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Archivio mensile:novembre 2021

Figura Geometrica

30 Nov

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Figura (geometria)

La figura geometrica o forma geometrica è l’ente astratto intorno al quale è articolata la geometria ed altri rami affini della matematica, come la trigonometria.

Elementarmente,

la figura geometrica può definirsi come un insieme continuo di punti e di relazioni tra gli stessi punti, caratterizzato da pertinenze quantitative e da pertinenze dimensionali.

Concetti simili

Alla figura geometrica si contrappone la figura topologica, definita come un insieme continuo di punti e di relazioni tra gli stessi punti, caratterizzato da pertinenze quantitative e non da pertinenze dimensionali

esempi:

nastro di Möbius, ciambella con K buchi, bottiglia di Klein), nonché il grafo.

Caratteristica della figura geometrica è la indeformabilità,

mentre

la caratteristica della figura topologica la deformabilità e del grafo la schematicità.

In extenso, possono considerarsi anche figure geometriche gli spazi iniziali dove le figure stesse trovano collocazione come

il punto (spazio a-dimensionale),

la retta (spazio mono-dimensionale),

il piano (spazio bi-dimensionale),

lo spazio tri-dimensionale,

gli iperspazi di dimensione superiore.

Gli psicologi hanno teorizzato che gli esseri umani rompono le immagini in semplici forme geometriche chiamate geoni.

Esempi di geoni comprendono

coni

e

sfere.

Classificazione

Ponendo alla base le figure geometriche della geometria elementare piana, ciascun ramo della geometria classifica le proprie figure in relazione a caratteristiche e pertinenze specifiche.

Per grandi linee, si distinguono:

Figura geometrica piana

Ogni punto della figura geometrica appartiene al piano.

Le specie di poligono sono infinite ed il loro nome gli deriva preminentemente:

dal numero degli angoli interni

o

dal numero dei lati come:

  • Triangolo

    • equilatero = equiangolo

    • isoscele

    • scaleno

    • rettangolo

    • acutangolo

    • ottusangolo

Figura geometrica solida

Ogni punto della figura geometrica appartiene allo spazio a tre dimensioni (Spazio-D.3).

  • Poliedro

    • Regolare

    • Semiregolare

    • Sghembo

    • Ordinario

    • Incrociato

    • Stellato

    • Concavo

    • Convesso

    • Platonico

    • Archimedeo

    • Duale

    • Isomero

    • Enantiomorfo

    • Equilatero

    • Equiedro

    • Equicuspide

    • F-uniforme (Faccia-uniforme)

    • V-uniforme (Vertice-uniforme)

    • S-uniforme (Spigolo-uniforme)

    • Uniforme

    • Anomalo

    • Cavo

    • Semicavo

    • Tassellatore

    • Pseudo-tassellatore

    • Semplice

    • Composto

    • Solitario

    • Affiliato

    • Superiore

    • Inferiore

    • Inscrittibile

    • Circoscrittibile

    • Triangolare

    • Quadrangolare

    • Pentagonale

    • Esagonale

    • Ettagonale

    • Ottagonale

    • Ennagonale

    • Decagonale

    • Dodecagonale

    • n-agonale

Le specie poliedriche sono infinite e non tutte hanno una denominazione come:

cubo,

antiprisma archimedeo,

ottaedro platonico,

dodecaedro rombico,

poliedro di Escher…

Figura geometrica degli iperspazi

Ogni punto della figura geometrica appartiene ad uno degli iperspazi ad n dimensioni (Spazio-D.n), con n>3.

Figura analitico-geometrica

Meglio conosciuta come Curva (piana, sghemba – algebrica, trascendente), oppure grafico, od anche configurazione, in quanto la figura geometrica è correlata ad una equazione in [x; y] o [x; y; z].

Curva piana

La figura geometrica è correlata ad una equazione in [x, y].

Curve algebriche di 1º e 2º grado

Retta – conica: parabola, circonferenza, ellisse, iperbole (generica, regolare, equilatera).

Curve algebriche di 3º grado

Cubica:

Folium di Cartesio,

Versiera di Agnesi,

Tridente,

Cissoide,

Strofoide,

Poliziotto in servizio,

Lemniscata,

Croce di Malta,

Svastica,

Motore elettrico,

Testa di un piolo,

Bicorno,

Nodo,

Bifoglio,

Fagiolo,

Trifoglio,

Maglia,

Ampersand,

Bicuspide,

Staffa,

Arco,

Manubrio,

Cuspide cheratoide,

Farfalla –

Famiglia di curve,

Conica confocale,

Configurazione ripetuta.

Curve algebriche di 4º grado

Quartica.

Curve algebriche di 5º grado

Quintica.

Curve trigonometriche piane

La figura geometrica è correlata ad una funzione trigonometrica,

diretta

(seno, coseno, tangente, cotangente, secante, cosecante),

inversa

(arcoseno, arcocoseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante, arcocosecante).

