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Archivi giornalieri: 22 agosto 2022

Teorema di Heine-Borel

22 Ago

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Punti interni, punti esterni, punti di frontiera

Classificazione dei punti in uno spazio metrico.

Vedremo

i punti di accumulazione,

i punti isolati isolati,

i punti interni,

i punti esterni 

i punti di frontiera.

Qui verranno presentate definizioni, esempi e osservazioni utili al fine di comprendere l’argomento nel migliore dei modi

Definizione (classificazione dei punti)

Consideriamo uno spazio metrico (X,d) e un sottoinsieme A\subseteq X.

Mediante la nozione di intorno, è possibile classificare i punti rispetto ad A.

Allora

un punto x_0\in X si dice

  1. Interno ad A se \exists r>0 tale che B_r(x_0)\subseteq A, cioè se esiste un intorno con centro in x_0 completamente contenuto in A;

  2. Esterno ad A se \exists r>0 tale che B_r(x_0)\subseteq A^c, cioè se esiste un intorno con centro in x_0 completamente contenuto nel complementare di A;

  3. Di frontiera per A se comunque io scelga r>0 si ha che B_r(x_0)\cap A \neq \emptyset e B_r(x_0)\cap A^c \neq \emptyset.

punti interni esterni e di frontiera

Inoltre,

dato A sottoinsieme di X,

indicheremo con:

  1. \mathring{A} l’insieme di tutti i punti interni ad A. \mathring{A} è detto interno di A;

  2. \partial A l’insieme di tutti i punti di frontiera per A. \partial A è detto frontiera di A.

Osservazione: 

Un punto interno ad A deve necessariamente appartenere all’insieme A.

Ovviamente

un punto esterno ad A non può appartenere ad A.

Un punto può essere di frontiera per A sia che esso appartenga ad A sia che non vi appartenga.

Esempio 1

Consideriamo\[(a,b] = \{x\in \mathbb{R}: a<x\le b\} \subset\mathbb{R}.\]

Allora

 \{a,b\} sono punti di frontiera per (a,b] 

( si noti che a\notin (a,b] mentre b\in (a,b]).

I punti interni ad (a,b] sono i punti di (a,b) = \{ x\in \mathbb{R} : a<x<b\} 

(si noti che (a,b)\subset (a,b], ossia che come osservato i punti interni sono tutti appartenenti all’insieme di partenza).

i punti esterni ad(a,b]sono i punti (-\infty,a)\cup (b,+\infty) 

(si noti che, come già osservato, i punti esterni non appartengono all’insieme di partenza).

Punti di accumulazione e punti isolati

Qui verranno presentate definizioni, esempi e osservazioni utili al fine di comprendere l’argomento nel migliore dei modi.

Possiamo classificare ulteriormente i punti osservando che

un punto x_0\in X che sia interno o di frontiera per A soddisfa la seguente proprietà:

per ogni raggio r>0, l’intorno B_r(x_0) ha intersezione non vuota con A.

Dunque ci sono solo due possibilità:

1) ogni intorno di x_0 contiene un punto di A diverso da x_0,

2) esiste un intorno di x_0 in cui l’unico punto di A è x_0 stesso.

Precisamente:

Definizione

Consideriamo uno spazio metrico (X,d) e un sottoinsieme A\subseteq X.

Allora x_0\in A si dice

  1. Punto di accumulazione per A se \forall r>0  \exists x\neq x_0 tale che x\in B_r(x_0)\cap A;

  2. Punto isolato in A se \exists r tale che B_r(x_0) \cap A = \{x_0\}.

L’insieme di tutti i punti di accumulazione è detto insieme derivato e sarà indicato con

A'

Teorema

Sia (X,d) uno spazio metrico

e

 A\subseteq X un sottoinsieme non vuoto di X.

Un punto x_0 di X è di accumulazione per A se e solo se ogni intorno di x_0 contiene infiniti punti di A.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che dato x_0 punto di accumulazione per A esista un intorno B_s(x_0) contenente soltanto un numero finito di punti di A.

Siano questi z_1,z_2,\dots, z_n.

Ma allora basta scegliere un raggio r>0 tale che\[r<\min \{d(x_0,z_1), d(x_0,z_2),\dots, d(x_0,z_n)\}\]

per avere un intorno B_r(x_0) che non contiene alcun punto di A diverso da x_0.

Questo è un assurdo, quindi segue la tesi.

