In analisi matematica,

il teorema di approssimazione di Weierstrass è un risultato che afferma che ogni funzione reale continua definita in un intervallo chiuso e limitato può essere approssimata a piacere con un polinomio di grado opportuno.

Questo è stato dimostrato da Karl Weierstraß nel 1885.

Il teorema ha importanti risvolti sia teorici che pratici.

Marshall Stone lo ha generalizzato nel 1937, allargando il dominio ad un certo tipo di spazio topologico e non limitandosi ai polinomi come funzioni approssimanti.

Il risultato generale è noto come teorema di Stone-Weierstrass.

Enunciato

Data una funzione continua

f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}

definita sull’intervallo $[a,b]$ , esiste una successione di polinomi

{\displaystyle \left\{p_{k}\right\}_{k\geq 1))

tale che

\lim _{k\to +\infty }p_{k}(x)=f(x)

Il limite è da intendersi non solo puntualmente ma anche rispetto alla convergenza uniforme sul compatto

$K=[a,b]$ ovvero con

\lim _{k\to +\infty }\sup _{x\in K}\vert f(x)-p_{k}(x)\vert =0

Una conseguenza immediata di questo teorema è che i polinomi sono densi nello spazio delle funzioni continue $C(K)$ , che quindi risulta essere uno spazio separabile.

Dimostrazione

Osservazioni preliminari

Con la trasformazione biiettiva

{\begin{aligned}x&\longmapsto {\frac {x-a}{b-a))\\f(x)&\longmapsto f(x)-f(a)-{\frac {x-a}{b-a))(f(b)-f(a)),\end{aligned))

il teorema può essere dimostrato, senza perdita di generalità, anche solo per funzioni che verificano la condizione

\ [a,b]=[0,1]\ ,\ f(0)=f(1)=0.

Estendendo f(x) su $\mathbb{R}$ ponendola uguale a zero al di fuori di [0,1] si ottiene una funzione uniformemente continua su tutto $\mathbb{R}$ (la funzione di partenza è uniformemente continua su [0,1] per il teorema di Heine-Cantor).

Definizione e proprietà dei polinomi

Per ogni k numero naturale, i polinomi

\textstyle q_{k}:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} \quad q_{k}(x)={\begin{cases}(k+1)(1-x)^{k}&x\in [0,1]\\0&x\in \mathbb {R} \setminus [0,1]\end{cases))

sono non negativi e monotoni decrescenti in [0,1].

La funzione integrale

\ I_{k}(z)=\int _{0}^{z}q_{k}(x)dx

è monotona crescente in [0,1].

Vale la proprietà di normalizzazione:

\forall k:\int _{\mathbb {R} }q_{k}(x)dx=\int _{0}^{1}q_{k}(x)dx=1

I polinomi che approssimano f(x) sono le funzioni

\ p_{k}(x)=\int _{\mathbb {R} }f(x+t)q_{k}(t)dt=\int _{0}^{1}f(x+t)q_{k}(t)dt

Si può dimostrare che si tratta effettivamente di polinomi operando il cambio di variabile s = t + x all’interno del primo integrale ed utilizzando il teorema binomiale nell’intervallo [0,1] per calcolare i coefficienti.

Osservazione:

Teorema binomiale

«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»

(Fernando Pessoa)

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza $n$ -esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:

(a+b)^{n}=\sum _((k=0))^{n}{n \choose k}a^((n-k))b^((k))

in cui il fattore ${n \choose k}$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con

${\frac {n!}{k!(n-k)!))$

Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, $n=2$ , $n=3$ ed $n=4$ :

(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}

(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.

Nel caso in cui $n$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita.

Questa formula generalizzata, nel caso di $n$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

In base all’ultimo teorema di Fermat, (per $n>2$ ) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di un numero intero.

Per assurdo,

infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per $n=3$ potessi raccogliere qualche ${\displaystyle z^{3}=3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3))$ intero, posto ${\displaystyle s^{3}=(x+y)^{3))$ al primo membro, potrei scrivere ${\displaystyle s^{3}=x^{3}+z^{3))$ con x, s, z interi.