Sinusoide, cosinusoide, tangentoide, cotangentoide, secantoide, cosecantoide, arcosinusoide, arcocosinusoide, arcotangentoide, arcocotangentoide, arcosecantoide, arcocosecantoide.

Curve polari

Circonferenza, retta, lemniscata di Bernoulli, iperbole equilatera, cardioide, parabola, lumaca con cappio, lumaca senza cappio, ellisse con eccentricità un mezzo, iperbole con eccentricità due, spirale di Archimede, spirale reciproca, lituo, spirale parabolica, spirale equiangola, rodonea (curva a rosa), cappi che si intersecano – Famiglia di lumache.

Luoghi bipolari

Circonferenza di Apollonio, asse di un segmento, ovali di Cartesio, ellisse, iperbole, iperbole equilatera, ovali di Cassini, lemniscata di Bernoulli, linee equipotenziali per le cariche, linee di forza per un magnete.

Altre curve celebri

Concoide, trocoide, epitrocoide, ipotrocoide, cicloide, epicicloide, ipocicloide, asteroide, deltoide, nefroide, rulletta, catenaria, gaussiana, pelecoide.

Curve limiti di successioni poligonali

Fiocco di neve di von Koch, antifiocco di neve, curva di Sierpinski.

Figura analitico-geometrica spaziale

La figura geometrica è correlata ad una equazione algebrica in [x, y, z].

Quadriche

Sfera – cono – cilindro – ellissoide – iperboloide – paraboloide ellittico (paraboloide ad una falda), paraboloide iperbolico (paraboloide a due falde).

Superfici rigate

Sella d’asino – paraboloide iperbolico (paraboloide a due falde).

Superfici e solidi di rivoluzione

Per la determinazione dell’area e/o del volume della figura geometrica generata, ci si avvale dei due Teoremi di Guldino (Paul Guldin – San Gallo 12.6.1577 – Graz 3.11.1643 – Matematico svizzero di origine ebraica).

  • Toro (Generatrice: Cerchio – Asse di rotazione: Retta complanare esterna)

  • Cono (Generatrice: Triangolo rettangolo – Asse di rotazione: Retta di un cateto)

  • Tronco di cono (Generatrice: Trapezio rettangolo – Asse di rotazione: Retta del lato normale alle basi)

  • Cilindro (Generatrice: Rettangolo – Asse di rotazione: Retta di un lato)

  • Sfera (Generatrice: Semicerchio – Asse di rotazione: Retta degli estremi)

  • Calotta, Zona sferica (Generatrice: Arco – Asse di rotazione: Retta di un estremo dell’arco e del centro del cerchio)

  • Segmento sferico, a una / a due basi (Generatrice: Arco / semiarco – Asse di rotazione: Retta di un estremo dell’arco e del centro del cerchio)

  • Ellissoide (Generatrice: Semiellisse – Asse di rotazione: Retta degli estremi)

  • Paraboloide ellittico o Paraboloide a una falda (Generatrice: Semiparabola – Asse di rotazione: Asse della parabola)

  • Paraboloide iperbolico o Paraboloide a due falde (Generatrice: Parabola – Asse di rotazione: Retta normale all’asse della parabola passante per il suo vertice)

  • Iperboloide a una falda (Generatrice: Ramo dell’iperbole – Asse di rotazione: Asse immaginario dell’iperbole)

  • Iperboloide a due falde (Generatrice: Semirami dell’iperbole – Asse di rotazione: Asse reale dell’iperbole).

Grafici di particolari funzioni

  • Curva dell’errore standard

  • Curva delle oscillazioni smorzate

  • Cuva delle pulsazioni

  • Sequenza di approssimazioni (sviluppo di Maclaurin, sviluppo di Fourier)

Configurazioni interessanti

Famiglie di circonferenze ortogonali alle circonferenze di un fascio –

Quadrangolo ortocentrico con la Circonferenza dei nove punti e le sedici circonferenze circoscritte e inscritte nei quattro triangoli che sono tangenti al quadrangolo –

Quadrilatero con le quattro circonferenze circoscritte ai triangoli che si intersecano nel Punto di Wallace, la retta degli ortocentri, la circonferenza dei circocentri e le due famiglie di circonferenze coassiali ortogonali –

Quadrangolo con la circonferenza dei nove punti, le quattro Circonferenze pedali e la circonferenza circoscritta al triangolo diagonale con il loro punto comune –

Rette di Pascal della configurazione di sei punti su una conica e i Punti di Brianchon di sei tangenti a una conica.

Figure geometriche composte

Tassellazioni

Fregi e mosaici

Fregio e mosaico sono concetti più dell’architettura che non della geometria, acquisiti dalla prima per motivi ornamentali di gran pregio, ma ampiamente studiati anche dalla seconda.

Figure geometriche della geometria proiettiva

Figure geometriche della Geometria proiettiva sono descritte in Teoria delle ombre e Superfici rigate.

