Logica Matematica

formule ben formate

Il concetto di dimostrazione

Tutte le nostre conoscenze al di fuori delle matematiche consistono di congetture.Confermiamo le nostre conoscenze matematiche mediante ragionamenti dimostrativi, ma supportiamo le nostre congetture mediante ragionamenti plausibili. La differenza fra i due tipi di ragionamento è fondamentale. Il ragionamento dimostrativo è sicuro, oltre ogni controversia e definitivo. Il ragionamento plausibile è controverso e provvisorio.

Osservazione 1

problema
Se conosciamo la validità di uno o più fatti, come possiamo dedurre da essi la validità di altri?

Vogliamo affrontare il problema più delicato delle matematiche ossia quello della dimostrazione.
Sappiamo che proprio questa è la peculiarità che differenzia le matematiche dalle altre scienze, cioè che ogni fatto dimostrato in matematica diviene assoluto. Nelle matematiche i metodi dimostrativi sono molti, anche se
erroneamente si crede che l’unico metodo dimostrativo sia quello deduttivo.
In seguito considereremo altri strumenti dimostrativi ma, per il momento, consideriamo qualche metodo che utilizza quanto abbiamo visto finora.

Definizione

Diciamo schema deduttivo uno schema che a partire dalla verità di alcuni fatti noti, chiamati premesse, permette di stabilire la verità di uno o più altri fatti, detti conclusione.
Esempio

Supponiamo di sapere che sono veri i seguenti fatti: Tutti i multipli di 8 sono multipli di 4; Tutti i multipli di 4 sono multipli di 2.Che cosa possiamo dedurre da queste ipotesi? Interpretiamo da punto di vista insiemistico le due affermazioni:

L’insieme M8 (multipli di 8) è un sottoinsieme di M4 (multipli di 4), il quale è a sua volta sottoinsieme di M2 (multipli di 2). Possiamo dedurre: Tutti i multipli di 8 sono multipli di 2.

Quanto mostrato nell’esempio precedente è vero in generale, possiamo cioè dire che è vera la seguente deduzione:

(x ∈ Y, ∀ x ∈ X ) ∧ (x ∈ Z, ∀ x ∈ Y ) ⇒ (x ∈ Z, ∀ x ∈ X ).

Abbiamo già parlato dei giudizi aristotelici e quelli che stiamo considerando in questo caso sono tre giudizi universali affermativi, relativi a tre diverse proprietà, con un termine medio, che in questo caso è l’insieme Y. In effetti lo stesso Aristotele aveva considerato schemi deduttivi di questo genere, che aveva battezzato sillogismi, distinguendo quattro diverse figure.

Sillogismo –

Deriva da una parola greca che significa ragionare in modo ordinato. Si noti che il suffisso logismo deriva da logos che è la radice della parola logica e che fra i suoi vari significati ha anche quello di pensiero, ragionamento.

Definizione
Definiamo sillogismo uno schema verificante le seguenti proprietà:
• le premesse e la conclusione sono giudizi aristotelici che legano fra loro tre proposizioni;
• le premesse hanno una proposizione in comune;
• la conclusione è relativa alle due proposizioni non comuni.
Se il sillogismo è uno schema deduttivo allora esso si dice perfetto.

Dedurre significa che da certe premesse si ottiene sempre una stessa conclusione.
Vediamo ora tre schemi che si possono ottenere considerando le tabelle di verità dei connettivi binari. Se consideriamo la tabella di verità della disgiunzione inclusiva, ci accorgiamo che la proposizione composta è vera
purché almeno una delle due proposizioni componenti lo sia:

Se supponiamo quindi che la proposizione composta sia vera e che una delle due componenti sia falsa, non possiamo fare altro che dedurre che l’altra proposizione è vera.

Esempio

Sappiamo che ogni elemento dell’insieme A = {2, 3, 5, 7, 10, 13, 15} è primo o divisibile per 5; pertanto se scegliamo a caso un numero n ∈ A e vediamo che non è un numero primo, siamo sicuri che è divisibile per 5.

Definizione

Definiamo sillogismo disgiuntivo uno schema deduttivo le cui premesse sono la disgiunzione inclusiva, di due proposizioni e la negazione di una delle due, la conclusione è l’altra proposizione.

Notazione

Un sillogismo disgiuntivo si indica in uno dei seguenti modi equivalenti:Non possiamo dedurre niente se invece sappiamo che la disgiunzione inclusiva è vera e una delle due proposizioni è vera, né se sappiamo che la disgiunzione inclusiva è falsa e una delle due è falsa. Anzi, in quest’ultimo caso, la seconda informazione non è necessaria, perché se la disgiunzione inclusiva è falsa entrambe le proposizioni componenti devono essere false.

Esempio
Considerando sempre l’insieme A = {2, 3, 5, 7, 10, 13, 15}, se prendiamo un suo elemento a caso e vediamo che è un numero primo, non possiamo dedurre niente, né che è divisibile per 5 né che non lo è, dato che in A vi sono numeri primi sia divisibili per 5 (5), sia non divisibili per 5 (2, 3, 7, 13).
Vediamo quali deduzioni possiamo ottenere utilizzando la tabella di verità della congiunzione:Esempio
Sappiamo che i quadrati sono quadrilateri equilateri ed equiangoli.
Se sappiamo che Q è un quadrilatero non equilatero, possiamo dedurre che non è un quadrato.
Se sappiamo che Q è equilatero, non possiamo dedurre che sia equiangolo, quindi che sia un quadrato.
Sapendo che Q non è un quadrato, non possiamo dedurre che non è equilatero né che non è equiangolo, possiamo dedurre che non è entrambe le cose.
L’esempio precedente ci convince che, in generale, la congiunzione non genera schemi deduttivi.

