Derivata
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In matematica,
la derivata è il tasso di cambiamento di una funzione rispetto a una variabile,
vale a dire
la misura di quanto la crescita di una funzione cambi al variare del suo argomento.
La derivata di una funzione è una grandezza puntuale, cioè si calcola punto per punto.
Nel caso di funzioni a una variabile nel campo reale, essa è la pendenza della tangente al grafico della funzione in quel punto e ne rappresenta la migliore approssimazione lineare.
Nel caso in cui la derivata esista (cioè la funzione sia derivabile) in ogni punto del dominio, la si può vedere a sua volta come una funzione che associa a ogni punto proprio la derivata in quel punto.
Il concetto di derivata è, insieme a quello di integrale, uno dei cardini dell’analisi matematica e del calcolo infinitesimale.
Il significato pratico di derivata è il tasso di variazione di una certa grandezza presa in considerazione.
Un esempio molto noto di derivata è la variazione della posizione di un oggetto rispetto al tempo, chiamata velocità istantanea.
Descrizione
![La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto. Si tratta quindi di un numero che misura la pendenza della retta tangente.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7a/Graph_of_sliding_derivative_line.gif)
La derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto. Si tratta quindi di un numero che misura la pendenza della retta tangente.
La derivata di una funzione
in un punto
è il valore del coefficiente angolare della retta tangente alla curva nel punto,
cioè la
tangente trigonometrica dell’angolo formato dalla tangente in un punto della curva di equazione
e l’asse delle ascisse.
Se la derivata è uguale a zero la retta tangente alla curva di equazione
risulta parallela all’asse delle ascisse,
mentre
se la derivata tende a infinito la retta tangente alla curva di equazione
è parallela all’asse delle ordinate.
La funzione derivata si ricava con una serie di operazioni algebriche note come regole di derivazione, applicabili universalmente a tutte le funzioni derivabili.
Nel caso di funzioni di più variabili la tangente in un punto alla curva della funzione non è unica, ma varia a seconda della direzione scelta.
Non si può più quindi definire una sola funzione delle stesse variabili indipendenti che renda conto della pendenza del grafico della funzione in un punto: si ricorre allora alle derivate parziali della funzione, cioè ai coefficienti angolari di tangenti considerate lungo direzioni parallele agli assi che rappresentano le variabili indipendenti.
Le derivate parziali sono in numero pari alle variabili stesse, e una loro notevole proprietà è che se la funzione è sufficientemente “regolare” (cioè differenziabile) è possibile calcolarne la tangente lungo una direzione qualunque con una combinazione lineare delle derivate parziali stesse.
Questo è possibile perché l’operatore di derivazione è un operatore lineare, e quindi
la derivata di una combinazione lineare di funzioni derivabili è la combinazione lineare delle derivate delle singole funzioni,
e
la derivata del prodotto di uno scalare per una funzione è il prodotto dello scalare per la derivata della funzione.
Definizione
![Un'animazione che dà un'idea intuitiva della derivata, poiché lo "swing" di una funzione cambia quando cambia l'argomento.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/What_is_derivative_%28animation%29.gif)
Un’animazione che dà un’idea intuitiva della derivata, poiché lo “swing” di una funzione cambia quando cambia l’argomento.
La nozione di derivata si introduce, nel caso più semplice,
considerando
una funzione reale
di variabile reale
e un punto
del suo dominio.
La derivata di
in
è definita come il numero
uguale al limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell’incremento, sotto l’ipotesi che tale limite esista e sia finito.
In modo esplicito, detto
l’incremento, una funzione
definita in un intorno di
si dice derivabile nel punto
se esiste ed è finito il limite:
e il valore di questo limite è la derivata della funzione nel punto
.
Se la funzione
è derivabile in ogni punto di un dato intervallo
, allora si dice che essa è derivabile in ![(a, b)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7e5710198f33b00695903460983021e75860e2c)
e
la funzione
che associa a ogni punto
la derivata
di
è la funzione derivata di
.
Derivata complessa
Nonostante il caso più semplice sia quello delle funzioni reali,
la definizione di derivata trova la sua collocazione più naturale nell’ambito dell’analisi complessa, dove, applicata alle funzioni di variabile complessa, prende il nome di derivata complessa.
Detto
un sottoinsieme aperto del piano complesso,
una funzione complessa
è differenziabile in senso complesso in un punto
se esiste il limite:
Tale limite va inteso in relazione alla topologia del piano.
In altre parole,
per ogni successione di numeri complessi che converge a
, il rapporto incrementale deve tendere a un medesimo numero, indicato con
.