Esposizione

È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di $(a+b)$ in una sommatoria nella forma

{\begin{aligned}(a+b)^{n}&={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^((n-1))b^{1}+{n \choose 2}a^((n-2))b^{2}+{n \choose 3}a^((n-3))b^{3}+\cdots \\&{}\qquad \cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^((n-1))+{n \choose n}a^{0}b^{n},\end{aligned))

dove ${\tbinom nk}$ rappresentano i coefficienti binomiali.

Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

(a+b)^{n}=\sum _((k=0))^{n}{n \choose k}a^((n-k))b^{k}.

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo $1$ ad $a$ e $a$ a $b$ , considerando quindi una sola variabile.

In questa forma, si ha:

(1+a)^{n}={n \choose 0}a^{0}+{n \choose 1}a^{1}+{n \choose 2}a^{2}+\cdots +{n \choose {n-1))a^((n-1))+{n \choose n}a^{n},

o, in maniera equivalente,

(1+a)^{n}=\sum _((k=0))^{n}{n \choose k}a^{k}.

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione.

Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

(a+b)^{1}=\sum _((k=0))^{1}{1 \choose k}a^(((1-k)))b^((k))=a+b

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi.

Infatti presa per corretta l’espressione

(a+b)^{n}=\sum _((k=0))^{n}{n \choose k}a^(((n-k)))b^{k}

sicuramente vera per $n+1$ , si ha

(a+b)^((n+1))

=(a+b)(a+b)^{n}

=(a+b)\sum _((k=0))^{n}\,{n \choose k}a^((n-k))b^((k))

moltiplicando la sommatoria per $(a+b)$ si ha

=\sum _((k=0))^{n}\,{n \choose k}a^((n+1-k))b^((k))+\sum _((k=0))^{n}\,{n \choose k}a^((n-k))b^((k+1))

da cui, essendo

\ \sum _((k=0))^{n}\,{n \choose k}a^((n+1-k))b^((k))

={n \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=1))^((n))\,{n \choose k}a^((n+1-k))b^{k}

={n \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=0))^((n-1))\,{n \choose k+1}a^((n+1-(k+1)))b^((k+1))

={n \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=0))^((n-1))\,{n \choose k+1}a^((n-k))b^((k+1))

ed inoltre

\ \sum _((k=0))^{n}\,{n \choose k}a^((n-k))b^((k+1))

=\sum _((k=0))^((n-1))\,{n \choose k}a^((n-k))b^((k+1))+{n \choose n}b^((n+1))

Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

{n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}

si ha che

(a+b)^((n+1))

={n \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=0))^((n-1))\,\left({n \choose k}+{n \choose k+1}\right)a^((n-k))b^((k+1))+{n \choose n}b^((n+1))

={n \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=0))^((n-1))\,{n+1 \choose k+1}a^((n-k))b^((k+1))+{n \choose n}b^((n+1))

={n \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=1))^((n))\,{n+1 \choose k}a^((n+1-k))b^((k))+{n \choose n}b^((n+1))

essendo infine

{n \choose 0}={n+1 \choose 0}=1

e

\ {n \choose n}={n+1 \choose n+1}=1

si ha che

{n \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=1))^((n))\,{n+1 \choose k}a^((n+1-k))b^((k))+{n \choose n}b^((n+1))={n+1 \choose 0}a^((n+1))+\sum _((k=1))^((n))\,{n+1 \choose k}a^((n+1-k))b^((k))+{n+1 \choose n+1}b^((n+1))

e si ottiene l’espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

(a+b)^((n+1))=\sum _((k=0))^((n+1))\,{n+1 \choose k}a^(((n+1)-k))b^{k}

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo $(a+b)^{n}$ come il prodotto

$(a+b)(a+b)(a+b)\,\quad \ldots$

con $n$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^((n-k))b^{k}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n-k$ volte $a$ e $k$ volte $b$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${n \choose k}$

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di $k$ da $0$ a $n$ , si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per $n$ numero naturale.

