In matematica, in particolare in analisi matematica,

una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua.

Intuitivamente

una funzione $f$ è uniformemente continua se una piccola variazione del punto $x$ comporta una piccola variazione dell’immagine $f(x)$

(quindi $f$ è continua), e la misura della variazione di $f(x)$ dipende solo dalla misura della variazione di $x$ , ma non dal punto $x$ stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione,

contrariamente alla

continuità semplice che è una proprietà locale.

Infatti quando si dice che

una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio.

Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione

Nel caso specifico di una funzione $f:I\to {\mathbb {R))$ dove $I\subseteq {\mathbb {R))$ è un intervallo, si dice che

$f$ è uniformemente continua se per ogni numero reale $\varepsilon > 0$ esiste un numero reale $\delta > 0$ tale che per ogni $x_{1},x_{2}\in I$ con $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ (cioè “sufficientemente vicini l’uno all’altro”) si ha:

|f(x_{1})-f(x_{2})|<\varepsilon

Diversamente dalla continuità semplice

la distanza $\delta$ dipende quindi unicamente dalla distanza $\varepsilon$ e non dal punto $x_1$ o $x_2$ .

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici:

dati due spazi metrici $(X,d_{X})$ e $(Y,d_{Y})$ , si dice che una funzione $f:X\to Y$ è uniformemente continua se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che, comunque scelti due punti $x_{1},x_{2}\in X$ che soddisfano $d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$ , allora si ha:

d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))<\varepsilon

Esempi

$Grafico della funzione sin ⁡ ( 1 x ) {\displaystyle \sin \left({\frac {1}{x))\right)} , che non è uniformemente continua in ( 0 , 1 ] {\displaystyle (0,1]} .$

Grafico della funzione $\sin \left({\frac {1}{x))\right)$ , che non è uniformemente continua in $(0,1]$ .

Esempi di funzioni uniformemente continue sono

la funzione costante,

la funzionel’identità

una qualsiasi funzione lineare;

altri esempi sono

le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno).

Esempi di funzioni non uniformemente continue sono

i polinomi di grado maggiore di $1$ non sono funzioni uniformemente continue sull’intera retta reale,

sebbene lo siano sugli insiemi limitati:

data ad esempio

la funzione $f(x)=x^{2}$ , infatti, per ogni $\delta>0$ la differenza:

f(x+\delta )-f(x)=(x+\delta )^{2}-x^{2}=2\delta x+\delta ^{2}

tende ad infinito per $x\to \pm \infty$ .

Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che

la funzione $f(x)=1/x$ non è uniformemente continua nell’intervallo $(0,1]$ , mostrando che funzioni continue su un limitato non sono necessariamente uniformemente continue.

Neppure aggiungendo l’ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue:

ad esempio

la funzione $f(x)=\sin(1/x)$ (sempre nell’intervallo $(0,1]$ ) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo $(0,\delta )$ si possono trovare $x_{1},x_{2}\in I$ tali che $|f(x_{1})-f(x_{2})|=2$ .

Condizioni sufficienti per la continuità uniforme

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un compatto (in $\mathbb {R} ^{n}$ un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale compatto;

il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda

(per $x\to \pm \infty$ ) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

Inoltre,

ogni funzione lipschitziana $f$ è uniformemente continua:

dato $\varepsilon > 0$ , si può scegliere $\delta :={\frac {\varepsilon }{K))$ , dove $K>0$ è una costante di Lipschitz di $f$ .

La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l’uniforme continuità

(si veda il seguente esempio).

Esempio

Si prenda $f(x)=x^(({\frac {1}{3))))$

Essa non è lipschitziana in $\mathbb{R}$ , ma lo è in qualunque insieme del tipo $\left(-\infty ,-a)\cup (a,+\infty \right)$ , con $a > 0$ (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità).

Pertanto,

$f(x)$ è uniformemente continua in questi intervalli.

