Teorema di Bolzano

 

Teorema di Bolzano 

In analisi matematica 

il teorema di Bolzano,

(detto anche teorema degli zeri)

per le funzioni continue, assicura

l’esistenza di almeno una radice delle funzioni continue reali 

che assumano segni opposti ai due estremi di un intervallo.

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Il teorema è stato dimostrato dal matematico boemo Bernard Bolzano.

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Teorema di Bolzano 

Consideriamo

una funzione  continua.

Supponiamo che  e  abbiano segno opposto, ovvero

oppure

Allora

esiste almeno un punto  tale che

Dimostrazione (per assurdo)

Senza perdita di generalità poniamo 

La dimostrazione seguente è una dimostrazione per assurdo.

Si suppone quindi che

Si definisce l’insieme seguente :

L’insieme  non è vuoto, perché contiene ,

inoltre

 è superiormente limitato da 

poiché 

dunque per

l’assioma di completezza dei reali 

esiste

L’estremo superiore è caratterizzato da queste due proprietà

1.  è un maggiorante di ,

2. se  allora  non è un maggiorante di .

Il valore  è diverso da zero, ed è quindi positivo o negativo.

In entrambi i casi si giunge ad un assurdo.

• Se , allora per le ipotesi  e per la permanenza del segno sulle funzioni continue esiste un  tale che per ogni  appartenente all’intorno

 vale 

ma ciò è assurdo perché in contrasto con la prima proprietà dell’estremo superiore;

• Se , allora per le ipotesi  e per la permanenza del segno sulle funzioni continue, esiste  tale che per ogni  appartenente all’intorno

 vale

ma ciò è assurdo perché in contrasto con la seconda proprietà dell’estremo superiore.

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Nota:

l’estremo superiore di un insieme  contenuto in un insieme ordinato 

è il più piccolo elemento dei maggioranti di .

In modo duale,

l’estremo inferiore di un insieme contenuto in un insieme ordinato 

è il più grande elemento dei minoranti di .

Estremo superiore e estremo inferiore possono appartenere ad  oppure no.

Nel primo caso essi coincidono con il suo massimo e minimo.

In generale il concetto di massimo e di estremo superiore non coincidono e non vanno confusi.

I concetti di estremo superiore e di estremo inferiore sono applicabili ad ogni struttura matematica per la quale è chiaro cosa si intende per un elemento essere “maggiore o uguale” di un altro elemento.

Quindi

il concetto di estremo superiore si applica agli insiemi ordinati,

per esempio

sottoinsiemi di numeri reali, razionali, naturali,

ma non per esempio di numeri complessi.

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Definizione

Siano  un insieme totalmente ordinato, .

Se esiste un elemento  tale che:

•  è un maggiorante di 

•  tale che  è un maggiorante di  e  (cioè il maggiorante più piccolo è  stesso)

si dice che

 Se esiste un elemento  tale che:

•  è un minorante di 

•  tale che  è un minorante di  e  (cioè il minorante più grande è  stesso)

si dice che

  è estremo inferiore di , in simboli .

Se l’insieme dei maggioranti di un insieme è non vuoto l’insieme si dice limitato superiormente,

mentre

se l’insieme dei minoranti è non vuoto l’insieme si dice limitato inferiormente.

Ovviamente,

se esiste l’estremo inferiore, allora l’insieme è limitato inferiormente,

mentre

se esiste l’estremo superiore l’insieme è limitato superiormente.

Un insieme limitato superiormente e inferiormente si dice limitato.

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Sottoinsiemi della retta reale

Se si considera un insieme  della retta reale estesa, questo ha sicuramente estremo superiore ed estremo inferiore.

Ciò è garantito dall’assioma di Dedekind, che garantisce che ogni sottoinsieme non vuoto di  è completo e dalla convenzione che,

se  non è limitato superiormente (inferiormente) in , si dice che il suo estremo superiore (inferiore) è infinito:

 e/o .

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Esempi

Gli insiemi seguenti sono da considerarsi come sottoinsiemi dell’insieme dei numeri reali.

• 

In questo caso l’estremo superiore coincide col massimo.

