RSS

FUNZIONE ARMONICA

30 Giu

FUNZIONE ARMONICA

In analisi matematica,

una funzione armonica indica una funzione f: U \to \mathbb R definita su un dominio U\subset \mathbb R^n che sia derivabile parzialmente due volte e che soddisfi l’equazione di Laplace, cioè tale che

\sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f(x) } {\partial x_i^2} = 0, \quad \forall x \in U.

Le funzioni armoniche sono importanti in molti aspetti della matematica e della fisica, e sono l’oggetto principale dell’analisi armonica.

Esempio

La funzione

f(x, y) = ekx sin(ky)

definita su un qualsiasi aperto di  \R^2 , è armonica. Infatti

\frac{\partial f}{\partial x} = k e^{kx} \sin(ky), \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = k^2 \sin(ky) e^{kx}

\frac{\partial f}{\partial y} = k e^{kx} \cos(ky), \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = -k^2 \sin(ky) e^{kx}

e la somma delle derivate parziali seconde è sempre 0.

Proprietà del valor medio

Ogni funzione armonica soddisfa la proprietà del valor medio.

Si fissi un dominio U\,\! e sia f \in C^2(U) una funzione armonica.

Si indichi \omega_n\,\! il volume della palla unitaria in \mathbb R^n\,\!.

Allora per ogni palla chiusa di raggio R e centro y, che denotiamo B=B_R(y)\,\!, vale la seguente uguaglianza:

f(y)=\frac{1}{n \omega_n R^{n-1}}\oint_{\partial B} f(x) ds.

Inoltre vale anche

f(y)=\frac{1}{\omega_n R^n} \int_B f(x) dx.

Dimostrazione:

Si fissi \rho\in (0,R). Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale \nabla f si ottiene

\oint_{\partial B_\rho} \frac{\partial f(x)}{\partial \nu} ds = \int_{B_\rho}\Delta f(x)dx=0.

Si passi dalle coordinate cartesiane (x, y) a quelle polari (r,ω), con r = | x − y | , \omega=\frac{x-y}{r}.

Quindi f(x) = f(y + rω) e si verifica.

\oint_{\partial B_\rho} f(x) ds=\oint_{\partial B_\rho} f(y+r \omega) ds.

Calcoliamo l’integrale della derivata normale di f.

Riscalando rispetto ad ω si ottiene

\oint_{\partial B_\rho} \frac{\partial f(y+r \omega)}{\partial \nu} ds = \rho^{n-1}\int_{|\omega|=1} \frac{\partial f(y+r\omega)}{\partial r} d\omega .

È possibile scambiare derivata e integrale, quindi

\rho^{n-1}\int_{|\omega|=1} \frac{\partial f(y+r\omega)}{\partial r} d\omega =\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho} \int_{|\omega|=1} f(y+r\omega) d\omega.

Per concludere, si torni all’integrale di superficie

\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho} \int_{|\omega|=1} f(y+r\omega) d\omega =\rho^{n-1}\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho^{1-n} \oint_{\partial B_\rho} u(x) ds)

Se ne deduce che per ogni ρ si ha \rho^{1-n} \int_{\partial B_\rho} f(x) ds= R^{1-n} \int_{\partial B_\rho} f(x) ds

Passando al limite per \rho \to 0 si ottiene la prima uguaglianza. La seconda si ottiene integrando rispetto a ρ.

Principio del massimo

Il principio del massimo è, forse, la proprietà più importante della funzioni armoniche.

Esso afferma che massimi e minimi stretti di una funzione armonica, se esistenti, vengono assunti al bordo.

Più precisamente, si consideri f:U \to \mathbb R una funzione armonica, dove U\,\! è un dominio di R^n\,\!.

Si supponga che esista x_0\,\! in U\,\! tale che f(x)\leq f(x_0) per ogni x \in U. Allora f\,\! è costante.

Dimostrazione:

La dimostrazione usa la proprietà del valor medio.

Sia M:=\sup f e si consideri l’insieme U_M:=f^{-1}(M)\,\!.

Per ipotesi, esso è non vuoto, ed è chiuso in U\,\! per la continuità di f\,\!.

Si consideri adesso la funzione f-M\,\!. Essa è negativa ed armonica.