CVD

Corollario

Dato una spazio metrico (X,d) 

e

un sottoinsieme A\subseteq X finito,

si ha che l’insieme derivato di A\subseteq X é vuoto.

A' =\emptyset

°°°°°

Esempio 1

Sia

  \[A=\biggl\{\frac{1}{n} : n\in\mathbb{N}\biggr\} = \biggl\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \biggr\} .\]

Allora tutti i punti di A sono isolati in A.

Infatti,

dato \frac{1}{n} un generico elemento di A, evidentemente esiste sempre un raggio r>0 tale per cui B_r(\frac{1}{n}) \cap A =\emptyset.

Precisamente è sufficiente considerare un generico r< \frac{1}{n(n+1)}

D’altra parte A ammette un punto di accumulazione:

lo zero (cioè A' = \{0\}).

Infatti ogniqualvolta io scelga un r>0 in modo arbitrario si ha che per ogni n\in\mathbb{N} per cui n>\frac{1}{r}

  \[\frac{1}{n}\in B_r(0).\]

In altre parole,

comunque fissato r>0, B_r(0) contiene infiniti elementi di A.

Per il teorema sopra visto è possibile concludere che 0 è di accumulazione per A (si noti che 0\notin A).

Insiemi aperti e insiemi chiusi

Qui verranno presentate definizioni, esempi e osservazioni utili al fine di comprendere l’argomento nel migliore dei modi.

Insiemi aperti e chiusi

Definizione

Sia (X,d) uno spazio metrico

e

A\subseteq X un sottoinsieme di X.

Si dice che A è aperto se ogni suo punto è interno, i.e. A è aperto se \mathring{A} = A.

Si dice poi che A è chiuso se il complementare A^c è aperto.

Possiamo anche caratterizzare gli insiemi chiusi mediante i punti di accumulazione e mediante i punti di frontiera.

In effetti, chiamato A' l’insieme dei punti di accumulazione di A, possiamo enunciare il seguente

Teorema

Sia (X,d) uno spazio metrico.

Allora sono equivalenti:

  1. C\subseteq X è chiuso;

  2. \partialC \subseteq C;

  3. C contiene i suoi punti di accumulazione (C'\subseteq C).

Osservazione:

esistono insiemi sia aperti che chiusi ed esistono insiemi né aperti né chiusi.

Unioni e intersezioni di aperti e chiusi

Teorema (unione e intersezione di aperti)

Sia (X,d) uno spazio metrico

e

sia \{A_i\}_{i\in I} una famiglia arbitraria di sottoinsiemi aperti di X.

Allora

i seguenti insiemi sono aperti:

  1.   \[A=\bigcup_{i\in I} A_i;\]

  2.   \[A = \bigcap_{i=1}^{n} A_i.\]

Dimostrazione

  1. Sia x\in \bigcup_{i\in I} A_i. In particolare x\in A_i per qualche i. Essendo questo aperto, esiste un intorno di x tutto contenuto in A_i, dunque tutto contenuto in \bigcup_{i\in I} A_i. Per arbitrarietà di x possiamo affermare che questa proprietà vale \forall x \in \bigcup_{i\in I} A_i, quindi segue la tesi: \bigcup_{i\in I} A_i è aperto;

  2. Dimostriamo che l’intersezione di due aperti è un aperto. Siano A_1 e A_2 aperti e sia x\in A_1\cap A_2 (in particolare x appartiene sia ad A_1 che ad A_2). Dato che A_1 è aperto, \exists r_1 tale che B_{r_1}(x)\subseteq A_1. D’altra parte, essendo anche A_2 aperto, \exists r_2 tale che B_{r_2}(x)\subseteq A_2. Ma allora, scelto r=\min \{r_1,r_2} si ha che B_r(x)\subseteq A_1\cap A_2 e quindi A_1\cap A_2 è aperto. Ripetendo lo stesso ragionamento per un numero finito di aperti si ha immediatamente la tesi.

CVD

Si presti attenzione al fatto che un’intersezione infinita di aperti può non essere un aperto.

L’esempio standard è offerto dalla famiglia \{A_n\}_{n\in \mathbb{N}} = \biggl\{(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\biggr\}_{n\in \mathbb{N}} di intervalli in \mathbb{R}.

Infatti, in tal caso, intersezione infinita è

  \[\bigcap_{n\in\mathbb{N}} A_n = \{0\}\]

e

 \{0\} è un chiuso perché complementare dell’aperto (-\infty,0)\cup\(0,+\infty).

