Dimostrazione (Eulero)

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.

Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che

\left(1+{\frac {1}{n))\right)^{n}<e,

per ogni $n$ intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene

n\,\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)<1,

da cui

\ln \left(1+{\frac {1}{n))\right)<{\frac {1}{n))

e infine

\ln \left(n+1\right)-\ln \left(n\right)<{\frac {1}{n)).

Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a $n$ si ricava

\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k))>\sum _{k=1}^{n}\left(\ln \left(k+1\right)-\ln \left(k\right)\right)=\ln \left(n+1\right)

^[1]

Quest’ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.

Adesso definiamo il prodotto $P$ come

P\left(x\right)=\prod _{p\leq x}\left(1-{\frac {1}{p))\right)^{-1}.

Sapendo che

\left(1-{\frac {1}{p))\right)^{-1}=1+{\frac {1}{p))+{\frac {1}{p^{2))}+{\frac {1}{p^{3))}+...

si ricava

P\left(x\right)=\sum _{n\in A\left(x\right)}{\frac {1}{n)),

dove l’insieme $A$ è definito come

A\left(x\right)=\lbrace n:p|n\Longrightarrow p\leq x\rbrace .

Evidentemente

se $n\leq x$ allora $n\in A\left(x\right)$ quindi

P\left(x\right)>\sum _{n\leq x}{\frac {1}{n))

e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava

P\left(x\right)>\ln \left(x+1\right).

Adesso sapendo che $y>-{\frac {1}{2))\ln \left(1-y\right)$ per ogni $0<y<{\frac {1}{2))$

si ottiene

\sum _{p\leq x}{\frac {1}{p))>-{\frac {1}{2))\sum _{p\leq x}\ln \left(1-{\frac {1}{p))\right)={\frac {1}{2))\ln P\left(x\right)>{\frac {1}{2))\ln \ln x,

dove l’ultimo membro diverge per $x$ tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

°°°°°

Seconda dimostrazione (Eulero)

Eulero fornì anche un’altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica.

Usando l’espansione di questa come prodotto infinito scrisse:

S=\ln \left(\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n))\right)=\ln \left(\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=\sum _{p}\ln \left({\frac {1}{1-p^{-1))}\right)=\sum _{p}-\ln \left(1-{\frac {1}{p))\right),

usando le proprietà dei logaritmi;

quindi espanse la somma come la serie di Taylor di $\ln(1-x)$

S=\sum _{p}\left({\frac {1}{p))+{\frac {1}{2p^{2))}+{\frac {1}{3p^{3))}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p))\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2))}\left({\frac {1}{2))+{\frac {1}{3p))+{\frac {1}{4p^{2))}+\cdots \right).

I termini 1/3p, 1/4p² possono essere maggiorati come:

$S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p))\right)+\sum _{p}{\frac {1}{p^{2))}\left(1+{\frac {1}{p))+{\frac {1}{p^{2))}+\cdots \right)=\left(\sum _{p}{\frac {1}{p))\right)+\left(\sum _{p}{\frac {1}{p(p-1)))\right).$

Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi

$S<\left(\sum _{p}{\frac {1}{p))\right)+C.$

Poiché la somma $S$ cresce come ${\displaystyle \ln \ln {n))$ per $n$ tendente all’infinito, Eulero concluse che

{\frac {1}{2))+{\frac {1}{3))+{\frac {1}{5))+{\frac {1}{7))+{\frac {1}{11))+\cdots +{\frac {1}{p_{n))}\approx \ln \ln {n}.

°°°°°

Terza dimostrazione (Erdős)

La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.

Per assurdo sia $\sum _{p}{\frac {1}{p))<\infty$ allora esiste un numero primo $P$ tale che $\sum _{p>P}{\frac {1}{p))<1/2$

Sia $N>P$ un intero arbitrario, indichiamo con $N_1$ il numero di interi minori o uguali a $N$ che hanno solo fattori primi minori o uguali a $P$ , indichiamo anche ${\displaystyle N_{2}=N-N_{1))$ .

Abbiamo che

N_{2}\leq \sum _{p\geq P}\left\lfloor {\frac {N}{p))\right\rfloor <\sum _{p\geq P}{\frac {N}{p))<{\frac {N}{2)).

