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In questa lezione vediamo:
la definizione di insieme misurabile
la definizione di misura,
la definizione l’insieme di misura nulla
la definizione le proprietà degli integrali su insiemi misurabili.
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Insieme misurabile e misura
Un insieme Ω ⊆ R2 si dice misurabile secondo Peano-Jordan se f(x, y) = 1 è integrabile su Ω.
Quindi Ω è misurabile se riusciamo ad integrare un “1” in dx dy.
Se è misurabile la sua misura
si calcola così:
In pratica,
stiamo calcolando l’area dell’insieme Ω.
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teorema: insieme regolare ed insieme misurabile
Abbiamo visto nella lezione scorsa la definizione di insieme regolare:
è un insieme formato da un numero finito di sottoinsiemi semplici.
Il teorema è il seguente:
Se un insieme è regolare allora è di sicuro misurabile.
insieme di misura nulla
Ora daremo la definizione e poi la spiegheremo.
Un insieme Ω ⊆ R2 misurabile è di misura nulla se:
SPIEGAZIONE:
prendiamo
un rettangolo ℜ che contenga Ω e lo dividiamo in n^2 rettangolini.
Questo procedimento è lo stesso che abbiamo utilizzato per definire l’integrale doppio (Lezione 17).
I rettangoli ℜ*h k sono i rettangolini la cui intersezione con Ω non è nulla,
ovvero
i rettangolini che contengono un pezzo di Ω
(siccome il rettangolo iniziale è più grande di Ω avremo dei rettangolini che lo contengono e degli altri che non lo contengono).
La somma dell’area dei rettangolini ℜ*hk deve essere nulla per n che tende ad infinito.
Sono insiemi di misura nulla (in R^2):
i grafici delle funzioni f(x),
i sostegni di curve regolari in R2
le frontiere (cioè i punti di confine) degli insiemi misurabili.
In pratica gli insiemi che sono linee (tipo i grafici di f(x) o le frontiere o i sostegni delle curve) hanno misura nulla.
ATTENZIONE:
la misura NON è la lunghezza.
Una circonferenza è un insieme di punti che ha una lunghezza pari a 2πr ma ha misura nulla.
La misura indica l’area dell’insieme:
una circonferenza è una linea, quindi non ha area.
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teorema: insieme di misura nulla e funzione integrabile
Dato
un insieme Ω ⊆ R^2 misurabile e regolare
e
un insieme E⊆ Ω misurabile e con misura nulla (cioè |E|=0),
vale il seguente
teorema:
Se f ∈ C(Ω \ E) Allora f è integrabile su Ω.
Il teorema ci dice che basta controllare che
f sia continua sul pezzo di Ω che non contiene E,
e a quel punto possiamo dire che è integrabile su tutto Ω.
In pratica, quindi,
l’insieme E di misura nulla non crea problemi per l’integrabilità su Ω perché noi andiamo a guardare se f è continua al di fuori di E.
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teorema: integrale doppio su un rettangolo contenente insieme di misura nulla
Prendiamo
una funzione f: ℜ = [a, b]×[c, d]⊆R^2 → R.
Inoltre chiamiamo
E un insieme di misura nulla |E|=0 contenuto nel rettangolo E⊆ℜ
e
per ipotesi poniamo f ∈ C(ℜ \ E).
Per il teorema precedente sappiamo che
f è integrabile sul rettangolo ℜ.
Il teorema di adesso dice che
l’integrale doppio vale:
Questa è la stessa formula che abbiamo visto quando abbiamo parlato
delle formule di riduzione per domini rettangolari
(Lezione 17).
Il concetto è che
l’insieme di misura nulla non crea nessun tipo di problema quando facciamo l’integrale.
Prima di vedere un esempio di calcolo, dobbiamo definire ancora alcuni teoremi.
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Integrali doppi ed insiemi misurabili: proprietà
Ora definiremo ben sei proprietà.
Per tutte queste proprietà utilizzeremo queste ipotesi:
f , g integrabili su Ω,
l’insieme Ω ⊆ R^2 è misurabile e limitato.
