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punto singolare di una curva

21 Feb

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“La matematica non conosce razze o confini geografici; per la matematica, il mondo culturale è una singola nazione.”

DAVID HILBERT

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punto singolare di una curva

In geometria,

un punto singolare di una curva è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una funzione liscia.

La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

Curve algebriche nel piano

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti $(x,y)$ del piano che soddisfano una equazione nella forma $f(x,y)=0$ dove

$f$ è una funzione polinomiale $f\colon \mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}$

f(x,y)=a_{0}+b_{0}x+b_{1}y+c_{0}x^{2}+2c_{1}xy+c_{2}y^{2}+\dots

Se l’origine $(0,0)$ appartiene alla curva allora $a_{0}=0$ . Se $b_{1}\neq 0$ allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia $h$ tale che la curva ha la forma $y=h(x)$ in un intorno dell’origine.

Analogamente, se $b_{0}\neq 0$ allora esiste una funzione liscia $k$ tale che la curva ha la forma $x=k(y)$ in un intorno dell’origine.

In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da $\R$ al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell’origine.

Nell’origine si ha che

b_{0}={\partial f \over \partial x},\,b_{1}={\partial f \over \partial y},

per cui la curva è non singolare, o regolare, nell’origine se almeno una delle derivate parziali di $f$ è non nulla.

I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di $f$ :

f(x,y)={\partial f \over \partial x}={\partial f \over \partial y}=0.

Punti di regolarità

Assumendo che la curva passi per l’origine e ponendo $y = mx$ , $f$ può essere scritta come

$f=(b_{0}+mb_{1})x+(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+\dots .\,$

Se $b_{0}+mb_{1}\neq 0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità $1$ per $x=0$ e l’origine è un punto di contatto di ordine $1$ con la retta $y = mx$ .

Se $b_{0}+mb_{1}=0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a $2$ e la retta $y = mx$ ovvero $b_{0}x+b_{1}y=0$ è tangente alla curva. In tale caso, se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}\neq 0$ allora la curva ha un punto di contatto di ordine $2$ con $y = mx$ .

Se il coefficiente di ${\displaystyle x^{2))$ è nullo ovvero se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ma non è nullo il coefficiente di $x^3$ allora l’origine è un punto di flesso della curva.

Se entrambi i coefficienti di ${\displaystyle x^{2))$ e $x^3$ sono nulli allora l’origine è un punto di ondulazione.

Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell’origine.

Punti doppi

Tre limaçon:

la curva a sinistra ha un punto doppio isolato nell’origine,

quella al centro (cardioide) ha una cuspide nell’origine,

quella a destra ha un nodo (autointersezione) nell’origine.

Se ${\displaystyle b_{0))$ e ${\displaystyle b_{1))$ sono entrambi nulli ma almeno uno tra ${\displaystyle c_{0))$ , ${\displaystyle c_{1))$ e ${\displaystyle c_{2))$ è non nullo allora l’origine è un punto doppio per la curva.

Ponendo $y = mx$ , $f$ può essere scritta come

$f=(c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2})x^{2}+(d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3})x^{3}+\dots .\,$

I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ .

Nodi

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ha due soluzioni reali rispetto a $m$ , ovvero se $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}<0$ allora l’origine è un nodo per la curva.

In tale caso la curva ha un’autointersezione nell’origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ .

La funzione $f$ ha un punto di sella in corrispondenza.

Punti doppi isolati

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ non ha soluzioni reali rispetto a $m$ , ovvero se $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}>0$ , allora l’origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato).

Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l’origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ .

La funzione $f$ ha un estremo locale in corrispondenza.

Cuspidi

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$

ha una soluzione di molteplicità $2$ rispetto a $m$ , ovvero

$c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}=0$

allora l’origine è un punto di cuspide.

La curva cambia direzione con un angolo netto nell’origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

Ulteriori classificazioni

Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della formula di Plücker.

Se una delle soluzioni di

$c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$

è anche soluzione di

$d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0$

allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell’origine, che in questo caso è un punto di flencnodo.

Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero

$c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ è un fattore di

$d_{0}+3md_{1}+3m^{2}d_{2}+d_{3}m^{3}=0$

allora l’origine è un biflecnodo.

Punti multipli

$La curva f ( t ) = ( sin ⁡ ( 2 t ) + cos ⁡ ( t ) , sin ⁡ ( t ) + cos ⁡ ( 2 t ) {\displaystyle f(t)=(\sin(2t)+\cos(t),\sin(t)+\cos(2t)} ha un punto triplo nell'origine$

La curva $f(t)=(\sin(2t)+\cos(t),\sin(t)+\cos(2t)$ ha un punto triplo nell’origine

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a $k$ sono nulli, almeno un termine di grado $k$ è non nullo in $f$ e la curva ha un punto multiplo di ordine $k$ .

La curva avrà, in generale, $k$ tangenti nell’origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.

Curve parametriche

Una curva parametrica in $\R^2$ è definita come l’immagine di una funzione

$g\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R} ^{2},\ g(t)=(g_{1}(t),g_{2}(t))$

I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di $g$ , ovvero

${dg_{1} \over dt}={dg_{2} \over dt}=0.$

Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi.

La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell’origine, e può essere definita implicitamente come

$x^{3}-y^{2}=0$

o in forma parametrica come

$g(t)=(t^{2},t^{3})$

Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva

$y^{2}-x^{3}-x^{2}=0$

l’origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione

$g(t)=(t^{2}-1,t^{3}-t)$

si ha che

$g'(t)=(2t,3t^{2}-1)$

non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.

È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione:

ad esempio la retta $y=0$ parametrizzata da

$g(t)=(t^{3},0)$

ha una singolarità nell’origine, mentre quando è parametrizzata da $g(t)=(t,0)$ non ha singolarità.