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Pubblicato da su 30 novembre 2021 in MATEMATICA

 

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Varietà geometrica

29 Nov

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Varietà (geometria) 

In geometria,

una varietà è uno spazio topologico che localmente è simile a uno spazio topologico ben conosciuto (ad esempio lo spazio euclideo -dimensionale), ma che globalmente può avere proprietà geometriche differenti

(ad esempio può essere “curvo” contrariamente allo spazio euclideo).

Le varietà localmente simili alla retta si chiamano curve,

mentre

le varietà localmente simili al piano si chiamano superfici.

Le varietà vengono usate in molteplici branche della matematica quali la topologia, l’analisi reale, l’analisi complessa, l’algebra e la geometria algebrica.

Le varietà trovano applicazioni in computer grafica e si incontrano spesso in fisica, come ad esempio in meccanica lagrangiana, in meccanica quantistica, in relatività generale e nella teoria delle stringhe.

Strutture su varietà

Nel caso più generale una varietà viene definita soltanto con una struttura di spazio topologico, e in tal caso si specifica usando il termine varietà topologica.

Tuttavia, quello di varietà è un concetto sufficientemente semplice da potersi adattare a diversi contesti, in quanto è possibile definire ulteriori strutture su una stessa varietà.

Ad esempio,

nell’ambito della geometria differenziale si può definire su una varietà topologica una struttura differenziabile, per ottenere quella che viene chiamata una varietà differenziabile.

Analogamente, in altri campi si definiscono le varietà riemanniane, le varietà complesse, le varietà simplettiche e le varietà kähleriane.

Un caso un po’ a parte è quello delle varietà algebriche:

una varietà algebrica non è una varietà topologica nel senso che andremo a definire, in quanto le varietà algebriche non sono spazi di Hausdorff.

Varietà topologica

La circonferenza è una varietà topologica di dimensione 1. Qui è descritto un atlante con quattro carte: ciascuna è un omeomorfismo fra un aperto ed un intervallo aperto di R {\displaystyle \mathbb {R} }

La circonferenza è una varietà topologica di dimensione 1. Qui è descritto un atlante con quattro carte: ciascuna è un omeomorfismo fra un aperto ed un intervallo aperto di 

Il concetto di varietà topologica considera uno spazio soltanto dal punto di vista topologico.

Pertanto, nella definizione di una particolare varietà topologica si considerano solo le proprietà “di base” della forma di tale spazio quali la connessione, la compattezza, l’orientabilità o il “numero di buchi“.

Definizione

Una varietà topologica  è uno spazio topologico di Hausdorff e secondo numerabile in cui ogni punto ha un intorno aperto omeomorfo allo spazio euclideo -dimensionale .

Il numero  è la dimensione della varietà.

Una varietà di dimensione  è spesso chiamata brevemente -varietà.

Si definiscono

curve le -varietà

e

superfici le -varietà.

Nella definizione si può richiedere, equivalentemente, che  sia localmente omeomorfo ad un aperto di .

Se  è un omeomorfismo fra un aperto di  e un aperto di , allora la coppia  è chiamata carta.

Quindi se  è una varietà topologica allora esiste una famiglia di carte  che ricoprono , ovvero tali che

Una tale famiglia di carte si definisce un atlante. I nomi “carta” e “atlante” sono scelti in analogia con la cartografia.

Infatti la superficie della Terra non è descrivibile interamente su un foglio

(nel senso che non è omeomorfa ad un aperto di ),

però è possibile descriverla “a pezzi” tramite un certo numero di carte geografiche: ad esempio, con due carte che descrivono gli emisferi Nord e Sud.

Se  e  sono due carte tali che , allora la mappa

si chiama funzione di transizione.

Le funzioni di transizione sono omeomorfismi.

La scelta di un atlante, e quindi delle funzioni di transizione, ha un ruolo determinante nella definizione di una varietà.

Sono infatti le funzioni di transizione a permettere di definire delle ulteriori strutture, come ad esempio quella differenziabile, su una varietà topologica.

Esempi

Lo spazio euclideo  è, chiaramente, una -varietà.

Se , con , è un omeomorfismo locale (ad esempio se differenziabile e con determinante jacobiano mai nullo), allora il suo grafico  è una -varietà.

Infatti le carte locali di  sono le inverse locali di , mentre le condizioni di essere di Hausdorff e secondo numerabile sono soddisfatte in quanto  è un sottospazio di .

Una varietà di tale genere si dice una varietà di tipo grafico.

Ogni emisfero della sfera è contenuto in una carta.

Ogni emisfero della sfera è contenuto in una carta.

La sfera -dimensionale

è una varietà di dimensione .

Per provarlo, basta osservare che le proiezioni

inducono degli omeomorfismi tra gli emisferi di  (cioè l’intersezione di  con un semispazio del tipo  oppure ), e la palla aperta di  con centro l’origine e raggio .

Quindi la sfera è una -varietà, in quanto localmente è una varietà di tipo grafico di dimensione .

Si può definire un altro atlante di  se invece delle proiezioni canoniche si usano le proiezioni stereografiche.

