione dispari procediamo con l’elenco delle proprietà più importanti di cui esse godono, e per non appesantire troppo la lezione ne omettiamo le dimostrazioni

(che possono essere tranquillamente prodotte dallo Studente per esercizio).

Non sottovalutiamo queste proprietà perché possono tornare davvero utili nel prosieguo dello studio dell’Analisi matematica.

Qualche esempio?

Possono semplificare notevolmente lo studio di una funzione

o ancora il calcolo di un integrale.

°°°°°

Qui di seguito considereremo due funzioni entrambe definite su un insieme simmetrico rispetto all’origine  :

°°°°°

1.) Parità e disparità della funzione nulla

f(x) è una funzione pari e dispari su D se e solo se

f(x) è identicamente nulla su D.

2.) Operazioni con le funzioni pari

In riferimento alle operazioni tra funzioni,

se f(x) e g(x) sono funzioni pari su D allora:

– la funzione somma   è una funzione pari;

– la funzione differenza   è una funzione pari;

– la funzione prodotto   è una funzione pari;

– la funzione quoziente   è una funzione pari.

– indipendentemente dal valore della costante reale non nulla la funzione   è una funzione pari.

Se c fosse uguale a 0

la funzione sarebbe identicamente nulla ed è dunque sia pari che dispari.

3.) Operazioni con le funzioni dispari

Se f(x) e g(x) sono funzioni dispari su D allora:

– la funzione somma  è una funzione dispari;

– la funzione differenza  è una funzione dispari;

– la funzione prodotto  è una funzione pari;

– la funzione quoziente  è una funzione pari.

– indipendentemente dal valore della costante reale non nulla , la funzione  è una funzione dispari.

Se c fosse uguale a 0

allora la funzione sarebbe identicamente nulla che è sia pari che dispari.

4.) Operazioni tra funzioni pari e funzioni dispari

Se f(x) è una funzione pari e g(x) è una funzione dispari su D,

entrambe non identicamente nulle,

allora:

– la funzione somma   non è né pari né dispari;

– la funzione differenza   non è né pari né dispari;

– la funzione prodotto    è una funzione dispari;

– la funzione quoziente  è una funzione dispari.

Tutte le proprietà elencate si dimostrano applicando pedissequamente le definizioni di funzione pari e dispari.

Nella lezione successiva –

interpretazione geometrica della parità e della disparità di una funzione –

vedremo che

le nozioni di parità e di disparità giocano un ruolo rilevante nel momento in cui si deve effettuare lo studio di una funzione.

In particolare scopriremo che se abbiamo la fortuna di lavorare con una funzione pari o dispari, allora ci possiamo risparmiare un sacco di lavoro.

°°°°°

Link Lezione precedente

Link Lezione successiva

Segue Esercitazione

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Pubblicato da su 3 Maggio 2024 in ANALISI MATEMATICA I, MATEMATICA

 

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Tipi di funzione

19 Dic

°°°°°

Funzioni Suriettive, Iniettive e Biunivoche

Consideriamo

la funzione f:X\to Y di dominio X e

codominio Y

Sappiamo dalla definizione di funzione che

ad ogni x del dominio X corrisponde una e una sola y del codominio Y.

Tuttavia il viceversa non è vero in generale e dunque possiamo caratterizzare le funzioni in relazione alle diverse corrispondenze che gli elementi del codominio possono avere con gli elementi del dominio.

Valgono le seguenti definizioni:

°°°°°

Funzione iniettiva

Definizione

La funzione f si dice iniettiva se

\forall x_1,x_2 \in X \mbox{ con } x_1\neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2).

Equivalentemente possiamo usare la contronominale:

La funzione f si dice iniettiva se

\forall x_1,x_2 \in X \mbox{ per cui } f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1 = x_2.

Il concetto rilevante è il seguente

Se f è iniettiva, allora ad ogni y corrisponde al più una x.

Tale concetto può essere formalizzato ricordando la nozione di controimmagine:

Ricordiamo che, dato un elemento y\in Y, la sua controimmagine è definita dall’insieme

   \[f^{-1}(\{y\}) = \{x\in X: \exists y\in Y \mbox{ per cui } f(x) \in \{y\}\} = \{x\in X: \exists y\in Y \mbox{ per cui } f(x) = y\} .\]

Allora si ha la seguente

Definizione equivalente

Una funzione f:X\to Y è iniettiva

se e solo se per ogni y\in Y, l’insieme f^{-1}(\{y\}) contiene al più un elemento.