È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per $(1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb{R}$ nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),$ dove il resto $o(x)$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2))x^{2}+{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)}{6))x^{3}+\dots +{\alpha \choose k}x^{k}+o(x^{k})

,

dove ${\alpha \choose k}$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

{\alpha \choose k}={\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!))

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all’origine della funzione $(1+x)^{\alpha }$ è

(1+x)^{\alpha }=(1+x)_((x=0))^{\alpha }+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_((x=0))^{\prime )){1!))x+{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_((x=0))^((\prime \prime ))}{2!))x^{2}+\dots +{\frac {\left((1+x)^{\alpha }\right)_((x=0))^(((k)))}{k!))x^{k}+\dots

e, poiché

\left((1+x)^{\alpha }\right)_((x=0))^{\prime }=\alpha (1+x)_((x=0))^((\alpha -1))=\alpha

\left((1+x)^{\alpha }\right)_((x=0))^(((i)))=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)(1+x)_((x=0))^((\alpha -i))=\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -i+1)

si ottiene

(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!))x^{2}+\dots +{\frac {\alpha (\alpha -1)\dots (\alpha -k+1)}{k!))x^{k}+\dots

che è la formula di cui sopra.

Troncando la serie al $k$ -esimo termine, l’errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine $o(x^{k})$ .

Parte principale

Considerando la proprietà di normalizzazione e la disuguaglianza integrale abbiamo che, per ogni x :

\ |p_{k}(x)-f(x)|=|\int _{0}^{1}f(x+t)q_{k}(t)dt\ -f(x)\cdot 1|=|\int _{0}^{1}f(x+t)q_{k}(t)dt\ -\ f(x)\int _{0}^{1}q_{k}(t)dt|\leq

\ \leq \int _{0}^{1}|f(x+t)-f(x)|q_{k}(t)dt=\diamondsuit

Dalla definizione di continuità uniforme di f(x), fissato ε /2 > 0,

\ \exists \ \delta \in (0,1)\ :\ |t|<\delta \Rightarrow |f(x+t)-f(x)|<{\frac {\varepsilon }{2))

In base al teorema di Weierstrass esiste il massimo

{\displaystyle M=\max \left\{\left|f(x)\right|\ :\ x\in [0,1]\right\))

Fatte queste considerazioni e tenendo presente la disuguaglianza triangolare, la $\diamondsuit$ diventa:

\ \diamondsuit =\int _{0}^{\delta }|f(x+t)-f(x)|q_{k}(t)dt+\int _{\delta }^{1}|f(x+t)-f(x)|q_{k}(t)dt\leq

\ \leq {\frac {\varepsilon }{2))\int _{0}^{\delta }q_{k}(t)dt+\int _{\delta }^{1}[|f(x+t)|+|f(x)|]q_{k}(t)dt\leq {\frac {\varepsilon }{2))+2M\int _{\delta }^{1}q_{k}(t)dt\leq

{\displaystyle \ \leq {\frac {\varepsilon }{2))+2M(k+1)\int _{\delta }^{1}(1-t)^{k}dt={\frac {\varepsilon }{2))+2M(1-\delta )^{k+1))

Dato che 0 < δ < 1 , il secondo termine nel secondo membro dell’ultima equazione tende a zero per k che tende ad infinito, perciò è minore di ε /2 per k sufficientemente grande.

In definitiva:

\ \forall \varepsilon >0\ \exists k\ :\ |p_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon

cioè

\lim _{k\to +\infty }p_{k}(x)=f(x)

Caso complesso

Il teorema si può estendere a funzioni a valori complessi

f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {C}

continue.

La dimostrazione è analoga al caso reale, tenendo presente, però, che gli integrali non sono quelli ordinari ma sui cammini e che al posto del valore assoluto nelle formule abbiamo la funzione modulo.

