Salvatore Di Lucia
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Distribuzione di Panjer
In teoria delle probabilità
Le possibili scelte dei parametri 
e le corrispondenti distribuzioni
Origine
Le distribuzioni di Panjer vennero introdotte dallo statistico canadese Harry H. Panjer come particolari classi di distribuzioni che permettono di trovare soluzioni “in forma chiusa” ad un particolare problema di valutazione del rischio.
Per descrivere la distribuzione di probabilità della somma 
di un numero aleatorio 
di variabili aleatorie indipendenti 
(le richieste) aventi una stessa distribuzione, è necessario calcolare più volte il prodotto di convoluzione di queste distribuzioni e non sempre esso può essere reso esplicito.
Panjer descrisse una classe di possibili distribuzioni di probabilità per per le quali la distribuzione di probabilità di 
può essere descritta in una forma più semplice; quando le variabili 
seguono una distribuzione discreta allora la distribuzione di può essere calcolata esplicitamente.
Definizione
Una distribuzione di Panjer con parametri è una distribuzione di probabilità discreta con supporto i numeri naturali e le cui probabilità 
sono definite per ricorsione come
Non tutte le coppie definiscono una distribuzione di probabilità: ogni termine della successione dev’essere positivo e la serie deve convergere.
In particolare il primo fattore 
non strettamente positivo dev’essere nullo (in questo caso la distribuzione avrà supporto su
Sotto queste condizioni la distribuzione è univocamente determinata dal termine 
, che viene ricavato tramite una trasformazione lineare dalla condizione 
:
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Proprietà
Anche se le quattro classi di distribuzioni hanno proprietà diverse, alcune loro proprietà possono essere espresse sotto la forma di distribuzioni di Panjer.
Una variabile aleatoria X con distribuzione di Panjer di parameri ha
Queste possono essere ottenute tramite i momenti centrali ![{\displaystyle \mu _{n}=E[X^{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d6a2571134657fa946ba1079dfcda66c521cbd5)
, che si possono esprimere tramite ricorsione a partire da 
e dalle relazioni
-
dalle quali si ricavano
-
, che implica ![{\displaystyle E[X]=\mu _{1}={\tfrac {a+b}{1-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/559be66202c2d33266faf8be67a4ba477edb5ff4)
, e
-
, che implica ![{\displaystyle E[X^{2}]=\mu _{2}={\tfrac {(a+b)(a+b+1)}{(1-a)^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/10447d417a7758694e2a08b6570f109efee68529)
Generalizzazioni
La formula ricorsiva della distribuzione di Panjer può essere utilizzata per definire altre distribuzioni, ma in questo caso il supporto della distribuzione viene scelto arbitrariamente e le distribuzioni risultanti non sono più collegate al problema di valutazione del rischio studiato da Panjer.
Ad esempio
la distribuzione logaritmica, definita sui numeri naturali positivi (senza lo zero) come
soddisfa la relazione
Più in generale
si possono considerare distribuzioni definite sugli interi superiori ad un numero n fissato, ovvero con supporto 
Un’altra scelta è di troncare il supporto ad un intero , ossia di imporre
-
-
e
-
-
per .
Per ogni scelta dei parametri è sempre possibile scegliere dei sottoinsiemi 
in modo che i termini 
abbiano lo stesso segno e che la serie 
converga
(ad esempio scegliendo un solo elemento, 
).
Riscalando i termini in modo che la loro somma sia 1 si ottiene una distribuzione di probabilità definita su ; in ogni caso nessuna di queste distribuzioni, tranne eventualmente quella con supporto 
, è una distribuzione di Panjer.
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![\phi _{T}(t)=E[e^{{tTi}}]=e^{{ix_{0}t-y_{0}|t|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/056f21080fcddaa9bade3099f268b961144a2c78)
![[a,b]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
![S=[a,b]\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8bb11d45eaca25f1e76a9b051521643db906f0e)
![S=[a,b]\subset {\mathbb {R}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/caf5bfc8c999200f76de2c61e92b9db2371c3b55)
![{\mathcal {U}}(a,b)={\mathcal {U}}([a,b])](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/576961e266082f3327e99a9b7663a9294290bcfe)
![I=[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87ec65159c44769434523e46928bc1b82681f842)
![[x_{1},x_{2}]\subset I](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff30ac69ec71ee6408c252296d3285ec2ee6744a)
![P([x_{1},x_{2}])=x_{2}-x_{1}\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0d164da861d0dcb6829f89d120d8fb5a38f9f6e)
![]0,1[](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f6a83a50a400fb17f0c9abe6e674c6526a7b0e1)
![E[X]={\frac {1}{2}},\qquad E[Y]=a+(b-a)E[X]={\frac {a+b}{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac65220fcbafbb696d5e6dbb083f12b0296d9916)
![\phi _{X}(t)=E[e^{{itX}}]={\frac {e^{{it}}-1}{it}},\qquad \phi _{Y}(t)=e^{{iat}}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{{ibt}}-e^{{iat}}}{ibt-iat}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf25c093e38c5dafba30fb721d6bf2264ff14177)
![g_{X}(t)=E[e^{{tX}}]={\frac {e^{t}-1}{t}},\qquad g_{Y}(t)=e^{{at}}g_{X}((b-a)t)={\frac {e^{{bt}}-e^{{at}}}{bt-at}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c9f9a4db4640a3230d17d73387785bd1fb8c47a)
![Y-E[Y]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd30e8a006ee133153a8c73036a7dbdf424ae49d)
![[-{\tfrac {b-a}{2}},{\tfrac {b-a}{2}}]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcbacf3e472e7e75db9909f9e1e812cef8beade5)
![m_{n}(Y)=\mu _{n}(Y-E[Y])={\begin{cases}{\frac {(b-a)^{n}}{(n+1)2^{n}}}&n=2k\\0&n=2k+1\end{cases}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04f211c1895777935ce2cb19dfaef0e9f10da860)
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![Y=1-{\sqrt[ {n}]{X}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6afc6b56632cbe2c66e2fd79503adce615d1523f)
![p\in ]0,1[](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cd07a5e96ded88e85782453bdae4353f369a648)
![{\displaystyle \mu _{k}=E[X^{k}]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}\sum _{n>0}n^{k-1}p^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c2eb674dd8c97a4f156562aee4ac1db18bf8495)
![{\displaystyle E[X]={\frac {1}{\log {\frac {1}{1-p}}}}{\frac {p}{1-p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c8de412fa046369588e7b0ecb7ce5fa214260bc)
![{\displaystyle {\text{Var}}(X)=E[X^{2}]-E[X]^{2}={\frac {1}{-(1-p)^{2}\log(1-p)}}-{\Big (}{\frac {p}{-(1-p)\log(1-p)}}{\Big )}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37245c3d63877139c2d3f9d1cea48cd1fa9dd568)
![{\displaystyle g_{X}(t)=E[e^{tX}]={\frac {1}{-\log(1-p)}}\sum _{n>0}{\frac {(pe^{t})^{n}}{n}}={\frac {\log(1-pe^{t})}{\log(1-p)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08ee80217d0b78be8af56db0d3a7ee3d301d0c8f)
![{\displaystyle E[X]={\frac {a+b}{1-a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dab7d710b4785e0d1c4e438267d1e64011300c3)
![p\in [0,1]\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3679153249452a22a4b7077d53e8bd31d7ab4de0)
![{\displaystyle E[T_{n}]=nE[T]={\frac {n}{p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d92cb02c4999f27108dc3d02aab8dfc5f27e8cc3)
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