Esempio 1

La funzione rappresentata graficamente qui sotto è iniettiva perché comunque io prenda x_i\neq x_j nel dominio X, i\neq j con i,j=1,2,3,4, le immagini corrispondenti f(x_i) e f(x_j) sono diverse tra loro.

funzione iniettiva

°°°°°

Funzione suriettiva

Definizione

La funzione f si dice suriettiva se f(X)=Y,

ossia

se l’immagine di f coincide con il codominio (si osservi che in generale f(X)\subseteq Y).

Il concetto rilevante è il seguente

Se f è suriettiva, allora ad ogni y corrisponde almeno una x.

Tale concetto può essere formalizzato ricordando la nozione di controimmagine:

Definizione equivalente

Una funzione f:X\to Y è suriettiva se e solo se per ogni y\in Y, l’insieme f^{-1}(\{y\}) contiene almeno un elemento.

Esempio 2

Sia X=\{x_1, x_2, x_3, x_4\}.

La funzione rappresentata graficamente qui sotto è suriettiva

poiché tutti i punti del dominio X sono associati a tutti i punti del codominio Y.

funzione suriettiva

°°°°°

Funzione Biunivoca o biettiva

Definizione

La funzione f si dice biunivoca (o biettiva) se è suriettiva e iniettiva.

Il concetto rilevante è il seguente

Se f è biunivoca, allora ad ogni y corrisponde una e una sola x.

Tale concetto può essere formalizzato ricordando la nozione di controimmagine:

Definizione equivalente

Una funzione f:X\to Y è biunivoca se e solo se per ogni y\in Y, l’insieme f^{-1}(\{y\}) contiene esattamente un elemento.

Esempio 3

La funzione rappresentata nel grafico qui sotto è biunivoca.

Infatti si può facilmente osservare che

l’immagine del dominio corrisponde a tutto il codominio e che la definizione di iniettività è soddisfatta.

funzione biunivoca

°°°°°

Funzioni pari e dispari

Le funzioni pari e le funzioni dispari sono particolari tipi di funzioni simmetriche.

La ricerca di informazioni sull’eventuale simmetria di una funzione non è di per sé un’attività obbligatoria se lo scopo è quello di determinare le informazioni tipiche di uno studio di funzione o se vogliamo semplicemente disegnare il grafico della funzione oggetto di studio.

Tuttavia scoprire che una funzione è simmetrica può essere davvero utile per semplificare lo studio della stessa.

Nel caso delle funzioni pari e dispari ci basterà infatti studiare ciò che accade nel semiasse positivo delle ascisse.

Funzione pari

Una funzione f si dice pari se

    \[f(-x)=f(x) \mbox{ per ogni } x\in Dom(f).\]

funzione pari

Una funzione pari è una funzione che è simmetrica rispetto l’asse verticale delle ordinate.

In tal caso l’asse delle y è l’asse di simmetria per la funzione.

Esempio 1

Ogni polinomio nella cui formula analitica compaiono solo esponenti pari è una funzione pari.

Sia P(x) = x^8 - 3x^4 + 2x^2. Allora P è pari,

infatti

    \[P(-x) = (-x)^8 - 3(-x)^4 + 2(-x)^2 = x^8 - 3x^4 + 2x^2 = P(x).\]

Esempio 2

La funzione \cos x è pari.

Infatti\[\cos(-x) = \cos (0-x) = \cos(0)\cos(x) + \sin(0)\sin(x) = \cos(x),\]

dove abbiamo usato la formula del coseno della differenza tra due angoli

\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta

Funzione dispari

Una funzione f si dice dispari se

    \[f(-x)=-f(x) \mbox{ per ogni } x\in Dom(f).\]

funzione dispari

Una funzione dispari è una funzione simmetrica rispetto l’origine.

In tal caso la funzione è dotata di due assi di simmetrie, ossia la bisettrice del 1° e 3° quadrante e la bisettrice del 2° e 4° quadrante.

Esempio 3

Ogni polinomio nella cui formula analitica compaiono solo esponenti dispari è una funzione dispari.