Classificazione in dimensione bassa

La topologia della dimensione bassa è la branca della topologia che studia le varietà di dimensione fino a 4.

Nello studio delle varietà, assume un ruolo di cardinale importanza la classificazione delle varietà topologiche.

La classificazione delle varietà topologiche viene effettuata a meno di omeomorfismi.

Infatti, così come in geometria euclidea due oggetti vengono considerati equivalenti se uguali a meno di un’isometria

(anche intuitivamente, due sfere con centri diversi ma stesso raggio vengono considerate equivalenti, in quanto uguali a meno di una traslazione), così le varietà topologiche vengono considerate a meno di omeomorfismi.

Osserviamo quindi che ogni -varietà è unione disgiunta delle proprie componenti connesse, che sono -varietà a loro volta.

Dopo questa premessa, affermiamo esistere sostanzialmente solo due varietà topologiche di dimensione : la circonferenza  e la retta . Ogni altra curva connessa è infatti omeomorfa a una di queste due.

Le varietà di dimensione  sono più variegate:

tra queste troviamo la sfera , il toro, il nastro di Möbius e la bottiglia di Klein.

Di più, le superfici sono infinite:

i -tori, ovvero i tori con  buchi, sono superfici topologicamente distinte al variare di .

Le 3-varietà non sono facilmente visualizzabili, ed il loro studio è una branca importante della topologia. La congettura di Poincaré, dimostrata nel 2003 da Grigori Perelman, è stato un importante problema irrisolto per più di un secolo, riguardante proprio questo ambito.

Una varietà di dimensione  è un oggetto ancora più difficile da visualizzare.

Lo studio delle varietà con quattro dimensioni è un punto centrale della matematica moderna, con numerosi collegamenti alla fisica teorica:

la relatività generale descrive infatti lo spaziotempo come una -varietà.

La bottiglia di Klein: ogni "quadratino" è contenuto in R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3)) , ma la bottiglia di Klein non è un sottospazio di R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3)) in quanto si autointerseca.

La bottiglia di Klein: ogni “quadratino” è contenuto in , ma la bottiglia di Klein non è un sottospazio di  in quanto si autointerseca.

Varietà immerse

Sia  una varietà topologica di dimensione .

Si dice che  è immersa in , con , se  è un sottospazio di .

Un’immersione (in inglese, embedding) di  in  è un’inclusione topologica , ovvero una mappa continua e iniettiva che induce un omeomorfismo con l’immagine .

Un esempio di varietà immersa è quello della sfera  in .

Non è vero che tutte le superfici si possono immergere in .

La bottiglia di Klein  è un esempio: benché si possa localmente immergere in , non è realizzabile “globalmente” come sottospazio di  evitando “autointersezioni”, ovvero conservando l’iniettività dell’immersione.

 è invece “realizzabile” dentro lo spazio quadri-dimensionale , ovvero esiste un’immersione .

Nel caso in cui  venga considerata come una varietà differenziabile, allora si usa considerare una definizione diversa di “immersione”, ovvero quella di immersione differenziabile.

Un’immersione differenziabile iniettiva è anche un’inclusione topologica nel senso sopra descritto.

La rappresentazione in figura della bottiglia di Klein mostra un’immersione differenziabile di  in .

Più in generale, grazie al teorema di Whitney sappiamo che ogni -varietà differenziabile ammette un’immersione differenziabile in  e un’immersione differenziabile iniettiva in .

Varietà differenziabile

Una varietà topologica  è una varietà differenziabile se le sue funzioni di transizione sono differenziabili.

Tali funzioni di transizione vengono usualmente intese di classe , e per questo si dice anche che  è una varietà liscia.

In particolare, segue dalla definizione che le funzioni di transizione sono diffeomorfismi lisci.

La richiesta della differenziabilità delle funzioni di transizione permette di definire i concetti di

spazio tangente, funzione differenziabile, campo vettoriale e forma differenziale, nonché di usare altri strumenti propri del calcolo infinitesimale.

Nel caso in cui le funzioni di transizione siano di classe , con , allora si dice che  è una varietà differenziabile di classe .

Se invece le funzioni di transizione sono analitiche, allora si dice che  è una varietà analitica.

Varietà complessa

Una varietà complessa di dimensione  è una varietà topologica di dimensione  le cui funzioni di transizione, viste come mappe fra aperti di  tramite l’identificazione naturale di  con , sono olomorfe.

Una varietà complessa è una varietà topologica su cui è possibile usare gli strumenti dell’analisi complessa: le varietà complesse sono cioè l’analogo complesso delle varietà differenziabili.

Poiché le funzioni olomorfe sono differenziabili, una varietà complessa ha anche una struttura di varietà differenziabile, o più in particolare una struttura di varietà analitica.

Le varietà complesse di dimensione (complessa)  si chiamano superfici di Riemann.

Varietà algebrica

Una varietà algebrica è definita con tecniche diverse da quelle usate per le varietà topologica, differenziabile o complessa.