Ora stimiamo $N_1$ , scriviamo $k=\pi (P)$ ,

ogni $x\leq N$ si può scrivere nella forma

x=yz^{2},

dove

$y$ è privo di quadrati

e

$z\leq {\sqrt {N))$ ,

se $x$ è divisibile solo per i primi minori o uguali a $P$ , allora lo è anche $y$ .

Ci sono meno di $2^{k}$ possibili scelte per $y$ e meno di ${\sqrt {N))$ scelte per $z$ , da cui

N_{1}\leq 2^{k}{\sqrt {N))

e quindi

N<2^{k}{\sqrt {N))+{\frac {N}{2))

si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l’ennesimo numero primo si ha ${\displaystyle p_{n}\leq 2^{n))$

e

di conseguenza

$\pi (n)\geq {\frac {\ln n}{\ln 2))$

quindi possiamo scegliere

$N=2^{2k+2}>P$

e troviamo

N<2^{k}(2^{k+1})+2^{2k+1}=N

che è assurdo e conclude la dimostrazione.

°°°°°

[1]

L	M	M	G	V	S	D
					1	2
3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16
17	18	19	20	21	22	23
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Archivi giornalieri: 3 Maggio 2021

La serie convergente

La serie convergente

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Un esempio pratico

Altri criteri di convergenza

Per capire se una serie è convergente posso usare anche altri metodi.

Il teorema del confronto

Il teorema degli infinitesimi

Il teorema del rapporto

Il teorema della radice

E così via.

°°°°°

Serie convergente

In matematica,

una serie convergente è una serie tale che il limite delle sue somme parziali è finito.

Questo vuol dire che,

data una successione ,

la serie è convergente se la successione delle somme parziali

ha un limite finito,

cioè

se esiste finito tale che per ogni esiste tale che per ogni

Il numero è detto somma della serie:

spesso è difficile trovare questo numero, sebbene possa essere facile capire che una serie è convergente.

La somma di due serie convergenti è ovviamente ancora convergente, così come la serie prodotta dalla moltiplicazione di una serie per uno scalare;

le serie convergenti formano quindi uno spazio vettoriale sul campo dei numeri reali.

Una serie non convergente non è necessariamente detta divergente,

ad esempio

la serie non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori e e quindi non ammette limite.

Esempi

Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro : ad esempio

Anche la somma dei reciproci dei quadrati converge (trovare il suo limite è stato il famoso problema di Basilea):

Mediante lo sviluppo in serie di Taylor è possibile mostrare che

Una serie non convergente è invece la serie dei reciproci dei numeri primi (dimostrazione):

dove indica l’insieme dei numeri primi.

°°°°°

Dimostrazione della divergenza della serie dei reciproci dei primi

Uno dei primi teoremi della teoria dei numeri dimostrato in modo analitico è la divergenza della serie dei reciproci dei numeri primi, cioè

dove la variabile indica un numero primo.

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Dimostrazione (Eulero)

Per la dimostrazione è necessario un lemma riguardante la serie armonica.

Dalla definizione del numero di Nepero si ricava immediatamente che

per ogni intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene

da cui

e infine

Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a si ricava

Quest’ultima disuguaglianza sarà fondamentale nella dimostrazione della divergenza della somma dei reciproci dei numeri primi.

Adesso definiamo il prodotto come

Sapendo che

si ricava

dove l’insieme è definito come

Evidentemente

se allora quindi

e dalla disuguaglianza ricavata sulla serie armonica si ricava

Adesso sapendo che per ogni

si ottiene

dove l’ultimo membro diverge per tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

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Seconda dimostrazione (Eulero)

Eulero fornì anche un’altra dimostrazione, partendo sempre dalla serie armonica.

Usando l’espansione di questa come prodotto infinito scrisse:

usando le proprietà dei logaritmi;

quindi espanse la somma come la serie di Taylor di

I termini 1/3p, 1/4p2 possono essere maggiorati come:

Il secondo addendo converge perché è minore della corrispondente serie in cui gli addendi sono presi tra tutti i naturali anziché solo tra i primi; quindi

Poiché la somma cresce come per tendente all’infinito, Eulero concluse che

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Terza dimostrazione (Erdős)

La dimostrazione di Erdős fa uso solo di metodi elementari.