Sia P(x) = x^11 - 2x^5 + 4x^3. Allora P è dispari,

infatti

    \[P(-x) = (-x)^11 - 2(-x)^5 + 4(-x)^3 = -x^11 + 2x^5 -4x^3 = -P(x).\]

Esempio 4

La funzione \sin x è dispari.

Infatti

    \[\sin(-x) = \sin (0-x) = \sin(0)\cos(x) - \sin(x)\cos(0) = -\sin(x),\]

dove abbiamo usato la formula del seno della differenza tra due angoli

\sin(\alpha-\beta) = \sin\alpha \cos\beta - \sin\beta \cos\alpha

Condizione necessaria per la parità\disparità di una funzione

Come abbiamo visto

una funzione pari oppure dispari è una funzione simmetrica rispetto all’origine.

Da ciò consegue che una funzione il cui dominio non sia simmetrico non può essere né pari né dispari!

Pertanto

condizione necessaria affinché una funzione f sia pari\dispari è che Dom_f sia simmetrico.

Ad esempio ha senso valutare parità e disparità per funzioni i cui domini sono del tipo

 \[\mathbb{R} \mbox{ oppure }(-M,M)\mbox{ oppure } (-a,-b) \cup (b,a)\]

mentre non ha nemmeno senso valutare la parità e la disparità per funzioni i cui domini sono del tipo

\[(a,b) \mbox{ con } a\neq -b\]

Teoremi sulle funzioni pari e dispari

Prodotto e rapporto tra funzioni pari\dispari

Siano f,g  due funzioni,

p la funzione prodotto definita da p(x) = f(x)g(x) e

r la funzione rapporto definita da r(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

(evidentemente quando studiamo il rapporto dobbiamo supporre g(x)\neq 0 .

Mostriamo se e come varia la parità delle funzioni p e r al variare della parità delle funzioni di partenza f e g:

1.) Il prodotto o il rapporto tra due funzioni pari è ancora una funzione pari.

Infatti

    \[p(-x) = f(-x)g(-x) = f(x)g(x) = p(x)\]

e

    \[r(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{f(x)}{g(x)} = r(x);\]

2.) Il prodotto tra una funzione pari e una funzione dispari è una funzione dispari.

Infatti, supponendo (senza perdita di generalità) che f sia dispari e g sia pari, si ha che

    \[p(-x) = f(-x)g(-x) = -f(x)g(x) = -p(x)\]

e

    \[r(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{g(x)} = - r(x);\]

 

3.) Il prodotto e il rapporto tra due funzioni dispari è una funzione pari. Infatti

    \[p(-x) = f(-x)g(-x) = [-f(x)][-g(x)] = f(x)g(x) = p(x)\]

e

    \[r(-x) = \frac{f(-x)}{g(-x)} = \frac{-f(x)}{-g(x)} = r(x).\]

Un modo semplice per ricordarsi le proprietà dimostrate sopra è quello di compiere le associazioni + = \mbox{pari} e - = \mbox{dispari}.

Il prodotto\rapporto tra due funzioni pari (+) è ancora pari (+), così come è positivo il prodotto\rapporto tra due numeri positivi.

Analogamente,

il prodotto\rapporto tra una funzione pari (+) e una funzione dispari (-) dà luogo a una funzione dispari (-) esattamente come il prodotto\rapporto tra un numero positivo e uno negativo è un numero negativo.

Esattamente allo stesso modo si può pensare ad un’associazione simile per il terzo caso.

Somma e differenza di funzioni pari\dispari

Siano f e g due funzioni,

s la funzione somma definita da s(x) = f(x)+g(x)

e

d la funzione differenza definita da d(x) = f(x)- g(x)

Allora

1.) Somma o differenza tra due funzioni pari è una funzione pari.

Infatti

    \[s(-x) = f(-x) + g(-x) = f(x)+g(x) = s(x)\]

e

    \[d(-x) = f(-x) - g(-x) = f(x) - g(x) = d(x).\]

2.) Se una delle due funzioni è pari e l’altra è dispari,

in generale la funzione somma e la funzione differenza non sono né pari né dispari;

3.) Somma o differenza tra due funzioni dispari è una funzione dispari.