Enunciato del teorema tramite i concetti degli spazi normati

Usando la terminologia degli spazi normati, il teorema afferma che, con la norma uniforme

{\displaystyle \textstyle \|f\|_{\infty }=\max \left\{\,\left|f(x)\right|:x\in [a,b]\right\))

lo spazio funzionale $\ {\mathcal {P))([a,b])$ dei polinomi sull’intervallo [a, b] è denso nello spazio $\ {\mathcal {C))^{0}([a,b])$ delle funzioni continue su tale intervallo.

Nella dimostrazione proposta abbiamo che la disuguaglianza

\textstyle |p_{k}(x)-f(x)|<\varepsilon

vale per qualsiasi x, quindi in particolare vale per

{\displaystyle \textstyle \max \left\{\,\left|p_{k}(x)-f(x)\right|:x\in [0,1]\right\}=\|p_{k}-f\|_{\infty ))

Perciò

\ \lim _{k\to \infty }\|p_{k}-f\|_{\infty }=0

Conseguenze

Risvolti teorici

Una prima conseguenza è che lo spazio $\textstyle {\mathcal {C))^{0}([a,b])$ è separabile perché $\textstyle {\mathcal {P))([a,b])$ stesso è separabile, dato che contiene l’insieme denso e numerabile dei polinomi a coefficienti razionali

{\displaystyle \ M=\left\{\sum _{i=0}^{n}q_{i}x^{i}:q_{i}\in \mathbb {Q} ,n\in \mathbb {N} \right\))

Un’altra conseguenza è che è separabile qualsiasi insieme $\ X$ in cui $\textstyle {\mathcal {C))^{0}([a,b])$ è denso.

Tra i tanti esempi di insiemi che verificano questa condizione, si può citare lo spazio L¹ delle funzioni a modulo integrabile secondo Lebesgue in [a, b].

Risvolti pratici

Nella maggior parte dei problemi pratici in cui bisogna valutare una funzione sconosciuta, si sa che la funzione in questione è continua (o lo si ipotizza).

Il teorema ci assicura, quindi, che possiamo sempre in linea di principio trovare un polinomio che approssima la funzione incognita con un grado di precisione arbitrario.

Ovviamente altra cosa è determinare esplicitamente un algoritmo per calcolare questo polinomio.

Il teorema di Stone-Weierstrass

Sia $K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto e $C(K,\mathbb {C} )$ l’algebra delle funzioni continue a valori complessi ivi definite, con la topologia generata dalla norma uniforme.

Questa è una C-algebra dove lo -operatore è rappresentato dal coniugio dei numeri complessi.

Sia $B\subseteq C(K,\mathbb {C} )$

Se $B$ è una sottoalgebra involutiva di $\ C(K,\mathbb {C} )$ (cioè se $B$ è un sottospazio chiuso rispetto al prodotto e al coniugio in $\ \mathbb {C}$ ) che separa i punti di $K$ , cioè se vale la condizione

\forall x,y\in K\ \exists f\in B\ :\ x\neq y\Rightarrow f(x)\neq f(y)

allora la *-algebra generata dall’unità di $B$ è densa in $\ C(K,\mathbb {C} )$ .

La *-algebra in questione è un insieme $\ X$ che contiene la funzione costante $1$ e che, se $f\in X$ , contiene qualsiasi altra funzione ottenuta partendo da $\ f$ e applicando un numero finito di volte le operazioni di addizione, moltiplicazione, coniugazione complessa o moltiplicazione per un numero complesso.

Il caso reale del teorema ( $B\subseteq C(K,\mathbb {R} )$ ) si ottiene come caso particolare di quello complesso, perché se una successione di funzioni complesse converge uniformemente ad $f$ allora la successione delle parti reali delle stesse funzioni converge uniformemente alla parte reale di $f$ .

Ulteriori generalizzazioni

Esistono due ulteriori generalizzazioni del teorema.