Una varietà algebrica è un oggetto che è localmente definito come l’insieme degli zeri di uno o più polinomi con  variabili in , dove  è un campo fissato, come ad esempio il campo dei numeri reali o complessi.

Gli esempi più semplici di varietà algebriche sono le varietà affini e le varietà proiettive.

Varietà affini in R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2)) definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due circonferenze, una parabola, una iperbole, una cubica (definita da un'equazione di terzo grado).

Varietà affini in  definite da alcuni semplici polinomi in due variabili: due circonferenze, una parabola, una iperbole, una cubica (definita da un’equazione di terzo grado).

Varietà affine

Una varietà affine è un sottoinsieme  di  che è il luogo di zeri di un insieme  di polinomi in  variabili.

In altre parole,

  è l’insieme dei punti su cui si annullano contemporaneamente tutti i polinomi in , cioè  è l’insieme delle soluzioni di un sistema di equazioni polinomiali.

Generalmente si indica

  per rimarcare la dipendenza di  dall’insieme .

I polinomi in  non devono necessariamente essere in numero finito.

Se  è l’ideale generato da , risulta che :

quindi ogni varietà è in verità il luogo di zeri di un ideale di polinomi.

L’importanza degli ideali nella teoria degli anelli discende proprio da questo fatto.

Varietà proiettiva

Una varietà proiettiva è un sottoinsieme  dello spazio proiettivo , definito analogamente alla varietà affine come luogo di zeri di un insieme  di polinomi. L’unica differenza con il caso affine sta nel fatto che tali polinomi hanno  variabili, e poiché le coordinate omogenee di un punto nello spazio proiettivo sono definite a meno di una costante moltiplicativa, questi devono essere omogenei affinché le equazioni abbiano senso.

Varietà riemanniana

Un triangolo in una varietà con curvatura negativa: la somma degli angoli interni è inferiore a 180°

Un triangolo in una varietà con curvatura negativa: la somma degli angoli interni è inferiore a 180°

Una varietà riemanniana  è una varietà differenziabile in cui lo spazio tangente ad  in un punto  è dotato di un prodotto scalare  che varia in modo liscio al variare di .

Tale prodotto scalare si chiama metrica riemanniana.

Analogamente a quanto accade per gli spazi euclidei, la presenza di questa metrica permette di parlare di distanza fra punti, lunghezze di curve, angoli e volumi

(o aree in dimensione ).

Una varietà riemanniana è un particolare esempio di spazio metrico, la cui metrica è fortemente caratterizzata dalle geodetiche.

Una geodetica è una curva che realizza localmente la distanza fra due punti.

Su una varietà riemanniana sono quindi presenti tutti gli enti geometrici classici della geometria euclidea, benché le loro caratteristiche possano differenziarsi enormemente da quelle degli usuali enti dello spazio euclideo.

Ad esempio,

può non valere il V postulato di Euclide, né gli altri assiomi di Hilbert.

Localmente, questa diversa geometria incide sulla curvatura della varietà riemanniana.

Esempi di varietà riemanniane sono le sottovarietà differenziabili dello spazio euclideo .

La sfera -dimensionale in  è un esempio fondamentale di varietà riemanniana con curvatura positiva.

Lo spazio euclideo ha invece curvatura nulla.

Un esempio importante di varietà riemanniana con curvatura negativa è il disco di Poincaré:

si tratta dell’usuale palla in  di raggio unitario, su cui è però definita una metrica diversa da quella euclidea.

Origine del termine

La parola varietà è la traduzione italiana del termine tedesco Mannigfaltigkeit, che compare per la prima volta nella tesi di dottorato del 1851 di Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse.

Nella sua tesi Riemann si pone il problema di introdurre delle “grandezze molteplicemente estese“, aventi cioè “più dimensioni”, e le definisce usando quel termine.

Analizzando la parola scomponendola come Mannig-faltig-keit, si riconosce in essa un parallelo con il termine latino multi-plic-itas, sicché lo si potrebbe tradurre letteralmente come ‘molteplicità‘.

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Pubblicato da su 29 novembre 2021 in MATEMATICA

 

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Omeomorfismo

28 Nov

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Omeomorfismo

In matematica, e più precisamente in topologia,

un omeomorfismo (dal greco homoios = simile e morphe = forma, da non confondere con omomorfismo) è una particolare funzione fra spazi topologici che modella l’idea intuitiva di “deformazione senza strappi”.

La nozione di omeomorfismo è molto importante in topologia.

Due spazi topologici  e  collegati da un omeomorfismo sono detti omeomorfi: da un punto di vista topologico, questi risultano essere praticamente uguali.

In particolare, hanno gli stessi invarianti topologici.

Un'omotopia fra una tazza ed una ciambella.

Definizione

Un omeomorfismo fra due spazi topologici  e  è una funzione continua  che è anche biunivoca e la cui inversa  è anch’essa continua.

