RSS

Archivi giornalieri: 2 aprile 2021

Funzione continua

Funzione continua

In matematica,

una funzione continua è una funzione che, intuitivamente, fa corrispondere ad elementi sufficientemente vicini del dominio elementi arbitrariamente vicini del codominio.

Esistono diverse definizioni di continuità, corrispondenti ai contesti matematici in cui vengono utilizzate:

la continuità di una funzione è uno dei concetti di base della topologia e dell’analisi matematica.

La continuità di una funzione può essere definita anche in modo locale:

in questo caso si parla di

continuità in un punto del dominio.

Una funzione continua è, per definizione, continua in ogni punto del proprio dominio.

Una funzione che non è continua è detta discontinua,

e

i punti del dominio in cui non è continua sono detti punti di discontinuità.

°°°°°

Per esempio,

la funzione $h(t)$ che descrive l’altezza di un uomo rispetto alla sua età può essere vista come una funzione continua:

in periodi brevi l’uomo cresce di poco.

Al contrario,

la funzione $g(t)$ che rappresenta la quantità di denaro presente in un conto corrente nel tempo è una funzione discontinua, poiché prelievi e depositi le fanno fare salti da un valore all’altro.

Definizioni

La continuità di una funzione è un concetto topologico, e quindi la definizione generale di funzione continua si sviluppa con funzioni tra spazi topologici.

Lo stesso concetto è però usato in ambiti meno generali, soprattutto per quanto riguarda il suo utilizzo in analisi matematica: è spesso presentata la definizione di continuità solo per funzioni tra spazi metrici, o ancora, solo per funzioni di una variabile reale.

Funzioni reali

Il grafico della funzione presenta un salto in x0: la funzione non è continua

Il grafico della funzione presenta un salto in x₀: la funzione non è continua

Nel caso di funzioni di una variabile reale, spesso la continuità è presentata come una proprietà del grafico:

la funzione è continua se il suo grafico è formato da un’unica curva che non compia mai salti.

Sebbene questa nozione possa essere usata nei casi più semplici per distinguere funzioni continue da funzioni discontinue, non è formalmente corretta, e può portare ad ambiguità o errori.

Definizione in termini di limite di una funzione

Una funzione $f$ si definisce continua nel punto $p$ del suo dominio se il suo limite per $x$ tendente a $p$ coincide con la valutazione della funzione in $p$ , ovvero con $f(p)$ .

In simboli:

\lim_{x \to p} f(x) = f(p)

Tale definizione è usata maggiormente

per funzioni definite su un intervallo della retta reale:

infatti,

essa ha senso solo se $p$ è un punto di accumulazione per il dominio di $f$ .

Essa è comunque estendibile anche nel caso di domini più complicati, che comprendono punti isolati:

in essi,

$f$ risulta continua per una “verità vuota” (dall’inglese vacuous truth).

La funzione si dice continua se è continua in ogni punto $p$ del dominio.

Definizione epsilon-delta

$Studiando la funzione nel punto p = 2 {\displaystyle p=2} , e scegliendo ε = 0.5 {\displaystyle \varepsilon =0.5} , basta scegliere δ = 0.5 {\displaystyle \delta =0.5} per far sì che tutte le immagini dei punti in ( 2 − δ , 2 + δ ) {\displaystyle (2-\delta ,2+\delta )} distino per meno di ϵ {\displaystyle \epsilon } da f ( 2 ) = 3.5 {\displaystyle f(2)=3.5}$

Studiando la funzione nel punto $p=2$ , e scegliendo $\varepsilon = 0.5$ , basta scegliere $\delta = 0.5$ per far sì che tutte le immagini dei punti in $(2-\delta,2+\delta)$ distino per meno di $\epsilon$ da $f(2)=3.5$

Una funzione

$f\colon A\rightarrow \mathbb{R}$

definita su un sottoinsieme $A$ dei numeri reali a valori reali si dice continua in un punto $p\in A$

se per ogni numero $\varepsilon >0$ , esiste un secondo numero $\delta >0$ tale che,

$\forall x\in A\cap (p-\delta,p+\delta)$

la funzione $f(x)$ dista da $f(p)$ per meno di $\varepsilon$ , ovvero:

$|f(x) - f(p)|<\varepsilon$

In linguaggio simbolico, una funzione è continua in un punto $p$ se:

$\forall\varepsilon >0\ \exist \delta > 0 : |x-p|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(p)|<\varepsilon$

Se questa proprietà vale per ogni punto nel dominio di definizione della funzione, allora si dice che la funzione è continua.

