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Grafico:
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Regolarità e locale limitatezza.
Dimostrazione
ciò che é lecito asserire per una funzione f : A → R, convergente al tendere di x a c, é che f é “localmente limitata”, cioè e limitata la sua restrizione all’intersezione del dominio A con un opportuno intorno di c.
Infatti, se é limx→c f(x) = a ∈ R, allora, per la definizione di limite, in corrispondenza del numero positivo ε = 1 esiste un intorno V di c tale che a − 1 < f(x) < a + 1 ∀x ∈ V ∩ A \ {c}; ciò dice che la restrizione f|V ∩A\{c} é limitata; ovviamente é pure limitata la restrizione f|V ∩A, il cui codominio, rispetto a quello di f|V ∩A\{c}, può al massimo avere un solo elemento in più: il numero f(c).
Esempio:
Grafico:
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Segue Esercitazione
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