Se
è differenziabile in senso complesso in ogni punto
,
si dice che è una funzione olomorfa su
.
Relazione tra derivata reale e complessa
La relazione tra la differenziabilità di funzioni reali e funzioni complesse è data dal fatto che se una funzione complessa:
è olomorfa
allora
e
possiedono derivata parziale prima rispetto a
e
e soddisfano
le equazioni di Cauchy-Riemann:
In modo equivalente,
la derivata di Wirtinger
di
rispetto al complesso coniugato
di
è nulla.
Derivata destra e derivata sinistra
La derivata destra di
in
è il numero:
Analogamente,
la derivata sinistra di
in
è il numero:
Una funzione è derivabile in
se e solo se esistono finite e uguali le derivate destra e sinistra.
Queste permettono inoltre di definire la derivabilità su un intervallo non aperto:
se
è definita ad esempio nell’intervallo chiuso
, si dice che
è derivabile in
se è derivabile in ogni punto interno
e se esistono le derivate destra e sinistra rispettivamente negli estremi
e
.
Notazioni
La prima notazione di derivata nel punto
che compare storicamente è:
ancora oggi usata in fisica.
In alternativa,
secondo la notazione di Lagrange viene indicata con:
secondo la notazione di Cauchy – Eulero con:
secondo la notazione di Leibniz con:
e secondo la notazione di Newton con:
Derivata parziale
Nel caso di una funzione di più variabili, l’incremento della funzione rispetto a una sola variabile è la derivata parziale della funzione rispetto a tale variabile.
Data una funzione vettoriale di più variabili
definita su un insieme aperto dello spazio euclideo
, dette
e
le basi canoniche di
e
rispettivamente, la funzione può essere scritta nel seguente modo:
La componente i-esima della funzione è allora:
Si definisce derivata parziale di
rispetto alla variabile
il limite:
Tale limite è a volte chiamato limite del rapporto incrementale di
nel punto
, e viene denotato anche con
La derivata parziale di una funzione, o nel caso di funzione vettoriale di una sua componente, si effettua quindi considerando le variabili diverse da quella rispetto a cui si vuole derivare come costanti e calcolandone il rapporto incrementale.
Derivata direzionale
La derivata direzionale di una funzione scalare
lungo un vettore unitario
è la funzione definita dal limite:
Se la funzione
è differenziabile in
, allora la derivata direzionale esiste lungo ogni vettore unitario
e si ha:
dove
al secondo membro rappresenta il gradiente di
e
il prodotto scalare euclideo.
In
la derivata direzionale di
rappresenta la variazione di
lungo
.
Generalizzazioni della derivata
Differenziabilità di una funzione
Funzione differenziabile, Classe C di una funzione e Differenziale (matematica).
![Una funzione da R {\displaystyle \mathbb {R} } in R {\displaystyle \mathbb {R} } è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta. Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione. Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/0f/Tangent_to_a_curve.svg/440px-Tangent_to_a_curve.svg.png)
Una funzione da
in
è derivabile in un punto se è approssimabile vicino a quel punto da una retta.
Tale retta deve quindi essere tangente al grafico della funzione.
Questa nozione si estende in dimensioni arbitrarie, e prende il nome di funzione differenziabile.
Una funzione differenziabile in un punto è una funzione che può essere approssimata da una trasformazione lineare nel punto.
Affinché ciò si verifichi è necessario che tutte le derivate parziali calcolate nel punto esistano, ovvero esistono finiti i limiti dei rapporti incrementali direzionali (dunque, se una funzione è differenziabile in un punto allora è derivabile nel punto).
La proprietà di differenziabilità di una funzione consente di generalizzare il concetto di funzione derivabile a funzioni vettoriali di variabile vettoriale, e permette di individuare per ogni punto del suo grafico un iperpiano tangente.
Una funzione
definita su un insieme aperto dello spazio euclideo
è detta differenziabile in un punto
del dominio se esiste una applicazione lineare
tale che valga l’approssimazione:
dove
si annulla all’annullarsi dell’incremento
. Tale condizione si può scrivere in modo equivalente:
Se la funzione
è differenziabile in
, l’applicazione
è rappresentata dalla matrice jacobiana
.
Il vettore:
si chiama differenziale di
in
e
è la derivata totale della funzione
.
La funzione
è infine differenziabile se lo è in ogni punto del dominio.