Una definizione equivalente è la seguente:

un omeomorfismo è una corrispondenza biunivoca  fra spazi topologici tale che un sottoinsieme  di  è aperto se e solo se lo è la sua immagine  in .

Brevemente,

è una corrispondenza biunivoca fra spazi topologici che induce una corrispondenza biunivoca fra i loro aperti.

Se esiste un omeomorfismo tra  e , i due spazi sono detti omeomorfi.

La relazione di omeomorfismo fra spazi topologici è una relazione di equivalenza.

Esempi

Intervalli della retta reale

Siano  due numeri reali.

La funzione

è un omeomorfismo.

Infatti

f è continua, biunivoca, e la sua inversa

è anch’essa continua.

Ogni intervallo chiuso e limitato  è quindi omeomorfo all’intervallo .

Dalla proprietà transitiva segue quindi che gli intervalli chiusi e limitati sono tutti omeomorfi fra loro.

Si verifica analogamente che gli intervalli aperti  sono tutti omeomorfi fra loro.

Non solo:

un intervallo aperto è omeomorfo all’intera retta reale  tramite la funzione tangente

che è biunivoca, continua e con inversa continua (la funzione arcotangente).

La limitatezza non è quindi un invariante topologico:

uno spazio limitato come  può essere omeomorfo ad uno spazio illimitato, come .

Proprietà

Due spazi omeomorfi godono esattamente delle stesse proprietà topologiche 

(separabilità, connessione, semplice connessione, compattezza…).

Nel linguaggio della teoria delle categorie,

si dice che un omeomorfismo è un isomorfismo tra spazi topologici.

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Pubblicato da su 28 novembre 2021 in MATEMATICA

 

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Omotopia

27 Nov

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Omotopia

In topologia,

due funzioni continue da uno spazio topologico ad un altro  sono dette omotope (dal greco homos = identico e topos = luogo) se una delle due può essere “deformata con continuità” nell’altra, e tale trasformazione è detta omotopia fra le due funzioni.

Un uso importante dell’omotopia è nella definizione dei gruppi di omotopia 

(il più importante fra questi è il gruppo fondamentale),

invarianti molto importanti per distinguere spazi topologici non omeomorfi e per formalizzare rigorosamente nozioni intuitive quali “il numero di buchi” di uno spazio.

L’omotopia definisce una relazione di equivalenza sull’insieme delle funzioni continue da  ad .

Definizione formale

Un'omotopia fra una tazza ed una ciambella.

Un’omotopia fra una tazza ed una ciambella.

Formalmente,

un’omotopia fra due funzioni continue  e  da uno spazio topologico  a uno spazio topologico  è una funzione continua  dal prodotto dello spazio  con l’intervallo unitario  a 

tale che,

per tutti i punti  in , e .

Se pensiamo al secondo parametro di  come il “tempo”, allora  descrive una “deformazione continua” di  in : al tempo  abbiamo la funzione , al tempo  abbiamo la funzione .

Esempi

Due funzioni continue qualsiasi fra spazi euclidei sono omotope.

Si può infatti trasformare con continuità l’una nell’altra con la seguente omotopia:

Lo stesso risultato vale per una qualsiasi coppia di funzioni  definite su uno spazio topologico  arbitrario.

Notiamo che, anche se

  e  sono iniettive, la “deformazione al tempo ” data da  può non essere iniettiva.

Proprietà

Relazione di equivalenza

Essere omotopi è una relazione di equivalenza sull’insieme di tutte le funzioni continue da  a .

Questa relazione di omotopia è compatibile con la composizione di funzioni in questo senso:

se  sono omotope,

e

se  sono omotope,

allora

anche le loro composizioni  e  sono omotope.

Una funzione  è detta omotopicamente nulla se è omotopa a una funzione costante.

Se  è connesso per archi, le funzioni costanti da  in  sono tutte omotope fra loro.

Uno spazio topologico connesso per archi  per cui ogni funzione continua  è omotopicamente nulla si dice contrattile o contraibile. Per quanto visto sopra, uno spazio euclideo è contrattile. Intuitivamente, uno spazio contrattile può essere “contratto ad un punto” in modo continuo.

Uno spazio  è contrattile se e solo se la applicazione identica da  in sé è omotopicamente nulla.

Spazi omotopicamente equivalenti

Dati due spazi  e , diciamo che sono omotopicamente equivalenti, oppure che hanno lo stesso tipo di omotopia se esistono due funzioni  e  tali che  è omotopa alla funzione identità  su  e  è omotopa alla funzione identità  su .

Le applicazioni  e  sono dette equivalenze di omotopia.

Si dimostra facilmente che uno spazio  è contrattile se e solo se è omotopicamente equivalente allo spazio topologico  fatto da un punto solo.

Chiaramente,

ogni omeomorfismo è una equivalenza di omotopia, ma il contrario non è sempre vero:

uno spazio euclideo è contrattile, ma non è omeomorfo ad un punto.