Teorema di Stone-Weierstrass per i reticoli di funzioni continue

La prima è la versione per reticoli del teorema di Stone-Weierstass.

Sia $\ K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto costituito da almeno due punti e sia $\ R$ un reticolo contenuto in $\ C(K,\mathbb {R} )$ che verifica la condizione

\ \forall x,y\in K\ \forall a,b\in \mathbb {R} \ \exists f\in R\ :f(x)=a\wedge f(y)=b

Allora $\ R$ è denso in $\ C(K,\mathbb {R} )$ .

Teorema di Bishop

La seconda è un teorema dovuto a Errett Bishop.

Sia $\ K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto, $\ A$ una sottoalgebra chiusa dello spazio di Banach $\ C(K,\mathbb {C} )$ e $\ f$ una funzione appartenente a $\ C(K,\mathbb {C} )$ ; ${\displaystyle \ f_{/W))$ indica una restrizione di $\ f$ su un sottoinsieme $\ W\subseteq K$ , mentre ${\displaystyle \ A_{/W))$ indica lo spazio delle restrizioni su $\ W$ di funzioni appartenenti ad $\ A$ .

Sia $\ R\subset C(K,\mathbb {C} )$ il sottoinsieme delle funzioni costanti reali.

Consideriamo l’insieme

{\displaystyle \ V=\left\{X\subset K\ :A_{/X}\subseteq R_{/X}\right\))

e chiamiamo ${\displaystyle \ V_{M))$ il sottoinsieme degli insiemi massimali di $\ V$ secondo l’inclusione insiemistica.

Se $\ f$ verifica la condizione

{\displaystyle \ \forall S\in V_{M}:f_{/S}\in A_{/S))

L	M	M	G	V	S	D
			1	2	3	4
5	6	7	8	9	10	11
12	13	14	15	16	17	18
19	20	21	22	23	24	25
26	27	28	29	30

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Teorema di approssimazione di Weierstrass

Teorema di approssimazione di Weierstrass

In analisi matematica,

il teorema di approssimazione di Weierstrass è un risultato che afferma che ogni funzione reale continua definita in un intervallo chiuso e limitato può essere approssimata a piacere con un polinomio di grado opportuno.

Questo è stato dimostrato da Karl Weierstraß nel 1885.

Il teorema ha importanti risvolti sia teorici che pratici.

Marshall Stone lo ha generalizzato nel 1937, allargando il dominio ad un certo tipo di spazio topologico e non limitandosi ai polinomi come funzioni approssimanti.

Il risultato generale è noto come teorema di Stone-Weierstrass.

Enunciato

Data una funzione continua

definita sull’intervallo , esiste una successione di polinomi

tale che

Il limite è da intendersi non solo puntualmente ma anche rispetto alla convergenza uniforme sul compatto

ovvero con

Una conseguenza immediata di questo teorema è che i polinomi sono densi nello spazio delle funzioni continue , che quindi risulta essere uno spazio separabile.

Dimostrazione

Osservazioni preliminari

Con la trasformazione biiettiva

il teorema può essere dimostrato, senza perdita di generalità, anche solo per funzioni che verificano la condizione

Estendendo f(x) su ponendola uguale a zero al di fuori di [0,1] si ottiene una funzione uniformemente continua su tutto (la funzione di partenza è uniformemente continua su [0,1] per il teorema di Heine-Cantor).

Definizione e proprietà dei polinomi

Per ogni k numero naturale, i polinomi

sono non negativi e monotoni decrescenti in [0,1].

La funzione integrale

è monotona crescente in [0,1].

Vale la proprietà di normalizzazione:

I polinomi che approssimano f(x) sono le funzioni

Si può dimostrare che si tratta effettivamente di polinomi operando il cambio di variabile s = t + x all’interno del primo integrale ed utilizzando il teorema binomiale nell’intervallo [0,1] per calcolare i coefficienti.

Osservazione:

Teorema binomiale

«Il binomio di Newton è bello come la Venere di Milo, peccato che pochi se ne accorgano.»