Osservazione 2

Due degli schemi più interessanti in logica derivano dalla tabella di verità dell’implicazione materiale:Esempio
Sappiamo che è vero il seguente teorema: Se da un punto P, esterno a una circonferenza Γ, tracciamo le tangenti a Γ, i segmenti di tangenza sono fra loro isometrici.

Con riferimento alla figura precedente, possiamo scrivere simbolicamente il predetto teorema nella forma :
P ⇒ Q, in cui P: PA e PB sono tangenti a Γ, e Q: PA= PB .

Quali tipi di schemi deduttivi possiamo costruire?

Enunciamo le possibili premesse:
Il teorema è vero, quindi è vero che P ⇒ Q.
L’altra premessa può poi essere una delle seguenti quattro:
la verità di P; la verità di Q; la falsità di P; la falsità di Q.
Quali possono essere le conseguenze? La verità o falsità di P o Q, secondo le premesse. Vediamo quali di questi possibili schemi funziona, applicandoli al teorema dell’Esempio .

Esempio a

Il primo schema possibile è il seguente:

Se da un punto P esterno a una circonferenza Γ, tracciamo le tangenti a
Γ, i segmenti di tangenza sono fra loro isometrici. Dato che PA e PB sono tangenti a Γ allora PA= PB . Praticamente stiamo applicando il teorema.
Dato che il precedente schema funziona, non sarà valido quello la cui conclusione sarà PA≠ PB , che perciò non prendiamo in considerazione.

Diamo invece un nome allo schema funzionante.

Definizione
Definiamo modus ponens uno schema deduttivo le cui premesse sono l’implicazione materiale di due proposizioni e l’antecedente, la conclusione è il conseguente.

Notazione

Il modus ponens si indica nel seguente modo:

Non è invece valido lo schema:

°°°°°°°°°°°°

Esempio b

Il secondo schema possibile è il seguente:
Se da un punto P, esterno a una circonferenza Γ, tracciamo le tangenti a Γ, i segmenti di tangenza sono fra loro isometrici.

Dato che PA= PB allora PA e PB sono tangenti a Γ. Questa volta la deduzione non è corretta, come mostra la seguente figura, in cui P è un punto esterno a Γ, da cui abbiamo condotto due rette, non tangenti Γ, che però determinano segmenti PA e PB fra loro isometrici:
Né sarebbe stata corretta la deduzione PA e PB non sono tangenti a Γ, perché potremmo essere nel caso illustrato dalla figura che accompagna l’Esempio a.

Viste le risultanze dell’esempio precedente, possiamo dire che NON sono schemi deduttivi i seguenti:nè

°°°°°°°°°°°°

Passiamo a considerare il terzo schema.

Esempio c

Se da un punto P, esterno a una circonferenza Γ, tracciamo le tangenti a Γ, i segmenti di tangenza sono fra loro isometrici. Dato che PA e PB non sono tangenti a Γ, allora PA≠ PB .Sempre considerando la figura dell’esempio precedente, possiamo dire che la deduzione non è corretta. Né sarebbe corretta la deduzione PA= PB , come mostra la figura:Non sono perciò schemi deduttivi i seguenti:

nè

°°°°°°°°°°°°

Il terzo schema possibile è il seguente:

Esempio d
Se da un punto P, esterno a una circonferenza Γ, tracciamo le tangenti a Γ, i segmenti di tangenza sono fra loro isometrici. Dato che PA≠ PB allora PA e PB non sono tangenti a Γ. Questa volta la deduzione è corretta, dato che se PA e PB fossero tangenti saremmo nelle ipotesi del modus ponens e quindi dovremmo concludere che PA= PB , contro la verità della seconda premessa di questo schema.

Definizione

Definiamo modus tollens uno schema deduttivo le cui premesse sono l’implicazione materiale di due proposizioni e la negazione del conseguente, la conclusione è la negazione dell’antecedente.

Notazione
Il modus tollens si indica nel seguente modo:Che cosa significa?
Modus ponens, abbreviazione di Modus ponendo ponens, significa semplicemente modo che afferma.
Modus tollens, significa semplicemente il modo che toglie la verità di una proposizione togliendo quella di un’altra.

Entrambi gli schemi erano noti già dai tempi degli stoici (circa 300 a.C.), furono meglio studiati dai cosiddetti logici medioevali
Considerando i due nuovi schemi appena presentati, ci accorgiamo che essi stabiliscono delle condizioni che permettono di effettuare certe deduzioni. In particolare:
– il modus ponens è una condizione sufficiente ad assicurarci che se accade un certo fatto (p) ne deve conseguire un altro (q);
– il modus tollens invece stabilisce una condizione necessaria, senza la quale un certo fatto non può verificarsi.

Definizione
Diciamo che una data ipotesi è condizione necessaria per il verificarsi di una proprietà, se questa risulta falsa quando la detta ipotesi è falsa.
Definizione
Diciamo che una data ipotesi è condizione sufficiente a garantire che una certa proprietà sia vera, se questa risulta vera solo per il fatto che la detta ipotesi è vera.

…segue…!