Si scelga una palla B_R(x_0)\subset U e si applichi la proprietà del valor medio a f-M\,\!.

Si ottiene

0=f(x_0)-M =\frac{1}{\omega_n R^n}\int_{B_R(x_0)} (f(x)-M) dx

Dato che l’integrando è negativo, l’uguaglianza è soddisfatta se e solo se f(x)=M\,\! nella palla B_R(x_0)\,\!.

Quindi B_R(x_0)\subset U_M, cioè U_M\,\! è aperto in U\,\!.

Ne consegue U_M=U\,\!.

Armonicità delle funzioni complesse analitiche

Nel caso di funzioni di variabile complessa, il concetto di funzione armonica entra come particolare teorema soddisfatto dalle funzioni analitiche.

Sia infatti f(x + iy) = ω(z) = u(x,y) + iv(x,y) una funzione analitica.

Allora sia la u(x,y) che la v(x,y) sono funzioni armoniche delle due variabili x e y:

\begin{cases}\frac {\partial^2 u(x,y)} {\partial x^2}+\frac {\partial^2 u(x,y)} {\partial y^2} = 0 \\ \frac {\partial^2 v(x,y)} {\partial x^2}+\frac {\partial^2 v(x,y)} {\partial y^2} = 0 \end{cases}

Dimostrazione:

Basta calcolare le derivate seconde delle equazioni di Cauchy – Riemann e confrontarle, ricordando che:

(2) \ u_x = v_y\quad;\quad u_y = - v_x

\begin{cases} u_{xx} = v_{yx} \\ u_{xy} = v_{yy} \\ u_{yx} = - v_{xx} \\ u_{yy} = - v_{xy} \end{cases}

Sommando la prima e l’ultima e la seconda e la terza ed utilizzando il teorema di Schwarz sull’invertibilità delle derivate parziali:

(3) \ \begin{cases} u_{xx} + u_{yy} = 0 \\ v_{xx} + v_{yy} =0\end{cases}

c.v.d.

Abbiamo così un importante teorema:

date due funzioni u e v armoniche in un aperto D che soddisfano le condizioni di Cauchy-Riemann allora v è detta armonica coniugata di u, ma non è vero il contrario.

Una conseguenza di questo teorema è che una funzione è analitica in un aperto D del piano complesso se e solo se v è l’armonica coniugata di u.

Ciò significa che una funzione analitica può essere costruita a partire dall’assegnazione della sua parte reale u(x,y) e ricavando la sua parte immaginaria a meno di una costante.

Vediamo come calcolare l’armonica coniugata di una funzione u(x, y) con un esempio.

Sia u(x, y) = y3 − 3x2y.

Questa funzione è armonica poiché:

uxx + uyy = − 6y + 6y = 0

Volendo trovare l’armonica coniugata v(x,y), utilizziamo le condizioni di Cauchy-Riemann: ux = vy, dunque:

ux = − 6xy = vy

Possiamo integrare questa vy mantenendo fissata la variabile x (cioè considerandola come una costante):

v(x,y) = \int - 6 x y \, dy = - 3 x y^2 + \phi(x)

dove φ(x) è una funzione arbitraria dipendente da x.

Ora utilizziamo la condizione di Cauchy-Riemann uy = − vx, per farlo deriviamo v(x, y) ottenuta per integrazione rispetto a x:

vx = − 3y2 + φ‘(x)

e calcoliamo la derivata uy dalla funzione di partenza:

uy = 3y2 − 3x2

quindi uguagliamo e ricaviamo il valore di φ(x):

3 y^2 - 3 x^2 = 3 y^2 - \phi^{'} (x) \; \rightarrow \; \phi^{'} (x) = 3 x^2

dalla quale per integrazione:

φ(x) = x3 + C

dove C è la costante di integrazione. Abbiamo terminato:

v(x,y) = − 3xy2 + x3 + C

cioè abbiamo ricavato l’armonica coniugata di u(x, y) a meno di una costante C; in tal modo la funzione:

f(z) = u(x,y) + iv(x,y) = (y3 − 3x2y) + i(x3 − 3xy2 + C)

è una funzione analitica uguale a f(z) = i(z3 + C).

°°°°°

 
Lascia un commento

Pubblicato da su 30 giugno 2011 in MATEMATICA

 

Tag:

Lascia un commento