(Fernando Pessoa)

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza -esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:

in cui il fattore rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con

Tali coefficienti sono peraltro gli stessi che si trovano nel noto triangolo di Tartaglia.

Lo sviluppo vale per ogni coppia di numeri reali o complessi, ma più in generale vale in ogni anello commutativo.

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, , ed :

Nel caso in cui sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita.

Questa formula generalizzata, nel caso di reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

In base all’ultimo teorema di Fermat, (per ) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di un numero intero.

Per assurdo,

infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per potessi raccogliere qualche intero, posto al primo membro, potrei scrivere con x, s, z interi.

Esposizione

È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di in una sommatoria nella forma

dove rappresentano i coefficienti binomiali.

Utilizzando la notazione di sommatoria, la stessa formula può essere scritta:

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo ad e a , considerando quindi una sola variabile.

In questa forma, si ha:

o, in maniera equivalente,

Prima dimostrazione (induttiva)

Il teorema binomiale può essere dimostrato per induzione.

Infatti è possibile introdurre per tale teorema un passo base per cui esso risulta banalmente vero

e provare con il passo induttivo la veridicità del teorema per un esponente n qualsiasi.

Infatti presa per corretta l’espressione

sicuramente vera per , si ha

moltiplicando la sommatoria per si ha

da cui, essendo

ed inoltre

Utilizzando nel primo passaggio la proprietà del coefficiente binomiale

si ha che

essendo infine

e

si ha che

e si ottiene l’espressione formale dello sviluppo della potenza successiva del binomio

che conferma la tesi.

Seconda dimostrazione (combinatoria)

Se scriviamo come il prodotto

con fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo volte e volte dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di da a , si ha subito la tesi.

Caso di esponente generale

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per numero naturale.

È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia dove il resto indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

Lo sviluppo completo è

dove è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

Dimostrazione

Lo sviluppo attorno all’origine della funzione è

e, poiché

definita sull’intervallo $[a,b]$ , esiste una successione di polinomi

$K=[a,b]$ ovvero con

Una conseguenza immediata di questo teorema è che i polinomi sono densi nello spazio delle funzioni continue $C(K)$ , che quindi risulta essere uno spazio separabile.

Estendendo f(x) su $\mathbb{R}$ ponendola uguale a zero al di fuori di [0,1] si ottiene una funzione uniformemente continua su tutto $\mathbb{R}$ (la funzione di partenza è uniformemente continua su [0,1] per il teorema di Heine-Cantor).

In algebra il teorema binomiale (o anche formula di Newton, binomio di Newton e sviluppo binomiale) esprime lo sviluppo della potenza $n$ -esima di un binomio qualsiasi con la formula seguente:

in cui il fattore ${n \choose k}$ rappresenta il coefficiente binomiale ed è sostituibile con

Come esempio di applicazione della formula, riportiamo i casi piccoli, $n=2$ , $n=3$ ed $n=4$ :

Nel caso in cui $n$ sia un numero reale o complesso, la somma finita è sostituita da una serie infinita.

Questa formula generalizzata, nel caso di $n$ reale positivo, fu realizzata da Isaac Newton (da cui il nome).

In base all’ultimo teorema di Fermat, (per $n>2$ ) la serie dei prodotti intermedi più un termine n-esimo non può essere la potenza n-esima di un numero intero.

infatti, dati (x , y) interi, se ad esempio per $n=3$ potessi raccogliere qualche ${\displaystyle z^{3}=3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3))$ intero, posto ${\displaystyle s^{3}=(x+y)^{3))$ al primo membro, potrei scrivere ${\displaystyle s^{3}=x^{3}+z^{3))$ con x, s, z interi.

È possibile, secondo il teorema, sviluppare una qualunque potenza intera di $(a+b)$ in una sommatoria nella forma

dove ${\tbinom nk}$ rappresentano i coefficienti binomiali.