In questo caso si dice che

$f(x) \in C(A,\mathbb{R})$ che è l’insieme delle funzioni continue a valori reali e variabili in $A$ .

Più intuitivamente,

se si vuole che la funzione $f(x)$ disti di un valore piccolo da $f(p)$ ci basta restringerci ad un intorno abbastanza piccolo del punto $p$ .

Se questo è possibile qualunque sia la distanza scelta

(a meno di restringere ulteriormente l’intorno di $p$ ),

allora la funzione è continua in $p$ .

Questa definizione è equivalente a quella data in precedenza:

essa è costruita dalla prima semplicemente esplicitando la definizione di limite di una funzione.

È stata usata per la prima volta da Cauchy.

Funzioni tra spazi topologici

f è continua in un punto x ∈ X se (e solo se) per ogni intorno V di f(x) esiste un intorno U di x tale che f(U) ⊆ V. Intuitivamente, per quanto sia piccolo V esiste sempre un U contenente x che viene mappato in V.

f è continua in un punto x ∈ X se (e solo se) per ogni intorno V di f(x) esiste un intorno U di x tale che f(U) ⊆ V.

Intuitivamente,

per quanto sia piccolo V esiste sempre un U contenente x che viene mappato in V.

La definizione di continuità data nel caso di funzioni reali può essere generalizzata in contesti più ampi,

come quello degli spazi topologici.

Siano due spazi topologici $(X,\tau_1)$ , $(Y,\tau_2)$ e sia $f:X\to Y$ un’applicazione.

Allora:

$f$ si dice continua in $x_0\in X$ se $\forall \ V$ intorno di $f(x_0)$ $\exists \ U$ intorno di $x_0$ tale che $f(U)\subseteq V$ ;

$f$ si dice continua se $\forall \ A$ aperto in $Y$ $f^{-1}(A)=\{x\in X|f(x) \in A\}$ è un insieme aperto in $X$ .

Osserviamo che altre definizioni equivalenti di funzione continua sono:

$f$ è continua in ogni punto $x\in X$ ;
$\forall \ B\in \Gamma$ $f^{-1}(B)$ è aperto in $X$ con $\Gamma$ una base della topologia $\tau_2$ ;
$\forall \ P\in \Pi$ $f^{-1}(P)$ è aperto in $X$ con $\Pi$ una prebase della topologia $\tau_2$ ;
$\forall \ C$ chiuso in $Y$ $f^{-1}(C)$ è chiuso in $X$ ;
$\forall \ T\subseteq Y$ $Cl(f^{-1}(T))\subseteq f^{-1}(Cl(T))$ con $Cl$ la chiusura di un sottoinsieme;
$\forall \ S\subseteq X$ $f(Cl(S))\subseteq Cl(f(S))$ con $Cl$ la chiusura di un sottoinsieme.

La definizione di continuità è strettamente legata alla topologia scelta nel dominio e nel codominio:

funzioni continue con alcune scelte di topologia possono non esserlo con altre.

Per esempio,

la funzione identità è continua se lo spazio di arrivo ha la stessa topologia dello spazio di partenza,

oppure se ne ha una meno fine, ovvero con meno aperti.

Se invece lo spazio di arrivo ha una topologia più fine, con più aperti, la funzione identità non risulta continua.

Funzioni tra spazi metrici

Gli spazi metrici sono spazi topologici nei quali la topologia è generata da una base di intorni circolari.

Sia $f$ una funzione tra due spazi metrici $(X,d_1)$ e $(Y,d_2)$ La funzione f si dice continua in un punto $p$ se, per ogni scelta di $\varepsilon > 0$ , esiste un $\delta > 0$ , tale che, per ogni punto $x\in X$ che dista meno di $\delta$ da $p$ ,

ovvero che:

$d_1(x,p)<\delta$

si ha che $f(x)$ dista per meno di $\varepsilon$ da $f(p)$ ,

ovvero:

$d_2(f(x),f(p))<\varepsilon$

La definizione può essere scritta servendosi della nozione di intorno sferico

$B_r(P)$ centrato in $p$ , di raggio $\delta$ : in questo caso,

la funzione è continua se $x \in B_\delta(p) \cap E$ implica che $f(x)\in B_\varepsilon(f(p))$ o,

simbolicamente:

$\forall \varepsilon > 0 \quad \exists \delta > 0 : f(E \cap B_\delta(p)) \subset B_\varepsilon(f(p))$

dove $E$ è l’insieme di definizione di $f$ .

Nel caso di funzioni reali, le definizioni coincidono se le due distanze su dominio e codominio non sono altro che il modulo della differenza tra due valori in $\R$ .

