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Archivi giornalieri: 23 agosto 2022

Funzioni continue tra Spazi Metrici

23 Ago

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Funzioni continue

Definizione (Continuità tra spazi metrici)

Siano (X_1,d_1),(X_2,d_2) spazi metrici.

Una funzione f:(X_1,d_1)\to (X_2,d_2) è detta continua in x_0\in X_1

se \forall \epsilon>0 esiste \delta = \delta(\epsilon)>0 tale che per ogni x\in X_1 per cui d_1 (x,x_0)<\delta, si ha d_2(f(x), f(x_0))<\epsilon.

Il caso reale, particolarmente importante in questo contesto, segue immediatamente ricordando che \mathbb{R} dotato della metrica euclidea d(x_1,x_2)= |x_1-x_2|

\mathbb{R}, è uno spazio metrico:

Definizione (il caso reale)

La funzione f:I\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} è detta continua in x_0\in I

se \forall \epsilon>0 esiste \delta = \delta(\epsilon)>0 tale che per ogni x\in I per cui |x - x_0|<\delta, si ha |f(x)- f(x_2)|<\epsilon.

Equivalentemente,

riprendendo la definizione di limite, possiamo dire che f:I\subseteq \mathbb{R}\to\mathbb{R} è continua in x_0\in I se

  \[\lim_{x\to x_0} f(x) = f(x_0).\]

Diremo infine che f è continua su I\subseteq \mathbb{R} se è continua \forall x_0\in I.

Osservazione:

x_0 deve essere appartenere a I e non deve essere necessariamente di accumulazione per I come nella definizione di limite.

Continuità della funzione composta

Sia f:I\subseteq\mathbb{R} \to J\subseteq \mathbb{R}

una funzione continua in x_0\in I e

sia g:J\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} una funzione continua in f(x_0)\in J.

Allora

la funzione composta f\circ g: I\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} è continua in x_0\in I.

Segue direttamente dalle proprietà dei limiti e dal precedente risultato il fatto che, se f,g: I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R} sono due funzioni continue in x_0\in I, sono continue in x_0 le funzioni:

  •   \[f+g;\]

  •   \[f\cdot g;\]

  •   \[\frac{f}{g} \mbox{ se (}g(x_0)\neq 0);\]

  •   \[f^g \mbox{ (se }f(x_0)>0);\]

  •   \[\log_f g \mbox{ (se }f(x_0)>0, g(x_0)>0\mbox{ e }g(x_0)\neq 1).\]

Punti di discontinuità

Discontinuità di prima specie

Sia I\subseteq{R} un intervallo e sia x_0\in I. Diremo che la funzione f:I\smallsetminus \{x_0\} \to \mathbb{R} ha un punto di discontinuità di prima specie in x_0 se esisto e sono finiti i limiti

  \[\lim_{x\to x_0^+} f(x) \mbox{ e } \lim_{x\to x_0^-} f(x)\]

ma essi sono diversi tra loro, cioè

  \[\lim_{x\to x_0^+} f(x) \neq\lim_{x\to x_0^-} f(x).\]

Esempio

Si studi la continuità in x_0=0 della funzione

  \[f(x)=\frac{x}{|x|}.\]

Soluzione :

Ovviamente la funzione non è continua in x_0=0, poiché si annulla il denominatore. Cerchiamo di classificare il punto di discontinuità:

  \[\lim_{x\to 0^+} f(x) = \lim_{x\to 0^+} \frac{x}{x} = 1;\]

  \[\lim_{x\to 0^-} f(x) = \lim_{x\to 0^-} \frac{x}{-x} = -1.\]

I limiti destro e sinistro esistono, sono finiti ma diversi tra loro, quindi x_0 = 0 è un punto di discontinuità di prima specie per f.

Discontinuità di seconda specie

Sia I\subseteq{R} un intervallo e sia x_0\in I.

Diremo che la funzione f:I\smallsetminus \{x_0\} \to \mathbb{R} ha un punto di discontinuità di seconda specie in x_0 se almeno uno dei due limiti

  \[\lim_{x\to x_0^+} f(x) \mbox{ e } \lim_{x\to x_0^-} f(x)\]

non esiste oppure è infinito.

Esempio

Si studi la continuità e si classifichino gli eventuali punti di discontinuità della funzione

  \[f(x)=\frac{1}{x}.\]

Soluzione

La funzione non è continua in x_0=0. I limiti destro e sinistro risultano

  \[\lim_{x\to0^+} f(x) = \lim_{x\to0^+} \frac{1}{x} = +\infty;\]

  \[\lim_{x\to0^-} f(x) = \lim_{x\to0^-} \frac{1}{x} = -\infty.\]

Per questo motivo il punto x_0=0 è un punto di discontinuità di seconda specie per f.

Discontinuità di terza specie (o eliminabili)

Sia I\subseteq{R} un intervallo e sia x_0\in I.

Diremo che la funzione f:I\smallsetminus \{x_0\} \to \mathbb{R} ha un punto di discontinuità di terza specie in x_0, o che x_0 è un punto di discontinuità eliminabile, se si verifica uno dei due casi

  1. f non è definita in x_0 ma esiste ed è finito il limite

      \[\lim_{x\to x_0} f(x);\]

  2. f è definita in x_0, esiste ed è finito il limite

      \[\lim_{x\to x_0} f(x),\]

    ma

      \[\lim_{x\to x_0} f(x)\neq f(x_0).\]

Esempio

Si studi la continuità e si classifichino gli eventuali punti di discontinuità della funzione

  \[f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}.\]

Soluzione

Ovviamente la funzione è discontinua in x_0=-1, infatti qui si annulla il denominatore. Tuttavia, notando che il numeratore è la differenza di due quadrati, possiamo scrivere

  \[\lim_{x\to -1} \frac{x^2-1}{x+1} = \lim_{x\to -1} \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = \lim_{x\to -1} {x-1} = -2.\]

Rientriamo dunque nel primo caso della definizione, cioè la funzione f non è definita in x_0=-1, tuttavia esiste finito il limite

  \[\lim_{x\to x_0} f(x).\]

Per questo il punto x_0=-1 è un punto di discontinuità eliminabile (di terza specie) per f.

Teorema di Weierstrass

Come sempre partiamo dal caso più generale, per poi focalizzarci su \mathbb{R}. Il teorema di Weierstrass fornisce una condizione sufficiente affinché una funzione ammetta massimo e minimo. Purtroppo non restituisce un modo per determinare effettivamente questi punti, ma è già un inizio.

Vediamo anzitutto un risultato necessario per la dimostrazione del teorema di Weierstrass

Teorema

Siano (X_1,d_1), (X_2,d_2) due spazi metrici, X_1 compatto. Se f:X_1\to X_2 è continua allora f(X_1) è compatto.

Teorema (di Weierstrass)

Sia (X,d) uno spazio metrico, con X compatto.

Allora,

se f:X\to \mathbb{R} è continua, essa ammette massimo e minimo assoluto in X.

In altre parole, sotto le ipotesi citate, \exists x_1,x_2\in X tali che f(x_1)\le f(x)\le f(x_2) per ogni x\in X.

I compatti per eccellenza in \mathbb{R} sono gli intervalli chiusi del tipo [a,b], con a<b.

Dotando questi della metrica euclidea, otteniamo l’enunciato

Sia f:[a,b]\to \mathbb{R} una funzione continua.

Allora

 f ammette massimo e minimo assoluto in [a,b].

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Segue Esercitazione

 

 

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Pubblicato da su 23 agosto 2022 in MATEMATICA

 

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