Per questo motivo, è più opportuno parlare di punto singolare di una parametrizzazione regolare piuttosto che di punto singolare della curva in sé.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri $f^((-1))(0)$ di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in $\mathbb {R} ^{n}$ è l’insieme degli zeri

$f^((-1))(0)$

di una opportuna funzione liscia

$f\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ .

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Segue …

Funzione liscia

In matematica, una funzione liscia in un punto del suo dominio è una funzione che è differenziabile infinite volte nel punto, o equivalentemente, che è derivabile infinite volte nel punto rispetto ad ogni sua variabile (per il teorema del differenziale infatti, una funzione è differenziabile in un punto se le sue derivate parziali sono ivi continue).Se una funzione $f$ è liscia in tutti i punti di un insieme $A$ , si dice che essa è di classe $C^{\infty}$ su $A$ , e si scrive $f\in C^{\infty }(A)$

Funzioni lisce e funzioni analitiche nel caso reale

Sia $f:D\to \mathbb{R}$ una funzione reale di variabile reale definita su un dominio $D\subseteq \mathbb{R}$ , e si supponga che $f$ sia liscia sull’intervallo aperto $I\subseteq D$ . Preso allora un punto $x_{0}\in I$ , è possibile approssimare la funzione attorno a quel punto grazie al teorema di Taylor:

f(x)=f(x_{0})+f^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+\ldots +{\frac {f^(((n)))(x_{0})}{n!))(x-x_{0})^{n}+o((x-x_{0})^{n})

dove la quantità $o((x-x_{0})^{n})$ è un resto tale che:

\lim _((x\to x_{0))}{\frac {o((x-x_{0})^{n})}{(x-x_{0})^{n))}=0

Poiché la funzione è liscia, questa approssimazione vale per ogni $n$ . In particolare, è possibile valutare la serie di Taylor della funzione prendendo il limite per $n\to +\infty$ :

T_{f}(x):=f(x_{0})+\sum _((k=1))^((+\infty ))((\frac {f^(((k)))(x_{0})}{k!))(x-x_{0})^{k))

A differenza di quanto ci si potrebbe aspettare, questa serie in generale non converge a $f(x)$ : se la convergenza (puntuale) è verificata, si dice che $f$ è analitica in $x_0$ , e se $A$ è l’insieme dei punti in cui $f$ è analitica si scrive $f\in C^((\omega ))(A)$ . Poiché ogni funzione analitica è in particolare liscia, vale la relazione insiemistica:

C^((\omega ))(A)\subset C^((\infty ))(A)

Un discorso analogo può essere fatto per le funzioni a più variabili reali.

Esempi

La funzione esponenziale è una funzione liscia su tutto l’asse reale, avendo derivate di qualsiasi ordine, ciascuna multipla di se stessa:

f(x)=e^((\alpha x))\Rightarrow f^(((n)))(x)=\alpha ^{n}e^((\alpha x))\ \ \forall x\in \mathbb{R}

Si dimostra che tale funzione è anche analitica su tutto l’asse reale, ossia la sua serie di Taylor converge a

e^((\alpha x))

per ogni

x

reale.

La seguente funzione definita a tratti:

Una funzione liscia non è necessariamente analitica.

f(x)={\begin{cases}e^(({\frac {1}{x^{2}-1))))&{\mbox{ se ))|x|<1,\\0&{\mbox{ altrove ))\end{cases))

è un esempio di funzione liscia ma non analitica sull’intero asse reale. Infatti, si consideri ad esempio il punto

x=1

: tutte le derivate destre della funzione in quel punto sono banalmente nulle, mentre le derivate sinistre valgono:

f^(((n))){(1)}=\lim _((x\to 1^{-))}{e^(({\frac {1}{x^{2}-1)))){\frac {d^{n)){dx^{n))}{(1-x^{2})^((-1))))=0

poiché l’esponenziale decresce più rapidamente di qualunque funzione algebrica. Dal momento che tutte le derivate sinistre e destre combaciano, la funzione è infinitamente derivabile (si dice anche che “si incolla bene”) in

x=1

. Tuttavia, si vede anche che la serie di Taylor della funzione scritta attorno a tale punto risulta identicamente nulla, mentre

f

è non nulla in qualunque intorno sinistro di

x=1

; la funzione non è perciò analitica in tale punto.

Funzioni lisce complesse

Nel caso di funzioni complesse di variabile complessa, la liscezza in un punto (o su un insieme) discende direttamente dall’olomorfia della funzione in tale punto (o su tale insieme). Per tale motivo si parla indifferentemente di “liscezza” o di “derivabilità” di una funzione complessa. In effetti, è possibile dimostrare che una funzione complessa olomorfa su un dominio è ivi addirittura analitica (vedi Equazioni di Cauchy-Riemann).

Definizione per le varietà differenziabili

Siano $M$ e $N$ varietà differenziabili e $p$ un punto di $M$ . Una funzione $F:M\rightarrow N$ è detta differenziabile in $p$ (oppure liscia o di classe $C^\infty$ in $p$ ) se esistono una carta $(U,\phi )$ in $p$ ed una carta $(V,\psi )$ in $F(p)$ tali che $F(U)\subset V$ e la composizione:

\psi \circ \ F\circ \phi ^((-1)):\phi (U)\rightarrow \psi (V)

sia liscia in un intorno di $\phi (p)$ . Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte $(U',\phi ')$ e $(V',\phi ')$ la composizione $\psi '\circ \ F\circ \phi '^((-1))$ rimane liscia in un intorno di $\phi (p)$ .

$F$ è differenziabile (liscia, di classe $C^\infty$ ) se lo è per ogni $p$ in $M$ . Se inoltre $F$ è invertibile con inversa liscia allora $F$ si dirà un diffeomorfismo. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della topologia differenziale.