D’altra parte,

attorno a $0$ (ossia in un intervallo del tipo $\left[-a,a\right]$ , complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l’uniforme continuità di $f(x)$ (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati,

otteniamo che $f(x)$ è uniformemente continua in $\mathbb{R}$ , pur non essendo lipschitziana.

Altre proprietà

Una funzione uniformemente continua in un insieme $X$ lo è anche in ogni sottoinsieme $E\subseteq X$ ;

non vale il viceversa

(ad esempio, $f(x)=x^{2}$ è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

L’immagine di un intervallo limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato.

L	M	M	G	V	S	D
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
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Continuità uniforme

Continuità uniforme

In matematica, in particolare in analisi matematica,

una funzione uniformemente continua è un caso speciale di funzione continua.

Intuitivamente

una funzione è uniformemente continua se una piccola variazione del punto comporta una piccola variazione dell’immagine

(quindi è continua), e la misura della variazione di dipende solo dalla misura della variazione di , ma non dal punto stesso.

La continuità uniforme è quindi una proprietà globale della funzione,

contrariamente alla

continuità semplice che è una proprietà locale.

Infatti quando si dice che

una funzione è continua, si intende semplicemente che è continua in ogni punto del suo dominio.

Non ha invece alcun senso affermare che una funzione è uniformemente continua in un punto.

Definizione

Nel caso specifico di una funzione dove è un intervallo, si dice che

è uniformemente continua se per ogni numero reale esiste un numero reale tale che per ogni con (cioè “sufficientemente vicini l’uno all’altro”) si ha:

Diversamente dalla continuità semplice

la distanza dipende quindi unicamente dalla distanza e non dal punto o .

La definizione di cui sopra si può immediatamente generalizzare ad arbitrari spazi metrici:

dati due spazi metrici e , si dice che una funzione è uniformemente continua se per ogni esiste un tale che, comunque scelti due punti che soddisfano , allora si ha:

Esempi

Grafico della funzione , che non è uniformemente continua in .

Esempi di funzioni uniformemente continue sono

la funzione costante,

la funzionel’identità

una qualsiasi funzione lineare;

altri esempi sono

le funzioni derivabili in un convesso la cui derivata è limitata (ad esempio le funzioni seno e coseno).

Esempi di funzioni non uniformemente continue sono

i polinomi di grado maggiore di non sono funzioni uniformemente continue sull’intera retta reale,

sebbene lo siano sugli insiemi limitati:

data ad esempio

la funzione , infatti, per ogni la differenza:

tende ad infinito per .

Un analogo ragionamento può essere usato per dimostrare che

la funzione non è uniformemente continua nell’intervallo , mostrando che funzioni continue su un limitato non sono necessariamente uniformemente continue.

Neppure aggiungendo l’ipotesi che la funzione sia limitata si ottengono funzioni uniformemente continue:

ad esempio

la funzione (sempre nell’intervallo ) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo si possono trovare tali che .

Condizioni sufficienti per la continuità uniforme

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un compatto (in un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale compatto;

il teorema può essere esteso a comprendere anche insiemi non compatti, purché la funzione tenda

(per ) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

Inoltre,

ogni funzione lipschitziana è uniformemente continua:

dato , si può scegliere , dove è una costante di Lipschitz di .

La lipschizianità è una condizione sufficiente ma non necessaria per l’uniforme continuità

(si veda il seguente esempio).

Esempio

Si prenda

Essa non è lipschitziana in , ma lo è in qualunque insieme del tipo , con (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità).

Pertanto,

è uniformemente continua in questi intervalli.

D’altra parte,

attorno a (ossia in un intervallo del tipo , complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l’uniforme continuità di (continua e definita in un compatto).

Combinando questi risultati,

otteniamo che è uniformemente continua in , pur non essendo lipschitziana.

Altre proprietà

Una funzione uniformemente continua in un insieme lo è anche in ogni sottoinsieme ;

non vale il viceversa

(ad esempio, è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).