Inoltre, questa definizione è valida per funzioni definite e a valori in tutti gli spazi vettoriali normati, dove la distanza sia la norma della differenza tra due punti.

In particolare, è valida in $\mathbb {R} ^{n}$ con la norma euclidea, ed estende quindi la definizione di continuità a funzioni di più variabili.

Esempi

Una funzione cubica, espressa da un polinomio di terzo grado, è una funzione continua.

Una funzione cubica, espressa da un polinomio di terzo grado, è una funzione continua.

Sono esempi di funzioni continue:

Le funzioni costanti $f(x)=c$ .
La funzione identità $f(x)=x$ da uno spazio topologico $(X,\tau_1)$ allo stesso spazio $(X,\tau_2)$ , dove $\tau_2$ è la stessa topologia del dominio oppure una topologia meno fine.
Le funzioni che associano ad una coppia di numeri $(x,y)$ la somma $x+y$ , il prodotto $xy$ o il rapporto $x / y$ sono continue nel loro insieme di definizione in $\R^2$ .
Le trasformazioni lineari fra spazi euclidei
Le funzioni espresse da polinomi, come per esempio $f(x)=x^3+2x^2-3x+2$ .
Le funzioni razionali, in tutti i punti in cui sono definite, ovvero in tutti i punti in cui non si annulla il denominatore.
La funzione esponenziale e il logaritmo naturale nei loro insiemi di definizione, ovvero $f(x)=\exp(x)$ e $f(x)=\log(x)$ .
Le funzioni seno e coseno, ovvero $f(x)=\cos(x)$ e $f(x)=\sin(x)$ .
La funzione valore assoluto $f(x)=|x|$ è continua (ma non derivabile in $x=0$ ).
La funzione di Cantor e la curva di Koch sono esempi di funzioni continue con struttura frattale.
La curva di Peano: una curva piana che ricopre l’intero quadrato.

La funzione di Heaviside presenta una discontinuità in 0.

Sono **esempi di funzioni non continue**:

La funzione di Heaviside, definita come

$H(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x\ge 0\\ 0 & \text{se } x < 0. \end{cases}$

La funzione indicatrice di un sottoinsieme proprio di $\R$ è discontinua sulla frontiera dell’insieme.
La funzione di Dirichlet è discontinua in ogni punto.

Proprietà delle funzioni continue

Sia $f:I \to \R$ una funzione continua a valori reali definita su un intervallo $I$ .

Valgono:

Permanenza del segno: Se in un punto $p$ del suo dominio $f(p) > 0$ , allora esiste un intorno $U(p)$ tale che $f(x)>0$ in tutti i punti dell’intorno.
Teorema dei valori intermedi: se $a$ e $b$ sono due punti del dominio, allora $f$ assume tutti i valori compresi fra $f(a)$ e $f(b)$ .
Teorema di Bolzano: se $a$ e $b$ sono due punti del dominio tali che $f(a)\cdot f(b) \,<\, 0$ (ovvero se $f(a)$ e $f(b)$ hanno segno diverso), allora esiste almeno un $p \in (a,b)$ tale che $f(p) = 0.$
Teorema di Weierstrass: se l’intervallo $I$ è chiuso e limitato, ovvero se $I=[a,b]$ , allora $f$ ammette massimo e minimo, ovvero esistono due punti $p$ e $q$ tali che $f(p)\leq f(x) \leq f(q)$ per ogni $x \in [a,b]$ .

Se $f$ è una funzione continua biiettiva a valori reali definita su un intervallo,

allora

$f$ è strettamente monotona

e

la funzione inversa $f^{-1}$ è continua e strettamente monotona.

L’implicazione non vale in generale per le funzioni il cui dominio non è un intervallo.

Sia $f:(X,d_1) \to (Y,d_2)$ una funzione tra spazi metrici.

Valgono:

Teorema di Weierstrass:
se $X$ è un insieme compatto,
allora $f$ assume massimo e minimo in $X$ . In particolare esistono $p,q \in X$ tali che $f(p) \leq f(x) \leq f(q)$ per ogni $x\in X$ .
Se $f$ è biunivoca e $X$ è compatto,
allora $f^{-1}$ è continua.

°°°°°

Teorema di Heine – Cantor:
se $X$ è compatto,
allora $f$ è uniformemente continua.
Se $f(x)=(f_1(x),\dots,f_n(x))$ ,
allora $f$ è continua se e solo se è continua ogni funzione $f_i(x)$ .
Questo risultato è valido quindi per le funzioni ${\displaystyle f(x):\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n))$ .

