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Archivi giornalieri: 21 agosto 2022

Spazio Metrico

21 Ago

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Spazio Metrico 

la nozione di spazio metrico e sul concetto di distanza in analisi.

Qui verranno presentate definizioni, esempi e osservazioni utili al fine di comprendere l’argomento nel migliore dei modi.

Definizione di Spazio Metrico

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Esempio 1 (metrica euclidea)

Se X=\mathbb{R}^n definiamo la metrica euclidea

 

Di particolare rilevanza per il proseguo di un corso

\[d(x,y) = \lVert \vec{x} - \vec{y}\rVert = \sqrt{(x_1-y_1)^2 + \dots +(x_n - y_n)^2}.\]

di Analisi abbiamo il caso in cui n=1, cioè quando X=\mathbb{R}

Allora la metrica euclidea è data da

  \[d(x,y) = |x-y|.\]

Esempio 2 (metrica discreta)

Qualsiasi sia l’insieme X di partenza possiamo definire, \forall x,y\in X, la funzione distanza  \[d(x,y) = \begin{cases}0 \mbox{ se } x=y \\ 1 \mbox{ se } x\neq y\end{cases}.\]

Questa effettivamente è una distanza.

Le proprietà 1-3 sono banalmente soddisfatte,

mentre per quanto riguarda la disuguaglianza triangolare si hanno i due casi

  • Se x=y allora 0=d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y) che è soddisfatta per la proprietà 1.

  • Se x\neq y allora 1=d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y). Infatti x\neq y implica che necessariamente deve essere o x\neq z oppure z\neq y.

Esempio 3 (metrica di Manhattan/del taxi)

Sempre su \mathbb{R}^n possiamo definire la cosiddetta metrica di Manhattan (o del taxi), come segue:

dati i punti x=(x_1,x_2,\dots, X_n), y=(y_1,y_2,\dots,y_n) \in \mathbb{R}^n definiamo

\[d(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2| \dots + |x_n-y_n|.\]

Il nome di tale metrica deriva dal caso bidimensionale.

Infatti, in tal caso,  \[d(x,y) = |x_1-y_1| + |x_2-y_2|\]

e dal punto di vista grafico si ottiene

distanza manhattan

La figura dovrebbe rendere chiaro il significato di tale distanza.

In città la distanza euclidea non è la migliore per calcolare la lunghezza del percorso che collega due punti, bensì è necessario tenere conto di ostacoli e curve.

Definizione (Continuità tra spazi metrici)

Siano:

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Il caso reale, particolarmente importante in questo contesto, segue immediatamente ricordando che \mathbb{R} dotato della metrica euclidea d(x_1,x_2)= |x_1-x_2| è uno spazio metrico:

Definizione (il caso reale)

La funzione f:I\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} è detta continua in x_0\in I se

 \forall \epsilon>0 esiste \delta = \delta(\epsilon)>0 tale che per ogni x\in I per cui |x - x_0|<\delta, si ha |f(x)- f(x_2)|<\epsilon.

Equivalentemente, riprendendo la definizione di limite, possiamo dire che f:I\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} è continua in x_0\in I se

  \[\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).\]

Diremo infine che f è continua su I\subseteq \mathbb{R} se è continua \forall x_0\in I.

Osservazione:

 x_0 deve essere appartenere a I e non deve essere necessariamente di accumulazione per I come nella definizione di limite.

Continuità della funzione composta

Sia f:I\subseteq\mathbb{R} \to J\subseteq \mathbb{R} una funzione continua in x_0\in I

e

sia g:J\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione continua in f(x_0)\in J.

Allora

la funzione composta f\circ g: I\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} è continua in x_0\in I.