Teorema (unione e intersezione di chiusi)

Sia (X,d) uno spazio metrico e sia \{C_i\}_{i\in I} una famiglia arbitraria di sottoinsiemi chiusi di X. Allora i seguenti insiemi sono chiusi:

  1.   \[C = \bigcap_{i\in I} C_i\]

  2.   \[C = \bigcup_{i=1}^{n} C_i.\]

Dimostrazione

Basta osservare che

  \[\biggl(\bigcap_{i\in I} A_i\biggr)^c = \bigcup_{i\in I} A_i^c\]

 

e ripercorrere la dimostrazione per gli aperti.

CVD

La chiusura di un un insieme:

Definizione

Sia (X,d) uno spazio metrico

e

 A\subseteq X.

Si dice chiusura di A l’insieme \bar{A} = A\cup A', ossia l’unione di A con l’insieme dei suoi punti di accumulazione.

Dalla caratterizzazione per insiemi chiusi vista a inizio lezione, segue subito che

un insieme C è chiuso se e soltanto se C=\bar{C}.

Valgono inoltre, per ogni sottoinsieme A\subseteq \mathbb{R}^n le seguenti relazioni

  \[\mathring{A}\subseteq A \subseteq \bar{A};\]

  \[\bar{A} = A\cap \partial A;\]

  \[\partial A = \bar{A}\smallsetminus \mathring{A}.\]

A questo punto abbiamo tutti gli strumenti per definire in modo rigoroso il concetto intuitivo di densità:

Definizione

Sia (X,d) uno spazio metrico

e

sia A\subseteq X.

Diremo che

 A è denso in X se \bar{A} = X.

Esempio

Se consideriamo la retta reale \mathbb{R} dotata della metrica euclidea d(x,y):=|x-y|,

si ha che l’insieme dei razionali \mathbb{Q}\subset \mathbb{R} è denso in \mathbb{R}, cioè \bar{\mathbb{Q}} = \mathbb{R}.

Il caso reale: intervalli aperti, chiusi, né aperti né chiusi

Una famiglia particolarmente rilevante è quella costituita dagli intervalli della retta reale.

Se consideriamo lo spazio metrico di reali muniti della distanza euclidea, si ha:

Siano a<b due numeri reali. Allora

  1. Gli intervalli del tipo (a,b),(-\infty,a), (a,+\infty) sono aperti;

  2. Gli intervalli del tipo [a,b] sono chiusi;

  3. Gli intervalli del tipo (a,b], [a,b) non sono né aperti né chiusi.

Insieme compatto

Qui verranno presentate definizioni, esempi e osservazioni utili al fine di comprendere l’argomento nel migliore dei modi.

Dato uno spazio metrico (X,d)

e

un sottoinsieme C\subseteq X,

consideriamo una famiglia di sottoinsiemi aperti di X, \{A_i\}_{i\in I}.

Diremo che tale famiglia è una copertura aperta di C se

\[C\subseteq \bigcup_{i\in I} A_i.\]

Data una copertura aperta di C,

definiamo

una sottocopertura finita estratta dalla copertura aperta \{A_i\}_{i\in I} di C come una sottofamiglia \{A_{i_1}, A_{i_2}\dots, A_{i_n}\} tale che

  \[C\subseteq \bigcup_{i=1}^{n} A_i\]

Possiamo finalmente definire gli

insiemi compatti:

Definizione

Sia (X,d) uno spazio metrico.

Un insieme C\subseteq X si dice compatto se da ogni copertura aperta di C si può estrarre una sottocopertura finita.

Il teorema di Heine-Borel

Se X=\mathbb{R}^n viene dotato della metrica euclidea, allora possiamo caratterizzare la proprietà di compattezza mediante il teorema di Heine-Borel, che segue qui sotto.

In generale,

dato uno spazio metrico (X,d),

se un sottoinsieme C\subseteq X è compatto allora esso è chiuso e limitato.

Se X=\mathbb{R}^n viene dotato della metrica euclidea, allora vale anche il viceversa:

Teorema (Heine-Borel)

Un insieme C\subset \mathbb{R}^n è compatto se e solo se è chiuso e limitato.

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Link Lezione precedente

Link Lezione successiva

Segue Esercitazione

 

 

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Pubblicato da su 22 agosto 2022 in MATEMATICA

 

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