L’immagine di un intervallo limitato secondo una funzione uniformemente continua è limitato.

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una funzione $f$ è uniformemente continua se una piccola variazione del punto $x$ comporta una piccola variazione dell’immagine $f(x)$

(quindi $f$ è continua), e la misura della variazione di $f(x)$ dipende solo dalla misura della variazione di $x$ , ma non dal punto $x$ stesso.

Nel caso specifico di una funzione $f:I\to {\mathbb {R))$ dove $I\subseteq {\mathbb {R))$ è un intervallo, si dice che

$f$ è uniformemente continua se per ogni numero reale $\varepsilon > 0$ esiste un numero reale $\delta > 0$ tale che per ogni $x_{1},x_{2}\in I$ con $|x_{1}-x_{2}|<\delta$ (cioè “sufficientemente vicini l’uno all’altro”) si ha:

la distanza $\delta$ dipende quindi unicamente dalla distanza $\varepsilon$ e non dal punto $x_1$ o $x_2$ .

dati due spazi metrici $(X,d_{X})$ e $(Y,d_{Y})$ , si dice che una funzione $f:X\to Y$ è uniformemente continua se per ogni $\varepsilon > 0$ esiste un $\delta > 0$ tale che, comunque scelti due punti $x_{1},x_{2}\in X$ che soddisfano $d_{X}(x_{1},x_{2})<\delta$ , allora si ha:

Grafico della funzione $\sin \left({\frac {1}{x))\right)$ , che non è uniformemente continua in $(0,1]$ .

i polinomi di grado maggiore di $1$ non sono funzioni uniformemente continue sull’intera retta reale,

la funzione $f(x)=x^{2}$ , infatti, per ogni $\delta>0$ la differenza:

tende ad infinito per $x\to \pm \infty$ .

la funzione $f(x)=1/x$ non è uniformemente continua nell’intervallo $(0,1]$ , mostrando che funzioni continue su un limitato non sono necessariamente uniformemente continue.

la funzione $f(x)=\sin(1/x)$ (sempre nell’intervallo $(0,1]$ ) non è uniformemente continua, perché in ogni intervallo $(0,\delta )$ si possono trovare $x_{1},x_{2}\in I$ tali che $|f(x_{1})-f(x_{2})|=2$ .

Il teorema di Heine-Cantor afferma che le funzioni continue su un compatto (in $\mathbb {R} ^{n}$ un insieme chiuso e limitato) sono uniformemente continue su tale compatto;

(per $x\to \pm \infty$ ) ad un limite finito oppure ammetta un asintoto obliquo.

ogni funzione lipschitziana $f$ è uniformemente continua:

dato $\varepsilon > 0$ , si può scegliere $\delta :={\frac {\varepsilon }{K))$ , dove $K>0$ è una costante di Lipschitz di $f$ .

Si prenda $f(x)=x^(({\frac {1}{3))))$

Essa non è lipschitziana in $\mathbb{R}$ , ma lo è in qualunque insieme del tipo $\left(-\infty ,-a)\cup (a,+\infty \right)$ , con $a > 0$ (la sua derivata, infatti, si mantiene in questo caso limitata, il che è sufficiente per la lipschitzianità).

$f(x)$ è uniformemente continua in questi intervalli.

attorno a $0$ (ossia in un intervallo del tipo $\left[-a,a\right]$ , complementare degli intervalli suddetti), si può garantire l’uniforme continuità di $f(x)$ (continua e definita in un compatto).

otteniamo che $f(x)$ è uniformemente continua in $\mathbb{R}$ , pur non essendo lipschitziana.

Una funzione uniformemente continua in un insieme $X$ lo è anche in ogni sottoinsieme $E\subseteq X$ ;

(ad esempio, $f(x)=x^{2}$ è uniformemente continua in ogni intervallo limitato ma non negli intervalli illimitati).