In particolare, il teorema del differenziale totale afferma che una funzione è differenziabile in un punto se tutte le derivate parziali esistono in un intorno del punto per ogni componente della funzione e se sono inoltre funzioni continue.
Se inoltre l’applicazione che associa
a
è continua, la funzione si dice differenziabile con continuità.
Continuità e derivabilità
Il teorema di continuità asserisce che se
è derivabile in
allora
è anche continua in
.
L’inverso non è sempre vero:
ad esempio,
la funzione
è continua su tutto il dominio, ma non è derivabile nel punto
, perché la derivata destra non coincide con la derivata sinistra.
La continuità di una funzione è quindi condizione necessaria, ma non sufficiente, per determinarne la derivabilità.
Una funzione può inoltre essere derivabile (e quindi continua) in un punto
, ma essere discontinua in ogni punto intorno a
.
Questo accade per funzioni come:
essendo
l’insieme dei numeri razionali e
l’insieme dei numeri reali, mentre il simbolo “\” denota la differenza tra insiemi.
La funzione in esame ammette derivata in
(vale
il limite del rapporto incrementale) ma non è continua in nessun punto eccetto lo
.
Notiamo che se invece una funzione è due volte derivabile in un punto, allora è continua in un intorno di quel punto.
Per mostrare che se
è derivabile in
allora è continua in
, si considera l’uguaglianza precedente:
da cui:
Quindi la funzione è continua in
.
La stima lineare della funzione attorno a
costituisce una migliore approssimazione rispetto a:
garantita dalla sola continuità (qui
).
Se la funzione è derivabile in
si può “scomporre” l’infinitesimo
in un termine lineare e un infinitesimo di ordine superiore.
Il teorema di Lagrange fornisce una diversa approssimazione (sempre lineare) nell’ipotesi che la funzione sia derivabile in un intorno di
:
per tutti gli
in tale intorno, e con
un dato punto in
(o
, se è un intorno sinistro).
Benché ora l’approssimazione sia “esatta” (non ci sono termini infinitesimi che vengono trascurati), il teorema non è in grado di mostrare per quale
sia vera l’uguaglianza.
Funzioni non derivabili
![La funzione valore assoluto non è derivabile nell'origine, dove ha un punto angoloso](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6b/Absolute_value.svg/440px-Absolute_value.svg.png)
La funzione valore assoluto non è derivabile nell’origine, dove ha un punto angoloso
Una funzione continua può essere non derivabile. Ad esempio, una funzione continua può non essere derivabile in un punto isolato del dominio, in presenza di un punto angoloso, una cuspide o un flesso a tangente verticale.
Esistono anche funzioni continue che presentano forme più complesse di non derivabilità, come ad esempio la funzione di Cantor.
La funzione di Weierstrass è una funzione reale di variabile reale che ha la proprietà di essere continua in ogni punto ma di non essere derivabile in nessuno.
Teoremi
Vengono enunciati di seguito alcuni teoremi e risultati significativi.
Regole di derivazione
Siano
e
funzioni reali di variabile reale
derivabili,
e
sia
l’operazione di derivazione rispetto a
:
-
Regola del prodotto (o di Leibniz):
-
con:
Teorema di Fermat.
Sia
una funzione derivabile, e quindi continua, in un punto
interno al dominio.
Se
è un punto di massimo o di minimo per la funzione
allora
la derivata della funzione in
è nulla,
cioè ![f ' (x_0) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7174944436b983b143e07db4f628f53dc8508922)
Non è indispensabile che
sia interno al dominio, essendo sufficiente che si tratti di un punto di accumulazione da destra e da sinistra per il dominio,
mentre
è essenziale porre che la funzione sia derivabile nel punto
in quanto non è possibile dedurne la derivabilità dalle altre ipotesi del teorema.
Ogni punto in cui
si annulla (cioè è uguale a zero) è chiamato punto stazionario.
I massimi e minimi relativi sono chiamati punti stazionari di
.
Questo teorema è molto usato nello studio di funzione, in quanto
definisce la possibilità di avere un punto di massimo o di minimo dove la funzione derivata si annulla.
Teorema di Rolle
Sia
una funzione continua nell’intervallo chiuso
e derivabile nell’intervallo aperto
.
Se
allora
esiste almeno un punto
dove la derivata prima
si annulla.
Teorema di Lagrange
Sia
una funzione continua in
e derivabile nell’intervallo aperto
.
Allora
esiste almeno un punto
tale per cui:
Il teorema afferma che esiste almeno un punto
del grafico della funzione in cui la retta tangente ha coefficiente angolare uguale a quello della corda della retta passante per i punti
e
.