Costruire funzioni lisce tramite restrizioni

È spesso utile costruire funzioni lisce che sono nulle al di fuori di un dato intervallo, ma non all’interno dello stesso (funzioni a supporto compatto).

Tale proprietà non si può mai avere per una serie di potenze, il che fornisce un’ulteriore dimostrazione del divario tra le funzioni lisce e funzioni analitiche.

Funzione analitica

In matematica, una funzione analitica è una funzione localmente espressa da una serie di potenze convergente.

Spesso il termine “funzione analitica” è utilizzato come sinonimo di funzione olomorfa, sebbene quest’ultimo si utilizzi più spesso per le funzioni complesse (tutte le funzioni olomorfe sono funzioni analitiche complesse e viceversa).

Una funzione è analitica se e solo se, preso comunque un punto appartenente al dominio della funzione, esiste un suo intorno in cui la funzione coincide col suo sviluppo in serie di Taylor.

Le funzioni analitiche possono essere viste come un ponte fra i polinomi e le funzioni generiche.

Esistono le funzioni analitiche reali e le funzioni analitiche complesse: simili in alcuni aspetti, differenti in altri.

Funzioni di questo tipo sono infinitamente derivabili, ma le funzioni analitiche complesse esibiscono proprietà che generalmente non appartengono alle funzioni analitiche reali.

Definizione

Una funzione $f$ è analitica su un insieme aperto $D$ della retta reale se per ogni $x_0$ in $D$ si può scrivere $f(x)$ come:

f(x)=\sum _((n=0))^{\infty }a_{n}\left(x-x_{0}\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(x-x_{0})+a_{2}(x-x_{0})^{2}+a_{3}(x-x_{0})^{3}+\cdots

dove i coefficienti $a_{0},a_{1},\cdots$ sono numeri reali e la serie è convergente in un intorno di $x_0$ .

In alternativa, una funzione analitica è una funzione infinitamente derivabile, ossia una funzione liscia, tale che la sua serie di Taylor

T(x) = \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^{n}

in ogni punto $x_0$ appartenente al dominio, converge a $f(x)$ per $x$ in un intorno di $x_0$ .

L’insieme di tutte le funzioni analitiche reali appartenenti ad un dato insieme $D$ si denota di solito come $C^\omega(D)$ .

Una funzione $f$ definita in un qualche sottoinsieme della retta reale, si dice essere reale analitica al punto $x$ se esiste un intorno $D$ di $x$ nel quale $f$ è reale analitica.

La definizione di funzione analitica complessa è ottenuta sostituendo dappertutto “reale” con “complesso”.

Proprietà delle funzioni analitiche

Tra le principali proprietà che caratterizzano le funzioni analitiche ci sono le seguenti:

La somma, il prodotto e la composizione di funzioni analitiche sono analitiche.
Il reciproco di una funzione analitica che non si annulla mai, è analitico, così come l’inversa di una funzione analitica invertibile la cui derivata non è mai nulla.
Tutti i polinomi sono funzioni analitiche. Per un polinomio, l’espansione in serie di potenze contiene solo un numero finito di termini non nulli.
Tutte le funzioni analitiche sono lisce.

Un polinomio non può valere zero in troppi punti a meno che non sia il polinomio nullo (più precisamente, il numero di zeri è al massimo pari al grado del polinomio). Un’affermazione simile ma più debole vale per le funzioni analitiche. Se l’insieme degli zeri di una funzione analitica $f$ ha un punto di accumulazione all’interno del suo dominio, allora $f$ è nulla su tutta la componente connessa del dominio che contiene il punto di accumulazione.

Più formalmente questa affermazione può essere espressa nel modo seguente. Se $(r_n)$ è una successione di numeri distinti tale che $f(r_n)=0$ per ogni $n$ e questa successione converge a un punto $r$ nel dominio $D$ , allora $f$ è identicamente zero nella componente connessa di $D$ contenente $r$ . Inoltre, se tutte le derivate di una funzione analitica sono nulle in un punto, vale ancora la conclusione precedente.

Queste affermazioni implicano che le funzioni analitiche siano ancora abbastanza rigide, nonostante il loro maggior numero di gradi di libertà rispetto ai polinomi.

Analiticità e derivabilità

Tutte le funzioni analitiche (reali o complesse) in un punto $x_0$ sono infinitamente derivabili in $|x-x_0|<R$ , dove $R$ è il raggio di convergenza della serie. Inoltre, si dimostra che nella stessa regione la derivata della funzione coincide con la serie delle derivate (la serie derivata), ovvero se:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}(x-x_{0})^{k))

allora:

f^{\prime }(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{ka_{k}(x-x_{0})^{k-1))

Allo stesso modo, essendo il limite uniforme di una successione di funzioni continue (polinomi), ogni funzione analitica è continua (e quindi integrabile) su tutto il suo insieme di convergenza, e la sua primitiva è la serie primitiva. In altre parole, se:

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{a_{k}x^{k))

si ha:

\int f(x)dx=\sum _{k=0}^{\infty }((\frac {a_{k)){k+1))x^{k+1))

Non tutte le funzioni reali lisce sono analitiche; ad esempio la funzione definita come:

f(x)=\begin{cases}\exp(-1/x)&\text{se }x>0 \\ 0&\text{se }x\le0 \end{cases}

è liscia in $x=0$ ma non è analitica in 0.

Questo può essere espresso dall’implicazione (non invertibile):

f\in C^{\omega }(E)\Rightarrow f\in C^{\infty }(E)\quad {\text{se ))f:E\subseteq \mathbb {R} \to \mathbb {R}

La situazione è molto diversa nel caso delle funzioni analitiche complesse. Si può dimostrare che tutte le funzioni olomorfe su un insieme aperto sono analitiche.