°°°°°

Sia $f:(X,\tau_1) \to (Y,\tau_2)$ una funzione continua tra spazi topologici.

Valgono:

La controimmagine di un insieme aperto è un insieme aperto.
Non è vero in generale che l’immagine di un insieme aperto sia un insieme aperto.
La controimmagine di un insieme chiuso è un insieme chiuso.
L’immagine di un insieme compatto è un insieme compatto.
L’immagine di un insieme connesso è un insieme connesso.
L’immagine di un insieme connesso per archi è un insieme connesso per archi.

Composizione

La composizione di funzioni continue è una funzione continua,

ovvero

se $f$ e $g$ sono due funzioni continue,

allora anche:

h(x)= (f \circ g) (x) = f(g(x))

è una funzione continua.

Come conseguenza di questa proprietà si hanno le seguenti:

La somma $f+g$ di due funzioni continue è una funzione continua.
Il prodotto $f \cdot g$ di due funzioni continue è una funzione continua.
Il quoziente $f/g$ di due funzioni continue è una funzione continua (nell’insieme di definizione, ovvero dove $g$ è diversa da 0).

In generale, l’inverso non è vero:

ad esempio,

se una funzione continua è somma di due funzioni, non è detto che entrambi gli addendi siano a loro volta funzioni continue.

Ad esempio se

f(x)=\begin{cases}0 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 1 \quad \text{se }x=1 \end{cases} \quad \text{e}\quad g(x)=\begin{cases}1 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 0 \quad \text{se }x=1 \end{cases},

allora $f$ e $g$ non sono continue,

ma

f(x)+g(x)=1 \quad \text{e} \quad f(x)g(x)=0

sono entrambe continue su tutto $\mathbb{R}$ .

Analogamente se

f(x)=\begin{cases}3 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 9 \quad \text{se }x=1 \end{cases} \quad \text{e} \quad g(x)=\begin{cases}1 \quad \text{se }x\neq 1 \\ 3 \quad \text{se }x=1 \end{cases},

allora $f$ e $g$ non sono continue,

ma

\frac{f(x)}{g(x)}=3

è continua su tutto $\mathbb{R}$ .

Successioni

L'animazione mostra una sequenza di funzioni continue che converge puntualmente a una funzione discontinua

L’animazione mostra una sequenza di funzioni continue che converge puntualmente a una funzione discontinua

Data una successione di funzioni continue $f_1, f_2, \dotsc \colon I \to \R$ tali che il limite:

$f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)$

esiste finito per ogni $x \in \mathbb{R}$ (convergenza puntuale), allora non è vero che $f(x)$ è una funzione continua.

Se però la successione converge uniformemente, allora il limite puntuale $f(x)$ è continuo.

Derivazione e integrazione

Una funzione derivabile (o più in generale una funzione differenziabile) in un punto $p$ è sempre continua in quel punto.

Non è vero l’inverso:

esistono funzioni continue non derivabili, come ad esempio la funzione valore assoluto, continua in $0$ ma non derivabile nello stesso punto.

Esistono anche funzioni a variabile reale continue in tutti i punti del dominio e non derivabili in nessuno di essi, come la funzione di Weierstrass.

Una funzione continua $f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$ è sempre integrabile secondo Riemann (e quindi anche secondo Lebesgue).

Inoltre,

$f$ ammette sempre primitive e ogni sua primitiva è continua.

Viceversa,

non tutte le funzioni integrabili sono continue:

per esempio,

sono integrabili tutte le funzioni costanti a tratti.

Altri tipi di continuità

Continuità per successioni

Una funzione $f$ a valori reali è continua per successioni in $x_0$ se, per ogni successione $x_{n}$ a valori nel dominio della funzione e convergente a $x_0$ , la successione $f(x_{n})$ converge a $f(x_0)$ .

Questa formulazione di continuità è dovuta ad Eduard Heine.

Una funzione continua è sempre continua per successioni, mentre, al contrario è possibile dare esempi di funzioni continue per successioni, ma non continue.

L’inverso vale solo se il dominio $\scriptstyle {X}$ è uno spazio sequenziale, come lo sono gli spazi primo-numerabili e dunque in particolare gli spazi metrici: in questo caso, quindi, le due definizioni si possono considerare equivalenti.

Continuità a sinistra e a destra

Una funzione continua a destra

Una funzione continua a destra

Una funzione reale $f$ si dice continua a destra in $x_0$ se:

\lim_{x\to x_0^+} f(x) = f(x_0)

dove il limite è inteso solo come limite destro.