Si tratta di una generalizzazione del teorema di Rolle che analizza il caso in cui
≠
.
Teorema di Cauchy
Siano
e
funzioni continue in
e derivabili in
con
diversa da 0 per ogni punto dell’intervallo.
Allora
esiste almeno un punto
tale per cui:
Considerando in particolare
la funzione
, si ottiene l’affermazione del teorema di Lagrange.
Con
il teorema di Cauchy è inoltre possibile dimostrare la regola di de l’Hôpital.
Monotonia a partire dalla derivata
Lo stesso argomento in dettaglio: Teorema di Lagrange.
Sia
continua in
e derivabile in
.
Allora:
-
Per ogni
si ha
se e solo se la funzione è crescente in
.
-
Per ogni
si ha
se e solo se la funzione è decrescente in
.
La funzione può non essere strettamente crescente (o decrescente),
e
il teorema è direttamente ricavabile dall’enunciato di Lagrange.
Analogamente,
valgono anche i fatti seguenti:
-
Se per ogni
si ha
allora la funzione è strettamente crescente in
.
-
Se per ogni
si ha
allora la funzione è strettamente decrescente in
.
Una funzione strettamente crescente non ha necessariamente derivata ovunque positiva.
Ad esempio,
è strettamente crescente, ma ha derivata nulla nell’origine, dove c’è un punto di flesso.
Il teorema della funzione costante afferma che
una funzione è costante in un intervallo
se e solo se è derivabile e la derivata è ovunque nulla nell’intervallo.
Mentre
la condizione necessaria è conseguenza della definizione di derivata (la derivata di una costante è uguale a zero),
la condizione sufficiente segue dal teorema di Lagrange.
Derivate di ordine superiore
La derivata n-esima
di una funzione
è la funzione che si ottiene derivando successivamente
volte la funzione
.
Si definiscono così la derivata seconda, terza, e così via; e si usa generalmente una delle seguenti notazioni:
Una funzione derivabile non è necessariamente derivabile
volte.
Ad esempio,
la funzione
ha una derivata prima, ma non una seconda: infatti, la derivata di
è
, che non è a sua volta derivabile nell’origine.
La classe delle funzioni derivabili
volte e la cui derivata
-esima è continua si indica con
.
Convessità
Sia
derivabile.
Allora
è convessa se e solo se
è crescente in
.
Se
possiede derivata seconda,
allora
la convessità della funzione è data dalla disequazione:
Il cambiamento di segno della derivata seconda determina quindi un cambiamento di convessità della funzione e un relativo punto di flesso.
Significato geometrico della derivata
![La retta in rosso è la tangente al grafico della f(x) nel punto (x0, f(x0))](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/de/Derivative_-_geometric_meaning.svg/800px-Derivative_-_geometric_meaning.svg.png)
La retta in rosso è la tangente al grafico della f(x) nel punto (x0, f(x0))
Il valore della derivata di
calcolata in
ha un significato geometrico: è il coefficiente angolare della retta tangente alla curva rappresentata dal grafico di
nel punto di coordinate
.
In altre parole,
la derivata è il valore della tangente trigonometrica dell’angolo (convesso) che la retta tangente in
al grafico della funzione forma con l’asse delle ascisse (a patto che tale angolo non sia retto).
L’equazione della retta tangente in
risulta:
Più precisamente,
se
è derivabile nel punto
, allora esiste una funzione
definita in un intorno di
tale che:
con:
e tale formula è l’espansione di Taylor di
troncata al termine di primo grado.
Si dice che
è un infinitesimo di ordine superiore alla funzione
, e con questo si vuole esprimere l’idea che il termine
fornisce un contributo che diventa trascurabile rispetto agli altri termini quando ci si avvicina a
.
Si può anche dire che una funzione derivabile in
è approssimabile linearmente intorno a
con la sua retta tangente in tale punto.
Se si definisce infatti
, avente lo stesso dominio di
,
come:
si verifica che:
Ricordando che per
allora
, e quindi
.
Sostituendo questa ultima uguaglianza con la precedente equazione si ha:
Esempio
Una funzione espressa come serie di potenze
con raggio di convergenza
è continua e derivabile su tutto l’intervallo
.
La derivata può essere calcolata derivando termine a termine la serie nel modo seguente:
Tuttavia, in una serie di potenze si preferisce che
sia l’indice della potenza, quindi utilizzando uno shift diventa:
Questo tipo di derivata è importante per lo sviluppo di Taylor e Mc-Laurin.
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