Teorema di Heine-Cantor
In matematica,
il teorema di Heine – Cantor è un teorema di analisi matematica riguardante l’uniforme continuità di funzioni definite fra spazi metrici.
Prende il nome da Eduard Heine e Georg Cantor.
In generale
ogni funzione uniformemente continua è anche continua.
Il teorema di Heine-Cantor
permette di invertire tale implicazione, nell’ipotesi che il dominio sia uno spazio metrico compatto.
Il teorema
Siano e spazi metrici,
e
una funzione continua su .
Se è compatto
allora
è uniformemente continua.
In particolare,
tutte le funzioni reali di variabile reale continue definite su un intervallo chiuso e limitato sono uniformemente continue.
Dimostrazione
Assumiamo, per assurdo, che non valga la tesi; la negazione di
equivale a
- .
Supponiamo dunque che esista tale che per ogni esistano punti tali che
e
Diamo a i valori e denotiamo con e i corrispondenti punti .
In questo modo si definiscono due successioni di punti e .
Poiché è compatto da si può estrarre una sotto-successione convergente ad un punto ;
sia essa
Poiché per si ha
per quindi anche converge a
Poiché per ogni si ha
e il secondo membro tende a zero per la continuità della funzione, segue
incompatibile con l’ipotesi d’assurdo
Condizione sufficiente
La compattezza è una condizione sufficiente ma non necessaria per avere continuità uniforme.
Esistono infatti funzioni uniformemente continue definite in spazi metrici non compatti.
Banalmente
la funzione lineare è uniformemente continua in ogni spazio metrico,
le funzioni costanti f(x)=k sono uniformemente continue in ogni spazio metrico.
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iMathematica 
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