°°°°°

Intuitivamente,

due spazi  e  sono omotopicamente equivalenti se possono essere trasformati l’uno nell’altro con operazioni di deformazione, contrazione ed espansione.

Ad esempio,

una palla è omotopicamente equivalente ad un punto,

mentre

 è omotopicamente equivalente alla circonferenza .

Uno spazio omotopicamente equivalente a un punto è detto contrattile o contraibile.

Esempi di spazi contraibili sono la palla -dimensionale e , per qualsiasi .

Un altro esempio è la superficie dell’ipersfera  per  dispari, che possiede una caratteristica di Eulero , pari a quella del punto (per  pari, la caratteristica vale , come quella della superficie sferica).

Proprietà invarianti per omotopia

Molte delle proprietà invarianti per omeomorfismo sono in verità invarianti anche per omotopia.

Se  e  sono omotopicamente equivalenti, allora

In particolare,

uno spazio contraibile è semplicemente connesso.

Non vale il contrario: la sfera  è semplicemente connessa per ogni  maggiore di 1 e non contraibile.

D’altra parte, esistono concetti che distinguono spazi omotopi ma non omeomorfi.

Esistono esempi di spazi  e  omotopicamente equivalenti dove:

  •  è compatto e  no ( è un punto e  uno spazio euclideo)

  •  è una varietà topologica o differenziabile e  no

  •  e  sono varietà topologiche di dimensioni diverse

  •  e  hanno omologia a supporto compatto diversa

Categoria delle omotopie e invarianti per omotopie

Più in astratto,

si può ricorrere ai concetti della teoria delle categorie.

Si può definire una categoria delle omotopie, i cui oggetti sono spazi topologici, e i cui morfismi sono classi di omotopia di applicazioni continue.

Due spazi topologici  e  sono isomorfi in questa categoria se e solo se sono omotopicamente equivalenti.

Un invariante per omotopie è una qualsiasi funzione sullo spazio (o sulle applicazioni), che rispetta la relazione di equivalenza di omotopia (risp. omotopia); tali invarianti fanno parte della teoria delle omotopie.

Un esempio di invariante per omotopie è il gruppo fondamentale di uno spazio.

Nella pratica,

la teoria delle omotopie è portata avanti lavorando su CW-complessi, per comodità tecnica.

Omotopia relativa

È necessario definire la nozione di omotopia relativa a un sottospazio, in modo particolare per definire il gruppo fondamentale.

Esistono omotopie che mantengono fissi gli elementi di un sottospazio.

Formalmente:

se  e  sono applicazioni continue da  a 

e

 è un sottoinsieme di ,

allora diciamo che

  e  sono omotope relativamente a  se esiste una omotopia  tra  e  tale che  per ogni  e .

Isotopia

Nel caso in cui le due funzioni continue date  e  dallo spazio topologico  allo spazio topologico  siano un omeomorfismo con l’immagine (cioè, sono un omeomorfismo se ristrette da  alla loro immagine), si può chiedere se possano essere connesse “attraverso omeomorfismi con l’immagine”.

Questo dà origine al concetto di isotopia, cioè una omotopia 

(nella notazione usata precedentemente) tale che per ogni  fissato,  è un omeomorfismo sull’immagine.

La richiesta che due funzioni siano isotope è una richiesta molto più forte rispetto alla richiesta di omotopia.

Ad esempio:

  • l’applicazione dal disco unitario in  definita da , che consiste in una rotazione di 180 gradi rispetto all’origine, è isotopa alla mappa identica: le due mappe possono essere connesse da rotazioni di angolo  con  che varia da 0 gradi a 180

  • l’applicazione dall’intervallo  in  definita da  non è isotopa all’identità! (d’altro canto, tutte le mappe a valori in  sono omotope, perché  è contrattile)

  • In generale, l’applicazione dalla palla in  definita da  è isotopa all’identità se e solo se  è pari: questo perché per  dispari tale mappa cambia l’orientazione della palla.

Isotopia ambiente

Una isotopia ambiente di uno spazio topologico  è una isotopia fra la funzione identità  ed un altro omeomorfismo 

L’isotopia ambiente è usata per costruire relazioni di equivalenza fra sottospazi di alcuni spazi topologici,

ad esempio

nella teoria dei nodi: quando è sensato considerare due nodi equivalenti?

Prendiamo due nodi  e  in uno spazio a tre dimensioni.

L’idea intuitiva di “deformazione” di un nodo nell’altro corrisponde proprio ad una isotopia ambiente fra la funzione identità  ed un omeomorfismo  che porta il primo nodo nel secondo, cioè tale che 

°°°°°

 

 

 

 

 

Segue …

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Pubblicato da su 27 novembre 2021 in MATEMATICA

 

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Varietà riemanniana

26 Nov

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Varietà riemanniana

In matematica,

la nozione di varietà riemanniana è centrale in geometria differenziale ed è utile a modellizzare spazi “curvi” di dimensione arbitraria.