Di conseguenza, in analisi complessa,

il termine “funzione analitica” è un sinonimo di funzione olomorfa.

Condizione sufficiente

Se una funzione reale di variabile reale liscia definita su un aperto ha tutte le derivate maggiorabili dai termini di una successione geometrica (di ragione fissata) su un intorno di un dato punto, allora la funzione è analitica in quell’intorno.

Formalmente, sia $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ ed appartenente a $C^{\infty}(a,b)$ e sia $x_0 \in (a,b)$ .

Se esistono $\Lambda, M, \delta > 0$ tali che:

\left| f^{(k)}(x) \right| \le \Lambda M^{k} \qquad \forall k \ge 0 \quad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)

allora:

f(x) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{ f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k} \qquad \forall x \in (x_0 - \delta, x_0 + \delta)

In particolare, se una funzione ha tutte le derivate limitate da una stessa costante $\Lambda$ su un intervallo, allora è ivi analitica (basta porre $M = 1$ nell’enunciato precedente).

Questo mostra che funzioni come seno, coseno, esponenziale, funzioni iperboliche possono essere espresse in termini di serie di potenze sull’intero asse reale:

e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + \cdots

\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

\sinh x = x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \cdots

\cosh x = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \cdots

Dimostrazione

Dato che la funzione $f$ è liscia, è possibile scriverne la formula di Taylor arrestata all’ordine $n - 1$ (resto secondo Lagrange):

f(x) = \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k} + \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x - x_0)^{n} \quad \xi \in (x_0 - x, x_0 + x)

Se $x$ si muove nell’intorno di $x_0$ di raggio $\delta$ si può usare la maggiorazione (in valore assoluto) garantita dall’ipotesi:

\left| f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x - x_0)^{k} \right| = \left| \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}(x - x_0)^{n} \right| \le \frac{\Lambda M^{n)){n!}\delta^{n} = \Lambda \frac{(M\delta)^{n)){n!} \underset{n \longrightarrow +\infty}{\longrightarrow} 0

cioè la serie converge puntualmente a $f$ sull’intervallo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ ,

Q.E.D.

Funzioni analitiche reali e complesse

Le funzioni analitiche reali e complesse hanno importanti differenze, come si può vedere dalla loro differente relazione con la derivabilità.

Le funzioni analitiche complesse sono più rigide in molti sensi.

Secondo il teorema di Liouville, ogni funzione analitica complessa limitata definita sull’intero piano complesso è costante. Questa affermazione è chiaramente falsa per una funzione analitica reale, come si vede da

f(x)=\frac{1}{x^2+1}

Inoltre, se una funzione analitica complessa è definita in una palla aperta intorno a un punto $x_0$ , la sua espansione in serie di potenze in $x_0$ è convergente nell’intera palla. Questo non è vero in generale per le funzioni analitiche reali. Una palla aperta nel piano complesso è un disco bidimensionale, mentre sulla retta reale è un intervallo.

Ogni funzione analitica reale su un certo insieme aperto della retta reale può essere estesa a una funzione analitica complessa su un certo insieme aperto del piano complesso.

Comunque non tutte le funzioni analitiche reali definite sull’intera retta reale possono essere estese a una funzione complessa definita sull’intero piano complesso.

La funzione $f(x)$ definita nel paragrafo precedente è un controesempio.

Funzioni analitiche in più variabili

Si possono definire le funzioni analitiche in più variabili tramite le serie di potenze in queste variabili.

Le funzioni analitiche in più variabili hanno alcune delle proprietà delle funzioni analitiche a una variabile. Comunque, soprattutto nel caso delle funzioni analitiche complesse, si trovano nuovi e interessanti fenomeni in più dimensioni.

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Teorema delle funzioni implicite

In matematica, in particolare in analisi matematica e geometria, il teorema delle funzioni implicite è un importante strumento che stabilisce quando il luogo di zeri di un’equazione implicita si può esplicitare rispetto a una variabile.

Nella letteratura italiana, il teorema è generalmente detto teorema di Dini in onore del matematico Ulisse Dini, che contribuì ad estenderne la formulazione.

Il teorema di Dini

Il teorema di Dini stabilisce che una funzione reale di classe $C^1$ di due variabili del tipo:

F(x,y)

definisce implicitamente un’unica funzione del tipo:

y=f(x)

in un intorno di un punto $(a,b)$ tale che (esplicitando rispetto alla variabile y):

F(a,b)=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial y))(a,b)\neq 0

Il teorema di Dini fornisce quindi una condizione sufficiente affinché esista un’unica funzione $y=f(x)$ tale che

F(x,f(x))=0

sia soddisfatta al variare di $x$ , ovvero un’unica funzione

$x=g(y)$

tale che

F(g(y),y)=0

sia soddisfatta al variare di $y$ .

Questo non significa che sia possibile esplicitare una delle due incognite in funzione dell’altra, ovvero che sia possibile trovare $y=f(x)$ oppure $x=g(y)$ in forma esplicita, ma mostra piuttosto che esiste almeno una delle due funzioni, detta funzione implicita.

Se ci si limita all’individuazione di particolari tipi di funzione, ad esempio quelle continue e definite su un intervallo, si può dimostrare anche la loro unicità, il che sancisce un’equivalenza formale tra la scrittura implicita $F(x,y)=0$ e quella esplicita $y=f(x)$ oppure $x=g(y)$ . Ad esempio, l’equazione:

F(x,y)=y+x^{2}e^{y}=0

ben definisce un’unica funzione continua $y=f(x)$ definita per ogni $x$ reale, che tuttavia non può essere scritta esplicitamente.

Enunciato

Sia $F:G\subset \mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}$ una funzione a valori reali, differenziabile e le cui derivate parziali prime siano funzioni continue.

