Modulo di continuità
In matematica,
il modulo di continuità è uno strumento per misurare il comportamento di una funzione.
È un modo per descrivere quantitativamente la dipendenza di 
da 
nella definizione di uniforme continuità.
Storia
La definizione è stata introdotta da Henri Lebesgue nel 1910 in riferimento all’oscillazione di una trasformata di Fourier, ma il concetto era conosciuto già da tempo.
De la Vallée Poussin nel 1919 nominava come termine alternativo “modulo di oscillazione“, ma concludeva “ma continueremo a usare “modulo di continuità” per sottolineare l’uso che vogliamo farne”.
Definizione
Siano 
una funzione di dominio 
aperto a valori in 
, 
un punto di 
e un numero reale positivo.
°°°°°
Si definisce modulo di continuità locale di 
in
una funzione 
tale che
È invece detto modulo di continuità globale
una funzione 
tale che
La definizione si può facilmente estendere a funzioni tra spazi normati sostituendo al modulo la norma dello spazio selezionato.
Il modulo di continuità misura l’uniforme continuità della funzione .
Proprietà
Si dimostra che è continua in se e solo se essa ammette un modulo di continuità locale 
tale che
Analogamente,
si dimostra che
una funzione è uniformemente continua se e solo se ammette un modulo di continuità globale 
tale che
Un insieme di funzioni continue 
è equicontinuo se e solo se le funzioni ammettono un modulo di continuità comune.
Esempi
La connessione tra regolarità in termini di funzione liscia e modulo di continuità per funzioni definita sull’intera retta reale è molto delicata.
Basti ad esempio la considerazione che,
se 
, 
per ogni ,
anche se 
è infinitamente differenziabile.
La discussione si fa più particolareggiata se il dominio è un intervallo chiuso
Per una funzione derivabile in un intervallo il modulo di continuità ha crescita sub-lineare, cioè soddisfa:
per una costante 
che risulta dipendente dal valore assoluto della sua derivata.
Le funzioni hölderiane corrispondono a precisi moduli di continuità.
per qualche costante .
Ribaltando il punto di vista,
Moduli di continuità di ordine superiore
Dalla considerazione che:
dove 
è la differenza finita di prim’ordine di in 
, sostituendo tale differenza con una di ordine superiore otteniamo un modulo di continuità di ordine n:
Segue …
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