Una varietà riemanniana è una varietà differenziabile su cui sono definite le nozioni di: 

distanza, lunghezza, geodetica, area (o volume), curvatura.

Prende il nome dal matematico tedesco Bernhard Riemann.

Definizione

Una varietà riemanniana è una varietà differenziabile  dotata di un tensore metrico  con cui definire un prodotto scalare definito positivo sullo spazio tangente di ogni punto di .

La varietà riemanniana è spesso indicata come coppia 

Rilassando il requisito che il tensore metrico  sia sempre definito positivo e imponendo solo che non sia degenere si ha una varietà pseudo-riemanniana.

Nozioni geometriche basilari

Grazie al solo tensore metrico , è possibile definire su una varietà riemanniana  numerose nozioni presenti nell’usuale spazio euclideo.

Tutte queste nozioni dipendono fortemente dalla scelta di

Angoli e moduli di vettori

Sia  un punto di  

e

 Sia  il suo spazio tangente.

Il tensore  definisce un prodotto scalare definito positivo su ,

e

quindi una nozione di lunghezza e angolo fra vettori tangenti in .

In particolare,

se  e  sono due curve differenziabili

con 

i loro vettori tangenti  e  sono elementi di 

e

quindi è definito il loro modulo  come

e l’angolo  compreso tra questi (se sono entrambi non nulli), tramite la relazione

Lunghezza di una curva

La lunghezza di una curva γ ( t ) {\displaystyle \gamma (t)} è definita integrando le lunghezze dei vettori tangenti alla curva ad ogni tempo t {\displaystyle t} .
La lunghezza di una curva  è definita integrando le lunghezze dei vettori tangenti alla curva ad ogni tempo .

La lunghezza  di una curva differenziabile

è quindi definita tramite

l’integrale

Distanza

La distanza  fra due punti  e  di  è definita come

al variare di tutte le curve differenziabili  che partono in  e arrivano in .

La distanza  definisce su  una struttura di spazio metrico.

Geodetica

Una geodetica è l’analogo della linea retta nell’usuale spazio (o piano) euclideo.

Si tratta di una curva differenziabile  che minimizza localmente la lunghezza.

Più precisamente,

ogni  interno al dominio  ha un intorno  tale che la distanza fra  e  è uguale alla lunghezza del sotto-arco di  che collega i due punti, per ogni  in .

Volume

Una varietà orientata  è dotata di una forma di volume 

Su ogni spazio tangente , si tratta dell’unico tensore antisimmetrico di tipo  che vale

su ogni base ortonormale positiva  di .

In una carta, si scrive come

dove  è il determinante di , che è positivo perché  è definito positivo,

e

la base  è una base positiva rispetto all’orientazione.

Si tratta di una –forma differenziale, che se integrata su un dominio  definisce il volume di :

Una orientazione è necessaria per definire la forma volume: una tale forma esiste infatti soltanto su varietà orientabili.

Proprietà metriche

Completezza

Una varietà riemanniana è in particolare uno spazio metrico, e in quanto tale può essere completa o meno.

Esistono vari criteri equivalenti di completezza, forniti dal teorema di Hopf-Rinow.

Una varietà compatta è sempre completa.

Una varietà differenziabile non compatta può essere completa o meno:

la completezza è in questo caso fortemente dipendente dal tensore di curvatura.

Curvatura

La curvatura misura la tendenza della geometria locale su una varietà riemanniana a discostarsi dalla usuale geometria euclidea.

La curvatura è una misura locale, che può essere realizzata in vari modi.

La curvatura di una superficie  è misurata dalla curvatura gaussiana, un numero reale associato ad ogni punto di .

Per una varietà di dimensione maggiore, la codifica e lo studio della curvatura sono più complessi.

L’oggetto che descrive completamente la curvatura di una varietà è il tensore di Riemann,

un tensore di ordine .

Il tensore di Riemann è un oggetto algebrico molto complesso, e quindi spesso si ricorre a nozioni di curvatura più semplici da manipolare.

La curvatura sezionale misura la curvatura su ogni piano passante per un punto:

questa nozione più geometrica di curvatura è molto ricca, contiene le stesse informazioni del tensore di Riemann ed è spesso di più facile applicazione.

Il tensore di Ricci e la curvatura scalare sono due versioni “semplificate” del tensore di Riemann, ottenute contraendo alcuni indici del tensore.

Il tensore di Ricci è un tensore di tipo , e la curvatura scalare un numero, simile alla curvatura gaussiana.

Tutte queste nozioni misurano la curvatura intrinseca della varietà, determinata unicamente dalla sua struttura di varietà riemanniana.

Nozioni di curvatura estrinseca della varietà sono applicabili soltanto quando la varietà è contenuta in un’altra varietà più grande:

ad esempio,

nel caso di una superficie contenuta nello spazio  esistono anche le nozioni di curvatura principale e curvatura media, che a differenza della curvatura gaussiana non sono definite su una superficie astratta.

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Pubblicato da su 26 novembre 2021 in MATEMATICA

 

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