Sia inoltre $(x_{0},y_{0})\in G$ tale che:

F(x_{0},y_{0})=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial y))(x_{0},y_{0})\neq 0\

Il teorema afferma che esiste una funzione derivabile reale:

g:[x_{0}-h,x_{0}+h]\to [y_{0}-k,y_{0}+k]\qquad h,k>0\quad h,k\in \mathbb{R}

la cui derivata prima sia continua. Inoltre, il grafico di $g$ è l’insieme delle coppie:

\{(x,y)\in G:F(x,y)=0\}

che sono contenute nel rettangolo:

[x_{0}-h,x_{0}+h]\times [y_{0}-k,y_{0}+k]

Il teorema in due dimensioni

Si consideri una funzione di classe C¹ $F:A\to \mathbb{R}$ definita su un insieme aperto $A\subseteq \mathbb{R} ^{2}$ , e si consideri l’insieme:

Z=\{(x,y)\in A:F(x,y)=0\}

Se $Z$ è non vuoto esiste un punto $(x_0,y_0)$ tale che:

F(x_{0},y_{0})=0\

Il teorema afferma che se $(x_0,y_0)$ non è un punto critico, ovvero:

\nabla F(x_{0},y_{0})\neq 0\

allora esiste un intorno $U$ di $(x_0,y_0)$ tale che l’insieme $Z\cap U$ è il grafico di una funzione derivabile.

Questo equivale a dire che esiste un’unica funzione del tipo $y=y(x)$ o del tipo $x=x(y)$ che mette in relazione le due incognite $x$ e $y$ . Si noti che questo non significa che è davvero possibile esplicitare una delle due variabili in funzione dell’altra, ma solo che l’equazione definisce implicitamente un legame tra le due incognite che è univoco.

Sia $g:A\subset \mathbb{R} ^{2}\rightarrow \;{\mathbb {R))$ una funzione di classe ${\mathcal {C))^{1}$ nell’aperto $A$

sia $(x_{0},y_{0})\in A$ tale che:

g(x_{0},y_{0})=0\qquad g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0

Allora esistono un intervallo reale aperto $I$ , con $x_{0}\in I$ , un intervallo reale aperto $J$ , con $y_{0}\in J$ , ed una funzione $y(x)$ di classe ${\mathcal {C))^{1}$ in $I$ a valori in $J$ tali che:

y(x_{0})=y_{0}\qquad y'(x_{0})=-\left({\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})))\right)

e tali che per ogni $x\in I,y\in J$ la relazione:

g(x,y)=0\

si verifica se e solo se:

y=y(x)\

Scambiando i ruoli delle variabili si giunge a definire una funzione

$x=x(y)$ .

Dimostrazioni

Prima dimostrazione

Sia data una funzione continua $g:A\subset \mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}$ di classe ${\mathcal {C))^{1}$ in $A$ tale che $\nabla g(x,y)\neq 0$ in tutti i punti tali che $g(x,y)=0$ , cioè nella curva di livello:

V=\{(x,y)\in A:g(x,y)=0\}

Sia $(x_0,y_0)$ un punto di $V$ e si consideri il relativo sviluppo al primo ordine di Taylor:

g(x,y)=g(x_{0},y_{0})+g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})+o({\sqrt {(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2))})

Tenendo conto che $g(x_{0},y_{0})=0$ , uguagliando a zero la prima parte del termine al primo ordine si ottiene:

g_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+g_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})=0\,

Per ipotesi, tale equazione di primo grado ha almeno un coefficiente diverso da zero, e si può porre $g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0$ . Si può quindi ricavare $y$ in funzione di $x$ :

y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})))(x-x_{0})

Il teorema mostra che l’errore nella formula di approssimazione al primo ordine non incide sulla possibilità di esprimere una variabile in funzione dell’altra.

La funzione ottenuta ha sviluppo al primo ordine:

y=y_{0}-{\frac {g_{x}(x_{0},y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})))(x-x_{0})+o(x-x_{0})

Seconda dimostrazione (Teorema delle contrazioni)

Sia data una funzione continua $g:A\subseteq \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R}$ di classe ${\mathcal {C))^{1}$ nell’aperto $A$ tale che per $(x_{0},y_{0})\in A$ si abbia

{\begin{aligned}g(x_{0},y_{0})=0\;\;\;\;\;g_{y}(x_{0},y_{0})\neq 0\end{aligned)).

Sia definita la funzione

{\begin{aligned}G(x,y)=y-{\frac {g(x,y)}{g_{y}(x_{0},y_{0})))\end{aligned)).

allora ${\displaystyle G(x_{0},y_{0})=y_{0))$ e $G(x,y)=y$ per $(x,y)\in I\times J$ . Dunque trovare gli zeri di $g(x,y)$ si riduce a trovare il punto fisso della funzione $G(x,y)$ .

Grazie al teorema delle contrazioni sappiamo che, definito

{\displaystyle X=\{\psi :I\rightarrow J\;|\;\psi \in {\mathcal {C))^{0}\))

siccome $G\in X$ , $(X,\lVert \cdot \lVert _{\infty })$ è facile dimostrare che sia uno spazio metrico completo, allora

\exists !\;y=f(x):G(x,f(x))=f(x)

Sia $H:X\rightarrow X$ una contrazione tale che

w\mapsto H[w](x)=G(x,w(x))

ci basta dimostrare che $H$ sia ben definita, cioè che $H[w]\in X$ . Questa deve avere le seguenti proprietà:

$H[w]$ è continua in $I$
$\lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }\leq \varepsilon$

La prima è ovvia siccome l’operatore è composizione di funzioni continue.