Segue direttamente dalle proprietà dei limiti e dal precedente risultato il fatto che, se f,g: I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} sono due funzioni continue in x_0\in I, sono continue in x_0 le funzioni:

  •   \[f+g;\]

  •   \[f\cdot g;\]

  •   \[\frac{f}{g} \mbox{ se (}g(x_0)\neq 0);\]

  •   \[f^g \mbox{ (se }f(x_0)>0);\]

  •   \[\log_f g \mbox{ (se }f(x_0)>0, g(x_0)>0\mbox{ e }g(x_0)\neq 1).\]

Punti di discontinuità

Discontinuità di prima specie

Sia I\subseteq{R} un intervallo e sia x_0\in I. Diremo che la funzione f:I\smallsetminus \{x_0\} \to \mathbb{R} ha un punto di discontinuità di prima specie in x_0 se esisto e sono finiti i limiti

  \[\lim_{x\to x_0^+} f(x) \mbox{ e } \lim_{x\to x_0^-} f(x)\]

ma essi sono diversi tra loro, cioè

  \[\lim_{x\to x_0^+} f(x) \neq\lim_{x\to x_0^-} f(x).\]

Esempio

Si studi la continuità in x_0=0 della funzione

  \[f(x)=\frac{x}{|x|}.\]

Soluzione

Ovviamente la funzione non è continua in x_0=0, poiché si annulla il denominatore. Cerchiamo di classificare il punto di discontinuità:

  \[\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{x}{x} = 1;\]

  \[\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{x}{-x} = -1.\]

I limiti destro e sinistro esistono, sono finiti ma diversi tra loro, quindi

il punto  x_0 = 0 è un punto di discontinuità di prima specie per f.

Discontinuità di seconda specie

Sia I\subseteq{R} un intervallo e sia x_0\in I. Diremo che la funzione f:I\smallsetminus \{x_0\} \to \mathbb{R} ha un punto di discontinuità di seconda specie in x_0 se almeno uno dei due limiti

  \[\lim_{x\to x_0^+} f(x) \mbox{ e } \lim_{x\to x_0^-} f(x)\]

non esiste oppure è infinito.

Esempio

Si studi la continuità e si classifichino gli eventuali punti di discontinuità della funzione

  \[f(x)=\frac{1}{x}.\]

Soluzione

La funzione non è continua in x_0=0.

I limiti destro e sinistro risultano

  \[\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} \frac{1}{x} = +\infty;\]

  \[\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} \frac{1}{x} = -\infty.\]

Per questo motivo

il punto x_0=0 è un punto di discontinuità di seconda specie per f.

Discontinuità di terza specie (o eliminabili)

Sia I\subseteq{R} un intervallo e sia x_0\in I.

Diremo che la funzione f:I\smallsetminus \{x_0\} \to \mathbb{R} ha un punto di discontinuità di terza specie in x_0, o che x_0 è un punto di discontinuità eliminabile, se si verifica uno dei due casi

  1. f non è definita in x_0 ma esiste ed è finito il limite

      \[\lim_{x\to x_0} f(x);\]

  2. f è definita in x_0, esiste ed è finito il limite

      \[\lim_{x\to x_0} f(x),\]

    ma

      \[\lim_{x\to x_0} f(x)\neq f(x_0).\]

Esempio

Si studi la continuità e si classifichino gli eventuali punti di discontinuità della funzione

  \[f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}.\]

Soluzione

Ovviamente la funzione è discontinua in x_0=-1,

infatti qui si annulla il denominatore.

Tuttavia, notando che il numeratore è la differenza di due quadrati, possiamo scrivere

  \[\lim_{x\to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \lim_{x\to -1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to -1} {x-1} = -2.\]

Rientriamo dunque nel primo caso della definizione, cioè la funzione f non è definita in x_0=-1, tuttavia esiste finito il limite

  \[\lim_{x\to x_0} f(x).\]

Per questo

il punto x_0=-1 è un punto di discontinuità eliminabile (di terza specie) per f.

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Link Lezione precedente

Link Lezione successiva

Segue Esercitazione

 

 

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Pubblicato da su 21 agosto 2022 in MATEMATICA

 

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