Funzione lipschitziana

In analisi matematica,

una funzione lipschitziana è una funzione di variabile reale che ha una crescita limitata, nel senso che il rapporto tra variazione di ordinata e variazione di ascissa non può mai superare un valore fissato, detto costante di Lipschitz.

È una condizione più forte della continuità, e prende il suo nome da quello del matematico tedesco Rudolf Lipschitz.

La lipschitzianità gioca un ruolo chiave nell’unicità di soluzioni nei problemi di Cauchy relativi ad equazioni differenziali ordinarie.

Si tratta, infatti, di una condizione centrale nel teorema di Picard-Lindelöf, che garantisce l’esistenza e l’unicità della soluzione per una certa condizione iniziale.

Un tipo speciale di continuità di Lipschitz, detta contrazione, viene utilizzata nel teorema delle contrazioni (un teorema di punto fisso).

Si verifica la seguente catena di inclusioni per funzioni definite su un sottoinsieme compatto della retta reale: differenziabilità con continuità ⊆ continuità di Lipschitz ⊆ α-Hölderianità ⊆ continuità uniforme ⊆ continuità; con 0 < α ≤1.

Si ha inoltre:

continuità di Lipschitz ⊆ continuità assoluta ⊆ variazione limitata ⊆ differenziabilità quasi ovunque

Il concetto può essere introdotto in generale in spazi metrici.

Una sua generalizzazione è data dal concetto di funzione hölderiana.

Osservazione

Costruire una funzione che sia α-Hölderiana sulla semiretta [0, +∞) per ogni β < α < γ, dove β e γ sono fissati.

Definizione

Una funzione f : (a, b) → R si dice α-Hölderiana, dove α ∈ (0, 1], se ∃H > 0 tale che ∀x, y ∈ (a, b) |f(x) − f(y)| ≤ H|x − y| ^α

Ricordiamo anche che

Definizione

Una funzione f : (a, b) → R si dice lipschitziana con costante di Lipschitz L se ∃L > 0 tale che ∀x, y ∈ (a, b) |f(x) − f(y)| ≤ L|x − y|

Saranno utili le seguenti proprietà:

Lemma 1.1.

Una funzione f : (a, b) → R di classe C ^1 (a, b) è lipschitziana in (a, b) se e solo se la sua derivata è limitata nell’intervallo.

Lemma 1.2.

Una funzione α-hölderiana è anche β-hölderiana per ogni β < α.

Osservazione

Una funzione lipschitziana è α-hölderiana per ogni α.

Lemma 1.3.

Sia f : (a, b) → R una funzione tale che [f(x)]^k è lipschitziana. Allora f è 1/ k -hölderiana.

Esempio

Caso generale

°°°°°

La condizione di Lipschitz

Spazi normati

Una funzione  si dice lipschitziana su  se esiste una costante  tale che:

Spazi metrici

Dati due spazi metrici  e .

Una funzione  soddisfa la condizione di Lipschitz se esiste una costante  tale che, per ogni scelta di due punti  in  si abbia:

Proprietà

• Una funzione derivabile  è lipschitziana se e solo se la sua derivata prima è limitata. In questo caso, la costante di Lipschitz è .

• Se una funzione  è lipschitziana e differenziabile, allora esiste una costante  tale per cui la jacobiana soddisfi: .

• Il rapporto incrementale di una funzione lipschitziana è limitato.

• Se una funzione è lipschitziana, è anche continua, ma non è detto che sia derivabile.

• Se vale la condizione più forte: esiste una costante  tale che

allora la funzione si dice bilipschitziana.

Una funzione bilipschitziana è un omeomorfismo sull’immagine e quindi in particolare iniettiva.

• La lipschitzianità ha un’importanza immediata nell’ambito delle equazioni differenziali ordinarie, perché rientra nelle ipotesi del teorema di esistenza e unicità per un problema di Cauchy.

• Una funzione lipschitziana è uniformemente continua (il che a sua volta implica  continua). Queste due implicazioni si visualizzano meglio confrontando le seguenti definizioni dei tre tipi di continuità:

  • Continuità semplice: .

  • Continuità uniforme: .

  • Continuità secondo Lipschitz: 

°°°°°

 

 

 

 

 

Segue …

Nome(obbligatorio)

E-mail(obbligatorio)

Sito web

Messaggio

Invia

Δ