La seconda può essere dimostrata tramite una catena di disuguaglianze

{\begin{aligned}&\lVert H[w]-y_{0}\rVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }\leq \lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert G(x,y_{0})-G(x_{0},y_{0})\lVert _{\infty }=\\[10pt]&=\lVert G(x,w(x))-G(x,y_{0})\lVert _{\infty }+\lVert y_{0}-{\frac {g(x,y_{0})}{g_{y}(x_{0},y_{0})))-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \lVert G_{y}(x,\xi _{y})(w(x)-y_{0})\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty )){|g_{y}(x_{0},y_{0})|))\leq \\[10pt]&\leq {\underset {\xi _{y}\in J}{\sup ))|G_{y}(x,\xi _{y})|\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }+{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty )){|g_{y}(x_{0},y_{0})|))\leq \varepsilon \end{aligned))

dove si è applicato il teorema di Lagrange ed il fatto che

{\begin{aligned}&{\underset {\xi _{y}\in J}{\sup ))G_{y}(x,\xi _{y})\leq {1 \over 2}\;\;{\text{ siccome ))h,k\;{\text{ possono essere piccoli a piacimento))\\[10pt]&\lVert w(x)-y_{0}\lVert _{\infty }\leq \varepsilon \;\;{\text{ siccome ))w(x)\in X\\[10pt]&{\frac {\lVert g(x,y_{0})\lVert _{\infty )){|g_{y}(x_{0},y_{0})|))\leq {\varepsilon \over 2}\end{aligned))

Ora basta dimostrare che $H$ sia una contrazione:

{\displaystyle \lVert H[w]-H[v]\lVert _{\infty }=\lVert G(x,w(x))-G(x,h(x))\lVert _{\infty }\leq {\underset {\xi \in J}{\sup ))|G(x,\xi )|\lVert w-v\lVert _{\infty }\leq {1 \over 2}\lVert w-v\lVert _{\infty ))

Il teorema in più dimensioni

Sia ${\mathbf f}:E\subset \mathbb{R} ^((n+m))\rightarrow \mathbb{R} ^{n}$ una funzione di classe ${\mathcal {C))^{1}$ , dove $\mathbb{R} ^((n+m))$ è il prodotto cartesiano $\mathbb{R} ^{n}\times \mathbb{R} ^{m}$ i cui elementi sono del tipo $({\mathbf {x)),{\mathbf {y)))=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},y_{1},y_{2},\ldots ,y_{m})$ .

Sia inoltre $({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},b_{1},b_{2},\ldots ,b_{m})\in E$ un punto tale che ${\mathbf f}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))=0$ .

Data la matrice jacobiana di $\mathbf f$ in $({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))$ :

{\begin{matrix}(D{\mathbf f})({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))&=&\left[{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1)){\partial x_{1))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))&\cdots &{\frac {\partial f_{1)){\partial x_{n))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n)){\partial x_{1))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))&\cdots &{\frac {\partial f_{n)){\partial x_{n))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))\end{matrix))\right|\left.{\begin{matrix}{\frac {\partial f_{1)){\partial y_{1))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))&\cdots &{\frac {\partial f_{1)){\partial y_{m))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial f_{n)){\partial y_{1))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))&\cdots &{\frac {\partial f_{n)){\partial y_{m))}({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))\\\end{matrix))\right]={\begin{bmatrix}X&|&Y\end{bmatrix))\\\end{matrix))

si supponga che $X$ è invertibile.

Il teorema delle funzioni implicite afferma che vi sono due insiemi aperti $U\subset \mathbb{R} ^((n+m))$ e $V\subset \mathbb{R} ^{m}$ contenenti rispettivamente $({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))$ e $\mathbf{b}$ tali che per ogni ${\mathbf {y))\in V$ esiste un unico $\mathbf{x}$ che soddisfa $({\mathbf {x)),{\mathbf {y)))\in U$ e ${\mathbf f}({\mathbf {x)),{\mathbf {y)))=0$ .

Inoltre, la funzione ${\mathbf g}:V\to \mathbb{R} ^{n}$ tale che ${\mathbf g}({\mathbf {y)))={\mathbf {x))$ è una funzione di classe ${\mathcal {C))^{1}$ tale che:

{\mathbf g}({\mathbf {b)))={\mathbf {a))\qquad (D{\mathbf g})({\mathbf b})=-X^((-1))Y

dove $(D{\mathbf g})({\mathbf b})$ è la jacobiana di ${\mathbf g}$ in $\mathbf{b}$ . La relazione:

{\mathbf f}({\mathbf g}({\mathbf y}),{\mathbf y})=0\qquad {\mathbf y}\in V

definisce implicitamente ${\mathbf g}$ .

Il teorema stabilisce quindi che il sistema ${\mathbf {f))({\mathbf {x)),{\mathbf {y)))={\mathbf 0}$ :

\left\((\begin{matrix}f_{1}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\f_{2}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\vdots \\f_{n}(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n},y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})=0\\\end{matrix))\right.

può essere risolto esplicitando $(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n})$ in funzione di $(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m})$ in un intorno di $\mathbf{b}$ se il sistema è risolvibile in $({\mathbf {a)),{\mathbf {b)))$ e se $X$ è invertibile.

Le soluzioni così trovate sono inoltre funzioni di classe ${\mathcal {C))^{1}$ . Il teorema può essere generalizzato al caso di funzioni analitiche.

Il teorema si estende anche agli spazi di Banach.

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Pubblicato da salvatore di lucia su 21 febbraio 2021 in MATEMATICA

Tag: Curve algebriche nel piano, Punti di regolarità, punto singolare di una curva

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punto singolare di una curva

°°°°°

“La matematica non conosce razze o confini geografici; per la matematica, il mondo culturale è una singola nazione.”

°°°°°

punto singolare di una curva

In geometria,

un punto singolare di una curva è un punto per il quale la curva non è rappresentata da una funzione liscia.