Una funzione $f$ si dice continua a sinistra in $x_0$ se:

\lim_{x\to x_0^-} f(x) = f(x_0)

Una funzione è continua in un punto se e solo se è ivi continua a destra e a sinistra.

Queste proprietà non sono estendibili a funzioni a più di una variabile, in quanto nel piano, nello spazio, e generalmente in $\mathbb {R} ^{n}$ quando $n>1$ non esiste relazione d’ordine, ovvero non è possibile definire una “destra” o una “sinistra”.

Semicontinuità

$Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, f ( x 0 ) {\displaystyle f(x_{0})} si trova in basso$

Una funzione semicontinua inferiormente: nel punto di salto, $f(x_0)$ si trova in basso

Una funzione $f$ definita su uno spazio topologico $X$ a valori reali si dice semicontinua inferiormente in $x_0\in X$ se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un intorno $U$ di $x_0$ tale che per ogni $x \in U$ , si ha:

f(x)>f(x_{0})-\varepsilon

Se invece vale, per ogni $x\in U$ :

f(x)<f(x_{0})+\varepsilon

la funzione viene detta semicontinua superiormente in $x_0$ .

Se la prima (o rispettivamente la seconda) proprietà vale in ogni punto del dominio, si dice che la funzione è semicontinua inferiormente (o rispettivamente semicontinua superiormente).

La semicontinuità (sia inferiore che superiore), è una proprietà più debole della continuità: esistono funzioni semicontinue ma non continue.

Viceversa,

una funzione è continua se e solo se è sia semicontinua inferiormente che semicontinua superiormente.

Continuità separata

Nel caso di funzioni di più variabili, è possibile definire una condizione più debole di continuità, detta continuità separata:

una funzione $f$ è continua separatamente in un punto $p$ rispetto a una delle variabili $x_i$ se è continua la funzione di una variabile dipendente solo dal parametro $x_i$ , lasciando le restanti variabili fissate al valore assunto nel punto in esame.

Continuità uniforme

Una condizione più forte (e globale) di continuità è quella di continuità uniforme:

una funzione continua tra due spazi metrici si dice uniformemente continua se il parametro $\delta$ della definizione non dipende dal punto $p$ considerato, ovvero se è possibile scegliere un $\delta$ che soddisfi la definizione per tutti i punti del dominio.

Più precisamente,

una funzione $f$ è uniformemente continua se, per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che, comunque presi due punti $p$ e $q$ nel dominio di $f$ che distano per meno di $\delta$ , allora le loro immagini $f(p)$ e $f(q)$ distano per meno di $\varepsilon$ .

Equicontinuità

Quando gli elementi di un insieme di funzioni continue hanno il medesimo modulo di continuità, si parla di insieme equicontinuo.

Nello specifico, Siano $X$ e $Y$ due spazi metrici e $F$ una famiglia di funzioni definite da $X$ in $Y$ .

La famiglia $F$ è equicontinua nel punto $x_0 \in X$ se per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ tale che $d(f(x_0),f(x)) < \epsilon$ per tutte le $f \in F$ e per ogni $x$ tali che $d(x_0,x) < \delta$ .

La famiglia $F$ è equicontinua (in tutto $X$ ) se è equicontinua in ogni suo punto.

La famiglia $F$ è uniformemente equicontinua se per ogni $\epsilon >0$ esiste $\delta > 0$ tale che $d(f(x_1),f(x_2)) < \epsilon$ per tutte le $f \in F$ e per ogni coppia di punti $x_1$ e $x_2$ in $X$ tali che $d(x_1,x_2) < \delta$ .

Più in generale, quando $X$ è uno spazio topologico, un insieme $F$ di funzioni da $X$ in $Y$ è equicontinuo nel punto $x\in X$ se per ogni $\epsilon >0$ il punto $x$ possiede un intorno $U_x$ tale che:

$d_Y(f(y), f(x)) < \epsilon \qquad \forall y \in U_x \quad \forall f \in F$

Tale definizione è spesso utilizzata nell’ambito degli spazi vettoriali topologici.

Spazio delle funzioni continue

L’insieme di tutte le funzioni continue su un dominio fissato $A$ e a valori reali:

$C(A,\R):= \{ f: A \to \R \text{ } | \text{ } f \text{ è continua} \}$

può essere dotato di una struttura di spazio vettoriale ponendo per $f$ e $g$ in tale insieme:

$\begin{matrix} f+g: & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & f(x)+g(x)\end{matrix}$

e per $\alpha$ numero reale:

$\begin{matrix} \alpha f : & A & \longrightarrow & \R \\ & x & \longmapsto & \alpha f(x)\end{matrix}$

Lo spazio vettoriale così definito è detto spazio delle funzioni continue su $A$ .