Una variante di questa formula binomiale può essere ottenuta sostituendo $1$ ad $a$ e $a$ a $b$ , considerando quindi una sola variabile.

sicuramente vera per $n+1$ , si ha

moltiplicando la sommatoria per $(a+b)$ si ha

Se scriviamo $(a+b)^{n}$ come il prodotto

con $n$ fattori, è evidente che il numero delle volte in cui compare nello sviluppo il termine $a^((n-k))b^{k}$ è pari al numero di combinazioni che si possono ottenere prendendo $n-k$ volte $a$ e $k$ volte $b$ dai fattori del prodotto, numero che è dato proprio da ${n \choose k}$

Poiché per la proprietà distributiva il prodotto è dato dalla somma di questi termini al variare di $k$ da $0$ a $n$ , si ha subito la tesi.

La definizione fornita del binomio di Newton è valida solo per $n$ numero naturale.

È tuttavia possibile fornire una generalizzazione valida per $(1+x)^{\alpha },\ \alpha \in \mathbb{R}$ nonché approssimarla in un intorno destro dello 0 con una serie di Taylor.

Nella pratica si usano spesso solo i primi due termini della serie, ossia $(1+x)^{\alpha }=1+\alpha x+o(x),$ dove il resto $o(x)$ indica un infinitesimo di ordine superiore al primo.

dove ${\alpha \choose k}$ è il coefficiente binomiale generalizzato, dato da

Lo sviluppo attorno all’origine della funzione $(1+x)^{\alpha }$ è

Troncando la serie al $k$ -esimo termine, l’errore che si ottiene è un infinitesimo di ordine $o(x^{k})$ .

Fatte queste considerazioni e tenendo presente la disuguaglianza triangolare, la $\diamondsuit$ diventa:

lo spazio funzionale $\ {\mathcal {P))([a,b])$ dei polinomi sull’intervallo [a, b] è denso nello spazio $\ {\mathcal {C))^{0}([a,b])$ delle funzioni continue su tale intervallo.

Una prima conseguenza è che lo spazio $\textstyle {\mathcal {C))^{0}([a,b])$ è separabile perché $\textstyle {\mathcal {P))([a,b])$ stesso è separabile, dato che contiene l’insieme denso e numerabile dei polinomi a coefficienti razionali

Un’altra conseguenza è che è separabile qualsiasi insieme $\ X$ in cui $\textstyle {\mathcal {C))^{0}([a,b])$ è denso.

Tra i tanti esempi di insiemi che verificano questa condizione, si può citare lo spazio L¹ delle funzioni a modulo integrabile secondo Lebesgue in [a, b].

Sia $K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto e $C(K,\mathbb {C} )$ l’algebra delle funzioni continue a valori complessi ivi definite, con la topologia generata dalla norma uniforme.

Questa è una C-algebra dove lo -operatore è rappresentato dal coniugio dei numeri complessi.

Sia $B\subseteq C(K,\mathbb {C} )$

Se $B$ è una sottoalgebra involutiva di $\ C(K,\mathbb {C} )$ (cioè se $B$ è un sottospazio chiuso rispetto al prodotto e al coniugio in $\ \mathbb {C}$ ) che separa i punti di $K$ , cioè se vale la condizione

allora la *-algebra generata dall’unità di $B$ è densa in $\ C(K,\mathbb {C} )$ .

Sia $\ K$ uno spazio topologico di Hausdorff compatto costituito da almeno due punti e sia $\ R$ un reticolo contenuto in $\ C(K,\mathbb {R} )$ che verifica la condizione

Allora $\ R$ è denso in $\ C(K,\mathbb {R} )$ .

Sia $\ R\subset C(K,\mathbb {C} )$ il sottoinsieme delle funzioni costanti reali.

e chiamiamo ${\displaystyle \ V_{M))$ il sottoinsieme degli insiemi massimali di $\ V$ secondo l’inclusione insiemistica.

Se $\ f$ verifica la condizione

allora $\ f\in A$ .