SUCCESSIONI E SERIE DI FUNZIONI
N.9.- Raggio di convergenza di una serie di potenze.-
Definizione di Raggio di convergenza di una serie di potenze.-
Sia: 
la serie di potenze di coefficienti : 
e punto iniziale 
,
Osservazione 1
Poichè la serie 
converge nel punto 
, il raggio di convergenza di una serie di potenze é non negativo.
Osservazione 2
Dalla proposizione (8.1) consegue banalmente:
(9.1) Le seguenti proposizioni sono equivalenti:
a) La serie di potenze:ha raggio di convergenza uguale a ρ .
b) La serie di potenze:converge in ogni punto di 
e non converge nei punti di R non appartenenti a
Osservazione 3
Per tale ragione, se ρ é il raggio di convergenza della serie di potenze l’intervallo chiamasi Intervallo di Convergenza della serie
Osservazione 4
Evidentemente, l’intervallo di convergenza di una serie di potenze di punto iniziale
può essere vuoto: ciò accade se e solo se il suo raggio di convergenza é nullo o, ciò che é lo stesso, se e solo se la serie di potenzeconverge solo per
.
Osservazione 6
Osserviamo altresì che, se il raggio di convergenza, diciamolo ρ, della serie di potenzeé finito o nullo, niente si può dire in generale circa la convergenza della serie di potenze (1) nei punti 
Così ad esempio, la serie di potenze:
il cui raggio di convergenza é 1, non converge nè nel punto 1, sia nel punto -1;
per contro , ad esempio la serie di potenze:
il cui raggio di convergenza é 1, converge sia nel punto 1, nè nel punto -1; infine ad esempio la serie di potenze:
il cui raggio di convergenza é 1, converge sia nel punto -1, ma non nel punto +1.
Osservazione 7
Relativamente alla nozione di raggio di convergenza, notevole é il seguente:
Teorema fondamentale per la ricerca del raggio di convergenza di una serie di potenze.-
Teorema di Cauchy-Hadamard
Il raggio di convergenza di una serie di potenze di coefficienti 
é uguale a:
DIM.:
Osservazione 8
Enunciamo infine, omettendo per brevità la dimostrazione, il seguente importante:
Teorema di Abel
a)
Ogni serie di potenze di punto iniziale
, il cui raggio di convergenza ρ sia finito o non nullo, la quale converga nel punto
converge uniformemente nell’intevallo 
b)
Ogni serie di potenze di punto iniziale, il cui raggio di convergenza ρ sia finito o non nullo, la quale converga nel punto 
converge uniformemente nell’intevallo 
…Continua…!
Tag: raggio di convergenza di una serie di potenze, Teorema di Abel, Teorema di Chauchy-Hadamard
convergerà sempre (per com’é definita) nel punto x_o,
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