Se il dominio $A$ è compatto (e quindi per tutte le funzioni in $C(A,\R)$ vale il teorema di Weierstrass) nello spazio $C(A,\R)$ può essere definita una norma ponendo:

$\left \| f \right \|_\infty:=\sup_{x \in A} f(x)$

detta norma uniforme o norma del sup.

La coppia costituita dallo spazio $C(A,\R)$ e dalla norma uniforme individua uno spazio di Banach.

°°°°°

Segue …

Read the rest of this entry »

Lascia un commento

Pubblicato da salvatore di lucia su 2 aprile 2021 in MATEMATICA

Tag: Funzione continua

WebMaster : Salvatore Di Lucia

iMathematica :
più La si visita più Vi aiuta a risolvere ... iProblemi ...!
Statistiche del Sito:
- 1.043.741 visite
Ricerca Articolo
Cerca
Calendario
aprile: 2021

L M M G V S D

1 2 3 4

5 6 7 8 9 10 11

12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25

26 27 28 29 30

« Mar Mag »
Traduttore
I Grandi Matematici
Questo slideshow richiede JavaScript.
Visitatori del Sito :

Free counters
Grandi Matematici
Questo slideshow richiede JavaScript.
Categorie
Categorie
Articoli Mese
Articoli Mese
Giugno 2024

– Analisi Matematica I

— Grafici di funzioni

—Derivate

Maggio 2024

– Analisi Matematica I

— Grafici di funzioni

—Limiti
Aprile 2024

– Analisi Matematica I

— Numeri Reali

—Funzioni
Marzo 2024

– Analisi Matematica I

— Teoria degli Insiemi

—Relazioni Matematiche
Febbraio 2024

– Logica Matematica

— Tavole Verità

—Tautologie
Gennaio 2024

– Logica Matematica

— Proposizione logica

— Connettivi Logici
Dicembre 2023

– Algebra I

— Funzione di Eulero

— Teorema di Eulero
Novembre 2023

– Algebra I

— Divisibilità Partizioni

— Congruenze in
Ottobre 2023

– Analisi I

— Successioni di numeri reali

— Esercitazioni
Settembre 2023

– Analisi I

— Funzioni

— Segno di Funzione
Agosto 2023

– Algebra

— Equazioni

— Disequazioni
Luglio 2023

– Algebra

— Strutture Algebriche
Giugno 2023

– Calcolo Combinatorio

— Coefficiente Binomiale
Maggio 2023

– Funzioni Polinomiali

— Scomposizione di Polinomi
Aprile 2023

– Funzioni Reale di variabile Reale

— Studio di Funzione
Marzo 2023

– Funzioni Reale di variabile Reale

— Studio di Funzione
Febbraio 2023

– Insieme dei Numeri Complessi

— ℂ
Gennaio 2023

– Insiemi Numerici

— ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ=ℚ ∪ 𝕀
Dicembre 2022

– Algebra Lineare

— Sistemi Lineari

—Esercitazione
Novembre 2022

– Algebra Lineare

— Matrice, Determinante

—Esercitazione
Ottobre 2022

– Analisi I

— Integrali

—Esercitazione
Settembre 2022

– Analisi I

— Derivata

—Esercitazione
Agosto 2022

– Analisi I

— Teoremi sui Limiti

—Esercitazione
Luglio 2022

– Analisi I

— Teoria dei Limiti

—Esercitazione
Giugno 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali

—Esercitazione
Maggio 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali

—Esercitazione
Aprile 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali
Marzo 2022

– Analisi II

— Equazioni Differenziali
Febbraio 2022

– Analisi I

— Integrali
Gennaio 2022

– Analisi I

— Derivate
Dicembre 2021

– Algebra

— Polinomi
Novembre 2021

– Corso di Analisi II

— Topologia Generale
Ottobre 2021

– Corso di Analisi II

— Equazioni Differenziali
Settembre 2021

– Corso di Analisi

— Coniche

— Quadriche
Agosto 2021

– Corso di Analisi

— Classificazione delle Funzioni
Luglio 2021

– Corso di Analisi

— Successioni Numeriche
Giugno 2021

– Corso di Analisi

— Serie Numeriche
Maggio 2021

– Corso di Analisi

— Serie Numeriche
Aprile 2021

– Corso di Analisi

—Tipi di Funzioni
Marzo 2021

– Corso di Analisi

—Tipi di Funzioni
Febbraio 2021

– Corso di Analisi

—Confronto tra Funzioni
Gennaio 2021

– Corso di Analisi

—Confronto tra Funzioni
Dicembre 2020

– Corso di Analisi

—Limiti Teoremi
Novembre 2020

– Corso di Analisi

—Limiti
Ottobre 2020

– Corso di Analisi

—o-piccolo

_O-grande

_Esercizi sui Limiti
Settembre 2020

– Corso di Analisi

—Punto di accumulazione

—Simboli di Landau
Agosto 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Luglio 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Giugno 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Maggio 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Aprile 2020