Per assurdo sia allora esiste un numero primo tale che

Sia un intero arbitrario, indichiamo con il numero di interi minori o uguali a che hanno solo fattori primi minori o uguali a , indichiamo anche .

Abbiamo che

Ora stimiamo , scriviamo ,

ogni si può scrivere nella forma

dove

è privo di quadrati

e

,

data una successione $a_{i}$ ,

la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i))$ è convergente se la successione delle somme parziali

se esiste finito $S$ tale che per ogni $\varepsilon>0$ esiste $N$ tale che per ogni $n>N$

Il numero $S$ è detto somma della serie:

la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i))$ non è né convergente né divergente, in quanto la sua successione delle somme parziali oscilla tra i valori $0$ e $1$ e quindi non ammette limite.

Un esempio tipico di serie convergente è la serie geometrica di parametro $q<1$ : ad esempio

dove ${\mathbb {P))$ indica l’insieme dei numeri primi.

dove la variabile $p$ indica un numero primo.

per ogni $n$ intero positivo, prendendo il logaritmo di entrambi i membri si ottiene

Considerando adesso la somma dei reciproci di tutti i numeri naturali fino a $n$ si ricava

Adesso definiamo il prodotto $P$ come

dove l’insieme $A$ è definito come

se $n\leq x$ allora $n\in A\left(x\right)$ quindi

Adesso sapendo che $y>-{\frac {1}{2))\ln \left(1-y\right)$ per ogni $0<y<{\frac {1}{2))$

dove l’ultimo membro diverge per $x$ tendente a infinito, quindi la serie dei reciproci dei numeri primi diverge.

quindi espanse la somma come la serie di Taylor di $\ln(1-x)$

I termini 1/3p, 1/4p² possono essere maggiorati come:

Poiché la somma $S$ cresce come ${\displaystyle \ln \ln {n))$ per $n$ tendente all’infinito, Eulero concluse che

Per assurdo sia $\sum _{p}{\frac {1}{p))<\infty$ allora esiste un numero primo $P$ tale che $\sum _{p>P}{\frac {1}{p))<1/2$

Sia $N>P$ un intero arbitrario, indichiamo con $N_1$ il numero di interi minori o uguali a $N$ che hanno solo fattori primi minori o uguali a $P$ , indichiamo anche ${\displaystyle N_{2}=N-N_{1))$ .

Ora stimiamo $N_1$ , scriviamo $k=\pi (P)$ ,

ogni $x\leq N$ si può scrivere nella forma

$y$ è privo di quadrati

$z\leq {\sqrt {N))$ ,

se $x$ è divisibile solo per i primi minori o uguali a $P$ , allora lo è anche $y$ .

Ci sono meno di $2^{k}$ possibili scelte per $y$ e meno di ${\sqrt {N))$ scelte per $z$ , da cui

si dimostra facilmente per induzione e utilizzando il postulato di Bertrand che per l’ennesimo numero primo si ha ${\displaystyle p_{n}\leq 2^{n))$

risulta evidente che le loro serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }b_{i))$ e ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }c_{i))$ sono a termini positivi e convergono, poiché ogni loro termine è minore o uguale del corrispondente termine di $|a_{i}|$ .

Quindi la loro differenza è anch’essa convergente, e quindi la serie originale converge, perché ${\displaystyle a_{i}=b_{i}-c_{i))$

converge a $-\ln 2$ , ma la serie dei valori assoluti

se ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i))$ e ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }b_{i))$ sono due serie a termini positivi tali che ${\displaystyle b_{i}>a_{i))$ per ogni $n$ sufficientemente grande e la seconda serie converge, allora converge anche la prima.

si studia il comportamento della quantità ${\displaystyle {\frac {a_{i+1)){a_{i))))$

al tendere di $i$ a $+\infty$ .

${\displaystyle {\sqrt[{i}]{a_{i))))$ al tendere di $i$ a $+\infty$ .

se questo limite è minore di $1$ la serie converge,

se è uguale a $1$ il criterio fallisce e non dà informazioni sul comportamento della serie.

il quale afferma che se $a_{i}$ è decrescente e tende a $0$ ,

la serie ${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}a_{i))$ converge.