La definizione precisa dipende dal tipo di curva che si considera.

Curve algebriche nel piano

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti del piano che soddisfano una equazione nella forma dove

è una funzione polinomiale

Se l’origine appartiene alla curva allora . Se allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia tale che la curva ha la forma in un intorno dell’origine.

Analogamente, se allora esiste una funzione liscia tale che la curva ha la forma in un intorno dell’origine.

In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell’origine.

Nell’origine si ha che

per cui la curva è non singolare, o regolare, nell’origine se almeno una delle derivate parziali di è non nulla.

I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di :

Punti di regolarità

Assumendo che la curva passi per l’origine e ponendo , può essere scritta come

Se allora ha una soluzione di molteplicità per e l’origine è un punto di contatto di ordine con la retta .

Se allora ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a e la retta ovvero è tangente alla curva. In tale caso, se allora la curva ha un punto di contatto di ordine con .

Se il coefficiente di è nullo ovvero se ma non è nullo il coefficiente di allora l’origine è un punto di flesso della curva.

Se entrambi i coefficienti di e sono nulli allora l’origine è un punto di ondulazione.

Tale analisi si generalizza ad ogni punto della curva, traslandola in modo che il punto di interesse vada a cadere nell’origine.

Punti doppi

Tre limaçon:

la curva a sinistra ha un punto doppio isolato nell’origine,

quella al centro (cardioide) ha una cuspide nell’origine,

quella a destra ha un nodo (autointersezione) nell’origine.

Se e sono entrambi nulli ma almeno uno tra , e è non nullo allora l’origine è un punto doppio per la curva.

Ponendo , può essere scritta come

I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di .

Nodi

Se ha due soluzioni reali rispetto a , ovvero se allora l’origine è un nodo per la curva.

In tale caso la curva ha un’autointersezione nell’origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di .

La funzione ha un punto di sella in corrispondenza.

Punti doppi isolati

Se non ha soluzioni reali rispetto a , ovvero se , allora l’origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato).

Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l’origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di .

La funzione ha un estremo locale in corrispondenza.

Cuspidi

Se

ha una soluzione di molteplicità rispetto a , ovvero

allora l’origine è un punto di cuspide.

La curva cambia direzione con un angolo netto nell’origine e ha una sola tangente, che può essere considerata come due tangenti coincidenti.

Ulteriori classificazioni

Il numero di nodi o cuspidi di una curva è uno dei due invarianti della formula di Plücker.

Se una delle soluzioni di

è anche soluzione di

allora il ramo corrispondente della curva ha un punto di flesso nell’origine, che in questo caso è un punto di flencnodo.

Se entrambe le tangenti hanno questa proprietà, ovvero

è un fattore di

allora l’origine è un biflecnodo.

Punti multipli

La curva ha un punto triplo nell’origine

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a sono nulli, almeno un termine di grado è non nullo in e la curva ha un punto multiplo di ordine .

La curva avrà, in generale, tangenti nell’origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.

Curve parametriche

Una curva parametrica in è definita come l’immagine di una funzione

I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di , ovvero

Molte curve possono essere definite in questa maniera, ma le definizioni di singolarità possono non essere sempre concordi.

La cuspide è singolare in entrambe le definizioni, un esempio è la curva seguente che ha una cuspide nell’origine, e può essere definita implicitamente come

o in forma parametrica come

Nel caso dei nodi non è sempre questo il caso, ad esempio nella curva

l’origine è un punto singolare se si considera la curva definita implicitamente in forma algebrica, ma considerando la parametrizzazione

si ha che

non si annulla mai, e il nodo non è un punto singolare per la parametrizzazione.

È necessario prestare attenzione nella scelta della parametrizzazione:

ad esempio la retta parametrizzata da

ha una singolarità nell’origine, mentre quando è parametrizzata da non ha singolarità.

Per questo motivo, è più opportuno parlare di punto singolare di una parametrizzazione regolare piuttosto che di punto singolare della curva in sé.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in è l’insieme degli zeri

di una opportuna funzione liscia

.

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Segue …

Funzione liscia

Funzioni lisce e funzioni analitiche nel caso reale

Una curva algebrica nel piano è definita come il luogo geometrico dei punti $(x,y)$ del piano che soddisfano una equazione nella forma $f(x,y)=0$ dove

$f$ è una funzione polinomiale $f\colon \mathbb{R} ^{2}\to \mathbb{R}$

Se l’origine $(0,0)$ appartiene alla curva allora $a_{0}=0$ . Se $b_{1}\neq 0$ allora il teorema delle funzioni implicite assicura che esiste una funzione liscia $h$ tale che la curva ha la forma $y=h(x)$ in un intorno dell’origine.

Analogamente, se $b_{0}\neq 0$ allora esiste una funzione liscia $k$ tale che la curva ha la forma $x=k(y)$ in un intorno dell’origine.

In entrambi i casi, esiste una mappa regolare da $\R$ al piano sul quale è definita la curva in un intorno dell’origine.

per cui la curva è non singolare, o regolare, nell’origine se almeno una delle derivate parziali di $f$ è non nulla.

I punti singolari sono quei punti della curva nei quali si annulla il gradiente di $f$ :

Assumendo che la curva passi per l’origine e ponendo $y = mx$ , $f$ può essere scritta come

Se $b_{0}+mb_{1}\neq 0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità $1$ per $x=0$ e l’origine è un punto di contatto di ordine $1$ con la retta $y = mx$ .

Se $b_{0}+mb_{1}=0$ allora $f=0$ ha una soluzione di molteplicità maggiore o uguale a $2$ e la retta $y = mx$ ovvero $b_{0}x+b_{1}y=0$ è tangente alla curva. In tale caso, se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}\neq 0$ allora la curva ha un punto di contatto di ordine $2$ con $y = mx$ .