– Corso di Analisi

—Classe di resto modulo n

__Equazioni Congruenziali
Marzo 2020

– Corso di Analisi

—Le Coniche
Febbraio 2020

– Corso di Analisi

—Le Coniche
Gennaio 2020

– Corso di Analisi

—Le Coniche
Dicembre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Novembre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Ottobre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Settembre 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Agosto 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia e Esercizi
Luglio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia
Giugno 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore

—Topologia
Maggio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Aprile 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Marzo 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Febbraio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Gennaio 2019

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Gennaio 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Dicembre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Novembre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Ottobre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Settembre 2018

– Corso di Analisi

—Istituzione di Analisi Superiore
Agosto 2018

– Corso di Analisi

—Esercizi sui Numeri Complessi
Luglio 2018

– Corso di Analisi

—Esercizi sui Numeri Complessi
Giugno 2018

– Corso di Analisi

—Insieme dei Numeri Complessi
Maggio 2018

– Corso di Analisi

—Teoria dei Numeri
Aprile 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Marzo 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Febbraio 2018

– Corso di Analisi

—Teoria degli Insiemi
Dicembre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Novembre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Ottobre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Settembre 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Agosto 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Luglio 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Giugno 2017

– Corso di Analisi I
—Manuale di iMathematica
Maggio 2017

- Corso di Analisi
--Trasformazioni Lineari
Aprile 2017

- Corso di Analisi
--Equazioni Differenziali Lineari
Marzo 2017

- Corso di Analisi
--Equazioni Differenziali Ordinarie
Febbraio 2017

- Corso di Analisi
--Precorso
Gennaio2017

- Corso di Analisi
--Serie Trigonometriche
Dicembre 2016

- Corso di Analisi
--Strutture Fondamentali dell'Analisi
Novembre 2016

- Corso di Analisi
--Strutture Fondamentali dell'Analisi
Ottobre 2016

- Corso di Analisi
--Strutture Fondamentali dell'Analisi
Settembre 2016

- Corso di Analisi
-- Integrali Impropri
Agosto 2016

- Corso di Analisi
-- Funzioni Analitiche
Luglio 2016

- Corso di Analisi
-- Integrale Curvilineo
Giugno 2016

- Corso di Analisi
-- Integrale definito
Maggio 2016

- Corso di Analisi
-- Integrale di Riemann
Aprile 2016

- Corso di Analisi
-- Derivate di ordine superiore
Marzo 2016

- Corso di Analisi
-- Derivate
Febbraio 2016

- Corso di Analisi
-- Esercizi sulle Serie
Gennaio 2016

- Corso di Analisi
-- Serie
Dicembre 2015

– Corso di Analisi
— Successioni di funzioni
Novembre 2015

- Corso di Analisi
-- Funzioni Continue
Ottobre 2015

- Corso di Analisi
--Teoria dei Limiti
Settembre 2015

- Corso di Analisi
-- Spazi Metrici
Agosto 2015

- Corso di Analisi
-- Numeri Complessi
Luglio 2015

- Corso di Analisi
-- Numeri Reali
Giugno 2015

- Integrali Impropri
Maggio 2015

- Funzioni Analitiche II
Aprile 2015

- Funzioni Analitiche I
Marzo 2015

- Integrale Teoria Generale II
Febbraio 2015

- Integrale Teoria Generale I
Gennaio 2015

- Derivate di ordine superiore
Dicembre 2014

- Derivata teoria generale.
Novembre 2014

- Serie teoria generale.-
Ottobre 2014

- Limiti teoria generale II
Settembre 2014

- Limiti teoria generale I
Agosto 2014

- Spazi Metrici.
Luglio 2014

– Funzioni Reali II
Giugno 2014

- Funzioni Reali I
Maggio 2014

- Disequazioni Trascendenti -
Aprile 2014