Se per una certa proprietà ci sono altre ipotesi da fare, le scriviamo prima di dire la proprietà.
Proprietà 1: linearità
La proprietà di linearità dice che
per ogni α,β ∈ R, αf + βg è integrabile e vale
la seguente formula:
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proprietà 2: positività
Se f ≥ 0 allora:
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proprietà 3: monotonia
Se f(x, y) ≤ g(x, y) per ogni (x, y) ∈ Ω
allora:
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Proprietà 4: monotonia rispetto al dominio
Se f ≥ 0 e Ω’⊆ Ω
allora:
Questa proprietà ci sta dicendo che se facciamo l’integrale su un insieme più piccolo avremo un risultato più piccolo.
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Proprietà 5:
Se Ω = Ω1 ∪ Ω2 con Ω1 , Ω2 misurabili
|Ω1 ∩ Ω2| = 0
allora:
Questa proprietà ci dice che
se riusciamo a scrivere l’insieme Ω come unione di due sottoinsiemi e se la misura dell’intersezione tra i due sottoinsiemi è nulla, allora vale la formula scritta.
Per capirci,
la misura dell’intersezione è nulla quando l’intersezione è un punto o un segmento.
Vedremo dopo un esempio proprio su questa proprietà.
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proprietà 6:
Se |Ω|=0
allora:
Con quest’ultima proprietà abbiamo finito e adesso facciamo un esempio.
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esempio 1
Prendiamo
un insieme Ω formato dall’unione dei due sottoinsiemi seguenti
e
cerco l’integrale doppio su Ω della funzione f(x, y) = x+2y.
Soluzione
Intanto guardiamo bene i due insiemi:
sono y-semplici perché hanno :
la x compresa tra due numeri
la y compresa tra due funzioni che dipendono da x.
L’insieme Ω1 prende le x tra 0 e 1 e poi prende le y comprese tra x e x2.
Ciò significa che prende le y comprese tra la funzione y=x e la funzione y=x2.
l’insieme Ω2 prende le x tra 1 e 2 e poi prende le y comprese tra x e x2
Ciò significa che prende le y comprese tra la funzione y=x e la funzione y=x2.
Quando gli insiemi sono facili da disegnare conviene disegnarli:
UNA CHICCA:
un insieme y-semplice è delimitato a destra e a sinistra da rette verticali;
un insieme x-semplice è delimitato in alto e in basso da rette orizzontali;
un insieme
sia x-semplice
sia y-semplice è delimitato a destra e a sinistra da rette verticali e in alto e in basso da rette orizzontali oppure è delimitato da punti (in questo caso Ω1 è delimitato a destra e a sinistra da dei punti).
L’insieme Ω1 è quello compreso tra la retta blu e la curva rossa con x compresa tra 0 e 1;
l’insieme Ω2 è compreso tra la curva rossa e la retta blu con x compresa tra 1 e 2.
Come potete vedere, l’intersezione tra i due insiemi è un punto:
i due insiemi hanno un solo punto in comune, che è (1,1).
Abbiamo quindi |Ω1 ∩ Ω2| = 0 e possiamo applicare la proprietà 5:
Siccome sono insiemi y-semplici, dobbiamo fare per ultimo l’integrale in dx.
Adesso svolgeremo separatamente
l’integrale su Ω1 e l’integrale su Ω2 ricordando che
quando integriamo in dy la x va considerata costante,
mentre
quando integriamo in dx la y va considerata costante.
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Integrale su Ω1.
Quando integriamo in dy, la x va considerata costante quindi integrando x in dy otterremo x y (come quando integriamo per esempio 3 in dy otteniamo 3y).
-
A questo punto dobbiamo solo fare i conti:
Come vedete, abbiamo fatto prima l’integrale interno.
-
Integrale su Ω2.
Ci comportiamo in modo identico all’integrale fatto su Ω1:
Possiamo quindi concludere l’esercizio sommando i risultati dei due integrali:
13/60 + 317/60 = 330/60 = 11/2.
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