Infatti

    \[s(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x)-g(x) = - [f(x) + g(x)] = -s(x)\]

e

    \[d(-x) = f(-x) - g(-x) = -f(x) + g(x) = - [f(x) - g(x)]=d(x).\]

Funzione periodica

Le funzioni periodiche, come lascia intuire il nome, sono funzioni le cui proprietà e il cui grafico possono determinate studiando solo una piccola porzione del loro dominio.

Questa porzione di dominio prende il nome di periodo.

Vediamo di definire rigorosamente cosa sia una funzione periodica.

Definizione

Una funzione f è detta periodica se esiste un numero T tale per cui

\[f(x+T) = f(x) \mbox{ per ogni } x\in Dom(f).\]

Possiamo generalizzare la definizione dicendo che f è periodica se esiste un numero T tale per cui    

\[f(x+kT) = f(x) \mbox{ per ogni } x\in Dom(f), k\in \mathbb{Z}.\]

In entrambi i casi, il numero T è detto periodo della funzione periodica f.

funzione periodica

Gli esempi più semplici di funzioni periodiche sono le funzioni goniometriche.

Infatti

\sin x e \cos x sono periodiche di periodo T=2\pi

e

le funzioni \tan x e \mbox{cotan} x sono anch’esse periodiche, questa volta di periodoT= \pi.

Le funzioni goniometriche però non sono le uniche funzioni periodiche.

Per poter fare un esempio di funzione periodica non goniometrica ricordiamo cosa sia la parte intera di x, indicata con \lfloor x \rfloor.

La parte intera (inferiore) di un numero x è il più grande intero minore di x. In linguaggio matematico

    \[\lfloor x \rfloor = \max \{k\in\mathbb{Z}: k\le x\}.\]

Così, ad esempio, \lfloor -3,2\rfloor = - 4, \lfloor 7,9\rfloor = 7.

Ricordata la funzione intera, siamo ora in grado di definire la funzione mantissa

f(x) = x - \lfloor x \rfloorQuesta funzione è periodica, di periodo T= 1.

Si può infatti osservare che \lfloor x +1 \rfloor = \lfloor x \rfloor + 1 per ogni x\in \mathbb{R}.

Così

\[f(x+1) = x+1 - \lfloor x +1 \rfloor = x+1 - \lfloor x \rfloor - 1 = x - \lfloor x \rfloor = f(x).\]

Il grafico della funzione mantissa è il seguente:

funzione mantissa

Lista di funzioni

In matematica, parecchie funzioni sono abbastanza importanti, in termini di applicazioni e di collegamenti con altre entità matematiche, da meritare un proprio nome ed un proprio simbolo.

Questa pagina è dedicata a un elenco di funzioni matematiche.

Esiste una vasta teoria delle funzioni speciali sviluppatasi a partire della trigonometria

e

successivamente dalle esigenze della fisica matematica.

Attualmente si riscontra un punto di vista astratto che considera spazi di funzioni ad infinite dimensioni i cui elementi sono in maggioranza funzioni ‘anonime’ caratterizzate da proprietà ed il punto, che si contrappone allo studio delle funzioni speciali definite con costruzioni specifiche o definite imponendo proprietà come la simmetria, e quindi in relazione con l’analisi armonica e le rappresentazioni dei gruppi.

Tra le funzioni speciali giocano ruoli particolari i

polinomi ortogonali.

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Classi di funzioni

Funzioni elementari

  • Funzione vuota: è una funzione che possiede per dominio l’insieme vuoto

  • Funzione indicatrice (o caratteristica): è una funzione definita su un insieme  usata per indicare l’appartenenza di un elemento ad un sottoinsieme  di . In particolare vale  se e solo se l’elemento  di  appartiene anche ad , altrimenti vale .

  • Funzione segno: restituisce il segno dell’argomento ( o ). In  vale .

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Funzioni polinomiali

Funzioni periodiche elementari

Funzioni trascendenti elementari

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Funzioni speciali

Primitive di funzioni elementari

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Funzione ellittica e relative

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Funzione Gamma di Eulero e relative

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Funzioni Theta e relative

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Funzione Zeta di Riemann e relative

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Funzioni di Bessel e relative

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Funzioni ipergeometriche e relative

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Altre funzioni

Funzioni omogenee

Funzioni relative alla teoria dei numeri

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Altro

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Segue Esercitazione

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Pubblicato da su 19 dicembre 2010 in MATEMATICA

 

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