Si ha che  è l’estremo superiore perché è un maggiorante dell’insieme

e

ogni numero reale minore di  non è maggiorante dell’insieme;

• 

L’insieme ha estremo inferiore, ma non ha minimo,

infatti  non appartiene all’insieme;

• 

L’insieme ha estremo superiore e massimo coincidenti;

• 

anche in questo caso l’estremo inferiore non appartiene all’insieme

e l’insieme non ha minimo.

Si noti che l’estremo inferiore coincide con il limite della funzione monotona  per

• 

l’estremo superiore coincide con il massimo;

• 

come prima ma l’insieme non ha massimo;

• 

in quest’ultimo caso l’insieme è limitato superiormente

ma

l’estremo superiore non coincide con il massimo,

poiché l’insieme non ha massimo.

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Completezza ed esistenza

Se un insieme non è completo può essere che un sottoinsieme limitato superiormente non ammetta estremo superiore.

Per esempio,

sia  definito come:

Questo insieme è sicuramente limitato superiormente poiché se  e ,  è maggiorante di .

L’insieme però non ha estremo superiore  non appartiene a ).

Si noti che questo esempio è diverso dall’ultimo esempio della sezione precedente, perché prima si ricercava l’estremo superiore in un insieme completo, , ora no.

Si è dimostrato che per quanto riguarda spazi non completi esistono sottoinsiemi limitati superiormente ma che non ammettono estremo superiore.

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Notazioni

Spesso si incontrano notazioni del tipo:

dove  è una funzione a valori reali su un dominio qualsiasi e  è un sottoinsieme del suo dominio.

Questa notazione è un modo compatto per esprimere:

indica cioè

l’estremo inferiore dell’immagine di  mediante .

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Esempi

Un primo esempio è

Infatti in questo insieme la funzione non è limitata superiormente.

Considerando invece:

e anche:

in questo caso però  non è il minimo dell’insieme,

in quanto tale valore non esiste, come non esiste il minimo della funzione (è sul bordo del dominio).

Altri esempi

sono:

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Funzioni monotone

Come si è visto in uno degli esempi precedenti, esiste una connessione tra il concetto di estremo superiore e quello di limite.

Sia  una funzione monotona in .

Allora esistono:

e si ha

(nel caso sia  non decrescente):

 e 

con risultati speculari

se  è invece non crescente.

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Dimostrazione (con metodo di bisezione)

L’idea è quella di

costruire una successione reale convergente ad un punto che si verifichi essere proprio lo zero della funzione data.

Si ponga , 

Poi si definisca .

Se  allora non c’è più niente da dimostrare.

Se  si ponga  e al contrario,

se  si ponga  e 

Al generico passo  si ponga induttivamente Se  non c’è più nulla da dimostrare,

se  si ponga  e 

se  si ponga  e 

Risultano così costruite induttivamente

le tre successioni 
 e 

Si vede immediatamente che

  è non decrescente,

  è non crescente,

e nondimeno

  per ogni 

(quindi per il teorema delle successioni monotone  e  esistono finiti).

Si nota poi che , e di conseguenza .

Quindi cioè .

Possiamo allora applicare

il teorema dei carabinieri 

e concludere che:

.

Sia allora  tale limite comune.

La continuità della funzione  ci assicura che

Nondimeno

il fatto che  sia chiuso assicura che 

D’altra parte, per costruzione induttiva si ha che

 

Quindi possiamo applicare

il teorema di conservazione delle disuguaglianze

ed affermare:

Quindi di conseguenza

Siccome poi  e  non sono zeri di ,

deve essere che come volevamo.

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Ovviamente

il teorema vale anche nell’ipotesi che basta applicare il procedimento visto a , sicuri del fatto che gli zeri di  sono tutti e soli quelli di .

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Osservazioni

• Nel caso ci si trovi in presenza di una funzione strettamente monotona,

il teorema dice che lo zero è unico;

se non si fa tale ipotesi gli zeri possono essere più di uno.

• Il teorema assicura l’esistenza dello zero, quindi è solo una condizione sufficiente ma non necessaria.

• Basti pensare alla funzione , che non assume valori discordi in  ma comunque ha uno zero in 

• Il teorema vale in ipotesi molto più generali sull’insieme di definizione di :

basta che esso sia

uno spazio topologico connesso.

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Segue …

 

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