– Disequazioni
Marzo 2014

- Fascio di Coniche II
Febbraio 2014

- Fascio di Coniche I
Gennaio 2014

– Geometria Analitica I
Dicembre 2013

– Trigonometria
Novembre 2013

– Metodo di Tartenville
Ottobre 2013

- Dimostrazione Formale
Settembre 2013

– Logica Matematica
Agosto 2013

– Insiemi
Luglio 2013

- Logica
Giugno 2013

- Analisi Matematica II
Maggio 2013

– Metrica Euclidea
Aprile 2013

– Derivazione
Marzo 2013

– Elementi di Topologia
Febbraio 2013

- Le Serie
Gennaio 2013

– Teoria degli Insiemi
Dicembre 2012

– Teoria degli Insiemi
Novembre 2012

– Teoria degli Insiemi
Ottobre 2012

– Teoria degli Insiemi
Settembre 2012

– Teoria degli Insiemi
Agosto 2012

– Teoria degli Insiemi
Luglio 2012

– Teoria degli Insiemi
Giugno 2012

– Teoria degli Insiemi
Maggio 2012

– Teoria degli Insiemi
Aprile 2012

– Teoria degli Insiemi
Marzo 2012

– Teoria degli Insiemi
Febbraio 2012

– Teoria degli Insiemi
Gennaio 2012

– Teoria degli Insiemi
Dicembre 2011

– Teoria degli Insiemi
Novembre 2011

– Teoria degli Insiemi
Ottobre 2011

– Teoria degli Insiemi
Settembre 2011

– Teoria degli Insiemi
Agosto 2011

– Teoria degli Insiemi
Luglio 2011

– Teoria degli Insiemi
Giugno 2011

– Teoria degli Insiemi
Maggio 2011

– Teoria degli Insiemi
Aprile 2011

– Teoria degli Insiemi
Marzo 2011

– Teoria degli Insiemi
Febbraio 2011

– Teoria degli Insiemi
Gennaio 2011

– Teoria degli Insiemi
Dicembre 2010

– Teoria degli Insiemi
Tag
Applicazioni del piano complesso in se stesso Condizione Sufficiente coordinate polari Criteri di convergenza per serie a termini non negativi Criterio di Cauchy Definizione di derivata DERIVATE DI ORDINE SUPERIORE Differenziale dominio di una funzione equazione differenziale Equazione di Laplace Equazioni e Disequazioni Trascendenti formula di Taylor funzione arcocosecante funzione arcocoseno funzione arcosecante funzione arcoseno funzione armonica funzione biunivoca Funzione concava Funzione convessa funzione esponenziale Funzione Iniettiva Funzione inversa funzione periodica Funzione ricorsiva funzione suriettiva Funzione Trigonometriche funzioni discontinue funzioni trigonometriche grafico di una funzione gruppo identità di Eulero Il Pensiero Matematico Insieme aperto Insieme chiuso Integrale di Lebesgue integrale di riemann Integrali curvilinei di funzioni complesse Integrali impropri contenenti un parametro integrazione per parti isometria Le Coniche Limite (+) infinito per x che tende a un valore (+) infinito limite di una funzione Limite di una Serie numerica con Excel Limiti Limiti calcolo mediante limiti notevoli matrici Numeri Complessi Numeri Reali Permutazione Polinomi polinomi a coefficienti reali Polinomio di Taylor Problema di Cauchy prodotto scalare prodotto vettoriale Punti singolari isolati punto di accumulazione punto isolato Radice ennesima di x∈R x≧0 regole di derivazione Schema generale di applicazione dell'integrale Serie Armonica Serie di Taylor simmetria assiale Spazio Metrico Completo teorema di Cauchy teorema di Lagrange teorema di Rolle trasformazioni lineari trigonometria vettori vettori linearmente dipendenti
Instagram
Amministrazione
- Registrati
- Accedi
- Flusso di pubblicazione
- Feed dei commenti
- WordPress.com
e-mail

Inserisci il tuo indirizzo e-mail per iscriverti a questo blog e ricevere notifiche di nuovi messaggi per e-mail.

Indirizzo email:

Unisciti a 235 altri iscritti
Vivi l’Attimo!
Articoli e Pagine
- Equazioni di V° Grado
- Cambio di variabile per gli integrali doppi : Lezione 20
- FUNZIONE ARMONICA
- Densità di ℚ in ℝ
- Metodo di Lagrange.
- Serie geometrica
- Limite infinito per x tendente a un valore finito
- teorema dei moltiplicatori di Lagrange in tre variabili : Lezione 16
- Distribuzione di Pascal
- Funzione Calcolabile
Autore
Social
- Visualizza il profilo di sdlrmr@gmail.com su Facebook
- Visualizza il profilo di rmr4448 su Twitter
- Visualizza il profilo di rmr4448 su Instagram
- Visualizza il profilo di salvatore-di-lucia-a52302b8 su LinkedIn
- Google+