Se il coefficiente di ${\displaystyle x^{2))$ è nullo ovvero se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ma non è nullo il coefficiente di $x^3$ allora l’origine è un punto di flesso della curva.

Se entrambi i coefficienti di ${\displaystyle x^{2))$ e $x^3$ sono nulli allora l’origine è un punto di ondulazione.

Se ${\displaystyle b_{0))$ e ${\displaystyle b_{1))$ sono entrambi nulli ma almeno uno tra ${\displaystyle c_{0))$ , ${\displaystyle c_{1))$ e ${\displaystyle c_{2))$ è non nullo allora l’origine è un punto doppio per la curva.

Ponendo $y = mx$ , $f$ può essere scritta come

I punti doppi possono essere classificati secondo le soluzioni di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ .

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ ha due soluzioni reali rispetto a $m$ , ovvero se $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}<0$ allora l’origine è un nodo per la curva.

In tale caso la curva ha un’autointersezione nell’origine e ha due tangenti distinte corrispondenti alle due soluzioni di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ .

La funzione $f$ ha un punto di sella in corrispondenza.

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ non ha soluzioni reali rispetto a $m$ , ovvero se $c_{0}c_{2}-(c_{1})^{2}>0$ , allora l’origine è un punto doppio isolato (o nodo isolato).

Nel piano reale è quindi un punto isolato, ma se si considera la curva complessa l’origine non è un punto isolato e ha due tangenti immaginarie, corrispondenti alle due soluzioni complesse di $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ .

La funzione $f$ ha un estremo locale in corrispondenza.

Se $c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$

ha una soluzione di molteplicità $2$ rispetto a $m$ , ovvero

$c_{0}+2mc_{1}+c_{2}m^{2}=0$ è un fattore di

La curva $f(t)=(\sin(2t)+\cos(t),\sin(t)+\cos(2t)$ ha un punto triplo nell’origine

In generale, se tutti i termini di grado inferiore a $k$ sono nulli, almeno un termine di grado $k$ è non nullo in $f$ e la curva ha un punto multiplo di ordine $k$ .

La curva avrà, in generale, $k$ tangenti nell’origine, anche se alcune di esse possono essere immaginarie.

Una curva parametrica in $\R^2$ è definita come l’immagine di una funzione

I punti singolari sono quelli per i quali si annulla il gradiente di $g$ , ovvero

ad esempio la retta $y=0$ parametrizzata da

ha una singolarità nell’origine, mentre quando è parametrizzata da $g(t)=(t,0)$ non ha singolarità.

La precedente definizione può essere estesa per coprire i punti singolari delle curve implicite, che sono definiti come insieme degli zeri $f^((-1))(0)$ di una funzione liscia, e può essere estesa per curve in più dimensioni.

Un teorema di Hassler Whitney afferma che ogni insieme chiuso in $\mathbb {R} ^{n}$ è l’insieme degli zeri

$f\colon \mathbb{R} ^{n}\to \mathbb{R}$ .

Siano $M$ e $N$ varietà differenziabili e $p$ un punto di $M$ . Una funzione $F:M\rightarrow N$ è detta differenziabile in $p$ (oppure liscia o di classe $C^\infty$ in $p$ ) se esistono una carta $(U,\phi )$ in $p$ ed una carta $(V,\psi )$ in $F(p)$ tali che $F(U)\subset V$ e la composizione:

sia liscia in un intorno di $\phi (p)$ . Tale definizione non dipende dalle carte scelte: prendendo infatti altre carte $(U',\phi ')$ e $(V',\phi ')$ la composizione $\psi '\circ \ F\circ \phi '^((-1))$ rimane liscia in un intorno di $\phi (p)$ .

$F$ è differenziabile (liscia, di classe $C^\infty$ ) se lo è per ogni $p$ in $M$ . Se inoltre $F$ è invertibile con inversa liscia allora $F$ si dirà un diffeomorfismo. Lo studio delle proprietà invarianti per diffeomorfismi è oggetto della topologia differenziale.

Una funzione $f$ è analitica su un insieme aperto $D$ della retta reale se per ogni $x_0$ in $D$ si può scrivere $f(x)$ come:

dove i coefficienti $a_{0},a_{1},\cdots$ sono numeri reali e la serie è convergente in un intorno di $x_0$ .

in ogni punto $x_0$ appartenente al dominio, converge a $f(x)$ per $x$ in un intorno di $x_0$ .

L’insieme di tutte le funzioni analitiche reali appartenenti ad un dato insieme $D$ si denota di solito come $C^\omega(D)$ .

Una funzione $f$ definita in un qualche sottoinsieme della retta reale, si dice essere reale analitica al punto $x$ se esiste un intorno $D$ di $x$ nel quale $f$ è reale analitica.

è liscia in $x=0$ ma non è analitica in 0.

Formalmente, sia $f : (a,b) \to \mathbb{R}$ ed appartenente a $C^{\infty}(a,b)$ e sia $x_0 \in (a,b)$ .

Se esistono $\Lambda, M, \delta > 0$ tali che:

In particolare, se una funzione ha tutte le derivate limitate da una stessa costante $\Lambda$ su un intervallo, allora è ivi analitica (basta porre $M = 1$ nell’enunciato precedente).

Dato che la funzione $f$ è liscia, è possibile scriverne la formula di Taylor arrestata all’ordine $n - 1$ (resto secondo Lagrange):

Se $x$ si muove nell’intorno di $x_0$ di raggio $\delta$ si può usare la maggiorazione (in valore assoluto) garantita dall’ipotesi:

cioè la serie converge puntualmente a $f$ sull’intervallo $(x_0 - \delta, x_0 + \delta)$ ,